Bài 3 góc nội tiếp

CHƯƠNG GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN ÀI GĨC NỘI TIẾP Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa góc nội tiếp + Nắm mối quan hệ góc nội tiếp cung bị chắn + Phát biểu chứng minh định lí số đo góc cung bị chắn + Nắm hệ định lí góc nội tiếp qua toán chứng minh  Kĩ + Nhận biết góc nội tiếp, cung bị chắn + Tính số đo góc biết số đo cung ngược lại + Hiểu cách chứng minh định lí mối liên hệ góc nội tiếp cung bị chắn + Vận dụng kiến thức vào giải tập Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Ví dụ: tạo hai cạnh hai dây KA - Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường KB đường tròn tâm O tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường chắn cung AB trịn - Cung nằm bên góc nội tiếp gọi cung bị chắn Định lí sđ - Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Hệ Ví dụ: sđ sđ - Trong đường trịn +) Các góc nội tiếp chắn cung +) Các góc nội tiếp chắn cung Ví dụ: (cùng chắn ) chắn cung Chú ý: Tránh nhầm lẫn góc chắn cung lớn cung nhỏ AB +) Góc nội tiếp (nhỏ ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn Ví dụ: cung Trang +) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng Cịn gọi góc nội tiếp chắn nửa đường Ví dụ: (góc nội tiếp chắn đường kính AB) trịn Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Định nghĩa - Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung đường tròn - Cung nằm bên góc nội tiếp gọi cung bị chắn GĨC NỘI TIẾP Các góc nội tiếp chắn cung Các góc nội tiếp Định lý chắn Trong đường tròn, số đo cung chắn cung góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng, cịn gọi góc nội tiếp chắn nửa đường trịn Góc nội tiếp (nhỏ ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh hai góc nhau, đoạn thẳng nhau, tam giác đồng dạng Ví dụ mẫu Ví dụ Cho điểm I nằm ngồi đường trịn Từ điểm I kẻ hai dây cung AB CD (A nằm I B, C nằm I D) Chứng minh Hướng dẫn giải Ta có sđ sđ (góc nội tiếp chắn cung (góc nội tiếp chắn cung ); ) Xét tam giác IBC tam giác IDA có Do chung; (g.g) (chứng minh trên) (điều phải chứng minh) Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AM Hạ AK vng góc với BC a) Tính b) Gọi N giao điểm AK với đường tròn Tứ giác BCMN hình gì? Vì sao? Hướng dẫn giải Trang a) Ta có góc nội tiếp chắn nửa đường trịn b) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) (cùng vng góc với AN) hình thang sđ sđ sđ sđ (Vì ; ) hình thang cân Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho tam giác nhọn ABC có Vẽ đường trịn đường kính AC có tâm O, đường tròn cắt BA BC D E a) Chứng minh b) Gọi H giao điểm CD AE Chứng minh đường trung trực đoạn HE qua trung điểm I BH c) Chứng minh Câu Cho nửa đường trịn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đưởng tròn Các tia AC AD cắt Bx E, F (F B E) a) Chứng minh tích khơng đổi b) Chứng minh Bài tập nâng cao Câu Cho đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn cho Gọi điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM; vng góc từ S đến AB, a) Chứng minh Gọi K chân đường giao điểm MA SK tam giác cân b) Chứng minh KM tiếp tuyến đường tròn Câu Cho cắt Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn điểm D, E, F, BF I, DI cắt BC M Chứng minh a) Tam giác DEF có ba góc nhọn b) c) Trang Câu Cho đường trịn bán kính R có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O), CM cắt N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường trịn P a) Chứng minh tích khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định nào? Câu a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Theo giả thiết tam giác vuông cân E b) Gọi K trung điểm HE (1) Xét tam giác BHE có I trung điểm HB, K trung điểm HE đường trung bình tam giác Mặt khác E (chứng minh trên) nên K (2) Từ (1) (2) suy IK trung trực HE c) Theo chứng minh đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC (*) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) đường cao hạ từ đỉnh C tam giác ABC (**) Từ (*), (**) H giao điểm CD AE suy H trực tâm tam giác ABC (điều phải chứng minh) Trang Câu a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ; (Bx tiếp tuyến) vng B Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào tam giác ABE, ta có Mà AB đường kính nên Do tích khơng đổi khơng đổi (điều phải chứng minh) b) Xét có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) (vì tổng ba góc tam giác ) (1) Xét có (BF tiếp tuyến) (vì tổng ba góc tam giác ) (2) Từ (1) (2) suy (cùng phụ với ) Câu a) Vì nên đối