Bài 1 góc ở tâm số đo cung

CHƯƠNG GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN BÀI GĨC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG Mục tiêu  Kiến thức + Nêu khái niệm góc tâm, số đo cung + Chỉ cung nhỏ, cung lớn, hai cung + Hiểu định lí “cộng hai cung”  Kĩ + Biết cách đo góc tâm tính góc tâm để tìm số đo hai cung tương ứng + Nhận biết hai cung hai góc tâm + Vận dụng vào giải toán cụ thể Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Góc tâm Định nghĩa Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm ● Nếu 0    180 cung nằm bên góc gọi cung nhỏ, cung nằm bên ngồi góc gọi cung lớn ● Nếu  180 cung nửa đường tròn Cung nằm bên góc gọi cung bị AOB góc tâm Cung nhỏ: AmB Cung lớn: AnB chắn Góc bẹt chắn nửa đường trịn Kí hiệu cung AB AB Số đo cung sđ AnB = AOB (góc tâm chắn AB ) ● Số đo cung AB kí hiệu sđ AB ● Số đo cung nhỏ số đo góc tâm sđ AmB 360  sđ AnB chắn cung ● Số đo cung lớn hiệu 360 số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) ● Số đo nửa đường tròn 180 Cung đường tròn có số đo 360 Cung khơng có số đo 0 (cung có hai mút trùng nhau) So sánh hai cung Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung gọi chúng có số đo Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn Định lý Nếu C điểm nằm cung AB  sđ AB = sđ AC + sđ CB SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn: GÓC Ở TÂM Cung nhỏ: sđ = SỐ ĐO CUNG Cung lớn: sđ+sđ= Với sđ> sđ II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính số đo góc tâm số đo cung bị chắn Phương pháp giải Để tính số đo góc tâm, số đo cung bị chắn, ta sử dụng kiến thức sau: ● Số đo cung nhỏ số đo góc Ví dụ: Cho hình vẽ với AOB 100 tâm chắn cung ● Số đo cung lớn hiệu 360 số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) ● Số đo nửa đường tròn 180 Cung đường trịn có số đo 360 Sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn để tính góc Sử dụng quan hệ đường kính dây cung Khi sđ AmB 100 sđ AnB 360  sđ AmB 260 Chú ý: Khi nhắc tới cung nhắc tới cung nhỏ Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hai tiếp tuyến A B đường tròn  O  cắt M, biết AMB 40 Trang a) Tính số đo AMO AOM b) sđ AmB ? Hướng dẫn giải AMB a) Ta có: AMO  20 (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)  AOM 70 (phụ với AMO ) b) Ta có: AOB 2 AOM 140 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  sđ AmB  AOB 140 Ví dụ 2: Cho  O; R  dây cung MN R Kẻ OK ⊥ MN K a) Tính độ dài OK theo R   b) Tính MOK MON c) Tính số đo cung nhỏ cung lớn MN Hướng dẫn giải R a) Ta có: MK  MN  (tính chất tam 2 giác cân) Áp dụng định lý Pi-ta-go MOK vuông K, ta có OK OM  MK 2  R 3 R2 R OK R      OK    2 b) Áp dụng tỉ số lượng giác MOK vng K, ta có: R OK  cos MOK  2  OM R     MOK 60  MON 2MOK 120 (tính chất tam giác cân)    c) sđ MmN MON 120  sđ MnN 360   sđ MmN 240 