Chương III Góc với đường tròn Bài 1 Góc ở tâm Số đo cung Bài 1 trang 99 SBT Toán lớp 9 tập 2 a) Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ? b) Từ 3 giờ đến 6 giờ thì kim[.]
Chương III Góc với đường trịn Bài Góc tâm Số đo cung Bài trang 99 SBT Toán lớp tập 2: a) Từ đến kim quay góc tâm độ ? b) Từ đến kim quay góc tâm độ ? Lời giải: Trên đồng hồ có 12 chữ số, chữ số chia mặt đồng hồ thành 12 cung tròn Mỗi cung trịn tương ứng với góc tâm 30° Như vậy: a) Từ đến kim quay góc tâm bằng: 1.30o 2.30o 60o b) Từ đến kim quay góc tâm bằng: 3.30o 3.30o 90o Bài trang 99 SBT Toán lớp tập 2: Một đồng hồ chạy chậm 25 phút Hỏi để chỉnh lại phải quay kim phút góc tâm độ ? Lời giải: Một vòng quay kim phút 60 phút tương ứng với 360° Như phút tương ứng với 360o : 60 6o Đồng hồ chạy chậm 25 phút phải quay kim phút góc tâm là: 25.6o 150o Bài trang 99 SBT Toán lớp tập 2: Hãy xếp tờ giấy để cắt thành hình ngơi năm cánh Muốn cắt nhát kéo phải gấp tờ giấy thành hình có góc tâm độ ? Lời giải: Trước hết cần gấp đơi tờ giấy Sau chọn điểm làm tâm chia tờ giấy gấp phần với góc tâm nhau, góc 180o : 36o Bài trang 99 SBT Toán lớp tập 2: Hai tiếp tuyến A, B đường tròn (O; R) cắt M Biết OM = 2R Tính số đo góc tâm AOB ? Lời giải: Xét đường trịn (O) có: Do MA tiếp tuyến (O) A MA OA A OAM 90o Do đó, tam giác MAO vng A Xét tam giác MAO vng A có: cos AOM OA R OM 2R AOM 60o Mà AOM AOB (do hai tiếp tuyến MA MB giao M) AOB 2AOM 2.60o 120o Bài trang 99 SBT Toán lớp tập 2: Cho đường trịn (O; R), đường kính AB Gọi C điểm cung AB Vẽ dây CD dài R Tính góc tâm BOD Có đáp số ? Lời giải: Điểm D có trường hợp nên có hai đáp số tương ứng: + Nếu D nằm C B Ta có điểm C điểm cung AB nên ta có: sđ BC = sđ AC = 90o Ta lại có: CD = R (gt) OC = OD = CD = R Do đó, tam giác OCD tam giác COD 60o Mà góc COD góc tâm chắn cung nhỏ CD sđ CD COD 60o sđ BD = sđ BC - sđ CD = 90o 60o = 30o Mà cung nhỏ BD bị chắn góc tâm BOD BOD sđ BD 30o + Nếu D nằm C A ta có: Ta có điểm C điểm cung AB nên ta có: sđ BC = sđ AC = 90o Ta lại có: CD = R (gt) OC = OD = CD = R Do đó, tam giác OCD tam giác COD 60o Mà góc COD góc tâm chắn cung nhỏ CD sđ CD COD 60o sđ BD = sđ BC + sđ CD = 90o 60o = 150o Suy BOD sđ BD 150o Bài trang 99 SBT Toán lớp tập 2: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt A, B Hãy so sánh R R’ trường hợp sau: a) Số đo cung nhỏ AB (O; R) lớn số đo cung nhỏ AB (O’; R’) b) Số đo cung lớn AB (O; R) nhỏ số đo cung lớn AB (O’; R’) c) Số đo hai cung nhỏ Lời giải: a) Trong (O; R) ta có: Góc AOB góc tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AOB sđ AB Trong (O’; R’) ta có: Góc AO’B góc tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AO'B sđ AB Vì số đo cung nhỏ AB (O; R) lướn số đo cung nhỏ AB (O’; R’) nên ta suy ra: AOB AO'B (1) Xét tam giác AOO’ tam giác BOO’ có: O’A = O’B = R’ OA = OB = R OO’ cạnh chung Do đó, tam giác AOO’ tam giác BOO’ (cạnh – cạnh – cạnh) 1 AOO' BOO' AOB (2) ; AO'O BO'O AO'B (3) 2 Từ (1), (2), (3) ta suy ra: AOO' AO'O Xét tam giác AOO’ có: AOO' AO'O (cmt) O'A OA (theo bất đẳng thức tam giác) R' R b) Trong (O; R) ta có: Góc AOB góc tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AOB sđ AB Trong (O’; R’) ta