xứng với M qua AB M thuộc đường tròn thuộc đường trịn sđ sđ (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) (1) Gọi H giao điểm AB Ta có đối xứng M qua AB nên H (cùng vng góc với AB) ; (các cặp góc so le trong) (2) Từ (1) (2) suy Vì nên điểm A, M, S, K nằm đường trịn đường kính SA (hai góc nội tiếp chắn tam giác ) cân K (điều phải chứng minh) Trang b) vuông K, vuông M (cùng phụ với cân K ) (3) (4) cân O (vì ) (5) Từ (3), (4) (5) Mặt khác nên M tiếp tuyến đường tròn M (điều phải chứng minh) Câu a) Vì AD, AF tiếp tuyến đường tròn tâm O nên Chứng minh tương tự ta có ; Suy tam giác DEF có ba góc nhọn (điều phải chứng minh) b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có Mặt khác (giả thiết) c) Vì (chứng minh câu b) nên (hai góc so le trong) Mặt khác (cùng chắn cung Suy Xét ) có (tam giác ABC cân A); (chứng minh trên) Trang Do (g.g) (điều phải chứng minh) Câu a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét có ; chung Do (g.g) Mà ; nên khơng đổi khơng đổi hay tích khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M (điều phải chứng minh) b) Vì nên bốn điểm O, M, N, P thuộc đường trịn đường kính OP (hai góc nội tiếp chắn cung ) Mặt khác Mà nên Xét tam giác NPO tam giác DPO có ; OP chung; Do (chứng minh trên) (c.g.c) ln thuộc đường thẳng cố định vng góc với CD D Vì M di chuyển đoạn thẳng AB P di chuyển song song AB Vậy M di chuyển AB P di chuyển đoạn thẳng cố định Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc, ba điểm thẳng hàng Ví dụ mẫu Trang 10 Ví dụ Cho đường trịn hai dây MA, MB vng góc với Gọi I, K điểm cung nhỏ MA MB, P giao điểm AK BI Chứng minh P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB Hướng dẫn giải Ta có đường kính thẳng hàng Theo giả thiết K điểm cung Mặt khác sđ sđ (góc nội tiếp chắn (góc nội tiếp chắn Suy ); ) tia phân giác (1) Tương tự ta chứng minh BI tia phân giác (2) Từ (1), (2) P giao điểm AK BI suy P tâm đường trịn nội tiếp tam giác MAB Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn , hai đường cao BD CE cắt H Vẽ đường kính AF a) Tứ giác BFCH hình gì? Vì sao? b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh Hướng dẫn giải # Trang 11 a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Mặt khác Suy (1) Chứng minh tương tự ta (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BFCH hình bình hành b) Theo M trung điểm BC Mà tứ giác BFCH hình bình hành (chứng minh câu a) nên M trung điểm thẳng hàng Xét tam giác AHF có M trung điểm HF; O trung điểm AF đường trung bình (điều phải chứng minh) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho , đường kính MN, điểm P thuộc đường trịn Gọi Q điểm đối xứng với M qua P Tam giác MNQ tam giác gì? Vì sao? Câu Cho nửa đường kính điểm C nằm ngồi nửa đường tròn CA cắt nửa dường M, CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM a) Chứng minh b) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường tròn Bài tập nâng cao Câu Cho tam giác nội tiếp đường trịn Vẽ đường kính (điểm M thuộc cung BC không chứa K) Chứng minh tia KM, KN tia phân giác đỉnh K tam giác KBC Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH Gọi HK đường kính đường trịn a) Chứng minh Tiếp tuyến đường tròn K cắt CA E tam giác cân b) Gọi I hình chiếu A BE Chứng minh c) Chứng minh Trang 12 Bài tập Câu Vì góc MPN góc nội tiếp chẳn nửa đường trịn nên Theo giả thiết ta có M Q đối xứng qua P nên Xét tam giác MNQ có NP vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên tam giác MNQ cân N Câu a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ; (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Mặt khác AN cắt MB H giác ABC trực tâm tam b) Gọi T giao điểm CH AB Xét có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông) cân I Xét tam giác OAM có O cân Mặt khác (tam giác ACT vuông T) tiếp tuyến Trang 13 Bài tập nâng cao Câu Ta có điểm phân giác Mặt khác (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) phân giác ngồi đỉnh K (tính chất phân giác hai góc kề bù) Bài a) Xét có (hai góc đối đỉnh); ; (giả thiết) Do (g.c.g) Lại có (tam giác ABC vuông A) vừa đường cao vừa đường trung tuyến tam giác cân B (điều phải chứng minh) b) Theo chứng minh câu a) tam giác BEC cân B BA phân giác Xét hai tam giác vng ABI ABH có cạnh huyền AB chung; (chứng minh trên) Do (cạnh huyền – góc nhọn) (điều phải chứng minh) c) Theo chứng minh câu b) ta có I thuộc đường trịn Mặt khác tiếp tuyến I Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có Trang 14 Trang 15