Vấn đề Góc ở tâm số đo độ của cung—so sánh cung CHỦ ĐỀ 8 GÓC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY A/ LÝ THUYẾT 1/ Góc ở tâm là góc có đỉnh là tâm của đường tròn Góc này cắt đường tròn tại A và B[.]
CHỦ ĐỀ 8: GÓC Ở TÂM - SỐ ĐO CUNG LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY A/ LÝ THUYẾT 1/ Góc tâm góc có đỉnh tâm đường trịn Góc cắt đường trịn A B cung nhỏ AB cung bị chắn góc tâm AOB 2/ Số đo cung: + Số đocủa cung nhỏ bị chắn số đo góc tâm chắn cung + Số đo cung lớn hiệu 360o số đo cung nhỏ + Số đo nửa đường tròn 180o + Chú ý: - Cung nhỏ có số đo nhỏ 180o - Cung lớn có số đo lớn 180o 3/ So sánh cung: + Cung lớn có số đo lớn ngược lại + Cung có góc tâm lớn lớn ngược lại 4/ Nếu C điểm nằm cung AB thì: Sđ = Sđ + Sđ 5/ Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: - Hai cung căng hai dây - Hai dây căng hai cung 6/ Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: - Cung lớn căng dây lớn - Dây lớn căng cung lớn B/ BÀI TẬP MẪU Bài 1: Cho đường tròn (O, R) điểm M nằm ngồi đường trịn Gọi MA, MB hai tiếp tuyến với đường tròn A B Tính số đo góc tâm tạo hai bán kính OA OB nếu: a) ∠AMB = 70o b) MA = R c) MO = 2R Hướng dẫn Vì MA MB tiếp tuyến đường tròn (O) A B nên: MA ⊥ OA, MB ⊥ O B => ∠MAO = ∠MBO = 90o a) Xét tứ giác MAOB có: ∠AMB + ∠AOB + ∠MAO + ∠MBO = 360o ⇔ ∠AOB = 360o - (∠AMB + ∠MAO + ∠MBO) = 360o - (70o+ 90o + 90o) = 110o Vậy số đo góc tâm tạo hai bán kính OA, OB 110o b) Nếu MA = R Xét ΔMAO có: MA = AO = R ∠MAO = 90o => Δ MAO vuông cân A => = 45o Vậy ∠AOB = 2.∠MOA = 90o c) Nếu MO = 2R Xét ΔMAO vng A có: MO = 2.AO => ∠AMO = 30o => ∠AOM = 60o Vậy: ∠AOB = 2.∠AOM = 120o Bài 2: Cho đường tròn (O; R) dây AB không qua O Trên dây AB lấy điểm M, N cho AM = MN = NB Tia OM, ON cắt (O) C D So sánh cung AC, CD, DB Hướng dẫn Xét ΔAOM ΔBON có: OA = OB = R ∠OAM = ∠OBN (do ΔOAB cân O) AM = BN (gt) => ΔAOM = ΔBON (c – g - c) => ∠AOM = ∠BON (hai góc tương ứng) => Gọi I trung điểm OB Suy NI đường trung bình ΔOBM => NI // OM => ∠MON = ∠ONI (so le trong) (1) Mặt khác ta có: OB = OC = R, mà M ∈ OC => OM < OB hay NI < OI Xét ΔONI có NI < OI nên: ∠NOI < ∠ONI (2) Từ (1) (2) suy ∠NOI < ∠MON => Bài 3: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Kẻ dây AM đường tròn (O) dây BN đường tròn (O’) cho AM // BN Chứng minh Hướng dẫn Vì AM // BN (gt) => ∠MAB = ∠ABN (so le trong) (1) Mặt khác: OA = OB = O'A = O'B => Tứ giác OAO’B hình thoi => ∠OAB = ∠ABO' (2) Từ (1) (2) suy ra: ∠MAO = ∠NBO' Ta có: ΔMOA cân O ΔNO'B cân O' có góc đáy => ∠MOA = ∠NO'B Do đó: ΔMOA = ΔNO'B (c.g.c) => AM = BN Mặt khác hai đường tròn (O) (O’) nên => Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt hai điểm A B (R < R') Kẻ đường kính BOC BO’D a) Chứng minh rằng: Ba điểm C, A, D thẳng hàng b) So sánh số đo hai cung nhỏ AC AD Hướng dẫn a) Vì ΔABC nội tiếp đường trịn đường kính BC nên ΔABC vuông A hay ∠BAC = 90o Tương tự ta có: ∠BAD = 90o => ∠CAD = ∠BAD + ∠BAC = 180o => điểm C, A, D thẳng hàng b) Xét đường trịn (O) có: Xét đường trịn (O’) có: => Bài 5: Cho đường trịn (O) đường kính AB Điểm C thuộc đường trịn (O) cho SđBC = 30o, điểm M thuộc cung AC nhỏ Gọi D E điểm đối xứng với M qua AB OC Chứng minh rằng: ΔDOE Hướng dẫn Vì sđ = 30o => ∠BOC = 30o Gọi I giao điểm MD AB, J giao điểm ME OC Theo giả thiết: M D đối xứng với qua AB, mà M thuộc đường tròn (O) nên D thuộc đường tròn (O) Tương tự E thuộc đường tròn (O) Tứ giác MIOJ có ∠I = ∠J = 90o => ∠IMJ + ∠IOJ = 180o => ∠IMJ = 180o - ∠IOJ = ∠BOC = 30o Ta có ΔMOD ΔMOE cân O nên: ∠MOD = 180o - 2∠DMO ∠MOE = 180o - 2∠EMO => ∠MOD + ∠MOE = 360o - 2(∠DMO + ∠EMO) ⇔ 360o - ∠DOE = 360o - ∠IMJ ⇔ ∠DOE = 2∠IMJ = 60o Vậy ΔDOE Bài 6: Cho điểm M chuyển động nửa đường trịn (O) đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax By với đường tròn (O) Tiếp tuyến M với (O) cắt Ax C cắt By D; đường thẳng CO OD cắt (O) E F a) Tính sđ b) Tìm tập hợp tâm I đường trịn ngoại tiếp Hướng dẫn