CHƯƠNGIHÌNH HỌC 11 (12 – 13) I Phép biến hình: * Nếu phép biến hình F viết F(M) = M �hay M � = F(M), ta gọi M �là ảnh điểm M qua phép biến hình F * Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng II Phép tịnh tiến: Lý thuyết: uuuuu r r uuuuur uuuu r N * Nếu Tvr (M) M �� MM � * Nếu Tvr (M) M �và Tvr (N) N�� M �� v N MN � MN M �� x �x� * Phép tịnh tiến theo vectơ – khơng phép đồng tức � y �y� r u r * Tvr (d) d � v v�cùng phương r x xM a � với v (a;b) yM � yM b � M� * Biểu thức tọa độ: Nếu Tvr (M) M �� M � (xM + a; yM + b) M � =� * Phép tịnh tiến: + Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với + Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng + Biến tam giác thành tam giác + Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Bài tập mẫu: Bài 1: uCho tam giác ABC có G trọng tâm Xác định ảnh u tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo uur uur vectơ AG Xác định điểm D cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A uuur (B) B� Giải: * Dựng hình bình hành AB B� G � TAG D u u u r � T (C) C � Dựng hình bình hành AC C� G AG uuur (A) G uuur (ABC) GB�� A TAG C Vậy: TAG u u u r u u u r uuur (D) A � * Ta có: TAG DA AG Dựng điểm D cho A G trung điểm DG C B Bài 2: Tìm ảnh điểm A(0; 2), B(1; 3) qua phép tịnh tiến Tvr trường hợp sau: r r r C' B' a) v (1;1) b) v (2;1) c) v (0;0) (1;3) (2;3) (0;2) Giải: a) Tvr (A) A � b) Tvr (A) A � c) Tvr (A) A � (2;4) (1;4) (1;3) a) Tvr (B) B� b) Tvr (B) B� c) Tvr (B) B� Bài 3: Cho điểm A(1; 4) Tìm tọa độ điểm B cho A Tvr (B) (tức A ảnh B), biết: r r r a) v (2; 3) b) v (3;1) c) v (0;0) r x xA a � với v (a;b) yB yA b � B Giải: Ghi nhớ: A Tvr (B) � B(xA – a; yA – b) hay B � a) A Tvr (B) � B(-1; 7) b) A Tvr (B) � B(4; 3) c) A Tvr (B) � B(1; 4) r Tvr (M) , biết: Bài 4: Tìm tọa độ vectơ v cho M � a) M(-1; 0), M � (3; 8) b) M(-5; 2), M � (4; -3) c) M(-1; 2), M � (4; 5) r r (M) � v (x � M T Giải: a) Ghi nhớ: v M � xM ;yM � yM ) r r r a) v (4;8) b) v (9; 5) c) v (5;3) Bài 5: ra) Tìm tọa độ C” ảnh điểm C(3; -2) cách thực liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v (2;4) phép vị tự tâm O, tỉ số r b) Tìm tọa độ ảnh điểm D(-5; 1) cách thực liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v (3;2) phép quay tâm O, góc 900 c) Tìm tọa độ E” ảnh điểm E(5; 2) cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số -3 phép quay tâm O, góc - 900 � (1;2) V(O,2) (C� ) C� ( 2; 4) Giải: a) Gọi C” điểm cần tìm Ta có: Tvr (C) C� � ) D� (3; 2) (2;3) Q(O,90 ) (D� b) Gọi D” điểm cần tìm Ta có: Tvr (D) D� � ) E� (6;15) (15; 6) Q(O,90 ) (E� c) Gọi E” điểm cần tìm Ta có: V(O,3) (E) E� r Bài 6: Tìm ảnh d qua phép tịnh tiến theo v , biết: r r a) d: x + 3y – = với v (2; 1) b) d: 2x – y – = với v (2; 1) Giải: a) * Cách 1: Gọi Tvr (d) d� Khi d’ // d nên PT đt d’ có dạng: x + 3y + C = (3; 1) �d’ nên – + C = � C = Vậy: d’: x + 3y = Chọn A(1; 0) � d Khi đó: Tvr (A) A � (3; 1) �d’ chọn B(-2; 1) � Tvr (B) B� (0;0) �d’ * Cách 2: Chọn A(1; 0) � d � Tvr (A) A � x xA � x yA� x y1 � xB� xA � yB� yA � 0 0 � x – = -3y – � x + 3y = x x x� 2 �x� � � � � * Cách 3: Gọi M(x; y) �d, Tvr (M) M � y 1 y y� 1 �y� � ’ ’ ’ Ta có: M �d � x + 3y – = � x – + 3y + – = � x + 3y’ = � M’ �d’: x + 3y = b) * Cách 1: Gọi Tvr (d) d� Khi d’ // d nên PT đt d’ có dạng: 2x – y + C = Đt d’ qua điểm A’ B’ nên PT đt d’ là: (2; 2) �d’ nên + + C = � C = -6 Vậy: d’: 2x – y – = Chọn A(0; -1) � d Khi đó: Tvr (A) A � (2; 2) �d’ chọn B(1; 1) � Tvr (B) B� (3;0) �d’ * Cách 2: Chọn A(0; -1) � d � Tvr (A) A � x xA � x yA� x y � xB� xA � yB� yA � 3 � 2x – = y + � 2x – y – = x x x� 2 �x� � � � � * Cách 3: Gọi M(x; y) �d, Tvr (M) M � y 1 y y� 1 �y� � ’ ’ Ta có: M �d � 2x – y – = � 2x – – y – – = � 2x’ – y’ – = � M’ �d’: 2x –ry – = r Bài 7: Tìm PT đt d qua phép tịnh tiến theo v : d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – = với v (2; 1) Giải: * Cách 1: Gọi Tvr (d) d� Khi d // d’ nên PT đt d có dạng: 2x + 3y + C = Đt d’ qua điểm A’ B’ nên PT đt d’ là: Chọn A’(2; -1) � d’ Khi đó: Tvr (A) A �� A(4; 0) �d nên + + C = � C = -8 Vậy: d: 2x + 3y – = * Cách 2: Chọn A’(2; -1)�d’, Tvr (A) A �� A(4; 0)�d chọn B’(-1; 1)�d’, Tvr (B) B�� B(1; 2)�d x xA x yA x y � Đt d qua điểm A, B nên PT đt d là: xB xA yB yA 1 � 2x – = -3y � 2x + 3y – = x x� 2 � x� x � �� y y� 1 y� y1 � � ’� ’ � ’ ’ Ta có: M d 2x + 3y – = � 2x – + 3y – – = � 2x + 3y – = � M �d: 2x + 3y – = r Bài 8: Tìm tọa độ vectơ v cho Tvr (d) d�với d: 3x – y + = d’: 3x – y – = r � v (0; 8) Giải: Chọn A(0; 1)�d B(0; -7)�d’ Khi đó: Tvr (d) d� r ) Bài 9: Tìm tọa độ vectơ v cho Tvr (C) (C� * Cách 3: Gọi M’(x’; y’)� d’, Tvr (M) M �� M = � a) (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = (C’): (x + 5)2 + (y – 1)2 = b) (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = (C’): x2 + y2 + 4x – 6y + 10 = Giải: a) Từ (C), ta có: tâm I(2; -3) từ (C’), ta có: tâm I’(-5; 1) r ) � v (7;4) Khi đó: Tvr (C) (C� b) Từ (C), ta có: tâm I(1;r -2) từ (C’), ta có: tâm I’(-2; 3) ) � v (3;5) Khi đó: Tvr (C) (C� r Bài 10: Tìm ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo v , biết: r r a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – = với v (3; 4) b) (C): (x + 3)2 + (y – 1)2 = với v (3;1) Giải: a) * Cách 1: (C) có tâm I(2; -1) bán kính R = (5; 5) R’ = R = Vậy: Tvr (C) (C') :(x 5)2 (y 5)2 Khi đó: Tvr (I) I � x� x � x x� 3 � �� y� y � y y� 4 � 2 ’ ’ Ta có: M �(C) � x + y – 4x + 2y – = � (x – 3) + (y + 4)2 – 4x’ + 12 + 2y’ + – = 2 2 � x� 6x� y� 8y� 16 4x� 12 2y� 8 � x� y� 10x� 10y� 42 � * Cách 2: Gọi M(x; y) �(C), Tvr (M) M � � M’ �(C� ) : x2 + y2 – 10x + 10y + 42 = b) * Cách 1: (C) có tâm I(-3; 1) bán kính R = (6;2) R’ = R = Vậy: Tvr (C) (C'):(x 6)2 (y 2)2 Khi đó: Tvr (I) I � x� x �x x� 3 � �� y� y1 1 � �y y� ) : (x + 6)2 + (y – 2)2 = Ta có: M �(C) � (x’ + + 3)2 + (y’ – – 1)2 = � M’ �(C� � * Cách 2: Gọi M(x; y) �(C), Tvr (M) M � r Bài 11: Phép tịnh tiến theo vectơ v (3;m) Tìm m để đt d: 4x + 6y – = biến thành qua r phép tịnh tiến theo