Hh9 chủ đề 23 tổng hợp hình học – phần 3 ( 1 buổi )

CHỦ ĐỀ … TỔNG HỢP HÌNH HỌC – PHẦN ( BUỔI ) Bài Cho đường tròn  O  O  lấy điểm đường kính BD 2 R , tiếp tuyến B đường tròn A cho BA R Từ A vẽ tiếp tuyến AC  O  ( C tiếp điểm C khác B ) Một đường thẳng qua C cắt tia BA tia BO N M Vẽ BH vng góc MN H a) Chứng minh OBAC hình vng điểm O , B , C , A , H thuộc đường tròn b) Chứng minh AN OM R 9R2 c) Tính độ dài AN OM theo R biết diện tích MBN Lời giải N H A B C O a) Ta có: AB , AC hai tiếp tuyến ABO 90 D  O M nên AB  AC R Mà AB OB OC R  OBAC hình vng Khi O , B , C , A nằm đường trịn đường kính BC  Vì BHC 90 nên H thuộc đường trịn đường kính BC Vậy O , B , C , A , H thuộc đường tròn     b) Vì OC // BN  OCM BNM (đồng vị); AC // BM  OMC  ACN (đồng vị) Suy ra: NAC ~  COM  NA CA   AN OM CA.CO R CO MO 9R2 9R2 S MBN  BN BM    R  AN   R  OM   c)  R  R  AN  OM   AN OM  9R2 5R  AN  OM  2  5R R  AN 2 R   AN  OM   AN      R  AN OM R OM 2 R  OM  Khi đó:  Bài Cho đường tròn  O  O  cho AB  AC đường kính BC , lấy điểm A đường tròn AH  BC  H  BC  HE  AB  E  AB  HF  AC  F  AC  Từ A vẽ Từ H vẽ ; a) Chứng mimh: AEHF hình chữ nhật AO  EF  O  P Q ( E nằm P F ) Chứng minh: b) Đường thẳng EF cắt đường tròn AP  AE AB Suy  APH tam giác cân  O  ( K khác A ) c) Gọi D giao điểm PQ BC ; K giao điểm AD đường tròn Chứng minh: AFEK nội tiếp Lời giải A K P D B S F Q E C H O    a) Tứ giác AEHF có A E F 90 nên AEHF hình chữ nhật Do AEHF nội tiếp đường trịn đường kính AH  AEF  AHF (cùng nhìn cạnh AF )  1       AOB cân O  BAO  ABO Do AB // HF  ABO FHO  BAO FHO   Do AH  BC  FHO  AHF 90 Từ (  1  2  2   AEF  BAO 90  AO  EF  3 b) Ta có: APE ABP  AP  AE AB ABH vuông H  AH  AE AB Từ  3  4  4 suy AP  AH suy APH tam giác cân c) Gọi S giao điểm EF AH AEHF hình chữ nhật nên SA SH SE SF  5 AOD có AH , DS đường cao cắt S  SO đường cao thứ  SO  AK AOK cân O có SO đường cao  SO đường trung trực AK  SA  AK    5  6  SA  AK SE SF SH  AFEK nội tiếp   O  đường kính AB 12 cm , lấy C  O  cho CAB 30 Tiếp tuyến Bài Cho đường tròn Từ  O  cắt D DO cắt AC H , DB  O  F A C a) Chứng minh: OD  AC H DA DH DO b) Chứng minh: Tứ giác BOHF nội tiếp  O  E ( E phía F có bờ AB ) Chứng minh E tâm đường trịn nội tiếp DAC c) OD cắt tính bán kính đường trịn nội tiếp DAC Lời giải D E F C H A O B a) Chứng minh: OD  AC H Chứng minh tam giác DAH đồng dạng với tam giác DOA (g - g), suy DA DH DO b) Tứ giác BOHF nội tiếp DH DO DF DB  DA2  Chứng minh:    DHF ∽ DBO  DHF DBO Suy tứ giác BOHF nội tiếp (tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối nó) c) Chứng minh E tâm đường tròn nội tiếp DAC Chứng minh: E giao điểm đường phân giác DH AE Chứng minh: EH bán kính đường trịn nội tiếp DAC Tính EH :  HO OA.sin CAB 6.sin 30 3cm HE OE – HO 6 – 3cm Bài Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB