Cđ2 cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chuyên đề CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ A Kiến thức cần nhớ Với x = x +y = a b , y = ( a, b, m Ỵ Z , m > 0) ta có: m m a b a +b a b a- b + = ;x - y = = m m m m m m a c Với x = ; y = ta có: b d a c ac a c a.d x y = = ; x : y = : = (với y ¹ ) b d bd b d b.c Các phép tốn Q có tính chất giao hoán, kết hợp phân phối phép nhân phép cộng tập hợp Z Ngoài quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế tập hợp Z B Một số ví dụ Ví dụ Thực phép tính: a) 18 ổ 1 1ử ỗ - - - ữ ữ ỗ ữ; ỗ ố 3ứ b) -1 1 + + ; 23 Giải Tìm cách giải Khi thực phép tính có phép cộng trừ, ta thực  ngoặc trước, thực từ trái qua phải Tuy nhiên có nhiều dấu (-) ta giảm bớt dấu (-) cách bỏ ngoặc Ngồi dùng tính chất giao hốn kết hợp nhằm giải toán nhanh  Trình bày lời giải ỉ 1 1ư 1 1 12 ỗ - - - ÷ = + + + = + + + = = ; ữ ỗ ữ ỗ ố ø 18 18 18 18 18 18 a) 18 b) -1 1 1 1 ỉ 1 1ư 1 + + = + + + =ỗ + + ÷ + = + = ÷ ç ÷ 23 è2 ø 23 23 ỗ 23 23 Vớ d Thực phép tính ỉ 13 ổ 1ử ữ ỗ : + ữ : ; ữ ữ a) ỗ ỗ ỗ ữ ữ ç ç è2 14 ø è 21 ø ỉ3 5ư - + ÷ : ÷ b) ç ç ÷ ç è 13 ø ỉ1 ữ ỗ : ữ ỗ ữ ç è 13 ø Giải  Tìm cách giải Vì phép chia phép nhân số bị chia với số nghịch đảo số chia nên ta vận dụng tính chất phân phối: a : m + b : m = ( a + b) : m a : m - b : m = ( a - b) : m File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN  Trình bày lời giải ỉ 13 ÷ 10 - + - ữ : = = a) ỗ ỗ ữ ỗ è2 14 21 ø 21 æ3 8ö - + - + ÷ : = =- ( ) ÷ b) ỗ ỗ ữ7 ỗ ố 13 13 ø Ví dụ Tìm x ỉ ửổ - ỗ x- ữ + : xữ ữ ữ b) ỗ ỗ ỗ ữ ữ= ; ỗ ỗ ố9 ứ ứố3 a) - x+ x= ; 65 c) x + x +6 x + x +8 x + + + + + =- ; 2015 2014 2013 2012 2011 d) x + x + x + x + x + 360 + + + + =0 338 337 336 335 Giải  Tìm cách giải Khi tìm x ta vận dụng tính chất sau:  ax + bx = ( a + b) x  ỉ1 1 ÷ k k k k + + ữ = k nờn + + = k.ỗ ç ç èa b c ÷ ø a b c a a  A B = A = B =  Trình bày lời giải a) - x+ x= Û 65 Þ x= ỉ 3ư - 11 - - 11 ỗ + ữ x = ị x = ị x= : ữ ỗ ữ ỗ ố2 ø 65 10 65 65 10 - 143 ổ ổ ửỗ - - ÷ x- ÷ + : x = Û x = + : x = suy ữ ữ b) ỗ hoc ỗ ỗ ữố ữ ỗ9 ỗ3 ố ứ 9ứ 9 - - 12 x = :x= Þ x = x = 9 7 ïì 12 ïü Vậy x ẻ 2; ý ùợù ùỵ ù c) x +5 x +6 x +7 x +8 x +9 +1 + +1 + +1 + +1 + +1 = 2015 2014 2013 2012 2011 Û x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020 + + + + =0 2015 2014 2013 2012 2011 