vectơ v r Giải: Từ đt d � VTCP d là: u (6;4) r r m � 12 = -6m � m = -2 Để Tvr (d) d � v phương u � 6 Bài tập tự luyện: uuur Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Dựng ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD uuur Xác định điểm F cho phép tịnh tiến theo vectơ AC biến F thành A Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M, N, E, F trung điểm cạnh AB, CD, AD, MN Hãy tìm phép tịnh tiến biến AFM thành ENF r Bài 3: Tìm ảnh điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ v , biết: r r a) A(2; -3) với v (7;2) ĐS: A’(9; -1) b) B(8; 2) với v (7;4) ĐS: B’(1; 6) r r c) C(1; 2) với v (4;3) ĐS: C’(-3; 5) d) D(-5; -6) với v (4; 9) ĐS: D’(-1; -15) r Bài 4: a) Tìm tọa độ điểm C cho A(3; 5) ảnh C qua phép tịnh tiến theo vectơ v (1;2) r b) Tìm tọa độ điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v (3; 5) , biết Tvr (M) N N(-7; 2) c) r Cho điểm D(-5; 6) Tìm tọa độ điểm E cho D ảnh E qua phép tịnh tiến theo vectơ v (2; 8) r d) Cho điểm A(1; 4) Tìm tọa độ điểm B cho A Tvr (B) với v (3;9) ĐS: a) C(4; 3) b) M(-10; 7) c) E(-3; 14) d) B(4; -5) r r Bài 5: Tìm tọa độ vectơ v cho Tv (A) B , biết: a) A(-10; 1), B(3; 8) b) A(-5; 2), B(4; -3) c) A(-1; 2), B(4; 5) d) A(0; 0), B(-3; 4) e) A(5; -2), B(2; 6) f) A(2; 3), B(4; -5) r r r ĐS: a) v (13;7) b) v (9; 5) c) v (5;3) r r r d) v (3;4) e) v (3;8) f) v (2; 8) r Bài 6: a) Cho đt d: 2x – y + = Tìm ảnh đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v (4; 3) r b) Cho đt d: x – 4y – = Tìm PT đt d’ cho Tvr (d) d� với v (2;5) r c) Cho đt d: 5x + 3y + = Tìm ảnh đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v (2; 1) r d) Tìm ảnh đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v (3;7) , biết: đt d: 4x – y – = ĐS: a) 2x – y – = b) x – 4y – 20 = r c) 5x + 3y + 18 = d) 4x – y – = ’ Bài 7: Tìm đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v : d biến thành d : r r a) d’: 2x + 3y – = với v (2; 1) b) d’: 2x – 4y – = với v (3; 1) r r c) d’: x – 6y + = với v (2;4) d) d’: 5x – 3y + = với v (2; 3) ĐS: a) 2x +3y – = b) 2x – 4y + = c)r x – 6y – 24 = d) 5x – 3y + = Bài 8: Tìm ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v , biết: r a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – = với v (3; 4) ĐS: (x – 5)2 + (y + 5)2 = r b) (C): x2 + y2 + 6x – 4y + = với v (3; 5) ĐS: (x + 6)2 + (y + 3)2 = 12 r c) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 16 với v (1;4) ĐS: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 16 r d) (C): (x + 4)2 + (y – 1)2 = với v (5;3) ĐS: (x – 1)2 + (y – 4)2 = r ) , biết: Bài 9: Tìm tọa độ vectơ v cho Tvr (d) d�và Tvr (C) (C� ’ a) d: 3x – 2y + = d : 3x – 2y – = b) d: 2x + y – = d’: 2x + y + = c) (C): (x + 3)2 + (y – 2)2 = (C’): (x – 5)2 + (y – 7)2 = 2 ’ 2 d) (C): (x r – 5) + (y + 4) = (Cr): (x + 2) + (y – 9) = r r ĐS: a) v (1; 4) b) v (0; 8) c) v (8;5) d) v (7;13) r Bài 10: Phép tịnh tiến theo vectơ v (3m; 6) Tìm m để đt d: 4x + 2y – = biến thành r qua phép tịnh tiến theo