Hh9 chuyên đề 11 tổng hợp hình thường gặp trong đề hsg và chuyên p2(67 trang)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN HH9-CHUYÊN ĐỀ 11.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN Câu Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Gọi E giao điểm AB,CD F giao điểm AC BD Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác FDC điểm K khác D Tiếp tuyến (O) B,C cắt M a) Chứng minh tứ giác BK CM nội tiếp b) Chứng minh E , M , F thẳng hàng Câu Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên tiếp tuyến A (O) lấy điểm C Vẽ cát tuyến CDE (tia CD nằm tia CA,CO , D, E Ỵ (O ) , D nằm C , E ) Gọi M giao điểm CO BD , F giao điểm AM (O) , F ¹ A) a) Vẽ tiếp tuyến CN (O) Chứng minh CNMD tứ giác nội tiếp b) Vẽ AH ^ OC H Chứng minh ADMH tứ giác nội tiếp c) Chứng minh E ,O, F thẳng hàng Câu Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AD < BC ) Gọi I giao điểm AC BD Vẽ đường kính CM , DN Gọi K giao điểm AN , BM Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NOC điểm J khác C a) Chứng minh K BNJ tứ giác nội tiếp d) Chứng minh I , K ,O thẳng hàng Câu Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC ) Đường trịn (I ) đường kính BC cắt AB, AC F , E BE cắt CF H AH cắt BC D Chứng minh tứ giác BFHD, I FED nội tiếp Câu Cho tam giác nhọn ABC đường cao AD, BE ,CF cắt H Vẽ HI ^ EF I , HK ^ DE K , I K Ç AD = M , FM Ç DE = N Gọi S điểm đối xứng B qua D · · Chứng minh tứ giác FI MH , HMNK nội tiếp MAN = DAS Câu Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến ADE đến (O) cho ( ADE nằm tia AO, AB , D, E Ỵ (O ) ,Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC , AB P ,Q Gọi K điểm đối xứng với B qua E Gọi H , I giao điểm BC với OA, DE a) Chứng minh OEDH tứ giác nội tiếp b) Ba điểm A, P , K thẳng hàng Câu Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( B,C hai tiếp điểm) Từ điểm K nằm cung BC ( K , A nằm phía BC ) dựng tiếp tuyến cắt AB, AC M , N BC cắt OM ,ON P ,Q Gọi I giao điểm MQ, NP Chứng minh MBOQ, NCOP tứ giác nội tiếp Câu Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC ) Đường trịn (O) đường kính BC cắt AB, AC E , D BD cắt CE H , tiếp tuyến (O) B, D cắt K , AK Ç BC = M , MH Ç BK = N Vẽ tiếp tuyến AS (O) với (S thuộc cung nhỏ CD) , K D Ç AH = I , MH Ç OA = L Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AK T a) Chứng minh tứ giác T K DB, BELO nội tiếp b) Ba điểm N , E , I thẳng hàng c) Ba điểm M , E , D thẳng hàng .1 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN d) Ba điểm M , S , H thẳng hàng Câu Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) có hai đường cao BE , CD cắt H Gọi M trung điểm BC Giả sử (O) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AED N a) Chứng minh N , H , M thẳng hàng b) Giả sử AN cắt BC K Chứng minh K , E , D thẳng hàng Câu 10 Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O) Gọi Q, R tiếp điểm (O) với AB, AC Gọi M , N trung điểm BC , CA Đường thẳng BO cắt MN P a) Chứng minh ORPC tứ giác nội tiếp b) Ba điểm P, Q, R thẳng hàng Câu 11 Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE , CF cắt H Từ A ta dựng tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn đường kính BC a) Chứng minh tứ giác AMDN , MNDO nội tiếp b) Chứng minh ba điểm H , M , N thẳng hàng Câu 12 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE , CF cắt điểm H Gọi M , N trung điểm AH , BC Các phân giác góc  ABH ,  ACH cắt P a) Chứng minh điểm B, C , E , P, F nằm đường tròn Điểm P trung điểm cung nhỏ EF b) Ba điểm M , N , P thẳng hàng Câu 13 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE , CF cắt điểm H Đường thẳng EF cắt điểm M Gọi O trung điểm BC Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác OBF , OCE cắt giao điểm thứ P a) Chứng minh tứ giác EFPH , BCHP, MEPB tứ giác nội tiếp b) Chứng minh OPM tam giác vng Câu 14 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm điểm H Gọi M , N chân đường cao hạ từ B, C tam giác ABC Gọi D điểm cạnh BC Gọi w1  đường tròn qua điểm B, N , D gọi w2  đường tròn qua điểm C , D, M DP, DQ đường kính w1 , w2  Chứng minh P, Q, H thẳng hàng  IMO  2013  Câu 15 Cho tam giác ABC có BAC góc lớn Các điểm P, Q thuộc cạnh BC  BCA  , CAP   cho QAB ABC Gọi M , N điếm đối xứng A qua P, Q Chứng minh rằng: BN , CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( IMO  2014) Câu 16 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm P cung BC không chứa điểm A (O) Gọi  K  đường tròn qua A, P tiếp xúc với AC ( K ) cắt PC S khác P Gọi  L  đường tròn qua A, P đồng thời tiếp xúc với AB ( L) cắt PB T khác P Gọi D điểm đối xứng với A qua BC a) Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác DPC b) Ba điểm S , D, T thẳng hàng Câu 17 Cho tam giác ABC , hai cạnh AB,AC lấy hai điểm E , D cho  ABD   ACE Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt tia CE M , N Gọi H giao điểm BD, CE Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC cắt tia BD I , K CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN a) Chứng minh điểm M , I , N , K nằm đường tròn b) Gọi F giao điểm thứ đường tròn  ABD , ( AEC ) Chứng minh A, H , F thẳng hàng c) Chứng minh : Tam giác AMN cân A Câu 18 Cho tam giác ABC có (O), ( I ), ( I a ) theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A tam giác Gọi D tiếp điểm ( I ) với  BC ; P điểm cung BAC (O) , PI a cắt O  điểm K Gọi M giao điểm PO BC a) Chứng minh: IBI a C tứ giác nội tiếp b) c) Chứng minh NI a tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác I a MP  KAI  Chứng minh: DAI Câu 19 a Cho đường tròn tâm O  bán kính R dây cung BC cố định có độ dài BC R Điểm A thay đổi cung lớn BC Gọi E , F điểm đối xứng B, C qua AC , AB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE , ACF cắt giao điểm thứ K a) Chứng minh điểm K ln thuộc đường trịn cố định b) Xác định vị trí điểm K để tam giác KBC có diện tích lớn tìm giá trị lớn theo R c) Gọi H giao điểm BE , CF Chứng minh tam giác ABH #AKC đường thẳng AK qua điểm cố định Câu 20 Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến ADE đến (O) cho ( ADE nằm tia AO, AB , D, E Ỵ (O ) , Gọi F điểm đối xứng D qua AO , H giao điểm EF , BC Chứng minh: A,O, H thẳng hàng Câu 21 Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến AEF đến (O) cho ( AEF nằm tia AO, AB , F , E Ỵ (O ) · · ) Vẽ đường thẳng qua E vng góc với OB cắt BC M cắt BF N Vẽ BAF < FAC OK ^ EF a) Chứng minh: EMK C nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng FM qua trung điểm AB Câu 22 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) Các đường cao AD, BE ,CF cắt H Tiếp tuyến B,C (O) cắt G GD Ç EF = S Gọi M trung điểm cạnh BC Giả sử EF Ç BC = T , AT Ç (O ) = K a) Chứng minh điểm A, K , F , E , H nằm đường tròn b) Chứng minh M , S, H thẳng hàng Câu 23 Cho (O) (d) không giao Vẽ OH ^ (d) lấy hai điểm A, B thuộc (d) cho HA = HB Lấy điểm M thuộc đường tròn (O) Dựng cát tuyến qua H , A, B điểm M cắt đường tròn (O) C , D, E , DE Ç (d) = S Dựng đường thẳng qua O ^ CE cắt tiếp tuyến E (O) K Dựng ON ^ DE N a) Chứng minh tứ giác HNCS tứ giác nội tiếp | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN b) Ba điểm S,C , K thẳng hàng Câu 24 Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (O) tiếp xúc với ba cạnh BC , AC , AB D, E , F Trên đoạn OD lấy điểm I dựng đường tròn tâm I bán kính ID Dựng BG ,CH tiếp tuyến (I ) G, H Gọi M = BG Ç CH , N = EF Ç BC a) Chứng minh EHGF nội tiếp b) Ba điểm N ,G, H thẳng hàng Câu 25 Cho đường tròn (O),(O1),(O2) biết (O1),(O2) tiếp xúc với điểm I (O1),(O2) tiếp xúc với (O) M 1, M Tiếp tuyến (O1) I cắt (O) A, A ' Đường thẳng AM cắt (O1) điểm N , đường thẳng AM cắt (O2) điểm N a) Chứng minh tứ giác M 1N 1N 2M nội tiếp OA ^ N 2N b) Kẻ đường kính PQ (O) cho PQ ^ AI ( Điểm P nằm cung AM không chứa điểm M ) Chứng minh PM 1, PM khơng song song đường thẳng AI , PM 1,QM đồng quy Câu 26 Cho tam giác ABC khơng cân Đường trịn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh BC ,CA, AB M , N , P Đường thẳng NP cắt BO,CO E , F · · a) Chứng minh góc OEN bù ,OCA b) Chứng minh điểm B,C , E , F nằm đường tròn.Chứng minh O, M , K thẳng hàng Biết K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF Câu 27 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ) Kẻ AH ^ BC (H Ỵ BC ) BE vng góc với đường kiính AD (E Ỵ AD ) a) Chứng minh HE / / DC b) Qua trung điểm K đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC M Chứng minh D MHE cân Câu 28 Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC ) Vẽ đường cao AD đường phân giác AO tam giác ABC ( D,O thuộc BC ) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC M , N a) Chứng minh điểm M , N ,O, D, A thuộc đường tròn b) · · Chứng minh BDM = CDN c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN I Đường thẳng AI cắt BC K Chứng minh K trung điểm cạnh BC Câu 29 Cho nửa đường trịn (O ) đường kính AB = 2R C , D hai điểm di động · nửa đường tròn cho C thuộc cung AD COD = 600 (C khác A D khác B ) Gọi M giao điểm tia AC BD , N giao điểm dây AD BC CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp đường tròn tính khoảng cách từ A, B đến đường thẳng CD b) Gọi H I trung điểm CD MN Chứng minh H , I ,O thẳng hàng DI = R 3 c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MCD theo R Câu 30 Cho nửa đường tròn (O;R ) đường kính AB Giả sử M điểm chuyển động nửa đường tròn này, kẻ MH vng góc với AB H Từ O kẻ đường thẳng song song với MA cắt tiếp tuyến B với nửa đường tròn (O ) K a) Chứng minh bốn điểm O, B, K , M thuộc đường tròn Giả sử C , D hình chiếu H đường thẳng MA MB Chứng minh ba đường thẳng CD, MH , AK đồng quy b) c) Gọi E , F trung điểm AH BH Xác định vị trí M để diện tích tứ giác CDFE đạt giá trị lớn Câu 31 Cho hình vng ABCD , đường chéo BD lấy điểm I cho BI = BA Đường thẳng qua I vng góc với BD cắt AD E , AI cắt BE H a) Chứng minh AE = I D b) Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD điểm thứ hai F Chứng minh rằng: DF DA = EH EB Câu 32 Cho đường tròn (O;R ) điểm M nằm ngồi đường trịn Đường trịn đường kính OM cắt đường tròn (O;R ) hai điểm E , F a) Chứng minh giao điểm I đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R ) tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF b) Cho A điểm thuộc cung EF chứa điểm M đường trịn đường kính OM ( A khác E F ) Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF B Chứng minh OAOB = R2 c) Cho biết OM = 2R N điểm thuộc cung EF chứa điểm I đường tròn (O;R ) ( N khác E F ) Gọi d đường thẳng qua F vng góc với đường thẳng EN điểm P , d cắt đường trịn đường kính OM điểm K ( K