Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 6 Cung chứa góc Bài 33 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 2 Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và A không đổi Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác Lời giải Chứng minh thu[.]
Bài Cung chứa góc Bài 33 trang 105 SBT Tốn lớp tập 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định A không đổi Tìm quỹ tích giao điểm ba đường phân giác tam giác Lời giải: Chứng minh thuận: Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC IBC B C ; ICB 2 IBC ICB BC Xét tam giác ABC có: A B C 180o B C 180o A 180o IBC ICB 180o Xét tam giác BIC có: 180o BIC IBC ICB 180 BIC 180 IBC ICB 180 90o 2 o o Do A không đổi nên BIC 90o o khơng đổi Vì I thay đổi tạo với hai đầu đoạn BC cố định góc BIC 90o Do đó, I nằm cung chứa góc 90o vẽ BC khơng đổi Chứng minh đảo: Trên cung chứa góc 90o lấy điểm I’ Vẽ nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm I’ hai tia Bx Cy cho BI’ phân giác góc CBx, CI’ phân giác góc BCy Bx cắt Cy A’ Xét tam giác BI’C có: BI'C 90o 180 I'BC I'CB 180o BI'C 180o 90o 2 o Mà ta có: CBA' 2I'BC ; BCA' 2I'CB (do BI’ phân giác góc CBx, CI’ phân giác góc BCy) 180o CBA' BCA' 180o Xét tam giác A’BC ta có: BA'C 180o CBA' BCA' 180o 180o Vậy quỹ tích giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC có A không đổi, BC cố định hai cung chứa góc 90o vẽ BC Bài 34 trang 105 SBT Toán lớp tập 2: Dựng cung chứa góc 42° đoạn thẳng AB = 3cm Lời giải: Cách dựng: - Dựng đoạn thẳng AB = 3cm - Vẽ tia Ax cho góc BAx 42o - Dựng đường thẳng d trung trực đoạn AB - Dựng tia Ay cho Ay vuông góc với Ax A (tia Ay cắt đường trung trực d AB O) - Dựng cung tròn AmB tâm O bán kính OA - Dựng điểm O’ đối xứng với O qua AB - Dựng cung tròn (Am'B) tâm O’ bán kính O’A Ta hai cung chứa góc 42° đoạn thẳng AB = 3cm đối xứng qua AB Bài 35 trang 106 SBT Toán lớp tập 2: Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm, A 45o trung tuyến AM = 2,5cm Lời giải: Cách dựng: - Dựng đoạn thẳng AB = 3cm - Vẽ tia Bx cho CBx 45o - Dựng trung điểm M BC - Dựng đường trung trực BC (qua M) - Dựng tia vng góc với Bx B, cắt đường trung trực BC O - Dựng cung tròn BmC bán kính OB cung chứa góc 45° vẽ đoạn BC - Dựng cung trịn tâm M bán kính 2,5cm cắt cung BmC A A’ - Nối AB, AC (hoặc A’B, A’C) ta có: Tam giác ABC (tam giác A’BC) có BC = 3cm, A 45o (hoặc góc A' 45o ) trung tuyến AM = 2,5cm Bài 36 trang 106 SBT Toán lớp tập 2: Cho nửa đường trịn đường kính AB cố định C điểm nửa đường tròn, dây AC kéo dài lấy điểm D cho CD = CB a) Tìm quỹ tích điểm D C chạy nửa đường tròn cho b) Trên tia CA lấy điểm E cho CE = CB Tìm quỹ tích điểm E C chạy nửa đường tròn cho Lời giải: a) Chứng minh thuận Ta có: ACB 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BCD 90o (kề bù) Xét tam giác BCD có: BCD 90o (cmt) CD = CB (gt) Do đó, tam giác BCD vng cân C CDB ADB 45o AB cố định Khi C chuyển động nửa đường tròn đường kính AB D chuyển động cung chứa góc 45o dựng đoạn thẳng AB cố định Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C nửa đường trịn đường kính AB Dây AC lớn đường kính đường trịn Khi C trùng với B D trùng với B Vậy B điểm quỹ tích Dây AC nhỏ có độ dài C trùng với A.Khi D trùng với B’ giao điểm tiếp tuyến đường trịn đường kính AB A với cung chứa góc 45° vẽ AB Chứng minh đảo: Lấy điểm D’ cung lớn AB, nối AD’ cắt đường trịn đường kính AB C’ Nối BC’, B’D’ Ta có: AD'B 45o (vì D’ nằm cung chứa góc 45° vẽ AB) Xét đường trịn đường kính AB có: AC'B 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BC'D' 90o (kề bù) Xét tam giác tam giác BC’D’ có: AD'B C'D'B 45o BC'D' 90o Do dó, tam giác BC’D’ vuông cân C’ C’B = C’D’ Vậy quỹ tích điểm điểm D C chuyển động nửa đường trịn đường kính AB cung BB’ nằm cung chứa góc 45° vẽ đoạn AB, nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C b) Chứng minh thuận: Xét đường trịn đường kính AB có: Ta có: ACB 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét tam giác CBE có: ACB ECB 90o CB = CE (gt) Do đó, tam giác CBE vuông cân C CEB 45o Mà: CEB AEB 180o (hai góc kề bù) AEB 135o Khi C chuyển động đường tròn đường kính AB cố định E chuyển động cung chứa góc 135° dựng đoạn thẳng AB cố định Khi dây AC có độ dài lớn đường kính đường trịn C trùng với B nên E trùng với B.vậy B điểm quỹ tích Khi dây AC có độ dài nhỏ C trùng với A E trùng với A nên A điểm quỹ tích Vậy E chuyển động cung chứa góc 135° vẽ đoạn AB nằm nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C Chứng minh đảo: Lấy điểm E’ cung chứa góc 135°, nối AE’ cắt đường trịn đường kính AB C’ Nối BE’, B’C’ Ta có: AE'B 135o (vì E’ nằm cung chứa góc 135o vẽ AB) Lại có: AE'B BE'C 180o (hai góc kề bù) BE'C' 180o AE'B 180o 135o 45o Xét đường trịn đường kính AB ta có: AC'B 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét tam giác E’C’B có: E'C'B AC'B 90o (cmt) BE'C' 45o (cmt) Do đó, tam giác E’C’B vng cân C’ C'E' C'B Quỹ tích điểm điểm E C chuyển động nửa đường tròn đường kính AB cung chứa góc 135° vẽ đoạn AB, nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C Bài 37 trang 106 SBT Toán lớp tập 2: Cho nửa đường trịn đường kính AB C điểm nửa đường trịn Trên bán kính OC lấy điểm D cho OD khoảng cách CH từ C đến AB Tìm quỹ tích điểm D C chạy nửa đường tròn cho Lời giải: Chứng minh thuận: Từ O kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt nửa đường trịn đường kính AB P Vì O cố định, đường trịn đường kính AB cố định nên P cố định Nối PD Ta có: OP // CH (vì hai đường thẳng vng góc với AB) Xét tam giác OCH tam giác POD có: CH = OD OCH POD (do OP // CH - cmt) OC = PO (cùng bán kính đường trịn (O)) Do đó, tam giác OCH tam giác POD (cạnh – góc – cạnh) ODP CHO Mà CHO 90o nên ODP 90o Khi C chuyển động nửa đường trịn đường kính AB D thay đổi tạo với hai đầu đọa thẳng OP cố định góc ODP 90o Vậy D chuyển động đường tròn đường kính OP Chứng minh đảo: Lấy điểm D’ đường trịn đường kính OP Kẻ OD’ cắt nửa đường trịn đường kính AB C’, kẻ C'H' AB ta cần chứng minh OD’ = C’H’ Do PO vng góc với AB C’H’ vng góc với AB nên PO // C’H’ Nối PD’ Xét tam giác C’H’O tam giác PD’O có: C'H'O PD'O 90o OC’ = OP (bán kính đường trịn tâm O) D'OP OC'H' (do PO // C’H’) Do đó, tam giác C’H’O tam giác PD’O (cạnh huyền - góc nhọn) C’H’ = OD’ Vậy quỹ tích điểm điểm D C chuyển động nửa đường tròn đường kính AB đường trịn đường kính OP Bài 38 trang 106 SBT Toán lớp tập 2: Dựng hình vng ABCD, biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC điểm N thuộc cạnh CD Lời giải: Cách dựng: - Dựng cung chứa góc 90° đoạn MN - Dựng cung chứa góc 45° đoạn AM - Hai cung cắt C - Nối CM, CN - Kẻ AB