a) Vì CA BM hai tiếp tuyến với (O) nên OC tia phân giác ∠AOM Tương tự ta có OD tia phân giác ∠BOM Mà ∠AOM ∠BOM hai góc kề bù => OC ⊥ OD Vậy ta có ∠COD = 90o hay sđ = 90o b) Vì ΔCOD vng O nên tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔCOD trung điểm CD Dễ thấy tứ giác ABCD hình thang có OI đường trung bình nên OI//AC => OI ⊥ AB Vậy I chuyển động đường thẳng d vuông góc với AB O Bài 7: Cho AB dây cung đường tròn (O), I trung điểm AB Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý Gọi giao điểm OI MI với (O) C N So sánh Hướng dẫn Kẻ OH ⊥ MN Ta có: ΔOHI vng H nên OH < OI Mà OH, OI khoảng cách từ O đến hai dây MN AB => AB < MN Do sđ > sđ B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG BT1: Cho (O; 5cm) điểm M cho OM=10cm Vẽ hai tiếp tuyến MA MB Tính góc tâm hai tia OA OB tạo BT2: Cho tam giác ABC, vẽ nửa đường trịn đường kính BC cắt AB D AC E So sánh cung BD; DE EC BT3: Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) với R > r Điểm M (O; R) Qua M vẽ hai tiếp tuyến với (O; r), cắt (O; R) A B (A nằm M B); cắt (O; R) C D (C nằm D M) C/m: hai cung AB CD BT4: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A, B Dây AC đường trịn (O) vng góc với AO’; dây AD đường trịn (O’) vng góc với AO So sánh góc BT5: Trên đường trịn (O) có cung B’ làm điểm giữa; lấy cung 140o Gọi A’ B’ đối xứng A, B qua O; lấy cung nhận A’ làm điểm Tính số đo cung nhỏ nhận BT6: Cho hai đường tròn (O) , (O’) cắt A, B Kẻ đường kính AOC AO’D Gọi E giao điểm thứ hai đường thẳng AC với (O’) a) So sánh cung nhỏ , b) Chứng minh B điểm cung BT7: a) Cho đường tròn (O, R) với hai điểm A, B Tìm quỹ tích trung điểm dây đường trịn có độ dài dây AB b) Cho đường tròn (O, R) với hai tiếp tuyến AB, AC Một tiếp tuyến di động đường tròn (O) cắt đoạn thẳng AB, AC điểm tương ứng P, Q Gọi P’, Q’ theo thứ tự giao điểm đoạn thẳng OP, OQ với đường tròn (O) Chứng minh cung nhỏ có số đo khơng đổi Tìm quỹ tích trung điểm I P’Q’ BT8: Cho đường trịn (O), dây AB Gọi M điểm cung góc với AB D, cắt OC K Vẽ dây MC cắt dây AB D Vẽ đường vng tam giác ? BT9: Cho M, N, P, Q bốn điểm tùy ý đường tròn (O) Các tiếp tuyến (O) bốn điểm cắt tạo thành tứ giác ABCD Tính số đo tổng góc ? BT10: Cho đường trịn (O), dây AB Trên dây AB lấy D nối D với C đường tròn (C khác A, B; A, O, C không thẳng hàng) Các đường trung trực AD DC cắt M CMR: đường thẳng MO qua điểm cung BT11: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, lấy điểm S cho SA SB cắt nửa đường tròn M N Gọi H giao điểm AN BM Chứng minh: a) Tứ giác SMHN nội tiếp đường trịn b) SH vng góc với AB BÀI TẬP VỀ NHÀ BT1: Cho hai đường tròn đồng tâm (O;R) (O;2R) P điểm ngồi (O;2R) Vẽ đường trịn (P;PO) cắt đường tròn (O;2R) C D, cắt đường tròn (O;R) E F OC OD cắt (O;R) A B CMR: a) CD // EF b) PA PB hai tiếp tuyến (O;R) BT2: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB =5 cm đường chéo AC=8 cm Đường tròn tâm A bán kính R=5 cm tiếp xúc với đường trịn tâm C M thuộc đoạn AC Đường tròn cắt CB E cắt CD F Tính tỉ số độ dài cung cung BT3: Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A, B tiếp điểm) Cho biết góc AMB 40 a) Tính góc AOB b) Từ O kẽ đường thẳng vng góc với OA cắt MB N.Chứng minh tam giác OMN tam giác cân BT4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẽ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M nửa đường tròn kẽ tiếp tuyến thứ ba với đường trịn, cắt Ax By C D a) Chứng minh: Tam giác COD tam giác vuông b) Chứng minh: MC.MD=OM2 c) Cho biết OC=BA=2R, tính AC BD theo R BT5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Biết = 650 ; = 1020 Tính số đo góc A D BT6: Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đường thẳng AB ta lấy điểm M cho điểm B nằm hai điểm A M Kẻ hai tiếp tuyến MN MP với đường tròn (N, P hai tiếp điểm ) a) Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp b) Gọi H giao điểm NP AB Chứng minh NP c) Chứng minh OH MH = AH BH AB