ỉ1 1 1 ÷ Û ( x + 2020) ỗ + + + + ữ ç ÷= ç è2015 2014 2013 2012 2011 ø Vì 1 1 + + + + > nên x + 2020 = 2015 2014 2013 2012 2011 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Þ x =- 2020 d) x +2 x +3 x +4 x +5 x + 360 +1 + +1 + +1 + +1 + - =0 338 337 336 335 Û x + 340 x + 340 x + 340 x + 340 x + 340 + + + + =0 338 337 336 335 æ1 1 1ử ( x + 340) ỗ + + + + ữ ữ ỗ ữ= ỗ ố338 337 336 335 5ø Mà 1 1 + + + + ¹ Suy x =- 340 338 337 336 335 Ví dụ Tìm số nguyên x, y biết: y + = x Giải  Tìm cách giải Đối với dạng toán này, ý ab = k ( a, b ẻ Z , b 0) a Ỵ Ư(k), b Ỵ Ư(k) Do quy đồng mẫu số, chuyển x, y vế, vế lại số nguyên  Trình bày lời giải y y 1- y + = Û = - Û = Û ( 1- y) x = 40 x x x Vì x; y ẻ Z ị - y l c lẻ 40 mà ước lẻ 40 là: 1; 5; -1; -5 nên ta có bảng giá trị: - 2y y Từ suy ( x; y) Î -1 -5 40 -40 -8 {( 40;0) ,( 8;- 2) ,( - 40;1) ,( - 8;3) } Ví dụ Rút gọn biểu thức: 5 + 13 19 a) A = 11 11 11 + 19 5- b) B = 6 + 27 + 101 123 134 ; 11 11 11 11 + 27 101 123 134 1 + 39 51 1 + 52 68 Giải Tìm cách giải Những biểu thức phức tạp, thực theo thứ tự dài dẫn đến sai  lầm Quan sát kĩ, ta thấy có phần giống số dấu ta nên vận dụng tính chất phân phối ỉ1 1 ÷ k k k + + = k ỗ + + ữ rỳt gn ỗ ữ ç èa b c ø a b c  Trình bày lời giải File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 5 + 13 19 a) Ta có: A = 11 11 11 + 19 5- æ 1 5ỗ 1+ ỗ ỗ ố 13 19 = ổ 1 11ỗ 1- + ỗ ỗ ố 19 ị A= 6 + 27 + 101 123 134 11 11 11 11 + 27 101 123 134 ổ1 1ử 1 ữ ữ ỗ + ữ ữ ỗ ữ ố ữ ỗ101 123 134 ứ 27 ø + ỉ1 1ư 1 ÷ ÷ 11ỗ + ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố101 123 134 ø 27 ø + =1 11 11 B = b) Ta có: 1ỉ 1 ỗ + ỗ ỗ 39 51 = ố2 1 1ổ ỗ1 + ỗ 52 68 ỗ ố2 1ử + ữ ữ ữ 1 13 17 ø = : = 1ö + ÷ ÷ ÷ 13 17 ø Ví dụ Cho 2021 số nguyên dương a1; a2 ; a2021 thỏa mãn: 1 + + + = 1011 Chứng minh tồn số 2021 số nguyên dương cho a1 a2 a2021 Giải Tìm cách giải Dạng tốn khơng cụ thể tường minh hai giá trị nào,  mà cần tồn hai số số cho mà Đối với dạng tốn thơng thường dùng phương pháp phản chứng:  Bước Phủ định kết luận Tức giả sử khơng có hai số ngun dương  Bước Lập luận logic, chứng tỏ mâu thuẫn với đề cho điều hiển nhiên  Bước Chứng tỏ giả sử sai Vậy kết luận đề  Trình bày lời giải Giả sử 2021 số ngun dương a1; a2 ; a2021 thỏa mãn: khơng có hai số Khi 1 1 1 + + + £ + + + a1 a2 a2021 2021 1 1 ; b) ( x - 4) ( - x ) > Giải  Tìm cách giải Đối với dạng tốn ý kiến thức sau:  A B > Û A B dấu  A B < Û A B khác dấu  Trình bày lời giải a) ( x - 1) ( x - 2) > Û x - x - dấu mà x - < x - nên suy ra: x - > x - < Û x > x x b) x - - 3x dấu, nên ta có trường hợp sau:  ïì x - > Û Trường hợp 1: ïí ïỵï - x > File word: Zalo_0946 513 000 ïìï x > Û í ïỵï x > ïìï x > ; í ïỵï x < -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  ïì x - < Û Trường hợp 2: ïí ïỵï - x < ïìï x < Û í ïỵï x > ïìï x < loại í ïỵï x > Vậy với < x < ( x - 4) ( - x ) >  Nhận xét Ngoài cách giải câu b, lập luận theo cách sau: ( x - 4) ( - 3x ) > Û - ( x - 2) ( x - 3) > Û ( x - 2) ( x - 3) < Û x - x - khác dấu Mà x - < x - nên suy ra: x - > x - < Û x > x < Vậy với < x < ( x - 4) ( - x ) > Ví dụ Chứng tỏ rằng: 1- 1 1 1 1 + - + + = + + + + 199 200 101 102 199 200 Giải Xét vế trái, ta có: - 1 1 + - + + 199 200 æ 1 1 1 1 ÷ = + + + + + + - 2ỗ + + + ữ ỗ ữ ỗ ố2 4 199 200 200 ø 1 1 1 = + + + + + + - 1- - 199 200 100 = 1 1 + + + + 101 102 199 200 Vế trái vế phải; Điều phải chứng minh  Nhận xét Nếu vận dụng so sánh số hữu tỷ, ta có: = 1 1 1 1 + + + + > + + + = Từ bạn giải toán sau: 101 102 199 200 200 200 200 Chứng tỏ rằng: 1- 1 1 1 + - + + > 199 200 C Bài tập vận dụng 2.1 Viết số hữu tỉ - 14 thành: 45 a) tích hai số hữu tỉ theo sáu cách khác b) thương hai số hữu tỉ theo sáu cách khác 2.2 Thực phép tính (tính nhanh có th) ổ 2ử ổ 5ử ỗ 5+ - ữ 2 + ữ ữ ữ a) ỗ ç ç ÷è ÷ç ç 23 è 9ø 35 ø File word: Zalo_0946 513 000 ỉ 1ư ữ ỗ 8+ ữ ỗ ữ; ỗ 18 ứ è -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN b) ỉ 3ư 1 - - ỗ - ữ + - + ; ữ ỗ ữ ố ứ 64 36 15 ỗ c) - ổ 5ữ 13 ổ ữ ỗ ỗ + + + + ữ ữ ỗ ỗ ữ 14 ỗ 67 ữ ỗ 6ứ ố ứ 30 è d) ỉ ỉ - 1ữ - 1ữ ỗ :ỗ - ữ + : ữ ; ỗ ỗ ỗ3 ố15 ữ ứ ố ứ ỗ 15 ữ e) 5ổ 18 - ỗ - ữ ữ ỗ ữ- 13 ố 13 ứ 13 9 ỗ ổ 2ử ỗ - ữ ữ ỗ ữ; ỗ 5ứ ố 2.3 Thc hin cỏc phép tính sau: é- 54 a) D = ê ê ở64 ổ 8ử - 1ự - 81 ỗ ỳ : ữ : ữ ỗ ữ ỳ: 128 ; ç9 27 ø è û é193 ỉ2 11 ù éỉ 11 1931 ù ÷ ÷ ç + ú: êç + + ú ÷ ÷ b) E = ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 2ú ë- 17 è193 386 ø 34 ú ûê ëè1931 3862 ø 25 û ỉ3 ỉ3 ỗ - + ữ : - + ữ ữ ữ 2.4 Rỳt gn: A = ỗ ỗ ỗ ữố ữ ỗ ỗ2 12 ứ ố2 10 ø (Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013) 2.5 Tìm x, biết: a) + x =; 13 ỉ - 2,5 + x÷ ÷ c) ( x - 9) ỗ ỗ ữ= ; ç è ø ỉ 5ư ç x- ÷ = ; ữ ỗ ữ ỗ ố 6ứ b) d) x + x + x + x +8 + = + 2015 2014 2013 2012 2.6 Tính: P =1+ 1 1 ( + 2) + ( + + 3) + ( + + + 4) + + ( + + + +16) 16 2.7 Tìm giá trị nguyên dương x y , cho: 1 + = x y 2.8 Tìm số nguyên x, y biết: a) 1 y = + ; x b) x 1 - = ; y c) x - = y 2.9 Tính tổng M = x + y + z , biết: 19 19 19 7x 7y 7z 133 + + = + + = x + y y + z z + x y + z z + x x + y 10 1 2.10 Tìm số hữu tỉ x, y, z thỏa mãn: x + y = ; y + z = ; z + x = 2.11 Cho biểu thức A = 1 1 + + + + Chứng minh rằng: 1.2 3.4 5.6 99.100 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN a) A = 1 1 + + + + + ; 51 52 53 99 100 b) Þ < y £ 10 Þ y Î { 6;7;8;9;10} x y y + Với y = Þ 1 1 1 + = Þ = - = Þ x = 30 x x 30 + Với y = Þ 1 1 1 + = Þ = - = loại x x 35 + Với y = Þ 1 1 1 + = Þ = - = loại x x 40 + Với y = Þ 1 1 1 + = Þ = - = loại x x 45 + Với y = 10 Þ 1 1 1 + = Þ = Þ x = 10 x 10 x 10 Vậy cặp ( x; y) ( 30;6) ;( 6;30) ;( 10;10) 2.8 a) 1 +2y = Û x ( + y) = x vỡ x; y ẻ Z ị + y ước lẻ mà ước lẻ là: 1; 3; -1; -3 nên ta có bảng giá trị + 2y x Từ suy ( x; y) Ỵ b) -1 -3 -6 -2 {( 6;0) ,( 2;1) ,( - 6;- 1) ,( - 2;- 2) } x 1 x 1 x- - = Û - = Û = Û ( x - 3) y = 6 y y y Þ x - y ước 6, mà Ư(6) = { 1;2;3;6;- 1;- 2;- 3;- 6} Từ ta có bảng sau: x- y Từ suy ( x; y) Ỵ c) -1 -2 -3 -6 -6 -3 -2 -1 {( 4;6) ,( 5;3) ,( 6;2) ,( 9;1) ,( 2;- 6) , ( 1;- 3) , ( 0;- 2) , ( - 3;- 1) } x x- - = Û = Û ( x - 3) y = 4 y y Þ x - y ước 4, mà Ư(4) = {1;2;4;- 1;- 2;- 4} nên ta có bảng giá trị: x- y Từ suy ( x; y) Ỵ -1 -2 -4 -4 -2 -1 {( 4;4) ,( 5;2) ,( 7;1) ,( 2;- 4) ,( 1;- 2) , ( - 1;- 1) } 2.9 Từ đề suy ra: 1 133 17 + + = :19 = x + y y +z z + x 10 10 File word: Zalo_0946 513 000 11 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Từ đề bài, ta có: x y z 133 + + = :7 y + z z + x x + y 10 Þ x y z 19 + + = y + z z + x x + y 10 Þ x y z 19 +1 + +1 + +1 = + y +z z+x x +y 10 Þ x + y + z x + y + z x + y + z 49 + + = y +z z+x x +y 10 ỉ1 1 49 ữ ị ( x + y + z) ỗ + + = ữ ỗ ữ ỗ ốy + z z + x x + y ø 10 ( x + y + z) 49 = Þ x + y + z = hay M = 10 10 2.10 Ta có: ( x + y ) +( y + z ) + ( z + x ) = + + Û ( x + y + z ) = Û x + y + z = Suy ra: 1 1 1 + z = Þ z = mà: y + z = Þ y = ; z + x = Þ x = 2 3 6 æ 1 ö ; ;0÷ ÷ Vậy ( x; y; z) = ç ç ÷ ç6 ø è 2.11 a) Xét biểu thức ta có: A= 1 1 1 1 1 + + + + = 1- + - + - + + 