Bài 3 Góc nội tiếp Bài 15 trang 102 SBT Toán lớp 9 tập 2 Cho đường tròn tâm O,bán kính 1,5cm Hãy vẽ hình vuông ABCD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó Nêu cách vẽ Lời giải Cách vẽ Vẽ đường tròn tâm O[.]
Bài Góc nội tiếp Bài 15 trang 102 SBT Tốn lớp tập 2: Cho đường trịn tâm O,bán kính 1,5cm Hãy vẽ hình vng ABCD có bốn đỉnh nằm đường trịn Nêu cách vẽ Lời giải: Cách vẽ: - Vẽ đường trịn tâm O bán kính 1,5cm - Vẽ hai đường kính AC BD vng góc với - Nối AB, BC, CD, DA lại với ta hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O; 1,5) Chứng minh: Theo cách vẽ ta có: OA = OC = R OB = OD = R Do đó, tứ giác ABCD hình bình hành Ta lại có: AC = BD = 2R nên hình bình hành ABCD hình chữ nhật Mặt khác, BD vng góc với AC nên ABCD hình vng Bài 16 trang 102 SBT Toán lớp tập 2: Cho đường trịn (O) hai đường kính AB, CD vng góc với Lấy điểm M cung AC vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) M Tiếp tuyến cắt đường thẳng CD S Chứng minh MSD 2.MBA Lời giải: Xét đường trịn (O) có: SM tiếp tuyến M đường trịn (O) Do đó, SM vng góc với OM M Do đó, tam giác OMS vng M OMS 90o MSO MOS 90o (1) Lại có: AB vng góc với CD O (gt) MOA 90o MOS MOA 90o (2) Từ (1) (2) ta suy ra: MSO MOA MSD MOA (3) Mà MOA 2MBA (góc tâm góc nội tiếp chắn cung AM) (4) Từ (3) (4) ta suy ra: MSD 2MBA Bài 17 trang 102 SBT Toán lớp tập 2: Cho đường tròn (O) hai dây AB, AC Qua A vẽ cát tuyến cắt dây BC D cắt đường tròn (O) E Chứng minh rằng: AB2 = AD.AE Lời giải: Vì AB = AC (gt) AB AC (hai dây căng hai cung nhau) Mà góc ABC góc AEB hai góc nội tiếp chắn hai cung AB AC ABC AEB (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Xét tam giác ABD tam giác ABE có: Góc A chung ABC AEB hay ABD AEB (cmt) Do đó, tam giác ABD tam giác AEB đồng dạng (góc – góc) AE AB AB2 AD.AE AB AD Bài 18 trang 102 SBT Tốn lớp tập 2: Cho đường trịn (O) điểm M cố định không nằm đường trịn Qua M vẽ cát tuyến cắt đường trịn A B Chứng minh tích MA.MB không đổi Lời giải: TH1: M bên đường trịn (O) Kẻ cát tuyến MAB đường tròn (O) đường thẳng MO cắt đường tròn (O) C D Xét tam giác MAC tam giác MDB có: AMC BMD (hai góc đối đỉnh) A D (hai góc nội tiếp chắn cung BC) Do đó, tam giác MAC tam giác MDB đồng dạng (góc – góc) MA MC MD MB MA.MB MC.MD (1) Vì M, O cố định nên điểm C D cố định nên độ dài đoạn MC MD không đổi, suy tích MC.MD khơng đổi (2) Từ (1) (2) suy tích MA.MB khơng đổi cát tuyến MAB thay đổi TH2: M ngồi đường trịn (O) Kẻ cát tuyến MAB đường trịn (O) đường thẳng MO cắt đường tròn (O) C D Xét tam giác MAD tam giác MCB Góc M chung B D (hai góc nội tiếp chắn cung AC) Do đó, tam giác MAD tam giác MCB đồng dạng (góc – góc) MC MB MA MD MA.MB MC.MD (3) Vì M O cố định suy điểm C, D cố định nên độ dài đoạn MC MD khơng đổi, suy tích MC.MD khơng đổi (4) Từ (3) (4) ta suy tích MA.MB khơng đổi cát tuyến MAB thay đổi Bài 19 trang 102 SBT Toán lớp tập 2: Để giúp xe lửa chuyển từ đường ray hướng sang đường ray hướng khác người ta làm xen đoạn đường ray hình vịng cung (hình 1) Biết chiều rộng đường ray AB ≈ 1,1m, đoạn BC ≈ 28,4m Hãy tính bán kính OA = R đoạn đường ray hình vịng cung Lời giải: Ta xem hai đoạn đường ray thẳng tiếp tuyến hai đoạn đường ray vòng cung Điểm B cố định nằm đường trịn có cung AC Đường thẳng OB cắt đường trịn A A’ A cố định A’ cố định B tiếp điểm cung nhỏ nên BC tiếp tuyến đường tròn (O; OB) Do đó, BC vng góc với OB B Kéo dài BC cắt đường tròn (O; OA) C’ BC BC' (đường kính vng góc với dây cung) Xét tam giác BAC tam giác BA’C’ có: ABC C'BA ' (hai góc đối đỉnh) ACB C'A'B (hai góc nội tiếp chắn cung AC’) Do đó, tam giác BAC tam giác BC’A’ đồng dạng (góc – góc) BC' BA ' AB BC BC.BC' AB.BA' Mà BC = BC’ , BA’ = 2R – AB BC2 AB. 2R AB 28,4 1,1. 