GÓC NỘI TIẾP A Lý thuyết M C Định nghĩa: Góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh N chứa hai dây cung đường tròn gọi góc nội tiếp ( ACB ) P O Lưu ý: Cung nằm bên góc nội tiếp gọi cung bị D chắn B Định lý: Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp A nửa số đo cung bị chắn ACB AB sđ sđ AOB Hệ quả: Trong đường trịn a) Các góc nội tiếp chắn cung ngược lại ADB MNP AB MP b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung ADB ACB c) Góc nội tiếp (nhỏ 90 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng B Bài tập Dạng 1: Chứng minh góc nhau, đoạn thẳng Cách giải: Dùng hệ phần lý thuyết Bài 1: Cho ABC cân A ( A 90 ) Vẽ đường A tròn đường kính AB cắt BC D , cắt AC E Chứng minh rằng: a DBE cân E 1 CBE BAC b B Lời giải D C a) ADB 90 AD BC AD phân giác A BD DE BD DE BED A1 A cân D A DE B BAC B 2 b) Ta có Bài 2: O Cho nửa đường trịn đường kính AB C N dây AC căng cung AC có số đo 600 a So sánh góc ABC M b Gọi M N điểm I cung AC BC , hai dây AN BM A B O cắt I Chứng minh CI tia phân giác ACB Lời giải 0 a) Ta có: AC 60 BC 120 B A C b) AN phân giác góc A , BM phân giác góc B nên CI phân giác góc C (đpcm) Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường A cao AH nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính AM a) Tính ACM O b) Chứng minh BAH OCA O c) Gọi N giao điểm AH với Tứ B giác BCMN hình gì? Vì sao? H N Lời giải C M a) Ta có ACM 90 (góc nội tiếp) b) Ta có ABH ∽ AMC gg BAH OAC ; OCA OAC BAH OCA c) ANM 90 MNBC hình thang BC / / MN sđ BN = sđ CM CBN BCM BCMN hình thang cân Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Lấy M điểm tùy ý nửa đường trịn M (M khác A B) Kẻ MH vng góc với Q AB ( H AB ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) P vẽ hai nửa đường tròn tâm O1 , đường kính AH tâm O2 , đường kính BH A O1 H O2 Đoạn MA MB cắt hai nửa đường tròn ( O1 ) ( O2 ) P Q Chứng minh rằng: a) MH PQ b) MPQ MBA c) PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn ( O1 ) ( O2 ) Lời giải a) Ta có: MPHQ hình chữ nhật MH PQ b) Xét tam giác vng AHM BHM ta có: MP.MA MQ.MB MPQ MBA cgc c) PMH MBH PQH O2QB PQ tiếp tuyến O2 B Chứng minh tương tự ta có PQ tiếp tuyến O1 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc, ba điểm thẳng hàng Bài 1: Cho đường tròn (O) hai dây MA, MB vng góc với Gọi I, K điểm M cung nhỏ MA MB K I a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng P b) Gọi P giao điểm AK BI Chứng B A O minh P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB Lời giải a) Ta có: M , A, B O AMB 90 AB đường kính đường trịn (O) A, O, B thẳng hàng b) Ta có: AK, BI phân giác góc MAB; MBA P tâm đường tròn nội tiếp AMB Bài 2: Cho đường trịn (O), đường kính AB, điểm D E thuộc đường tròn Gọi E điểm đối xứng với A qua D K D a) Tam giác ABE tam giác gì? b) Gọi K giao điểm EB với (O) Chứng A minh OD AK B O Lời giải a) Xét ABE có BD đồng thời đường cao, đường trung tuyến nên b) Xét ABE có OD đường trung tuyến OD / / BE mà: AK BE ( AKB 90 ) AK OD ABE cân B Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), A hai đường cao BD CE cắt H Vẽ D đường kính AF a) Tứ giác BFCH hình gì? E O H b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, M, F thẳng hàng B C M OM AH c) Chứng minh F Lời giải a) Tứ giác BFCH có cạnh đối song song nên hình bình hành b) Tứ giác BHCF hình bình hành mà M trung điểm BC nên M trung điểm HF H , M , F thẳng hàng c) Xét AHF có OM đường trung bình AHF OM AH Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm D E thuộc (O) Gọi E điểm đối xứng với A qua K D D a ABE tam giác A b Gọi K giao điểm EB với (O), Chứng minh rằng: OD AK Lời giải a ADB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BD AE ABE AD DE cân B O B OD / / EB OD AK AK EB b) Bài 5: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = C 2R điểm C nằm ngồi nửa đường trịn CA cắt nửa đường tròn M, CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM I a CH AB b Gọi I trung điểm CH Chứng minh N M H MI tiếp tuyến nửa đường tròn (O) A B O Lời giải a Ta có H trực tâm tam giác CH AB b Cần chứng minh MI MO CH C, M , H , N I ; +) có: N ( sd MH ) C 1 N B ( sd AM ) 1 B B ( .can) +) M M 0 M IMB 90 OMI 90 M IMB 90 Bài 6: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm C di động nửa đường trịn Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) M I N C tiếp xúc với đưng kính AB D, đường tròn cắt CA, CB A D O B điểm thứ hai M N Chứng minh rằng: a M, N, I thẳng hàng b ID MN Lời giải 0 a ACB 90 MCN 90 Xét (I), có: ACB 90 N , M , I thẳng hàng b Đường tròn (O) (I) tiếp xúc với C nên O, I, C thẳng hàng INC MN / / AB ICN INC ICN OBC ID MN OCB OBC OCB dong.vi ID AB(t.c.tiep.tuyen) Bài 7: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) A E Đường cao BM, CN cắt H cắt đường tròn E F, chứng minh M O F a A điểm cung FE N b EF // MN B c OA MN I C d AH không đổi A di động cung lớn BC e F đối xứng với H qua AB Lời giải a B1 C1 (phụ góc BAC ) EA FA (chắn hai góc nội tiếp nhau) A điểm FE OA FE (1) b) C E NMB C E NMB MN / / FE (2) d vi 2 OA MN d) Kẻ đường kính AD gọi I trung điểm BC IO BC I Ta có: ACD 90 CD AC BH / /CD BH AC t.tu : CH / / BD BHCD hình bình hành Mà I trung điểm BC nên I trung điểm HD AHD, OI AH AH 2OI +) Xét ( khơng đổi ) e Ta có: AE FA ABF ABE ( chắn hai cung ) Xét BHF có BN đường cao, đường phân giác nên cân B BN đường trung tuyến N trung điểm FH hay F đối xứng với H qua AB