có: Góc AO’B góc tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AO'B sđ AB Trong (O; R) số đo cung lớn AB cộng với số đo cung nhỏ AB 360o Mà số đo cung nhỏ AB (O; R) nhỏ số đo cung lớn AB (O’; R’) Do đó, số đo cung nhỏ AB (O; R) lớn số đo cung nhỏ AB (O’; R’) nên theo chứng minh phần (a) ta có: R’ > R c) Trong (O; R) ta có: Góc AOB góc tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AOB sđ AB Trong (O’; R’) ta có: Góc AO’B góc tâm chắn cung nhỏ AB nên ta có: AO'B sđ AB Mà số đo hai cung nhỏ AB (O; R) (O’; R’) nên ta có: AOB AO'B (1c) Xét tam giác AOO’ tam giác BOO’ có: O’A = O’B = R’ OA = OB = R OO’ cạnh chung Do đó, tam giác AOO’ tam giác BOO’ (cạnh – cạnh – cạnh) 1 AOO' BOO' AOB (2c) ; AO'O BO'O AO'B (3c) 2 Từ (1c), (2c), (3c) ta suy ra: AOO' AO'O Do đó, tam giác AOO’ cân A OA OA' R R' Bài trang 99 SBT Toán lớp tập 2: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) vắt A, B Đường phân giác góc OBO’ cắt đường trịn (O), (O’) tương tự C, D Hãy so sánh góc tâm BOC BO’D Hướng dẫn Sử dụng tam giác cân OBC, O’BD Lời giải: Xét đường trịn (O) có: Tam giác OBC có: OB = OC (cùng bán kính đường trịn (O)) Do đó, tam giác OBC cân O 180o BOC OBC OCB BOC 180o 2OBC (1) Xét đường trịn (O’) Xét tam giác BO’D có: O’B = O’D (cùng bán kính đường trịn (O’)) Do đó, tam giác BO’D cân O’ 180o BO'D O'BD O'DB BO'D 180o 2O'BD (2) Lại có: BC phân giác góc OBO’ nên OBC O'BD (3) Từ (1), (2) (3) ta suy ra: BOC BO'D Bài trang 100 SBT Toán lớp tập 2: Trên đường trịn, có cung AB 140°, cung AD nhận B làm điểm giữa, cung CB nhận A làm điểm Tính số đo cung nhỏ CD cung lớn CD Lời giải: Vì B điểm cung AD, A điểm cung CB nên AB BD AC Mà: Góc AOB góc tâm chắn cung nhỏ AB Góc BOD góc tâm chắn cung nhỏ BD Góc AOC góc tâm chắn cung nhỏ AC AOB BOD AOC 140o Kẻ đường kính AA’ BB’ Ta có: AOB AOB' 180o (hai góc kề bù) AOB' 180o AOB 180o 140o 40o Ta lại có: B'OD BOD 180o (hai góc kề bù) B'OD 180o BOD 180o 140o 40o Mà AOC AOB' B'OD DOC DOC AOC AOB BOD 140o 40o 40o 60o Góc DOC góc tâm chắn cung nhỏ CD nên số đo cung nhỏ CD số đo góc DOC 60° Do đó, số đo cung lớn CD là: 360° – 60° = 300° Bài trang 100 SBT Toán lớp tập 2: Cho C điểm nằm cung lớn AB đường tròn (O) Điểm C chia cung lớn AB thành hai cung AC CB Chứng minh cung lớn AB có: sđ AB = sđ AC + sđ CB Hướng dẫn Xét ba trường hợp: a) Tia OC nằm góc đối đỉnh góc tâm AOB b) Tia OC trùng với tia đối cạnh góc tâm AOB c) Tia OC nằm góc kề bù với góc tâm AOB Lời giải: a) Kẻ đường kính CD Ta có: Vì OD nằm OA OB nên điểm D nằm cung nhỏ AB sđ AD (nhỏ) + sđ BD (nhỏ) = sđ AB (nhỏ) (1) Vì OA nằm OC OD nên điểm A nằm cung nửa đường tròn CD sđ AD (nhỏ) + sđ AC (nhỏ) = 180o (2) Vì OB nằm OC OD nên điểm B nằm cung nửa đường tròn CD sđ BD (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) = 180o (3) Từ (2) (3) ta suy ra: sđ AD (nhỏ) + sđ AC (nhỏ) + sđ BD (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) = 360o (4) Từ (1) (4) ta suy ra: sđ AC (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) + sđ AB (nhỏ) = 360o sđ AC (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) = 360o - sđ AB (nhỏ) Mà: 360o - sđ AB (nhỏ) = sđ AB (lớn) sđ AB (lớn) = sđ AC (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) b) Do tia OC trùng với tia đối cạnh góc tâm AOB nên ta có: AOB BOC AOC 180o AOB BOC AOC 360o BOC AOC 360o AOB Mà góc AOC góc tâm chắn cung AC, góc BOC góc tâm chắn cung nhỏ BC góc AOB góc tâm chắn cung nhỏ AB sđ AC + sđ BC (nhỏ) = 360o - sđ AB (nhỏ) Mà: 360o - sđ AB (nhỏ) = sđ AB (lớn) sđ AB (lớn) = sđ AC + sđ BC (nhỏ) c) Kẻ đường kính AE Do tia OE trùng với tia đối cạnh góc tâm AOB nên ta có: AOB BOE AOE 180o AOB BOE AOE 360o BOE AOE 360o AOB Mà góc AOE góc tâm chắn cung AE, góc BOE góc tâm chắn cung nhỏ BE góc AOB góc tâm chắn cung nhỏ AB sđ AE + sđ BE (nhỏ) = 360o - sđ AB (nhỏ) Mà: 360o - sđ AB (nhỏ) = sđ AB (lớn) sđ AB (lớn) = sđ AE + sđ BE (nhỏ) Mà BOE BOC COE nên ta có: sđ BE (nhỏ) = sđ CE (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) sđ AB (lớn) = sđ AE + sđ CE (nhỏ) + sđ BC (nhỏ) Mà AOE AOC COE 180o AOE AOC COE 360o AOE COE 360o AOC sđ AE + sđ CE (nhỏ) = 360o - sđ AC (nhỏ) Mà sđ AC = 360o - sđ AC (nhỏ) sđ AE + sđ CE (nhỏ) = sđ AC (lớn) sđ AB (lớn) = sđ AC (lớn) + sđ BC (nhỏ) Bài tập bổ sung Bài 1.1 trang 100 SBT Toán lớp tập 2: Cho hình bs.4 Biết cung DOA 120o , OA vng góc với OC, OB vng góc với OD a) Đọc tên góc tâm có số đo nhỏ 180o b) Cho biết số đo góc tâm tìm câu c) Cho biết tên cặp cung có số đo (nhỏ 180o ) d) So sánh hai cung nhỏ AB BC Lời giải: a) Các góc tâm có số đo nhỏ 180o là: AOB, AOC, AOD, BOC, BOD, COD b) OA vng góc với OC O AOC 90o OB vng góc với OD O BOD 90o Ta có: AOB BOD AOD AOB AOD BOD 120o 90o 30o AOC COD AOD COD AOD AOC 120o 90o 30o AOB BOC AOC BOC AOC AOB 90o 30o 60o c) Các cung có số đo nhỏ 180o là: AB CD (hai cung nhỏ, AOB COD 30 ) AC BD (hai cung nhỏ, AOC BOD 90 ) d) sđ AB AOB 30o sđ BC BOC 60o Suy ra: sđ BC = sđ AB Bài 1.2 trang 100 SBT Toán lớp tập 2: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Các 1 điểm C, D, E thuộc cung AB cho sđ BC = sđ BA ; sđ BD = sđ BA ; sđ BE = sđ BA a) Đọc tên góc tâm có số đo khơng lớn 180o b) Cho biết số đo góc tâm tìm câu c) Cho biết tên cặp cung có số đo (nhỏ 180o ) d) So sánh hai cung nhỏ AE BC Lời giải: a) Các góc tâm có số đo không 180o là: AOB, AOC, AOD, AOE, BOC, BOD, BOE, COD, COE, DOE b) Ta có: AOB 180o sđ AB 180o Ta có: sđ BC 1 AB = 180o 30o 6 BOC sđ BC 30o Ta có: sđ BD = 1 sđ BA = 180o 90o 2 BOD sđ BD 90o Ta có: sđ BE 2 sđ BA = 180o 120o 3 BOE = sđ BE 120o BOC COE BOE COE BOE BOC 120o 30o 90o AOE BOE AOB AOE AOB BOE 180o 120o 60o AOD BOD AOB 90o BOC COD BOD COD BOD BOC 90o 30o 60o COD DOE COE DOE COE COD 90o 60o 30o COA BOC 180o AOC 180o BOC 180o 30o 150o c) Các cung có số đo nhỏ 180o nhau: BC DE; AE CD; AD BD; AD CE; CE BD d) sđ AE AOE 60o sđ BC BOC 30o sđ AE sđ BC ... BOE COE BOE BOC 12 0o 3 0o 90 o AOE BOE AOB AOE AOB BOE 18 0o 12 0o 6 0o AOD BOD AOB 90 o BOC COD BOD COD BOD BOC 90 o 3 0o 6 0o COD DOE COE DOE... O BOD 90 o Ta có: AOB BOD AOD AOB AOD BOD 12 0o 90 o 3 0o AOC COD AOD COD AOD AOC 12 0o 90 o 3 0o AOB BOC AOC BOC AOC AOB 90 o 3 0o 6 0o c) Các cung. .. AOB AO''B (1c) Xét tam giác AOO’ tam giác BOO’ có: O? ??A = O? ??B = R’ OA = OB = R OO’ cạnh chung Do đó, tam giác AOO’ tam giác BOO’ (cạnh – cạnh – cạnh) 1 AOO'' BOO'' AOB (2c) ; AO ''O BO''O