2R 1,1 2,2R 806,56 1,21 R 367,2 (m) Vậy bán kính đoạn đường ray hình vòng cung 367,2 m Bài 20 trang 102 SBT Toán lớp tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm cung nhỏ BC Trên MA lấy điểm D cho MD = MB a) Hỏi tam giác MBD tam giác gì? b) So sánh hai tam giác BDA BMC c) Chứng minh MA = MB + MC Lời giải: a) Ta có: MB = MD (gt) Do đó, tam giác MBD cân M Xét tam giác MBD cân M có: AMB ACB (hai góc nội tiếp chắn cung AB) Mà ACB 60o (do tam giác ABC đều) AMB 60o Do đó, tam giác MBD b) Do tam giác MBD (chứng minh phần a) DBC CBM DBM 60o (1) Tam giác ABC ABD DBC ABC 60o (2) Từ (1) (2) ta suy ra: CBM ABD Xét tam giác BDA tam giác BMC có: BA = BC (gt) ABD CBM (cmt) BD = BM (do tam giác MBD đều) Do đó, tam giác BDA tam giác BMC (cạnh – góc – cạnh) c) Tam giác BDA tam giác BMC (chứng minh phần b) DA MC Ta có: MB = MD (gt) Mà AM = AD + DM MA MC MB (dcpcm) Bài 21 trang 102 SBT Toán lớp tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, biết A 32o , B 84o Lấy điểm D, E, F thuộc đường tròn (O) cho AD = AB, BE = BC, CF = CA Hãy tính góc tam giác DEF Lời giải: Xét đường trịn (O) có: A sđ BC (tính chất góc nội tiếp) sđ BC 2A 2.32o 64o Ta có: BC = BE (gt) sđ BC = sđ BE 64o Mà B sđ AC (tính chất góc nội tiếp) sđ AC 2B 2.84o 168o Lại có: AC = CF (gt) sđ CF = sđ AC 168o sđ AC + sđ AF + sđ CF = 360o sđ AF = 360o - sđ AC - sđ CF = 360o 168o.2 24o Xét tam giác ABC có: A B C 180o ACB 180o A B 180o 32o 84o 64o Mà ACB sđ AB (góc nội tiếp chắn cung) sđ AB 2ACB 2.64o 128o Lại có: AD = AB (gt) sđ AD = sđ AB 128o Ta có: FED 1 sđ DF (sđ AD + sđ AF ) = 128o 24o 76o 2 1 EDF sdEF sdAB sdAF sdBE 128o 24o 64o 20o 2 DFE 180o FED EDF 180o 76o 20o 84o Bài 22 trang 102 SBT Toán lớp tập 2: Vẽ tam giác vuông biết cạnh huyền 4cm đường cao ứng với cạnh huyền 1,5cm Lời giải: Cách vẽ: - Vẽ đoạn thẳng BC = 4cm - Vẽ nửa đường trịn đường kính BC -Vẽ đường thẳng xy nằm nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn đường kính BC xy // BC, cách BC khoảng 1,5cm -Vẽ đường thẳng BC cắt nửa đường trịn đường kính BC A A’ Nối AB, AC, A’B, A’C ta tam giác ABC cần vẽ Chứng minh: Vì xy cách BC khoảng 1,5m < BC = 2cm nên đường thẳng xy cắt nửa đường trịn đường kính BC Ta lại có tam giác ABC nội tiếp nửa đường trịn đường kính BC nên BAC 90o Có AH vng góc với BC H AH = 1,5cm Vậy tam giác ABC tam giác A’BC thỏa mãn đề Bài 23 trang 103 SBT Toán lớp tập 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường phân giác hai góc B C cắt E cắt đường tròn F D Chứng minh tứ giác EDAF hình thoi Lời giải: Vì tam giác ABC cân A ABC ACB (tính chất tam giác cân) Lại có: BF tia phân giác góc ABC (gt) CD tia phân giác góc ACB (gt) B1 B2 C1 C2 AD DB AF FC Từ đó, đường trịn (O) có: A1 B1 (hai góc nội tiếp chắn hai cung BD AF) AD // EF (có hai góc so