HƯỚNGDẪNƠNTẬPCHƯƠNGI – HÌNH 10 (CHUẨN) I VECTƠ: * Những kiến thức cần nhớ: Vectơ: đoạn thẳng rõ điểm mút điểm đầu điểm mút điểm cuối r Vectơ – khơng: Kí hiệu: r uuur uuu r uur r + Vectơ phương với vectơ + AA = BB = = PP = Hai vectơ phương: hai vectơ nằm đường thẳng hay hai đường thẳng song song Hai vectơ nhau: hai vectơ hướng có độ dài Haiuuvectơ đối nhau: hai ngược ur uuuvectơ r uuur hướng uuu r có độ dài VD: AB có vectơ vectơ BA Viết : AB = – BA r uuur uuur r Chú ý: Tổng vectơ đối 0, tức là: AB + BA = Phép cộng: Quy tắc điểm (hay quy tắc tam giác): uuur uuur uuur Ba điểm A, B, C ⇔ AB + BC = AC uuur uuur uuur A Quy tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành ⇔ AB + AD = AC uuur uuur uuu r Phép trừ: Ba điểm A, B, C ⇔ AB − AC = CB uur uur r D + I trung điểm AB ⇔ IA + IB = C uuuu r uuur uuu r + I trung điểm AB với điểm M ⇔ MA + MB = 2MI uuur uuur uuur r 10 + G trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = uuuu r uuur uuuu r uuuu r + G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ⇔ MA + MB + MC = 3MG r r r r r r 11 + Nếu hai vectơ a b ( b ≠ ) phương a = k b với k r r r r r + Nếu vectơ a b khơng phương x = + kb uuur uuur 11 Ba điểm A , B, C phân biệt thẳng hàng ⇔ AB = kAC với k ≠ * P: Chứng minh đẳng thức vectơ: P = Q Cách 1: VT = P = … (vận dụng tính chất học) …= Q = VP (đpcm) Cách 2:VP = Q = … ( vận dụng tính chất học) …= P = VT (đpcm) Cách 3: VT = P = …… ( vận dụng tính chất học) …= M VP = Q = …… ( vận dụng tính chất học) …= M Suy ra: P = Q (đpcm) r Cách 4: P – Q = ….( vận dụng tính chất học)… = Suy ra: P = Q (đpcm) * Bài tập mẫu: uuur uuur uuur uuu r Bài 1: Cho điểm A, B, C, D bất kì, chứng minh rằng: AB + CD = AD + CB uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur Giải: Cách 1: VT = AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB + DB + BD uuur uuu r uuur uuur uuu r r uuur uuu r = AD + CB + DD = AD + CB + = AD + CB = VP (đpcm) uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r Cách 2: Ta có: AB + CD − (AD + CB) = AB + CD − AD − CB uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur r = (AB − AD) + (CD − CB) = DB + BD = DD = uuur uuur uuur uuu r Suy ra: AB + CD = AD + CB (đpcm) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Cách 3: VT = AB + CD = OB − OA + OD − OC = OD − OA + OB − OC uuur uuu r = AD + CB = VP(đpcm) Bài Cho ABCD điểm M tùy ý Chứng minh rằng: A uuuu r2: u uuu r hình uuurbình uuuhành u r MA + MC = MB +uMD uuu r uuuu r uuur uuur uuuu r uuur Giải: Ta có: VT = MA + MC = MB + BA + MD + DC D uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r r uuur uuur C = MB + MD + BA + DC = MB + MD + ( BA DC đối nhau) B B uuur uuuu r = MB + MD = VP (đpcm) Bài 3: Cho M trung uuur điểm uuu r củauAB uur điểm E Chứng minh rằng: EA + EB = 2EM uuur uuur uuuu r EM = EA + AM r uuuu r Giải: Ta có: uuur uuu EM = EB + BM uuur uuur uuu r uuuu r uuuu r uuur uuu r r uuur uuu r Suy ra: 2EM = EA + EB + (AM + BM) = EA + EB + = EA + EB (đpcm) uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur Bài 4: Cho điểm A, B, C, D, E F Chứng minh rằng: AD + BE + CF = AE + BF + CD uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uur