cắt cạnh BC , AC D , E Gọi H giao điểm AD BE a) Chứng minh: Tứ giác CEHD nội tiếp b) Từ C vẽ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng BE M , từ C vẽ tiếp đường thẳng song song với BE cắt đường thẳng AD N Chứng minh: HNC ∽ BAC OC  MN c) Đường thẳng CH cắt AB F Tính diện tích tam giác ABC FA 6 cm ; FB 15cm ; FH 5cm Lời giải C K N I D M E A a) B O F    O  nên AEB  90  CEH 90 Ta có AEB nội tiếp chắn đường trịn  Tương tự CDH  90 Xét tứ giác   CEHD có CEH  CDH 180  CEHD nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối 180 ) b) Gọi K giao điểm CH với MN I giao điểm OC với MN Có CN // MB  CN  AC  BM  AC      Có ACF  FCN  90 ACF  CAB  90     FCN  CAB (cùng phụ với ACF )    Có CNA  ACB (cùng phụ với CAN )  HNC ∽BAC (g-g) Chứng minh: HKN ∽BOC (c-g-c)  OFKI nội tiếp  OC  MN c) Tính BC 3 61 cm CH CF CD.CB gọi CH  x  x  x  234 0  x 13 S ABC  21 18 189 cm 2 Bài Cho A  O; R   O  cắt dây cung BC khác đường kính Tiếp tuyến B C a) Chứng minh: ABOC tứ giác nội tiếp AO  BC b) Vẽ cát tuyến AMN không qua O ( M nằm A N ) Gọi H giao điểm AO với BC Chứng minh: AM AN  AH AO  c) Chứng minh: HB tia phân giác MHN Lời giải   a) Ta có: ABO 90 ( AB tiếp tuyến); ACO 90 ( AC tiếp tuyến)   Suy ABO  ACO  180 Vậy tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp * Ta có: AB  AC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau); OB OC R Nên AO trung trực đoạn BC Vậy AO  BC b) Chứng minh ABM ANB  g-g   AM AN  AB 2 Chứng minh AH AO  AB (hệ thức lượng ABO vng B có đường cao BH ) Vậy AM AN  AH AO c) AM AN  AH AO (chứng minh trên)  AM AH  AO AN A góc chung     Nên AHM ANO  AHM MNO  MHON tứ giác nội tiếp MNO OMN    ( MNO cân O )  AHM MNO OHN    Vậy MHB BHN  HB phân giác MHN O; R Bài Cho điểm A nằm ngồi đường trịn  Từ A , vẽ tiếp tuyến AB , AC cát tuyến  ADE  O  cho O nằm góc EAC a/ Chứng mimh: OA  BC H AB AC  AD AE O; R  O b/ Vẽ tiếp tuyến E  cắt CB T Chứng minh: TD tiếp tuyến c/ Gọi K giao điểm DE BC F trung điểm DE Chứng minh: AD.KE  AE.KD KD.KE  AK KF Lời giải T B E F O K D H A C a/ Chứng minh: OA đường trung trực BC  OA  BC Chứng minh: ABD ~ AEB (g-g)  AB AD   AB  AD AE AE AB Mà AB  AC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)  AB AC  AD AE b/ Chứng minh: tứ giác OHDE OHTE nội tiếp  O ; H ; D ; T ; E thuộc đường tròn    ODT OHT 90  TD  OD  TD tiếp tuyến đường tròn  O ; R  c/ Chứng minh: HK tia phân giác HDE  KD HD  KE HE AD HD  Chứng minh AE HE KD AD   AD.KE  AE.KD Suy ra: KE AE   AK  KD  KE  AK  KE  KD  KD.KE  AK  KE  KD  Ta có: AD.KE  AE.KD  KD.KE  AK KF  KD.KE  AK KF  AB  AC  có góc nhọn nội tiếp đường tròn  O; R  Gọi H giao điểm Bài Cho ABC đường cao AD , BE , BE ABC a) Chứng minh: tứ giác BFEC BFHD nội tiếp đường tròn  O  Chứng minh: AB AC 2 R AD b) Vẽ đường