1.2 3.4 5.6 99.100 99 100 æ 1 1 1 1 ÷ = + + + + + + + - 2ỗ + + + ữ ç ÷ ç è2 4 100 100 ø 1 1 1 1 = + + + + + + + - 1- - 100 50 = 1 1 + + + + 51 52 53 100 Vế trái vế phải Điều phải chứng minh b) Ta có:      1 1 1   1                  51 52 53 100  50 50   50    75 75   75   25 ph©n sè 25 ph©n sè     Hay A < 25 25 1 5 + = + = Þ A< (1) 50 75 6 File word: Zalo_0946 513 000 12 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN ỉ ỉ ÷ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 1 1 1 1 1 ữ ữ ỗ ç ÷ + + + + > ç + + + ữ + + + + ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ 51 52 53 100 ỗ 75 75 75 100 100 100 ỗ14444444244444443ữ ỗ ữ 44444444 244444444 ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ø 25 ph©n sè 25 ph©n sè Hay A > 25 25 1 7 + = + = Þ A> 75 100 12 12 Từ (1) (2), suy ra: (2) < A < Điều phải chứng minh 12 2.12 Đặt 100 số hữu tỉ a1; a2 ; a3 ; ; a100 a) Theo đề ta có: a1.a2 a3 < Þ ba số a1; a2 ; a3 tồn số âm Giả sử a1 < Xét a1; a2 ; a3 ; ; a100 = a1 ( a2 a3 a4 ) ( a5 a6 a7 ) ( a98 a99 a100 ) Ta có: a1 < theo đề bài: a2 a3a4 < 0; a5a6 a7 < 0; ; a98a99a100 < (có 33 nhóm) nên a1 ( a2 a3.a4 ) ( a5.a6 a7 ) ( a98 a99 a100 ) > b) Theo đề ta có a2 a3a4 < Þ ba số a2 ; a3 ; a4 tồn số âm Giả sử a2 < Xét a1.a2 a3 < mà a1a2 > nên a3 < Xét a1.a2 ak < với k = 4,100 mà a1a2 > Þ ak < Vậy tất 100 số số âm 2.13 Ta có: a1 +( a2 + a3 + a4 ) + +( a11 + a12 + a13 ) + a14 +( a15 + a16 + a17 ) +( a18 + a19 + a20 ) < Mà a1 > 0; a2 + a3 + a4 > 0; ; a11 + a12 + a13 > 0; a15 + a16 + a17 > 0; a18 + a19 + a20 > Þ a14 < Cũng vậy: ( a1 + a2 + a3 ) + +( a10 + a11 + a12 ) +( a13 + a14 ) +( a15 + a16 + a17 ) +( a18 + a19 + a20 ) < Þ a13 + a14 < Mặt khác a12 + a13 + a14 > Þ a12 > Từ điều kiện a1 > 0; a12 > 0; a14 < Þ a1.a14 + a14 a12 < a1.a12 (điều phải chứng minh) 1 2.14 Đặt C = 1011 A = + + + + ; 2019 1 1 D = 1010 B = + + + + 2020 1 1 1 1 = + + + + + Ta có C > + + + + + 2020 2 2020 Þ C > + D (1) File word: Zalo_0946 513 000 13 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 1 1 1 1010 < + + + + = Mặt khác D = + + + 2020 2 2 D < 1010 (2) Từ (1) (2) Þ C > D 1011 D C D +D = Þ > hay A > B 1010 1010 1011 1010 2.15 Giả sử 100 số nguyên dương a1; a2 ; ; a100 thỏa mãn: Khơng có hai số Khi 1 1 1 + + + £ + + + a1 a2 a100 100 1 1 99 101