Chuyên đề 2 cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

Chuyên đề CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ A Kiến thức cần nhớ Với ta có: Với ta có: (với ) Các phép tốn Q có tính chất giao hoán, kết hợp phân phối phép nhân phép cộng tập hợp Z Ngoài quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế tập hợp Z B Một số ví dụ Ví dụ Thực phép tính: a) ; b) ; Giải  Tìm cách giải Khi thực phép tính có phép cộng trừ, ta thực ngoặc trước, thực từ trái qua phải Tuy nhiên có nhiều dấu (-) ta giảm bớt dấu (-) cách bỏ ngoặc Ngồi dùng tính chất giao hốn kết hợp nhằm giải tốn nhanh  Trình bày lời giải a) b) Ví dụ Thực phép tính a) ; b) Giải  Tìm cách giải Vì phép chia phép nhân số bị chia với số nghịch đảo số chia nên ta vận dụng tính chất phân phối:  Trình bày lời giải a) b) Ví dụ Tìm x a) ; b) ; c) ; d) Giải  Tìm cách giải Khi tìm x ta vận dụng tính chất sau:   nên   Trình bày lời giải a) b) suy Vậy c) Vì nên d) Mà Suy Ví dụ Tìm số nguyên x, y biết: Giải  Tìm cách giải Đối với dạng tốn này, ý Ư(k), Ư(k) Do quy đồng mẫu số, chuyển x, y vế, vế lại số nguyên  Trình bày lời giải Vì ước lẻ 40 mà ước lẻ 40 là: 1; 5; -1; -5 nên ta có bảng giá trị: -1 -5 y 40 -40 -8 Từ suy Ví dụ Rút gọn biểu thức: a) ; b) Giải  Tìm cách giải Những biểu thức phức tạp, thực theo thứ tự dài dẫn đến sai lầm Quan sát kĩ, ta thấy có phần giống số dấu ta nên vận dụng tính chất phân phối để rút gọn  Trình bày lời giải a) Ta có: b) Ta có: thỏa mãn: Ví dụ Cho 2021 số nguyên dương Chứng minh tồn số 2021 số nguyên dương cho Giải  Tìm cách giải Dạng tốn khơng cụ thể tường minh hai giá trị nào, mà cần tồn hai số số cho mà thơi Đối với dạng tốn thông thường dùng phương pháp phản chứng:  Bước Phủ định kết luận Tức giả sử khơng có hai số ngun dương  Bước Lập luận logic, chứng tỏ mâu thuẫn với đề cho điều hiển nhiên  Bước Chứng tỏ giả sử sai Vậy kết luận đề  Trình bày lời giải Giả sử 2021 số nguyên dương thỏa mãn: khơng có hai số Khi mâu thuẫn với đề Vậy có số 2021 số nguyên dương cho  Nhận xét Trong lời giải toán trên, sau giả sử 2021 số nguyên dương khác so sánh chúng với 2021 số nguyên dương nhỏ Từ nhận thấy 2021 số nguyên dương nhỏ không thỏa mãn đầu Suy 2021 số khơng thỏa mãn đề dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết Ví dụ Cho Tính giá trị: Giải  Tìm cách giải Với điều kiện đề bài, tính giá trị a, b, c Do cần biến đổi S nhằm xuất a + b + c Quan sát kỹ thấy phần kết luận , phân số có tổng tử mẫu Do cộng phân số với 1, có lời giải sau:  Trình bày lời giải Ta có Ví dụ Tìm x, biết: a) ; b) Giải  Tìm cách giải Đối với dạng toán ý kiến thức sau:  B dấu  B khác dấu  Trình bày lời giải a) dấu mà nên suy ra: Vậy với b) dấu, nên ta có trường hợp sau:  Trường hợp 1: ;  Trường hợp 2: loại Vậy với  Nhận xét Ngoài cách giải câu b, lập luận theo cách sau: khác dấu Mà nên suy ra: Vậy với Ví dụ Chứng tỏ rằng: Giải Xét vế trái, ta có: Vế trái vế phải; Điều phải chứng minh  Nhận xét Nếu vận dụng so sánh số hữu tỷ, ta có: Từ bạn giải tốn sau: Chứng tỏ rằng: C Bài tập vận dụng 2.1 Viết số hữu tỉ thành: a) tích hai số hữu tỉ theo sáu cách khác b) thương hai số hữu tỉ theo sáu cách khác 2.2 Thực phép tính (tính nhanh có thể) a) ; b) ; c) ; d) ; e) 2.3 Thực phép tính sau: a) ; b) 2.4 Rút gọn: (Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013) 2.5 Tìm x, biết: a) ; b) ; c) ; d) 2.6 Tính: 2.7 Tìm giá trị ngun dương x , cho: 2.8 Tìm số nguyên biết: a) ; b) ; c) 2.9 Tính tổng , biết: 2.10 Tìm số hữu tỉ thỏa mãn: 2.11 Cho biểu thức Chứng minh rằng: a) ; b) 2.12 Cho 100 số hữu tỉ, tích số số âm Chứng minh rằng: a) Tích 100 số số dương b) Tất 100 số số âm 2.13 Cho 20 số nguyên khác 0: có tính chất sau: + số dương + Tổng ba số viết liền số dương + Tổng 20 số số âm Chứng minh rằng: 2.14 Đặt So sánh A B 2.15 Cho 100 số tự nhiên thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ Chứng minh hai 100 số tự nhiên (Thi học sinh giỏi toán 7, huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc 2012 - 2013) 2.16 Cho ba số a, b, c thỏa mãn: c HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 2.1 a) b) c) d) 2.2 a) b) c) d) e) 2.3 a) b) 2.4 2.5 a) b) c) suy Vậy d) Mà nên hay 2.6 Theo cơng thức: Suy ra: 2.7 Vì có vai trị nhau, khơng giảm tính tổng qt, giả sử Mặt khác + Với + Với loại + Với loại + Với loại + Với Vậy cặp 2.8 a) ước lẻ mà ước lẻ là: 1; 3; -1; -3 nên ta có bảng giá trị -1 -3 x 62 -6 -2 Từ suy b) y ước 6, mà Ư(6) Từ ta có bảng sau: -1 -2 -3 -6 y -6 -3 -2 -1 Từ suy c) y ước 4, mà Ư(4) nên ta có bảng giá trị: -1 -2 -4 y -4 -2 -1 Từ suy 2.9 Từ đề suy ra: Từ đề bài, ta có: hay 2.10 Ta có: Suy ra: mà: Vậy 2.11 a) Xét biểu thức ta có: Vế trái vế phải Điều phải chứng minh b) Ta có: Hay (1) Hay (2) Từ (1) (2), suy ra: Điều phải chứng minh 2.12 Đặt 100 số hữu tỉ a) Theo đề ta có: ba số tồn số âm Giả sử Xét theo đề bài: Ta có: (có 33 nhóm) nên b) Theo đề ta có ba số tồn số âm Giả sử Xét mà nên Xét với mà Vậy tất 100 số số âm 2.13 Ta có: Mà Cũng vậy: Mặt khác (điều phải chứng minh) Từ điều kiện 2.14 Đặt ; Ta có hay (1) thỏa mãn: Khơng có hai số Mặt khác (2) Từ (1) (2) 2.15 Giả sử 100 số nguyên dương Khi mâu thuẫn với giả thiết Vậy có số 100 số nguyên dương cho 2.16 Vì nên (vì ) hay Vậy giá trị nhỏ c là: