Góc nội tiếp

GÓC NỘI TIẾP A Lý thuyết M C Định nghĩa: Góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh N  chứa hai dây cung đường tròn gọi góc nội tiếp ( ACB ) P O Lưu ý: Cung nằm bên góc nội tiếp gọi cung bị D chắn B Định lý: Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp A nửa số đo cung bị chắn ACB  AB  sđ sđ AOB Hệ quả: Trong đường trịn a) Các góc nội tiếp chắn cung ngược lại ADB MNP    AB MP b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung ADB  ACB c) Góc nội tiếp (nhỏ 90 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng B Bài tập Dạng 1: Chứng minh góc nhau, đoạn thẳng Cách giải: Dùng hệ phần lý thuyết Bài 1:  Cho ABC cân A ( A  90 ) Vẽ đường A tròn đường kính AB cắt BC D , cắt AC E Chứng minh rằng: a DBE cân E 1  CBE  BAC b B Lời giải D C   a) ADB 90  AD  BC  AD phân giác A   BD  DE   BD DE  BED  A1  A cân D   A  DE   B   BAC  B 2 b) Ta có Bài 2: O Cho nửa đường trịn   đường kính AB C N dây AC căng cung AC có số đo 600 a So sánh góc ABC M b Gọi M N điểm I cung AC BC , hai dây AN BM A B O cắt I Chứng minh CI tia  phân giác ACB Lời giải 0      a) Ta có: AC 60  BC 120  B  A  C b) AN phân giác góc A , BM phân giác góc B nên CI phân giác góc C (đpcm) Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường A cao AH nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính AM  a) Tính ACM O   b) Chứng minh BAH OCA O c) Gọi N giao điểm AH với   Tứ B giác BCMN hình gì? Vì sao? H N Lời giải C M  a) Ta có ACM 90 (góc nội tiếp) b) Ta có ABH ∽ AMC  gg         BAH OAC ; OCA OAC  BAH OCA  c) ANM 90  MNBC hình thang    BC / / MN  sđ BN = sđ CM    CBN BCM  BCMN hình thang cân Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Lấy M điểm tùy ý nửa đường trịn M (M khác A B) Kẻ MH vng góc với Q AB ( H  AB ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) P vẽ hai nửa đường tròn tâm O1 , đường kính AH tâm O2 , đường kính BH A O1 H O2 Đoạn MA MB cắt hai nửa đường tròn ( O1 ) ( O2 ) P Q Chứng minh rằng: a) MH PQ b) MPQ MBA c) PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn ( O1 ) ( O2 ) Lời giải a) Ta có: MPHQ hình chữ nhật  MH PQ b) Xét tam giác vng AHM BHM ta có: MP.MA MQ.MB  MPQ MBA  cgc      c) PMH MBH  PQH O2QB  PQ tiếp tuyến O2 B Chứng minh tương tự ta có PQ tiếp tuyến O1 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc, ba điểm thẳng hàng Bài 1: Cho đường tròn (O) hai dây MA, MB vng góc với Gọi I, K điểm M cung nhỏ MA MB K I a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng P b) Gọi P giao điểm AK BI Chứng B A O minh P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB Lời giải  a) Ta có: M , A, B   O  AMB 90  AB đường kính đường trịn (O)  A, O, B thẳng hàng   b) Ta có: AK, BI phân giác góc MAB; MBA  P tâm đường tròn nội tiếp AMB Bài 2: Cho đường trịn (O), đường kính AB, điểm D E thuộc đường tròn Gọi E điểm đối xứng với A qua D K D a) Tam giác ABE tam giác gì? b) Gọi K giao điểm EB với (O) Chứng A minh OD  AK B O Lời giải a) Xét ABE có BD đồng thời đường cao, đường trung tuyến nên b) Xét ABE có OD đường trung tuyến  OD / / BE mà: AK  BE  ( AKB 90 )  AK  OD ABE cân B Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), A hai đường cao BD CE cắt H Vẽ D đường kính AF a) Tứ giác BFCH hình gì? E O H b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, M, F thẳng hàng B C M OM  AH c) Chứng minh F Lời giải a) Tứ giác BFCH có cạnh đối song song nên hình bình hành b) Tứ giác BHCF hình bình hành mà M trung điểm BC nên M trung điểm HF  H , M , F thẳng hàng c) Xét AHF có OM đường trung bình AHF  OM  AH Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm D E thuộc (O) Gọi E điểm đối xứng với A qua K D D a ABE tam giác A b Gọi K giao điểm EB với (O), Chứng minh rằng: OD  AK Lời giải  a ADB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  BD  AE   ABE  AD DE cân B O B OD / / EB  OD  AK  AK  EB  b) Bài 5: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = C 2R điểm C nằm ngồi nửa đường trịn CA cắt nửa đường tròn M, CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM I a CH  AB b Gọi I trung điểm CH Chứng minh N M H MI tiếp tuyến nửa đường tròn (O) A B O Lời giải a Ta có H trực tâm tam giác  CH  AB b Cần chứng minh MI  MO  CH  C, M , H , N   I ;    +) có:  N  ( sd MH  ) C 1   N B  ( sd AM )    1  B B  ( .can)    +)  M  M   0     M  IMB 90  OMI 90 M  IMB  90  Bài 6: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm C di động nửa đường trịn Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) M I N C tiếp xúc với đưng kính AB D, đường tròn cắt CA, CB A D O B điểm thứ hai M N Chứng minh rằng: a M, N, I thẳng hàng b ID  MN Lời giải 0   a ACB 90  MCN 90  Xét (I), có: ACB 90  N , M , I thẳng hàng b Đường tròn (O) (I) tiếp xúc với C nên O, I, C thẳng hàng      INC  MN / / AB ICN  INC ICN  OBC     ID  MN   OCB  OBC OCB  dong.vi  ID  AB(t.c.tiep.tuyen)  Bài 7: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) A E Đường cao BM, CN cắt H cắt đường tròn E F, chứng minh M O F a A điểm cung FE N b EF // MN B c OA  MN I C d AH không đổi A di động cung lớn BC e F đối xứng với H qua AB Lời giải      a B1 C1 (phụ góc BAC )  EA FA (chắn hai góc nội tiếp nhau)  A điểm  FE  OA  FE (1) b)  C  E   NMB C  E  NMB      MN / / FE (2) d vi   2  OA  MN d) Kẻ đường kính AD gọi I trung điểm BC  IO  BC I Ta có:  ACD 90  CD  AC   BH / /CD   BH  AC  t.tu : CH / / BD   BHCD hình bình hành Mà I trung điểm BC nên I trung điểm HD AHD, OI  AH  AH 2OI +) Xét ( khơng đổi )     e Ta có: AE FA  ABF  ABE ( chắn hai cung ) Xét BHF có BN đường cao, đường phân giác nên cân B  BN đường trung tuyến  N trung điểm FH hay F đối xứng với H qua AB