vng góc với CM B, AD vng góc với CN D Tứ giác ABCD hình vng cần dựng Bài tập bổ sung Bài 6.1 trang 106 SBT Toán lớp tập 2: Dựng cung chứa góc 60° đoạn thẳng AB cho trước Lời giải: Cách dựng: − Dựng đoạn thẳng AB − Dựng tia Ax cho góc BAx 60o − Dựng đường thẳng d trung trực AB − Dựng tia Ay vng góc với Ax A − Tia Ay cắt đường thẳng d O − Dựng cung trịn tâm O bán kính OA − Dựng O' đối xứng với O qua AB − Dựng cung trịn tâm O’ bán kính O’A Ta có cung chứa góc 60° vẽ đoạn AB cho trước Bài 6.2 trang 106 SBT Toán lớp tập 2: Cho đường trịn tâm O bán kính R điểm A (khác O) đường trịn Một đường thẳng d thay đổi, ln qua A, cắt đường trịn cho hai điểm B C Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng BC Lời giải: Chứng minh thuận: Đường tròn (O) cho trước, điểm A cố định nên OA có độ dài khơng đổi Xét tam giác OBC có: OB = OC (cùng bán kính đường trịn (O)) Do đó, tam giác OBC cân O Mà IB = IC (gt) Do đó, I trung điểm BC nên OI vừa đường trung tuyến vừa đường cao OI BC I OIA 90o Đường thẳng d thay đổi nên B, C thay đổi I thay đổi tạo với hai đầu đoạn OA cố định góc OIA 90o Vậy I chuyển động đường tròn đường kính OA Chứng minh đảo: Lấy điểm I’ đường trịn đường kính AO Đường thẳng AI’ cắt đường tròn (O) hai điểm B’ C’ Ta chứng minh: I’B’ = I’C’ Trong đường tròn đường kính AO có: OI'A 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) OI' B'C' I’ I’B’ = I’C’ (đường kính vng góc với dây cung qua trung điểm dây cung đó) Vậy quỹ tích điểm I trung điểm dây BC đường tròn tâm O BC quay xung quanh điểm A cố định đường tròn đường kính AO Bài 6.3 trang 106 SBT Tốn lớp tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Xác định vị trí điểm M tam giác cho MA + MB + MC nhỏ Lời giải: Xét tam giác ABC Lấy điểm M ngẫu nhiên Nối MA, MB, MC Ta cần làm xuất tổng MA + MB + MC sau tìm điều kiện để tổng nhỏ Lấy MC làm cạnh dựng nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A tam giác MCN Lấy AC làm cạnh dựng nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B tam giác APC Khi CA = CP Ta có: MCA ACN MCN 60o (do MCN tam giác đều) ACN NCP ACP 60o (do ACP tam giác đều) MCA NCP Xét tam giác AMC tam giác PNC CM = CN (do MCN tam giác đều) MCA NCP (chứng minh trên) CA = CP (do ACP tam giác đều) Do đó, tam giác AMC tam giác PNC (cạnh – góc – cạnh) PN = AM MA + MB + MC = NP + MP + MN Tam giác ABC cho trước có điểm P cố định nên BM + MN + NP ngắn B, M, N, P thẳng hàng Vì CMN 60o nên ba điểm B, M, N thẳng hàng BMC 120o Vì CNM 60o nên ba điểm M, N, P thẳng hàng CNP 120o Mà tam giác AMC tam giác PNC (cmt) AMC PNC 120o Vậy MA + MB + MC bé BMC AMC 120o Vậy M giao điểm hai cung chứa góc 120° dựng BC AC MA + MB + MC nhỏ ... thẳng d O − Dựng cung tròn tâm O bán kính OA − Dựng O'' đối xứng với O qua AB − Dựng cung tròn tâm O’ bán kính O’A Ta có cung chứa góc 60 ° vẽ đoạn AB cho trước Bài 6. 2 trang 1 06 SBT Toán lớp tập... Bài tập bổ sung Bài 6. 1 trang 1 06 SBT Toán lớp tập 2: Dựng cung chứa góc 60 ° đoạn thẳng AB cho trước Lời giải: Cách dựng: − Dựng đoạn thẳng AB − Dựng tia Ax cho góc BAx 60 o − Dựng đường thẳng... 1 06 SBT Tốn lớp tập 2: Dựng hình vng ABCD, biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC điểm N thuộc cạnh CD Lời giải: Cách dựng: - Dựng cung chứa góc 90 ° đoạn MN - Dựng cung chứa góc 45° đoạn AM - Hai cung