vectơ v ĐS: m = -4 III Phép quay x� y y� x � x� y � * Phép quay tâm O, góc -900: Q(O,900 ) (M) M � =� y� x � � Lý thuyết: * Phép quay tâm O, góc 900: Q(O,90 ) (M) M � =� Bài tập mẫu: Bài 1: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc 900, biết: a) A(3; -4) b) B(-2; 1) c) C(4; 5) d) D(-2; -3) e) E(0; -5) � � Q (A) A Q (B) B Giải: a) (O,90 ) (4; 3) b) (O,90 ) (-1; -2) c) Q(O,90 ) (C) C� (-5; 4) d) Q(O,90 ) (D) D� (3; -2) e) Q(O,90 ) (E) E� (5; 0) 0 0 Bài 2: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết: a) A(2; 5) b) B(-4; 2) c) C(-3; -1) � Q (A) A Q (B) B� Giải: a) (O,90 ) (5; -2) b) (O,90 ) (2; 4) c) Q(O,90 ) (C) C� (-1; 3) Bài 3: Tìm tọa độ điểm A cho Q(O,90 ) (A) B , biết: 0 0 a) B(3; -5) b) B(-2; 7) Giải: a) Q(O,90 ) (A) B � A(-5; -3) c) Q(O,90 ) (A) B � A(-1; 3) 0 c) B(-3; -1) d) B(4; 6) b) Q(O,90 ) (A) B � A(7; 2) d) Q(O,90 ) (A) B � A(6; -4) 0 Bài 4: Tìm tọa độ điểm C cho D ảnh C qua phép quay tâm O, góc quay -90 0, biết: a) D(-5; 1) b) D(-4; -7) c) D(2; 3) d) D(4; -8) Giải: a) Q(O,90 ) (C) D � C(-1; -5) b) Q(O,90 ) (C) D � C(7; -4) 0 c) Q(O,90 ) (C) D � C(-3; 2) d) Q(O,90 ) (C) D � C(8; 4) Bài 5: Tìm ảnh đt d qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết đt d: 5x – 2y – = Giải: * Cách 1: Gọi Q(O,90 ) (d) d� 0 Chọn A(0; -1) �d � Q(O,90 ) (A) A � (1; 0)�d’ B(2; 4) � Q(O,90 ) (B) B� (-4; 2)�d’ x xA � y yA � x1 y � � 2x + 5y – = Đt d’ qua điểm A’, B’ là: xB� xA � yB� yA � 4 � d d� * Cách 2: Gọi Q(O,90 ) (d) d� nên PT đt d’ có dạng: 2x + 5y + C = Chọn A(0; -1) �d � Q(O,90 ) (A) A � (1; 0)�d’ Khi đó: + C = � C = -2 Vậy: d’: 2x + 5y – = 0 0 x� y � x y� � �� � * Cách 3: Gọi M(x; y)�d � Q(O,90 ) (M) M � y� x y x� � � ’ ’ ’ Ta có: M �d: 5x – 2y – = � 5y – 2(-x ) – = � 2x + 5y’ – = � M’�d’: 2x + 5y – = Bài 6: Tìm ảnh đt d qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết đt d: 2x – 5y + = Giải: * Cách 1: Gọi Q(O,90 ) (d) d� Chọn A(2; 1)�d � Q(O,90 ) (A) A � (1; -2)�d’ B(-3; -1) � Q(O,90 ) (B) B� (-1; 3)�d’ 0 0 x xA � y yA � x1 y � � 5x + 2y – = xB� xA � yB� yA � 1 3 � d d� * Cách 2: Gọi Q(O,90 ) (d) d� nên PT đt d’ có dạng: 5x + 2y + C = Chọn A(2; 1)�d � Q(O,90 ) (A) A � (1; -2)�d’ Khi đó: – + C = � C = -1 Đt d’ qua điểm A’, B’ là: 0 Vậy: d’: 5x + 2y – = x� y x y� � � �� � * Cách 3: Gọi M(x; y)�d � Q(O,90 ) (M) M � y� x � y x� � ’ ’ ’ Ta có: M �d: 2x – 5y + = � 2(-y ) – 5x + = � –5x – 2y’ + = � M’�d’: 5x + 2y – = Bài 7: Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết a) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = b) x2 + y2 – 4x + 2y – = Giải: a) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -5) bán kính R = ) : (x – 5)2 + (y – 2)2 = Khi đó: Q(O,90 ) (I) I � (5; 2) bán kính R’ = R = Vậy: Q(O,90 ) (C) (C� x� y � x y� � �� � * Cách 2: Gọi M�(x; y)�(C) � Q(O,90 ) (M) M � y� x y x� � � Ta có: M �(C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = � (y’ – 2)2 + (-x’ + 5)2 = � (x’ – 5)2 + (y’ – 2)2 = � M’�(C’): (x – 5)2 + (y – 2)2 = b) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -1) bán kính R = Khi đó: Q(O,90 ) (I) I � (1; 2) bán kính R’ = R = Vậy: (x – 1)2 + (y – 2)2 = x� y � x y� � �� � * Cách 2: Gọi M�(x; y)�(C) � Q(O,90 ) (M) M � y� x y x� � � 2 ’ ’ ’ Ta có: M �(C): x + y – 4x + 2y – = � (y ) + (-x ) – 4y + 2(-x’) – = 2 � x� y� 2x� 4y� � M’�(C’): x2 + y2 – 2x – 4y – = Bài 8: Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết: (x + 4)2 + (y – 1)2 = 16 Giải: * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) bán kính R = ) : (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16 Khi đó: Q(O,90 ) (I) I � (1; 4) bán kính R’ = R = Vậy: Q(O,90 ) (C) (C� 0 0 0 0 x� y x y� � � �� � * Cách 2: Gọi M�(x; y)�(C) � Q(O,90 ) (M) M� y� x � y x� � 2 ’ ’ Ta có: M �(C): (x + 4) + (y – 1) = 16 � (–y + 4) + (x – 1) = 16 � (y’ – 4)2 + (x’ – 1)2 = 16 � M’�(C’): (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16 Bài 9: Cho tam giác ABC, trọng tâm G a) Tìm ảnh điểm B qua phép quay tâm A góc quay 900 C" b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 900 A c) Tìm ảnh tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 90 Giải: a) Dựng AB = AB’ (AB, AB’) = 900 Khi đó: B’ ảnh điểm B qua phép quay tâm A, góc quay 900 b) Dựng AC = AC’ (AC, AC’) = 900 B' ’ ’ B Khi đó: B C ảnh BC qua phép quay tâm A, góc quay 90 G c) Dựng GA = GA’và (GA, GA’) = 900, GB = GB” A' (GB, GB”) = 900, GC = GC” (GC, GC”) = 900 Khi đó: Tam giác A’B”C” ảnh tam giác ABC qua phép quay tâm G, góc quay 900 B" C Bài 10: Cho ABC có tâm O phép quay tâm O, góc quay 120 a) Xác định ảnh đỉnh A, B, C qua phép quay Q(O,120 ) b) Tìm ảnh ABC qua phép quay Q(O,120 ) C' 0 OA OB � � Q(O,120 ) (A) = B; Giải: a) Ta có: � (OA,OB) 120 � OB OC OC OA � � � Q(O,120 ) (B) = C; � � Q(O,120 ) (C) = A � (OB,OC) 120 (OC,OA) 1200 � � b) Vậy: Q(O,120 ) ( ABC) = BCA A 0 120 O120 120 0 Bài 11: Cho hình vng ABCD tâm O a) Tìm ảnh điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 900 b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm O, góc quay 900 Giải: a) Dựng AE = AC (AE, AC) = 900 Vậy: Q(A ,90 ) (C) = E b) Ta có: Q(O,90 ) (B) = C; Q(O,90 ) (C) = D B C D E C O 0 B A Vậy: Q(O,90 ) (BC) = CD Bài 12: Cho hình vng ABCD tâm O, M trung điểm AB, N trung điểm OA Tìm ảnh A M AMN qua phép quay tâm O, góc quay 900 B ’ ’ Giải: Gọi M , N trung điểm OA OD Ta có: Q(O,90 ) (A) = D; Q(O,90 ) (M) = N M' Q(O,90 ) (M’) = N’ N 0 0 O Vậy: Q(O,90 ) ( AMN) = DM’N’ N' D F C Bài 13: Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương, O tâm đườngAtròn ngoại tiếp Tìm ảnh OAB qua phép dời hình cóuuđược cách thực liên tiếp phép quay tâm O, gócEquay u r 600 qua phép tịnh tiến theo vectơ OE O Giải: Ta có: * Q(O,60 ) (O) = O; Q(O,60 ) (A) = B; Q(O,60 ) (B) = C D B 0 C � Q(O,60 ) ( OAB) = OBC uuur uuur uuur * TOE (O) = E; TOE (B) = O; TOE (C) = D uuur Vậy: TOE ( OBC) = EOD Bài 14: Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương, O tâm đường tròn ngoại tiếp I trung điểm AB F Q a) Tìm