uuur uuu r Giải: * Cách 1: VT = AD + BE + CF = AE + ED + BF + FE + CD + DF uuur uuu r uuur uuur uuu r uur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur = AE + BF + CD + (ED + DF + FE) = AE + BF + CD + EE = AE + BF + CD = VP (đpcm) uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur * Cách 2: AD + BE + CF − (AE + BF + CD) = AD + BE + CF − AE − BF − CD uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuur r r uuur uur uuu r uuur uuu r uur uuu = (AD − AE) + (BE − BF) + (CF − CD) = ED + FE + DF = ED + DF + FE = EE = uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur Suy ra: AD + BE + CF = AE + BF + CD (đpcm) uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r * Cách 3: AD + BE + CF = AE + BF + CD ⇔ AD − AE + CF − CD = BF − BE uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r ⇔ ED + DF = EF ⇔ EF = EF Vậy: AD + BE + CF = AE + BF + CD (đpcm) uuuu r uuuu r uuur Bài 5: Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm M thỏa mãn điều kiện: MA + MC = MB uuuu r uuuu r uuur A M Giải: Dựng hình bình hành ABCM, ta có: MA + MC = MB Vậy: Điểm M cần tìm đỉnh thứ tư hình bình hành ABCD Bài 6: Cho hình u bình uuu r hành uuur ABCD uuur uXác uur định M cho: B C 4AM = AB + AC + AD uuur uuur uuur uuur uuur uuur A B Giải: Ta có: AB + AC + AD = (AB + AD) + AC uuur uuur uuur = AC + AC = 2AC uuuu r uuur D uuuu r uuur C ⇔ AM = AC Vậy: M∈ AC Suy ra: 4AM = 2AC Khi đó: AM = AC ⇔ MA = MC Vậy: M trung điểm AC Bài 7: Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi I trung điểm đoạn AG K điểm cạnh AB cho AK = AB A r uuur r uuu r uur uu5 ur uur uuur a) Hãy phân tích AI , AK , CI , CK theo a = CA , b = CB K b) Chứng minh rằng: Ba điểm C, I, K thẳng hàng I a Giải: a) Gọi AD trung tuyến ∆ ABC G uur uuur uuur uuur * Ta có: AI = AG = ( AD) = AD B C D 2 3 b r uuur uuu r uuur r r uuur uuur 1 uuu = (CD − CA) = ( CB − CA) = CB − CA = b − a 3 6 uuur uuur uuu r uuur r r r r * Ta có: AK = AB = (CB − CA) = (b − a) = b − a 5 5 uur uuur uur r r r r r * Ta có: CI = CA + AI = a + b − a = a + b; 3 uuur uuur uuur r r r r r * Ta có: CK = CA + AK = a + b − a = a + b 5 5 r r uur a + b r r CI 4a + b 5 uur uuur r r = ⇒ CI = CK b) Ta có: uuur = r r = 4a + b 6 CK a + b 5 Vậy: Ba điểm C, I, K thẳng hàng (đpcm) Bài 8: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Cho điểmr D,uE, uurF rlần lượt uuu r trung điểm cạnh BC, CA, AB I giao điểm AD EF Đặt u = AE , v = AF Hãy phân tích vectơ r r uur uuur uuur uuur , , , theo hai vectơ AG DC u v AI DE uuur uuur uuu r Giải: * Ta có: AEDF hình bình hành ⇒ AD = AE + AF uur uuur uuur uuu r r r A Mà: AI = AD = (AE + AF) = (u + v) 2 uuur uuur uuur uuu r r r v u * AG = AD = (AE + AF) = (u + v) I E F 3 uuur 3uuu r r r G * DE = − AF = −v + 0.u uuur uur uuur uuu r r r * DC = FE = AE − AF = u − v C B D * Bài tập tự luyện: uuur uuur uuur uuur Bài 1: Chứng minh rằng: AB = CD AC = BD Bàiuu2: kì u r Cho uuu r4 điểm uuuu r bất uuu u r M, N, P, Q uuu rChứng uuuu rminh uuu rcácuuđẳng uu r thức sau: uuuu r uuu r uuuu r uuu r a) PQ + NP + MN = MQ b) NP + MN = QP + MQ c) MN + PQ = MQ + PN Bài 3: Cho sáu điểm A, B, uuurC, ,uE, uu r F uChứng uu r uuurminh uuu