kính AI đường trịn c) Gọi K trung điểm BC Chứng minh: FEDK nội tiếp đường tròn Lời giải   a) Tứ giác BFEC có: BFC BEC 90 ( BE , BE đường cao ABC )  Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn  90 AD đường cao ABC  HDB   Tứ giác BFHD có: BFH  HDB 90  90 180  Tứ giác BFHD nội tiếp đường tròn  b) Ta có: ACI 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)     Xét ABD AIC có: ABD  AIC (hai góc nội tiếp chắn cung AC ); ADB  ACI 90 AB AD  Do đó: ABD AIC (g-g)  AI AC  AB AC  AI AD Mà AI 2 R suy AB AC 2 R AD   c) Tứ giác BFHD nội tiếp  ABE HDF     Tứ giác AEDB nội tiếp ( AEB  ADB 90 )  ABE HDE      Nên HDE  ABE HDF , suy FDE 2 ABE  1   Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn tâm K  EKF 2 ABE  2 Từ  1  2   suy ra: EKF FDE Do EFDK nội tiếp đường trịn  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O;12 cm  Bài Cho tam giác nhọn ABC ,  a) Giả sử BAC 60 Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn OB , OC cung BC nhỏ b) Ba đường cao AF , BH , CK ABC cắt S Chứng minh: FS FA FB.FC S tâm đường tròn nội tiếp KFH  O  Tiếp tuyến E  O  cắt BC P , PO cắt AB AC lần c) Vẽ đường kính AE lượt M N Chứng minh OM ON Lời giải a) Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn OB , OC cung BC nhỏ  Có BAC 60 nên số đo cung BC 120  Sq  3,14.122.120 150, 72  cm  360 b) Chứng minh: FS FA FB.FC S tâm đường tròn nội tiếp KFH Xét FSC FBA có  AFC  AFB 90      FCS FAB phuï ABC  FSC FBA (g-g)    FS FB   FS FA  FB.FC FC FA   Chứng minh HS phân giác KHF , FS phân giác HFH Suy S tâm đường tròn nội tiếp KFH c) Chứng minh OM ON Từ C kẻ đường thẳng song song MN cắt AB Q cắt AE R Gọi I trung điểm BC , suy tứ giác POIE nội tiếp đường tròn Chứng minh tứ giác ICRE nội tiếp Chứng minh I trung điểm BC , R trung điểm QC Chứng minh OM ON  AB  Bài Cho ABC vuông A có BC   cm , AC  cm Tính xác độ dài cạnh Lời giải BC  AB  AC  BC  Bài 10.Cho ABC nhọn    2 2   AB  AC       cm  nội tiếp đường tròn  O  O  có đường cao AD AD cắt AC  E  AC  điểm thứ hai M Vẽ ME vng góc với , đường thẳng ED cắt đường thẳng AB I a) Chứng tỏ tứ giác MDEC nội tiếp, MI  AB b) Chứng tỏ AB AI  AE AC c) Gọi N điểm đối xứng với M qua AB , F điểm đối xứng với M qua AC NF cắt AD H Chứng tỏ H trực tâm ABC Lời giải   a) Xét tứ giác MDCE có MDC MEC 90 Suy ra: MDCE nội tiếp     b) MDCE nội tiếp nên MDE MCE  IDM  ACM     Mà ABM  ACM 180 (vì ABMC nội tiếp)  ABM  IDM 180 hay IBDM nội tiếp    Suy ra: BIM BDM 90 (cùng chắn MB ) Vậy MI  AB      b) Xét ADE , ACM có: MAC chung, ADE  ACM (vì MDE MCE ) Suy ra: ADE ACM  AD AE   AD AM  AC AE AC AM Tương tự: AD AM  AB AI Vậy AE AC  AB AI c) Ta có: IN IM ; EM EF  IE // NF  DM DH    BC trung trực đoạn MH hay BMH cân B  BMH BHM  1    DME  DCE 180    DCA DME      DCA  DCE 180  Ta có:  , mà DCA DMB (cùng chắn AB )    DME DMB Từ  1  2   2   BHD DME  BH // ME Mặt khác: ME  AC Suy BH  AC Vậy H trực tâm ABC Bài 11.Cho đường tròn  O; R  , từ điểm A nằm ngồi đường trịn kẻ tiếp tuyến AB , AC với đường  O  D ( D tròn ( B , C tiếp điểm) Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn khác O ) Đường thẳng AD cắt đường tròn điểm thứ hai K Đường thẳng BK cắt AC I a) Chứng minh: Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn b) Chứng minh: IC IK IB  c) Cho góc BAC 60 Chứng minh: A , D , O thẳng hàng Lời giải a) Chứng minh: ABOC nội tiếp đường tròn   O; R  ( B , C tiếp điểm) nên ABO  ACO 90  Vì AB , AC tiếp tuyến với đường tròn ABO  ACO 180  Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn b) Chứng minh: IC IK IB    Ta có: KCI KBC (góc nội tiếp chắn cung KC góc tiếp tuyến dây cung KC )    Hai tam giác IKC ICB có: KIC chung; KCI KBC IC IK   IKC ICB (g-g)  IB IC  IC IK IB  c) Cho góc BAC 60 Chứng minh: A , D , O thẳng hàng  Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có AB  AC AO tia phân giác góc BAC    Khi BAC 60 ABC BAO CAO 30  O; R  cho O nằm A E Gọi E giao điểm AO với đường tròn   Dễ thấy OBE cân O  OBE OEB Lại có:    OBE  OEB  AOB 90  BAO 90  30 60    OBE CEB 30    OEB CAO 30  1  BE // AC Theo giả thiết BD // AC  1  2  2  D E  A , D , O thẳng hàng  AB  AC  có BC 8 cm Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB , Bài 12.Cho ABC nhọn AC E D Hai đường thẳng BD KE cắt H Từ a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp b) Đường tròn ngoại tiếp ODE cắt CH K Chứng minh K trung điểm CH  c) Biết diện tích AED diện tích tứ giác BCDE Tính độ dài DE số đo góc BAC Lời giải a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB , AC E D nên điểm tứ giác BCDE nội tiếp đường trịn đường kính BC   BEC BDC 90 b) Đường tròn ngoại tiếp ODE cắt CH K Chứng minh K trung điểm CH Trên đường tròn đường kính BC , ta có:    DEC DBC ( góc nội tiếp chắn cung DC )   ODB  DBC ( tam giác OBD cân O )    DEC ODB  1 Trên đường trịn ngoại tiếp ODE , ta có:      DEK DOK ( góc nội tiếp chắn cung DK )  DEC DOK Từ  1  2  2    ODB DOK  OK // BD  OK // BH Tam giác BHC có OK // BH O trung điểm cạnh BC  OK đường trung bình tam giác  K trung điểm CH  c) Biết diện tích AED diện tích tứ giác BCDE Tính độ dài DE số đo góc BAC 1 Diện tích AED diện tích tứ giác BCDE  Diện tích AED diện tích ACB Gọi SAED diện tích AED , SACB S AED  diện tích ACB  S ACB 1 Diện tích AED diện tích tứ giác BCDE  Diện tích AED diện tích ACB   O  nên AED BCA Tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn    Hai tam giác: AED ACB có: Góc BAC chung; AED BCA S AED  ED    S  BC    AED   ACB  ACB  (g-g)   ED  ED 1 ED  BC 4      BC   BC  cm AE ED   Ta có: AC BC AE  cos EAC     60  BAC 60 AC  EAC Tam giác AEC vuông E nên