ảnh AIF qua phép quay (O,120 ) A E b) Tìm ảnh AOF qua phép quay Q(E,60 ) 0 Giải: a) Gọi J trung điểm CD Ta có: Q(O,120 ) (A) = C; Q(O,120 ) (I) = J; Q(O,120 ) (F) = B Vậy: Q(O,120 ) ( AIF) = CJB 0 I O D B J b) Ta có: Q(E,60 ) (A) = C; Q(E,60 ) (O) = D; Q(E,60 ) (F) = O Vậy: Q(E,60 ) ( AOF) = CDO 0 C Bài 15: Cho hai hình vng vng ABCD BEFG (hình bên) Tìm ảnh ABG phép quay tâm B, góc quay -900 C D Giải: Ta có: Q(B,90 ) (A) = C; Q(B,90 ) (B) = B; Q(B,90 ) (G) = E G F Vậy: Q(B,90 ) ( ABG) = CBE 0 0 A E B Bài 16: Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương, O tâm đường tròn ngoại tiếp Tìm F phép quay biến AOF thành CDO EA EC � A E � Q(E,60 ) (A) = C Giải: Ta thấy: * � (EA, EC) 60 � EO ED EF EO � � � Q(E,60 ) (O) = D; * � � Q(E,60 ) (F) = O *� 0 (EO, ED) 60 (EF, EO) 60 � � B Q ( AOF) Vậy: (E,60 ) = CDO O D C Bài 17: Cho hai tam giác ABD CBE (hình bên) Tìm phép quay biến ACD thành BCE BA BC � C � Q(B,60 ) (A) = C Giải: Ta thấy: * � (BA, BC) 60 � BD BE � � Q(B,60 ) (D) = E *� (BD, BE) 60 � Vậy: Q(B,60 ) ( ABD) = CBE A Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc 90 , biết: a) A(4; -2) b) B(-5; 3) c) C(-6; -7) d) D(2; 9) ’ ’ ’ ĐS: a) A (2; 4) b) B (-3; -5) c) C (7; -6) d) D’(-9; 2) Bài 2: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết: a) E(3; 5) b) F(-4; 6) c) M(7; -2) d) N(-3; -8) * Q(B,60 ) (B) = B D 0 B E ĐS: a) E’(5; -3) b) F’(6; 4) c) M’(-2; -7) d) N’(-8; 3) Bài 3: Tìm tọa độ điểm M cho Q(O,90 ) (M) N , biết: a) N(-3; 2) b) N(4; -7) c) N(-5; -1) d) N(5; 9) ĐS: a) M(2; 3) b) M(-7; -4) c) M(-1; 5) d) M(9; -5) Bài 4: Tìm tọa độ điểm E cho F ảnh E qua phép quay tâm O, góc quay -90 0, biết: a) F(4; 7) b) F(3; -2) c) F(5; -6) d) F(-3; -8) ĐS: a) E(-7; 4) b) E(2; 3) c) E(6; 5) d) E(8; -3) Bài 5: Tìm ảnh đt d qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết : a) d: 2x – 3y + = b) d: 3x + y = c) d: y – = d) d: x + = e) d: – 4x + 2y + = f) d: 2x + 5y – = g) d: x – 7y – = ĐS: a) d’: 3x + 2y + = b) d’: x – 3y = c) d’: x + = d) d’: y + = e) d’: 2x + 4y – = f) d’: 5x – 2y – = g) d’: 7x + y – = 0 Bài 6: Tìm ảnh đt d qua phép quay tâm O, góc quay -90 , biết : a) d: x + 3y – = b) d: 2x – y + = c) d: 3x – 2y = ĐS: a) d’: 3x – y – = b) d’: x + 2y – = c) d’: 2x + 3y = Bài 7: Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết a) (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = b) (C): x2 + (y – 2)2 = 2 c) (C): x + y – 4x – 2y – = d) (C): x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = ĐS: a) (C’): (x + 1)2 + ( y + 1)2 = b) (C’): (x + 2)2 + y2 = c) (C’): (x + 1)2 + (y – 2)2 = d) (C’): (x + 2)2 + (y + 1)2 = 16 Bài 8: Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết a) (C): (x – 3)2 + (y + 5)2 = 16 b) (C): (x + 3)2 + y2 = 25 c) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – = d) (C): x2 + y2 + 10x – 8y – = ĐS: a) (C’): (x + 5)2 + (y + 3)2 = 16 b) (C’): x2 + (y – 3)2 = 25 ’ 2 c) (C ): (x + 2) + (y + 3) = 16 d) (C’): (x – 4)2 + (y – 5)2 = 49 Bài 9: Cho tam giác ABC điểm O Xác định ảnh tam giác qua phép quay tâm O góc 60 Bài 10: Cho hình bình hành ABCD tâm O a) Tìm ảnh OC qua phép quay tâm B, góc quay 900 b) Tìm ảnh AOB qua phép quay tâm O, góc quay -900 Bài 11: Cho hình vng ABCD có tâm O theo chiều âm a) Tìm ảnh điểm A qua phép quay tâm C, góc quay -900 b) Tìm ảnh đường thẳng AD qua phép quay tâm O, góc quay 900 Bài 12: Cho tam giác ABC, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm phép quay biến ABC thành Bài 13: Cho hình vng ABCD tâm O Tìm phép quay biến hình vng ABCD thành Bài 14: Cho ABC Về phía ngồi tam giác, dựng ba tam giác BCA1, ACB1, ABC1 a) Tìm phép quay biến AC1C thành ABB1 b) Tìm phép quay biến ACA1 thành B1CB IV Phép vị tự: Lý thuyết: x� kx � � a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M’ Ký hiệu: V(O,k) (M) M � y� ky � ) b) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) Viết: V(O,k) (C) (C� Gọi I, R I’, R’ tâm bán kính đường tròn (C) (C’) Khi đó: V(O,k) (I) I �và R’ = k R Bài tập mẫu: Bài 1: Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) A(-3; 4), k = -2 b) B(2; -6), k = c) C(4; 5), k = Giải: a) V(O,2) (A) A� (6; -8) b) c) V(O,3) (C) C� (12; 15) d) V (B) B� (1; -3) V (D) D� (2; 8) (O, ) 2 (O, ) d) D(-3; -12), k = Bài 2: Tìm tọa độ điểm A cho B ảnh A qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 1 a) B(-2; 6), k = b) B(0; 3), k = c) B(3; -1), k = -3 d) B(-5; -2), k = V (A) B � A(0; 9) Giải: a) V(O,2) (A) B � A(-1; 3) b) (O, ) V (A) B � c) V(O,3) (A) B � A(-1; ) d) (O, ) A(10; 4) Bài 3: Tìm tỉ số k, biết V(O,k ) (A) A� : ’ a) A(-2; 4), A (1; -2) b) A(4; 5), A’(-8; -10) c) A(-3; -8), A’(-9; -24) �k = � k = 2 �k = Giải: a) V(O,k ) (A) A� b) V(O,k ) (A) A� c) V(O,k ) (A) A� Bài 4: Tìm ảnh đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) d: 4x – 3y + = 0, k = -3 b) d: x – 4y + = 0, k = ’ ’ � d // d nên PT đt d có dạng: 4x – 3y + C = Giải: a) * Cách 1: Gọi V(O,3) (d) d� Chọn A(2; 3)�d � V(O,3) (A) A� (-6; -9) �d’ Khi đó: -24 + 27 + C = � C = -3 Vậy: PT đt d’ là: 4x – 2y – = * Cách 2: Chọn A(2; 3)�d � V(O,3) (A) A� (-6; -9) �d’ B(-1; -1) �d � V(O,3) (B) B� (3; 3) �d’ x x A� y y A� x 6 y9 � � 12x – 9y – = PT đt d’ qua điểm A’, B’ là: x B� x A� y B� y A� � 4x – 3y – = V (d) d� � d’ // d nên PT đt d’ có dạng: x – 4y + C = b) * Cách 1: Gọi (O, ) V (A) A� Chọn A(-2; 0) �d � (O, ) (-1; 0) �d’ Khi đó: -1 + C = � C = ’ Vậy: PT đt d là: x – 4y + = V (A) A� V (B) B� * Cách 2: Chọn A(-2; 0)�d � (O, 12 ) (-1; 0) �d’ B(6; 2) �d � (O, 12 ) (3; 1) �d’ x x A� y y A� x 1 y � � x – 4y + = x B� x A� y B� y A� 1 Bài 5: Tìm ảnh đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) (C): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 1, k = b) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – = 0, k = V (C) (C� ) Giải: a) Gọi (O, ) Từ (C), ta có: tâm I(2; -4) bán kính R = PT đt d’ qua điểm A’, B’ là: 1 (I) I� (-1; 2) bán kính R’ = R = Vậy: (C’): (x + 1)2 + (y – 2)2 = 2 ) Từ (C), ta có: tâm