rrằng: uuur uuu r uuur uuu r AD + BE + CF = AE + BF + CD = AF + BD + CE Bài 4: Gọi M N trunguđiểm thẳng uuu r uuur cácuuđoạn ur uu ur uuAB ur CD Chứng minh rằng: 2MN = AC + BD = AD + BC Bàiuu5: minh rằng: taurluôn ur Chứng uuur u uur u uur Với r tứ giác ABCD bất uuurkì,uu uuu rcó: uuur a) AB + BC + CD + DA = b) AB − AD = CB − CD Bàiuu6: hành ABCD có tâm O ur Cho uuurhình uuubình r uuurChứng uuur minh uuur rằng: a) CO − OB = BA b) AB − BC = DB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r c) DA − DB = OD − OC d) DA − DB + DC = uuur uuur uuur uuur Bài 7: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2AC Bài 8: Gọi AM trunguu tuyến trung điểm ur uu ur tam uuur giác r ABC D làuu ur uu ur uu ur đoạn uuurAM Chứng minh rằng: a) 2DA + DB + DC = b) 2OA + OB + OC = 4OD , với O điểm tùy ý uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur Bài 9: Cho điểm A, B, C, D E Chứng minh rằng: AC + DE − DC − CE + CB = AB Bài 10: Cho tam giác điểm lần uuurABC uuurCác uuu r uuM, uu r Nuu ur P u uu r lượt trung điểm cạnh AB, AC BC Chứng minh rằng: OA + OB + OC = OM + ON + OP uuur uuur uuur uuur Bài 11: Cho điểm A, B, C, D E Hãy tính tổng: AB + BC + CD + DE uuur uuur uuur uuur uuur Bài 12: Cho ngũ giác ABCDE Chứng minh rằng: AB + BC + CD = AE − DE Bàiuu13: A, ur Cho uuur uđiểm uur u uurB, C, r D Chứng minh uuur rằng: uuur uuur uuur r a) AB + DC + BD + CA = b) AB + CD + BC + DA = uuuu r uuur uuuu r r Bài 14: Co tam giác ABC Tìm điểm M cho: MA + MB + 2MC = HD: Gọi K trung điểm AB M trung điểm CK uuur uuur uuur uuur r Bài 15: Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G cho: GA + GB + GC + GD = HD: Gọi I, K trung điểm AB CD G trung điểm IK Bài 16: Cho tam giác ABC uuuu r uuur uuuu r r uuur uuur uuur r a) Tìm điểm M cho MA − MB + MC = b) Tìm điểm N cho 2NA + NB + NC = Bài Cho uuur 17: u uur tam giác ABC có D trung điểm BC Xác định vị trí điểm G cho AG = 2GD HD: G trọng tâm tam giác ABC uuur uuur Bài 18: Cho AK BM hai trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AB , BC , uuur r uuur r uuuu r theo hai vectơ , CA u = AK v = BM uuur uuur uuur uuur uuuu r HD: * AB = AG + GB = AK − BM 3ur uuur uuur uuur uuuu r uu uuur uuuu r uuur * BC = AC − AB = 2AM − AB = 2(GA + GM) − AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur * CA = − AC = −(AK + KC) = −(AK + BC) Bài M uuur Điểm r uu ur cạnh BC cho MB = 2MC Hãy phân tích vectơ uuuu r19: Cho tam giácr ABC AM theo hai vectơ u = AB , v = AC uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur HD: AM = AB + BM = AB + BC = AB + (AC − AB) 3 r uuur r uuur uuur Bài 20: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đặt a = GA b = GB Hãy biểu thị vectơ AB , uuur uuur uuur r r GC , BC , CA qua vectơ a buuur uuur uuur r Bài 21: Cho điểm OABC cho OA + 2OB − 3OC = Chứng tỏ A, B, C thẳng hàng Bài 22: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK = AC uuur uur r uuur r uuur a) Hãy phân tích vectơ BK , BI theo hai vectơ u = BA , v = BC b) Chứng minh rằng: điểm B, I, K thẳng hàng ’ Bài uuu23: u r Chứng uuuu r uminh uur urằng uur G G trọng tâm tam giác ABC tam giác A’B’C’ 3GG′ = AA ′ + BB′ + CC′ Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm trùng Bài 24: Cho lục giác ABCDEF Gọi P, Q, R, S, T, U trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác PRT QSU có trọng tâm trùng II HỆ TRỤC TỌA ĐỘ: A Trục độ dài trục: * Những kiến cần r thức uuu u r nhớ: r M ∈ (O; e ) ⇔ OM = ke ; k gọi tọa độ điểm M r uuur r uuur A, B ∈ (O; e ) ⇔ AB = AB.e; AB : gọi độ dài đại số vectơ AB AB = b − a; a, b tọa độ điểm A B * Bài tập mẫu: uuur Bài 1: Cho điểm A, B, M, N có tọa độ -1; 2; 3; -2 Tính độ dài đại số AB , uuuu r uuuu r uuur MN Từ suy hai vectơ AB MN ngược hướng Giải: * AB = b – a = – (-1) = + = 3; MN = n – m = -2 – = -5 uuuu r uuur Suy ra: hai vectơ AB MN ngược hướng * Bài tập tự luyện: uuur Bài 1: Cho điểm A, B, M, N có tọa độ 5; -3; 2; -9 Tính độ dài đại số AB , uuuu r uuuu r uuur Từ suy hai vectơ MN MN hướng AB B Hệ trục tọa độ: * Những kiến thức uuuu rcần nhớ: r r M = (x; y) ⇔ OM = xi + yj , O gốc tọa độ r r r r u = (x; y) ⇔ u = xi + yj r ur Nếu u = (x;y) u′ = (x′;y′) r ur x = x′ 3.1) Nếu u = u′ ⇔ y = y′ r ur 3.2) u ± u′ = (x ± x′; y ± y′) r 3.3) ku = (kx;ky) r ur x = kx′ x y 3.4) u u′ phương ⇔ (hoặc ⇔ = ) x′ y′ y = ky′ Cho uuurba điểm A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC ; yC), ta có: 4.1) AB = (xB − xA ; yB − yA ) x + xB yA + yB ; 4.2) I trung điểm AB ⇔ I A ÷ 2 x + xB + xC yA + yB + yC ; 4.3) G trọng tâm ∆ ABC ⇔ G A ÷ 3 * Bài tập mẫu: Bài 1: Tìm tọa độ vectơ r r mpOxy sau: r r r r r a) a = −i b) b = −3j c) c = −2i + 5j r r r Giải: a) a = (−1;0) b) b = (0; −3) c) c = (−2;5) r r r Bài 2: Cho a = (-3; 2), b = (4; -5) c = (1; 7) r r r r a) Tính tọa độ vectơ u = a + b - c r r r r r b) Tìm tọa độ vectơ x cho x + a = b - c r r r c) Phân tích vectơ b theo hai vectơ a c r r r r Giải: a) Ta có: u = a + b - c = (3.(-3) + 5.4 – 2.1; 3.2 + 5.(-5) – 2.7) = (9; -33) r Cách khác: Ta có : a = (-9; 6) r b = (20; -25) r - c = (-2; -14) r r r r Suy : u = a + b - c = (9; -33) r r r r r r r r b) x + a = b - c ⇔ x = b - c - a = ( 1.(-3) – 3.4 – 2.1; 1.2 – 3.(-5) – 2.7) = (-17; 3) r r r c) Giả sử b = m a + n c = (-3m + n; 2m + 7n) 33 m= − r −3m+ n = 33 r r 23 ⇔ Ta có: Vậy: b = − a − c 23 23 2m+ 7n = −5 n = − 23 r r r Cách khác: Giả sử b = m a + n c r r Ta có: + m a = (-3m; 2m) + n c = (n; 7n) r r Suy ra: m a + n c = (-3m + n; 2m + 7n) 33 m= − r −3m+ n = 33 r r 23 ⇔ Ta có hệ: Vậy: b = − a − c 23 23 2m+ 7n = −5 n = − 23 Bài 3: Cho điểm A(-1; 8), B(1; 6), C(3; 4) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng BC c) Tìm tọa độ điểm D cho uuu r A trung uuurđiểm BD Giải: a) Cách 1: Ta có: AB = (2; −2) , AC = (4; −4) −2 Ta thấy: = Suy ra: ba điểm A, B, C thẳng hàng −4uuur uuur Cách 2: Ta có: AB = (2; −2) , AC = (4; −4) ; uuur uuur Ta thấy: AC = 2AB Vậy: ba điểm A, B, C thẳng hàng xB + xC 1+ = =2 xI = 2 b) I trung điểm BC ⇒ Vậy: I(2; 5) y = yB + yC = + = I 2 xC + xD x = A c) Ta có: A trung điểm CD ⇒ mà A(-1; 8) y = yC + yD A xC + xD = −1 x + xD = −2 x = −2 − xC = −2 − = −5 ⇔ C ⇔ D Nên: Vậy: D(-5; 12) y + y y + y = 16 y = 16 − y = 16 − = 12 C D D C C D =8 Bài 4: Cho điểm A(-1; 3), B(2; 4), C(0; -1) a) Chứng minh điểm A, B, C tạo thành tam giác b) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c) Cho