le nhau) (1) Tương tự: A2 C1 (hai góc nội tiếp chắn hai cung AF // ED (có hai góc so le nhau) (2) Mà AD AF (cmt) AD = AF (3) Từ (1), (2) (3) ta suy ra: Tứ giác ADEF hình thoi Bài tập bổ sung Bài 3.1 trang 103 SBT Toán lớp tập 2: Mỗi câu sau hay sai (A) Góc nội tiếp góc tạo hai dây đường trịn (B) Trong đường trịn, hai góc nội tiếp chắn cung (C) Trong đường trịn, hai góc nội tiếp khơng chắn cung khơng (D) Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp số đo cung bị chắn (E) Trong đường trịn, góc nội tiếp có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung Lời giải: Chỉ có câu câu (E): Trong đường trịn, góc nội tiếp có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung Các câu (A), (B), (C), (D) sai vì: (A) Sai Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung đường tròn (B) Sai Trong đường trịn, hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung (C) Sai Trong đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung (D) Sai Trong đường tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo góc tâm chắn cung Bài 3.2 trang 103 SBT Toán lớp tập 2: Cho nửa đường trịn đường kính AB, tâm O Đường trịn tâm A bán kính AO cắt nửa đường trịn cho C Đường trịn tâm B bán kính BO cắt nửa đường tròn cho D Đường thẳng qua O song song với AD cắt nửa đường tròn cho E a) ADC ABC có khơng? Vì sao? b) Chứng minh CD song song với AB c) Chứng minh AD vng góc với OC d) Tính số đo DAO e) So sánh hai cung BE CD Lời giải: a) Trong đường tròn (O) ta có: ADC ABC (hai góc nội tiếp chắn cung AC) b) Tam giác ACB nội tiếp đường trịn (O) có AB đường kính nên tam giác ABC vuông C O trung điểm AB (tâm – đường kính) Do đó, CO trung tuyến ứng với cạnh huyền CO OA AB (tính chất tam giác vng) Mà AC = AO (bánh kính đường trịn (A)) CO OA AC Do đó, tam giác ACO AOC 60o Ta có: Tam giác ADB nội tiếp đường trịn đường kính AB nên tam giác ADB vuông D O trung điểm AB nên DO trung tuyến ứng với cạnh huyền DO OB OA AB (tính chất tam giác vng) Mà BD = BO (bán kính đường tròn (B)) BO OD BD Do đó, tam giác BOD ODB BOD 60o Mà AOC COD BOD 180o COD 180o AOC BOD 180o 60o 60o 60o Mà OC = OD (do Do đó, tam giác COD AB ) ODC 60o ODC BOD Do đó, CD // AB (vì có hai góc vị trí so le nhau) c) Có: OA = AC = OC (chứng minh phần b) Mà tam giác OCD (chứng minh phần b) nên OC = OD = CD Suy AC = OA = OD = DC Do đó, tứ giác AODC hình thoi AD OC (tính chất hình thoi) d) Tam giác BOD (chứng minh phần b) OBD ABD 60o Vì tam giác ADB vuông D (chứng minh phần b) DAB ABD 90o DAB 90o ABD 90o 60o 30o DAO DAB 30o e) OE // AD (gt) EOB DAO 30o (hai góc đồng vị) sđ BE EOB 30o (góc tâm chắn cung) sđ CD COD 60o (góc tâm chắn cung) Do đó, số đo cung CD gấp đơi số đo cung BE ... (chứng minh phần b) DAB ABD 90 o DAB 90 o ABD 90 o 60o 30 o DAO DAB 30 o e) OE // AD (gt) EOB DAO 30 o (hai góc đồng vị) sđ BE EOB 30 o (góc tâm chắn cung) sđ CD COD... hai góc so le nhau) (2) Mà AD AF (cmt) AD = AF (3) Từ (1), (2) (3) ta suy ra: Tứ giác ADEF hình thoi Bài tập bổ sung Bài 3. 1 trang 1 03 SBT Toán lớp tập 2: Mỗi câu sau hay sai (A) Góc nội... tam giác OMS vuông M OMS 90 o MSO MOS 90 o (1) Lại có: AB vng góc với CD O (gt) MOA 90 o MOS MOA 90 o (2) Từ (1) (2) ta suy ra: MSO MOA MSD MOA (3) Mà MOA 2MBA (góc tâm góc