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Trang  O Câu Cho đường tròn dây cung AB Tiếp tuyến  O A B cắt M Biết AMB 50 a) Tính số đo cung AB b) Trên nửa mặt phẳng bờ OB (không chứa điểm A), kẻ đường thẳng d qua O song song với BM, d cắt  O  D Tính số đo cung AD Câu Cho tam giác ABC Vẽ đường tròn  I  đường kính BC cắt cạnh AB, AC D, E a) Tính số đo cung BD (cung lớn cung nhỏ)  DE  EC  b) Chứng tỏ BD Bài tập nâng cao Câu Cho đường tròn  O; R  , lấy B   O  gọi H trung điểm đoạn OB Dây CD vng góc với OB H Tính số đo cung nhỏ cung lớn CD Câu Cho ABC cân A Vẽ  O  , đường kính BC Đường trịn  O  cắt AB AC M N a) Chứng minh cung nhỏ BM CN có số đo   b) Tính MON , biết BAC 40  100 Gọi N; Q điểm đối xứng M; P qua O Câu Trên đường tròn  O  có sđ MP Trên cung PQ lấy C làm điểm giữa; cung MN lấy D làm điểm Tính số đo cung nhỏ CD Câu Cho đường tròn  O; R  , lấy điểm M nằm  O  cho OM 2 R Từ M kẻ tiếp tuyến MA MB với  O  (A; B tiếp điểm) a) Tính AOM b) Tính AOB số đo cung AB nhỏ c) Biết OM cắt  O  C Chứng minh C điểm cung nhỏ Bài tập Câu Vì MA, MB hai tiếp tuyến  O  nên MA ⊥ OA MB ⊥ OB Xét tứ giác AOBM có: AOB    360  MAO  MBO  AMB  360   90  90  50  130 Trang sđ AB  AOB 130 b) Ta có sđ ADB 360  sđ AB 360  130 230 Mặt khác OD∥ BM mà BM ⊥ OB  OD ⊥ OB  hay sđ BOD 90  230  90 140 Suy sđ AD  sđ ADB  sđ BD Câu a) Ta có ID  IB   R   IBD cân I  Mà DBI 60 (ABC đều) Do IBD   60 Suy BID 60  sđ BD  lớn 360  60 300 Vậy sđ BD  60 b) sđ BD  60 Tương tự có sđ EC   sđ BD  60  sđ BC   sđ EC Suy sđ DE  nên BD   DE   EC   sđ DE  sđ EC Ta có: sđ BD Bài tập nâng cao Câu Ta có OB OC (bằng bán kính)  BOC cân O Lại có BO ⊥ CD trung điểm OB Suy BOC cân C Do BOC Chứng minh tương tự được: BOD     Suy sđ CBD COD COB  BOD 120  lớn 360  120 240 Suy sđ CD Câu a) Ta có: OM ON OB OC  BOM CON cân O     Suy MBO NCO  BMO CNO Mặt khác:       MBO  BMO  BOM  NCO  CNO  CON 180 (định lý tổng ba góc tam giác) (*)     Suy BOM CON  BM CN  b) BAC 40  ABC  ACB 70 (định lý tổng ba góc Trang tam giác)   Thay vào (*) ta có: BOM CON 40 Suy    MON 180  BOM  CON 180  40  40 100 Câu    100 nên MOP Do sđ MP  NOQ 100 (hai góc đối đỉnh) D C điểm cung MN cung PQ  sđ DN  90 nên ta có sđ QC    sđ DN  100 D nằm QN nên ta có: sđ QD  100  90 10  sđ QD  C nằm QN nên ta có:   sđ CN  100  sđ CN  100  90 10 sđ QC Suy   sđ QD   sđ NC  sđ QN  100  10  10 80 sđ CD Câu a) Do MA; MB tiếp tuyến  O  nên MA ⊥ AO MB ⊥ BO Xét tam giác vng MAO có sin AMO  AO  MO Suy AMO 30  AOM 60 (hai góc phụ nhau) b) AOB 2 AOM 120 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy sđ AB 120   c) Ta có AOC  BOC  AC  BC Suy C điểm cung AB Dạng 2: Chứng minh hai cung Phương pháp giải Sử dụng định lí, hệ ứng dụng kiến Ví dụ: thức học để chứng minh hai góc tâm hai dây suy hai cung Trang  AB CD  sđ AB sđ DC AOB COD    sđ AB sđ DC Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hai tiếp tuyến A, B đường tròn  O  cắt K, biết AKB 50 KO cắt  O  M  a) Tính AOM ; BOM b) Số đo cung nhỏ AB bao nhiêu? Hướng dẫn giải AKB a) Ta có AKO  25 (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)  AOM 65 (phụ với AMO )  Suy BOM  AOM 65 (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) b) Ta có M điểm nằm cung AB nên  sđ BA  sđ AM  sđ MB Suy sđ AB 2.65 130 Ví dụ Cho hai đường trịn đồng tâm O với bán kính khác Hai đường thẳng qua O cắt hai đường trịn điểm A, B, C, D, M, N, P, Q  sđ AM  sđ CP  sđ DQ Chứng minh rằng: sđ BN Trang Hướng dẫn giải    Ta có BON (đối đỉnh) POC  AOM POD   sđ CP  sđ AM sđ DQ Suy sđ BN Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A, vẽ nửa đường trịn đường kính BC  60 Gọi I giao điểm AD BC Lấy D thuộc nửa đường tròn cho sđ CD Chứng minh BI 2CI Câu Cho hai đường tròn  O; R   O; R cắt hai điểm A B Kẻ đường kính AOC AOD Hay so sánh số đo (độ) hai cung nhỏ BC BD hai đường tròn, biết R  R Bài tập nâng cao Câu Trên cung nhỏ AB  O  , cho hai điểm C D cho cung AB chia thành ba cung    DB  AC CD Bán kính OC OD cắt dây AB E F a) Hãy so sánh đoạn thẳng AE FB b) Chứng minh cách đường thẳng AB CD song song Câu Cho đường tròn  O  đường kính AB, vẽ góc tâm AOC 50 Vẽ dây CD vng góc với AB dây DE song song với AB Chứng minh ba điểm C; O; E thẳng hàng Từ tính số đo cung nhỏ BE Câu Trên đường tròn  O  cho cung AB có số đo 140 Gọi A ; B điểm đối xứng A; B qua O; lấy cung AD nhận B làm điểm giữa; lấy cung CB nhận A làm điểm Tính số đo cung nhỏ CD Trang Bài tập Câu Gọi O tâm nửa đường trịn đường kính BC Ta  60 sđ CD có (giả thiết) nên OCD   OCD  ABC 60 Do AIB ∽ DIC (g.g)  BI AB  CI CD Mà AB  BC ; CD OC   R   BI BC  2 CI OC Vậy BI 2CI Câu Ta có: R  R  (giả thiết) nên OA  OA Xét AOO  , ta có OA  OA nên AOO   AO O Suy AOO   AO O hay AOB  AO B   D (hai góc kề bù với hai góc trên) Suy BOC  BO Vậy số đo (độ) cung nhỏ BC lớn số đo (độ) cung nhỏ BD Bài tập nâng cao Câu a) Xét OFB OEA có:   ); OA OB  R ; AOC  DOB (do AC  DB   ( OAB cân O OA OB  R ) OAB OBA Do OEA OFB (g.c.g)  AE  FB b) Do OEA OFB nên  OE OF  OEF cân O   Suy 2.OEF (định lý tổng ba góc 180  EOF tam giác) Chứng minh tương tự OCD cân O nên   (định lý tổng ba góc tam giác) 2.OCD 180  COD   Do OEF OCD Mà hai góc vị trí đồng vị Vậy AB∥ CD (cặp góc đồng vị nhau) Trang 10 Câu Gọi M trung điểm CE Xét CDE có: MC  MD  ME (tính chất tam giác vng) Lại có: OC OD OE (bán kính) Suy M trùng O hay ba điểm C; O; E thẳng hàng   50 Do BOE  AOC 50 (đối đỉnh)  sđ BE Câu  OA (hai góc đối đỉnh)  sđ AB  sđ AB Ta có AOB  B Mặt khác sđ AB   sđ AB  180 (cung chắn nửa đường tròn)  sđ AB  180  140 40 B  A điểm cung AD cung BC  D 40 sđ BA   sđ AC 40 nên ta có sđ AB   sđ B Suy  sđ AB   sđ B  D  sđ AC sđ CD 140  40  40 60 Trang 11