HH9-CHỦ ĐỀ 11 GÓC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG ( BUỔI ) I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Góc tâm Định nghĩa Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm ● Nếu 0 180 cung nằm bên góc gọi cung nhỏ, cung nằm bên ngồi góc gọi cung lớn ● Nếu 180 cung nửa đường tròn Cung nằm bên góc gọi cung bị AOB góc tâm Cung nhỏ: AmB Cung lớn: AnB chắn Góc bẹt chắn nửa đường trịn Kí hiệu cung AB AB Số đo cung ● Số đo cung AB kí hiệu sđ AB ● Số đo cung nhỏ số đo góc tâm sđ AnB = AOB (góc tâm chắn AB ) sđ AmB 360 sđ AnB chắn cung ● Số đo cung lớn hiệu 360 số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) ● Số đo nửa đường tròn 180 Cung đường tròn có số đo 360 Cung khơng có số đo 0 (cung có hai mút trùng nhau) So sánh hai cung Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung gọi chúng có số đo Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn Định lý Nếu C điểm nằm cung AB sđ AB = sđ AC + sđ CB II CÁC DẠNG BÀI TẬP Trang Dạng 1: Tính số đo góc tâm số đo cung bị chắn Phương pháp giải Để tính số đo góc tâm, số đo cung bị chắn, ta sử dụng kiến thức sau: ● Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung ● Số đo cung lớn hiệu 360 số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) ● Số đo nửa đường tròn 180 Cung đường trịn có số đo 360 Sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn để tính góc Sử dụng quan hệ đường kính dây cung Chú ý: Khi nhắc tới cung nhắc tới cung nhỏ Câu 1: Cho O; R dây cung MN R Kẻ OK ⊥ MN K a) Tính độ dài OK theo R b) Tính MOK MON c) Tính số đo cung nhỏ cung lớn MN Hướng dẫn giải R a) Ta có: MK MN (tính chất tam 2 giác cân) Áp dụng định lý Pi-ta-go MOK vng K, ta có OK OM MK 2 R 3 R2 R OK R OK 2 b) Áp dụng tỉ số lượng giác MOK vuông K, ta có: R OK cos MOK 2 OM R MOK 60 MON 2MOK 120 (tính chất tam giác cân) c) sđ MmN MON 120 sđ MnN 360 sđ MmN 240 Trang Câu Cho ABC cân A Vẽ O , đường kính BC Đường trịn O cắt AB AC M N a) Chứng minh cung nhỏ BM CN có số đo b) Tính MON , biết BAC 40 Lời giải a) Ta có: OM ON OB OC BOM CON cân O Suy MBO NCO BMO CNO Mặt khác: MBO BMO BOM NCO CNO CON 180 (định lý tổng ba góc tam giác) (*) Suy BOM CON BM CN b) BAC 40 ABC ACB 70 (định lý tổng ba góc tam giác) Thay vào (*) ta có: BOM CON 40 Suy MON 180 BOM CON 180 40 40 100 100 Gọi N; Q điểm đối xứng M; P qua O Câu Trên đường trịn O có sđ MP Trên cung PQ lấy C làm điểm giữa; cung MN lấy D làm điểm Tính số đo cung nhỏ CD Lời giải 100 nên MOP Do sđ MP NOQ 100 (hai góc đối đỉnh) D C điểm cung MN cung PQ sđ DN 90 nên ta có sđ QC sđ DN 100 D nằm QN nên ta có: sđ QD 100 90 10 sđ QD C nằm QN nên ta có: sđ CN 100 sđ CN 100 90 10 sđ QC Suy sđ QD sđ NC sđ QN 100 10 10 80 sđ CD Trang Câu Cho đường tròn O; R , lấy điểm M nằm O cho OM 2 R Từ M kẻ tiếp tuyến MA MB với O (A; B tiếp điểm) a) Tính AOM b) Tính AOB số đo cung AB nhỏ c) Biết OM cắt O C Chứng minh C điểm cung nhỏ Lời giải a) Do MA; MB tiếp tuyến O nên MA ⊥ AO MB ⊥ BO Xét tam giác vng MAO có sin AMO AO MO Suy AMO 30 AOM 60 (hai góc phụ nhau) b) AOB 2 AOM 120 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy sđ AB 120 c) Ta có AOC BOC AC BC Suy C điểm cung AB Dạng 2: Chứng minh hai cung Phương pháp giải Sử dụng định lí, hệ ứng dụng kiến thức học để chứng minh hai góc tâm hai dây suy hai cung Câu Cho hai tiếp tuyến A, B đường tròn O cắt K, biết AKB 50 KO cắt O M a) Tính AOM ; BOM b) Số đo cung nhỏ AB bao nhiêu? Trang Lời giải AKB a) Ta có AKO 25 (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) AOM 65 (phụ với AMO ) Suy BOM AOM 65 (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) b) Ta có M điểm nằm cung AB nên sđ BA sđ AM sđ MB Suy sđ AB 2.65 130 Câu Trên cung nhỏ AB O , cho hai điểm C D cho cung AB chia thành ba cung DB AC CD Bán kính OC OD cắt dây AB E F a) Hãy so sánh đoạn thẳng AE FB b) Chứng minh cách đường thẳng AB CD song song Lời giải Lời giải a) Xét OFB OEA có: ); OA OB R ; AOC DOB (do AC DB ( OAB cân O OA OB R ) OAB OBA Do OEA OFB (g.c.g) AE FB b) Do OEA OFB nên OE OF OEF cân O Suy 2.OEF (định lý tổng ba góc 180 EOF tam giác) Chứng minh tương tự OCD cân O nên (định lý tổng ba góc tam giác) 2.OCD 180 COD Do OEF OCD Mà hai góc vị trí đồng vị Vậy AB∥ CD (cặp góc đồng vị nhau) Câu Cho đường tròn O đường kính AB, vẽ góc tâm AOC 50 Vẽ dây CD vng góc với AB dây DE song song với AB Trang Chứng minh ba điểm C; O; E thẳng hàng Từ tính số đo cung nhỏ BE Lời giải Lời giải Gọi M trung điểm CE Xét CDE có: MC MD ME (tính chất tam giác vng) Lại có: OC OD OE (bán kính) Suy M trùng O hay ba điểm C; O; E thẳng hàng 50 Do BOE AOC 50 (đối đỉnh) sđ BE Câu Trên đường tròn O cho cung AB có số đo 140 Gọi A ; B điểm đối xứng A; B qua O; lấy cung AD nhận B làm điểm giữa; lấy cung CB nhận A làm điểm Tính số đo cung nhỏ CD Lời giải OA (hai góc đối đỉnh) sđ AB sđ AB Ta có AOB B Mặt khác sđ AB sđ AB 180 (cung chắn nửa đường tròn) sđ AB 180 140 40 B A điểm cung AD cung BC D 40 sđ BA sđ AC 40 nên ta có sđ AB sđ B Suy sđ AB sđ B D sđ AC sđ CD 140 40 40 60 Dạng 3:Bài toán tổng hợp Câu 1: Cho đường trịn (O; R) điểm M nằm ngồi đường trịn Gọi MA, MB hai tiếp tuyến với đường trịn A B Tính số đo góc tâm tạo hai bán kính OA OB nếu: a) AMB 70 b) MA R c) MO 2 R Lời giải Trang Vì MA MB tiếp tuyến đường tròn (O) A B nên: MA OA, MB OB Suy MAO MBO 90 a) Xét tứ giác MAOB có: AMB AOB MAO MBO 360 AOB 360 AMB MAO MBO AOB 360 70 90 90 110 Vậy số đo góc tâm tạo hai bán kính OA, OB 110° b) Xét ∆MAO có: MA AO R MAO 90 ∆MAO vuông cân A MOA 45 Vậy AOB 2 MOA 90 c) Xét ∆MAO vng A có: MO 2 AO AMO 30 AOM 60 Vậy AOB 2 AOM 120 30 ,điểm M Câu 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB Điểm C thuộc đường tròn (O) cho sđ BC thuộc cung AC nhỏ Gọi D E điểm đối xứng với M qua AB OC Chứng minh rằng: ∆DOE Lời giải 30 nên BOC Vì sđ BC 30 Gọi I giao điểm MD AB, J giao điểm ME OC Theo giả thiết: M D đối xứng với qua AB, mà M thuộc đường tròn (O) nên D thuộc đường tròn (O) Tương tự E thuộc đường trịn (O) Tứ giác MIOJ có I J 90 IMJ IOJ 180 IMJ 180 IOJ BOC 30 Ta có ∆MOD ∆MOE cân O nên: MOD 180 DMO ; MOE 180 EMO Trang MOD MOE 360 DMO EMO 360 DOE 360 IMJ DOE 2 IMJ 60 Mặt khác OD OE Vậy ∆DOE Câu 3: Cho tam giác ABC có diện tích S, nội tiếp đường trịn (O) Trên cung AB, BC, CA lấy ; CC có số đo 30° Tính diện tích theo thứ tự điểm A’, B’, C’ cho cung AA; BB phần chung hai tam giác ABC A’B’C’ theo S Lời giải Gọi I giao điểm AB A’B’; K giao điểm A’B’ BC Xét ∆AOB ∆A’OB’ có: AO AO BO B O AOA BOB (giả thiết) ∆AOB = ∆A’OB’ (c.g.c) A1 A1 30 Mà AOA 30 A’B’ // AO (1) Tương tự có: OB’ // AB (2) Từ (1) (2) có AIB’O hình bình hành, suy AI OB OA R Đặt OA R AB R 3; BH BI AB AI R R R Lại có: S BIK S BAH IB R AB R 3 4 S 2 BIK S ABC Gọi diện tích phần chung S’, ta có: S S 3S BIK 2 1 S S Vậy S 3 S Trang