điểm G(3; -2) Tìm tọa độ điểm M để G trọng tâm ∆ ABM d) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD làuuhình uuu r ur bình hành e) Tìm tọa độ điểm E cho CB = −5AE uuur uuur ≠ Giải: a) Ta có: AB = (3;1) , AC = (−2; −5) Ta thấy: −2 −5 Suy ra: ba điểm A, B, C không thẳng hàng Vậy: ba điểm A, B, C tạo thành tam giác xA + xB + xC −1+ + = = xG = 1 3 b) G trọng tâm tam giác ABC ⇒ Vậy: G ;2÷ 3 y = yA + yB + yC = 3+ − = G 3 xA + xB + xM xG = c) G trọng tâm tam giác ABM ⇒ mà G(3; -2) y = yA + yB + yM G xA + xB + xM =3 x + xB + xM = ⇔ A ⇔ Nên: y + y + y y + y + y = − A A B M B M = −2 Vậy: M(8; -13) uuur uuur d) Ta có: ABCD hình bình hành ⇒ AB = DC uuur uuur * AB = (3; 1) * DC = (0 − xD ; −1− xD ) 0 − xD = x = −3 ⇒ D Suy ra: Vậy: D(-3; -2) −1− xD = xD = −2 uuur uuu r e) Ta có: * CB = (2; 5) * AE = (xE + 1;yE − 3) xM = − xA − xB = + 1− = yM = −6 − yA − yB = −6 − 3− = −13 A D B C − uuu r uuur xE = − 5(xE + 1) = − 5xE − = ⇒ ⇒ Mà: CB = −5AE ⇒ Vậy: E − ;2÷ −5(yE − 3) = −5yE + 15 = y = E * Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm tọa độ vectơ mp tọa độ r 1r r r r r r r r r a) a = − j b) b = 5i c) c = 3i − 4j d) d = (j − i) r r r r r r e) e = 0,15i + 1,3j f) j = πi − (cos240 )j r r r Bài 2: Cho a = (2;1) , b = (3;4) , c = (7;2) r r r r r r r r r a) Tìm tọa độ vectơ u = 2a − 3b + c b) Tìm tọa độ vectơ x cho x + 2a = 3b − c r r r c) Phân tích vectơ c theo hai vectơ a b Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A(-3; 4), B(1; 1), C(9, -5) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D cho A trung điểm BD c) Tìm tọa độ điểm E trục Ox cho A, B, E thẳng hàng Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC với A(-4; 1), B(2; 4), C(2, -2) a) Tìm tọa độ trung điểm BC b) Tìm tọa độ điểm D cho C trọng tâm tam giác ABD c) Tìm tọa độ điểm E cho ABCE hình bình hành Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(-1; 3), B(4; 2), C(3, 5) a) Chứng minh ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng tâm tam uuugiác r ABC uuur c) Tìm tọa độ điểm D cho AD = −3BC d) Tìm tọa độ điểm E cho O trọng tâm tam giác ABE Bài 6: Cho tam giác ABC Các điểm M(1; 1), N(2; 3), P(0; -4) trung điểm cạnh BC, CA, AB Tính tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài 7: Cho tam giác ABC có A(1; -1), B(5; -3) đỉnh C Oy trọng tâm G Ox Tìm tọa độ điểm C Bài 8: Cho A(1; 1), B(3; 2) C(m + 4; 2m + 1) Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng Bàir 9: Tìm x để r cặp vectơ sau phươngr r a) u = (2; 3), v = (4; x) b) a = (x; -3), b = (-2; 2x) ... = HD: G i K trung i m AB M trung i m CK uuur uuur uuur uuur r B i 15: Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí i m G cho: GA + GB + GC + GD = HD: G i I, K trung i m AB CD G trung i m IK B i 16: Cho... trùng B i 24: Cho lục giác ABCDEF G i P, Q, R, S, T, U trung i m cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác PRT QSU có trọng tâm trùng II HỆ TRỤC TỌA ĐỘ: A Trục độ d i trục: * Những kiến... rằng: i m B, I, K thẳng hàng ’ B i uuu23: u r Chứng uuuu r uminh uur urằng uur G G trọng tâm tam giác ABC tam giác A’B’C’ 3GG′ = AA ′ + BB′ + CC′ Từ suy i u kiện cần đủ để hai tam giác ABC