I(3; -2) bán kính R = b) Gọi V(O,4) (C) (C� Khi đó: V(O,4) (I) I� (12; -8) bán kính R’ = R = 16 Vậy: (C’): (x – 12)2 + (y + 8)2 = 256 Bài 6: Cho tam giác ABC Tìm ảnh B, C qua phép vị tự tâm A, tỉ số k, biết: Khi đó: V (O, ) a) k = 2 V (C) E c) k = b) k = M uuur uuur uuur uuur V (B) D B Giải: a) Dựng AD AB , AE AC � (A ,21) (A ,2) D uuur uuuu r uuur uuur b) Dựng AM 2AB , AN 2AC A P C E � V(A ,2) (B) M V(A ,2) (C) N Q uuur r uuur uuu uuur V (B) Q V (C) P c) Dựng AQ AB , AP AC � (A , 23) (A , 23) 3 Bài 7: Cho hình bình hành ABCD (theo chiều âm) có tâm O Tìm ảnh hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = uuuu r uuur A' B' Giải: a) Dựng OA � 2OA � V(O,2) (A) A � A uuur uuur u u u u r u u u r ; OC� B OB� 2OB � V(O,2) (B) B� 2OC � V(O,2) (C) C� O uuuu r uuur C D OD� 2OD � V(O,2) (D) D� D' C' Vậy: A’B’C’D’ ảnh hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) A(-3; 5), tỉ số k = -3 b) B(4; -1), tỉ số k = c) C(-1; 3), tỉ số k = d) D(-2; -8), tỉ số k = e) E(3; 9), k = f) F(3; -7), tỉ số k = 3 ĐS: a) A’(9; -15) b) B’(8; -2) c) C’(-4; 12) d) D’(1; 4) e) E’(2; 6) f) F’(1; ) Bài 2: Tìm tọa độ điểm E cho F ảnh E qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 1 a) F(-2; 8), tỉ số k = b) F(3; -2), tỉ số k = c) F(5; 1), tỉ số k = ĐS: a) E(-1; 4) b) E(6; -4) c) F(-20; -4) Bài 3: Tìm ảnh đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) d: 5x – 2y + = 0, tỉ số k = b) d: 3x + y – = 0, tỉ số k = -2 c) d: 4x – y = 0, tỉ số k d) d: x + 3y – = 0, tỉ số k = 3 ’ ’ ’ ĐS: a) d : 5x – 2y + = b) d : 3x + y + = c) d : 4x – y = d) d’: 3x + 9y + = Bài 4: Tìm ảnh đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) (C): (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4, tỉ số k = -3 b) (C): x2 + y2 – 2x + 6y – = 0, tỉ số k = 1 c) (C): (x + 2)2 + (y – 8)2 = 9, tỉ số k = d) (C): x2 + y2 + 6x – 18y + = 0, tỉ số k = ’ 2 ’ 2 ĐS: a) (C ): (x + 9) + (y – 3) = b) (C ): (x – 4) + (y + 12) = 12 c) (C’): (x + 1)2 + (y – 4)2 = d) (C’): (x – 1)2 + (y + 3)2 = 87 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A, G trọng tâm tam giác Tìm ảnh tam giác ABC qua phép vị tự: a) Tâm G, tỉ số k = b) Tâm G, tỉ số k = c) Tâm A, tỉ số k = -2 Bài 6: Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác Gọi D, E, F theo thứ tự trung điểm cạnh BC, CA, AB Xác định ảnh tam giác ABC qua phép vị tự tâm G, tỉ số k = 10 N ... số k biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) Viết: V(O,k) (C) (C� G i I, R I , R’ tâm bán kính đường tròn (C) (C’) Khi đó: V(O,k) (I) I �và R’ = k R B i tập mẫu: B i 1: Tìm ảnh i m sau... tròn ngo i tiếp tam giác ABC Tìm phép quay biến ABC thành B i 13: Cho hình vng ABCD tâm O Tìm phép quay biến hình vng ABCD thành B i 14: Cho ABC Về phía ng i tam giác, dựng ba tam giác BCA1,... B i 14: Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương, O tâm đường tròn ngo i tiếp I trung i m AB F Q a) Tìm ảnh AIF qua phép quay (O,120 ) A E b) Tìm ảnh AOF qua phép quay Q(E,60 ) 0 Gi i: