Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây I Lý thuyết 1 Góc ở tâm Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm Cho đường tròn (O) hai điểm A, B nằm trên đường tròn Khi đó AOB là gó[.]
Góc tâm, số đo cung, liên hệ cung dây I Lý thuyết Góc tâm - Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm Cho đường trịn (O) hai điểm A, B nằm đường trịn Khi AOB góc tâm - Nếu 0 180 cung nằm bên góc gọi cung nhỏ, cung nằm bên ngồi góc gọi cung lớn - Nếu = 180 cung nửa đường trịn - Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn Góc bẹt chắn nửa đường trịn Kí hiệu cung AB AB Số đo cung - Số đo cung AB kí hiệu sđ AB - Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Ví dụ hình vẽ: AOB = sđ AB nhỏ (góc tâm chắn cung AB ) - Số đo cung lớn hiệu 360 số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn) - Số đo nửa đường tròn 180 , số đo đường tròn 360 So sánh hai cung Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: - Hai cung gọi chúng có số đo - Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn Chú ý: Nếu C điểm nằm cung AB sđ AB = sđ AC + sđ BC Một số định lí liên hệ giữ cung dây Định lí 1: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường trịn ta có: - Hai cung căng hai dây - Hai dây căng hai cung Định lí 2: Với hai cung nhỏ đường tròn hai đường tròn nhau: - Cung lớn căng dây lớn - Dây lớn căng cung lớn Một số định lý khác: - Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song - Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung - Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây (dây khơng qua tâm) qua điểm cung căng dây - Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung vừa ngược lại II Các dạng toán Dạng 1: Bài tốn liên quan đến góc tâm, số đo cung Phương pháp giải: Để tính số đo góc tâm, số đo cung bị chắn ta sử dụng kiến thức sau: - Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung - Số đo cung lớn hiệu 360 số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn) - Số đo nửa đường tròn 180 , số đo đường tròn 360 - Sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn để tính góc - Sử dụng quan hệ đường kính dây cung Ví dụ 1: Cho hai tiếp tuyến A B đường tròn (O) cắt M Biết AMB = 40 a) Tính AMO AOM b) Tính số đo cung AB nhỏ số đo cung AB lớn Lời giải: a) Vì AM BM hai tiếp tuyến cắt M OM tia phân giác AMB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) AMO = BMO = AMB 40 = = 20 2 Vì AM tiếp tuyến đường trịn OA ⊥ AM (tính chất) OAM = 90 Xét tam giác AOM có: OAM + AMO + AOM = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) 90 + 20 + AOM = 180 AOM = 180 − 90 − 20 AOM = 70 b) Vì AM BM hai tiếp tuyến cắt M OM tia phân giác AOB (tính chất) AOM = BOM = AOB AOB = 2AOM AOB = 2.70 = 140 Ta có: AOB góc tâm chắn cung nhỏ AB AOB = sđ AB nhỏ (định lí góc tâm) sđ AB nhỏ = 140 Số đo AB lớn là: 360 - sđ AB nhỏ = 360 − 140 = 220 Ví dụ 2: Cho đường trịn (O; R) Vẽ dây AB = R Tính số đo cung nhỏ AB số đo cung lớn AB Lời giải: Gọi I trung điểm AB OI ⊥ AB (tính chất) AIO = 90 Vì I trung điểm AB nên IA = IB = AB R = 2 Xét tam giác AOI vng I ta có: R AI sin AOI = = = OA R AOI = 45 Xét tam giác AOB có: OA = OB = R Do tam giác AOB tam giác cân O OI vừa đường cao vừa đường phân giác AOB = 2AOI = 2.45 = 90 Mà AOB góc tâm chắn cung nhỏ AB AOB = sđ AB nhỏ (định lí góc tâm) sđ AB nhỏ = 90 Số đo AB lớn là: 360 - sđ AB nhỏ = 360 − 90 = 270 Dạng 2: Các toán liên hệ dây cung Phương pháp giải: Để giải toán liên quan đến dây cung, cần nắm định nghĩa góc tâm kết hợp với liên hệ cung dây Ví dụ 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB Từ A B vẽ hai dây AC BD cho AC BD song song với So sánh số đo hai cung nhỏ AC BD Lời giải: Gọi F trung điểm AC; G trung điểm BD OF ⊥ AC OG ⊥ BD Mà AC // BD nên O, F, G thẳng hàng Xét AOF BOG có OA = OB (bán kính) AOF = BOG (hai góc đối đỉnh) OFA = OGB = 90 Do AOF = BOG ( cạnh huyền – góc nhọn) AF = BG mà F trung điểm AC, G trung điểm BD AC = BD Ta có: AC dây căng cung nhỏ AC BD dây căng cung nhỏ BD Do đó: sđ AC nhỏ = sđ BD nhỏ (định lý hai day căng hai cung nhau) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Đường cao AH tam giác ABC cắt đường tròn (O) D Kẻ đường kính AE đường trịn (O) Chứng minh: a) BC song song với DE b) Tứ giác BCED hình thang cân Lời giải: a) Xét tam giác AED có: O trung điểm AE Mà OA = OE = OD = R Do tam giác AED vng D (tính chất) ADE = 90 DE ⊥ AD Mặt khác AD ⊥ BC Do DE // BC (quan hệ từ vng góc đến song song) b) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song Do đó: sđ CE nhỏ = sđ BD nhỏ (nằm hai dây DE BC song song với nhau) Lại có: sđ CE nhỏ + sđ ED nhỏ = sđ CD nhỏ (1) sđ BD nhỏ + sđ ED nhỏ = sđ BE nhỏ (2) Từ (1) (2) sđ CD nhỏ = sđ BE nhỏ CD = BE (định lý hai cung căng hai dây nhau) Xét tứ giác BCED có: BC // ED Tứ giác BCED hình thang Lại có CD = BE nên tứ giác BCED hình thang cân III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB cung AC có số đo nhỏ 90 Vẽ dây CD vng góc với AB dây DE song song với AB Chứng minh AC = BE Bài 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB đường trịn (O’) đường kính AO Các điểm C, D thuộc đường (O) cho B CD;BC BD Các dây AC AD cắt đường tròn (O’) theo thứ tự E F Hãy so sánh: a) Độ dài đoạn thẳng OE OF; b) Số đo cung AE;AF đường tròn (O) Bài 3: Trên cung nhỏ AB (O), cho hai điểm C D cho cung AB ( ) chia thành ba phần AC = CD = DB Bán kính OC OD cắt dây AB E F a) Hãy so sánh độ dài đoạn thẳng AE FB b) Chứng minh đường thẳng AB CD song song Bài 4: Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngồi đường trịn (O) cho OM = 2R Từ M kẻ tiếp tuyến AM BM với đường tròn (O) (A, B tiếp điểm) a) Tính AOM ; b) Tính AOB số đo cung nhỏ AB c) Biết đoạn thẳng OM cắt (O) C Chứng minh C điểm cung nhỏ AB Bài 5: Cho đường tròn (O; R), B điểm thuộc (O) Gọi H trung điểm OB Dây CD vng góc với OB H Tính số đo cung nhỏ cung lớn CD Bài 6: Cho đường trịn (O) đường kính AB Vẽ hai dây AM BN song song với cho sđ BM 90 Vẽ dây MD song song với AB Dây DN cắt AB E Từ E vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM C Chứng minh: a) AB vuông góc với DN b) BC tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 7: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB C điểm nửa đường tròn Trên cung CA CB lấy điểm M N cho CM = BN Chứng minh: a) AM = CN b) MN = CA = CB Bài 8: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Hãy so sánh cung nhỏ AB, AC BC biết A = 50 Bài 9: Cho đường tròn (O; R) dây cung MN = K Hãy tính: 3R Kẻ OK vng góc vớ MN a) Độ dài OK theo R b) Số đo góc MOK MON c) Số đo cung nhỏ cung lớn MN Bài 10: Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C, D Kẻ CH vng góc với AB H, CH cắt (O) điểm thứ hai E Kẻ AK vng góc với CD K, AK cắt (O) điểm thứ hai F Chứng minh: a) Hai cung nhỏ CF BD b) Hai cung nhỏ BF DE c) DE = BF ... toán Dạng 1: Bài toán liên quan đến góc tâm, số đo cung Phương pháp giải: Để tính số đo góc tâm, số đo cung bị chắn ta sử dụng kiến thức sau: - Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung - Số đo cung. ..- Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Ví dụ hình vẽ: AOB = sđ AB nhỏ (góc tâm chắn cung AB ) - Số đo cung lớn hiệu 360 số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn) - Số đo nửa... 360 số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn) - Số đo nửa đường tròn 180 , số đo đường tròn 360 - Sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn để tính góc - Sử dụng quan hệ đường kính dây cung