khác F ) Hai đường thẳng FN K E cắt điểm Q Chứng minh rằng: PN PK + QN QK £ | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN R CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN Câu 33 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O ) Gọi P điểm cung nhỏ AC Hai đường thẳng AP BC cắt M Chứng minh rằng: a) · · ABP = AMB b) MA.MP = BA.BM Câu 34 Cho hai đường tròn (O;R ) (O ';R ') cắt I J (R ' > R ) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường trịn chúng cắt A Gọi B C tiếp điểm hai tiếp tuyến với (O ';R '), D tiếp điểm tiếp tuyến AB với (O;R ) (điểm I điểm B nửa mặt phẳng bờ O 'A ) Đường thẳng AI cắt (O ';R ') M (điểm M khác điểm I ) a) Gọi K giao điểm đường thẳng IJ với BD Chứng minh K B = K I K J , từ suy K B = K D b) AO ' cắt BC H Chứng minh bốn điểm I , H ,O ', M nằm đường tròn c) Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp VIBD Câu 35 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB , nửa đường tròn lấy điểm C (cung nhỏ cung BC AB ), qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt AB D Kẻ CH vng góc với AB (H Ỵ AB ) , kẻ BK vng góc với CD (K Ỵ CD ) ; CH cắt BK E a) · Chứng minh CB phân giác DCE b) Chứng minh BK + BD < EC c) Chứng minh BH AD = AH BD Câu 36 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) Cho P điểm đoạn BC cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB N khác B đường tròn ngoại tiếp tam giác OCP cắt đoạn AC M khác C a) · · Chứng minh OPM = OAC b) · · · · Chứng minh MPN OBC + BAC = 900 = BAC c) Chứng minh O trực tâm tam giác PMN Câu 37 Trên nửa đường tròn (O ) đường kính AB = 2R ( R độ dài cho trước) lấy hai ¼ tổng khoảng cách từ A, B đến đường điểm M , N ( M , N khác A, B ) cho M thuộc AN thẳng MN R a) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN b) Gọi I giao điểm AN BM , K giao điểm AM BN Chứng minh bốn điểm M , N , I , K nằm đường trịn Tính bán kính đường trịn theo R c) Tìm GTLN diện tích tam giác K AB theo R M , N thay đổi nửa đường tròn (O ) thỏa mãn giả thiết toán Câu 38 (d) qua A Cho hai đường tròn (O ) (O ') cắt hai điểm A B Vẽ đường thẳng cắt (O ) C cắt (O ') D cho A nằm C D Tiếp tuyến (O ) C tiếp tuyến (O ') D cắt E a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp b) Chứng minh BE DC = CB ED + BD.CE Câu 39 Cho đường tròn (O;R ) có đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi cho CD khơng vng góc khơng trùng với AB Gọi d tiếp tuyến A (O;R ) Các đường thẳng BC BD cắt d tương ứng E F a) Chứng minh CDEF tứ giác nội tiếp b) Gọi M trung điểm EF , chứng minh BM ^ CD c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF Chứng minh MK = R d) Gọi H trực tâm tam giác DEF , chứng minh H ln chạy đường trịn cố định Câu 40 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O , đường kính AH , đường trịn cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác BDEC tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ba điểm D,O, E thẳng hàng c) Cho biết AB = 3cm, BC = 5cm Tính diện tích tứ giác BDEC Câu 41 Cho tam giác ABC không tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I ) Gọi D, E , F tiếp điểm BC ,CA, AB với đường tròn (I ) Gọi M giao điểm đường thẳng EF đường thẳng BC , biết AD cắt đường trịn (I ) điểm N ( N khơng trùng với D ), gọi K giao điểm AI EF a) Chứng minh điểm I , D, N , K thuộc đường tròn b) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn (I ) | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN Câu 42 Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O ) kẻ hai tiếp tuyến PM , PN tới đường ¼ đường trịn (O ) , ( trịn (O ) , ( M , N hai tiếp điểm) Gọi I điểm thuộc cung nhỏ MN ¼ ) Kéo dài PI cắt MN điểm K , cắt đường tròn (O ) điểm I khác điểm MN thứ hai J Qua điểm O kẻ đường thẳng vng góc với PJ điểm F cắt đường thẳng MN điểm Q Gọi E giao điểm PO MN a) Chứng minh PI PJ = PK PF b) Chứng minh năm điểm Q < I , E ,O,J thuộc đường tròn Câu 43 Cho đường trịn (O ) có đường kính AB cố định, M điểm thuộc (O ) ( M khác A, B ) Các tiếp tuyến (O ) A M cắt C Đường tròn (I ) qua M tiếp xúc với đường thẳng AC C CD đường kính (I ) Chứng minh rằng: a) Ba điểm O, M , D thẳng hàng b) Tam giác COD tam giác cân c) Đường thẳng qua D vng góc với BC ln qua điểm cố định M di động đường tròn (O ) Câu 44 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O , đường cao BE CF Tiếp tuyến B C cắt S , BC OS cắt M a) Chứng minh AB MB = AE BS b) Hai tam giác AEM ABS đồng dạng c) Gọi AM cắt EF N , AS cắt BC P Chứng minh NP ^ BC Câu 45 Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC ngoại tiếp đường trịn tâm O Gọi D, E , F tiếp điểm (O ) với cạnh AB, AC , BC ; BO cắt EF I M điểm di chuyển đoạn CE a) · Tính BIF b) Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh AM = AB tứ giác ABHI nội tiếp c) Gọi N giao điểm BM với cung nhỏ EF (O ) , P Q hình chiếu N đường thẳng DE , DF Xác định vị trí điểm M để PQ lớn Câu 46 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) Giả sử M điểm thuộc đoạn thẳng AB ( M không trùng A, B ), N điểm thuộc tia CA ( N nằm đường thẳng CA CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN cho C nằm A N ) cho MN cắt BC I I trung điểm MN Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O ) điểm P khác A a) Chứng minh tứ giác BMI P CNPI nội tiếp b) Giả sử PB = PC , chứng minh tam giác ABC cân µ = 600 Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với Câu 47 Cho D ABC có A cạnh BC ,CA, AB D, E , F Đường thẳng ID cắt EF K , đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự M , N a) Chứng minh tứ giác IFMK I MAN nội tiếp b) Gọi J trung điểm cạnh BC Chứng minh ba điểm A, K ,J thẳng hàng c) Gọi r bán kính đường trịn (I ) S diện tích tứ giác IEAF Tính S theo r Chứng minh SIMN ³ Câu 48 S S ( IMN diện tích D I MN ) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O;R ) Trên cung nhỏ AD lấy điểm E ( E không trùng với A D ) Tia EB cắt đường thẳng AD, AC I K Tia EC cắt đường thẳng DA, DB M , N Hai đường thẳng AN , DK cắt P a) Chứng minh tứ giác EPND tứ giác nội tiếp b) · M = DK · M Chứng minh EK c) Khi điểm M vị trí trung điểm AD Hãy xác định độ dài đoạn AE theo R Câu 49 Cho tam giác ABC Trên phân giác AD có hai điểm M , N cho · · · · Chứng minh ACN ABN = CBM = BCM · Câu 50 Cho hình thoi ABCD có BAD = 600 Một đường thẳng D thay đổi qua C cắt AB, AD N , M Gọi P giao điểm BM DN Chứng minh P thuộc đường tròn cố định Câu 51 Cho tam giác ABC vuông A AB < AC Gọi D điểm cạnh BC , E điểm cạnh BA kéo dài phía A cho BD = BE = CA Gọi C điểm AC cho E , B, D, P thuộc đường tròn, Q giao điểm thứ hai BP với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh AQ + CQ = BP Câu 52 µ>B µ > Cµ nội tiếp đường tròn (O ) , ngoại tiếp Cho tam giác ABC có A đường trịn (I ) Cung nhỏ BC có M điểm N trung điểm cạnh BC Điểm E đối xứng với I qua N Đường thẳng ME cắt đường tròn (O ) điểm thứ hai Q Lấy điểm K thuộc BQ cho QK = QA Chứng minh rằng: | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN a) Điểm Q thuộc cung nhỏ AC đường tròn (O ) b) Tứ giác AI K B nội tiếp BQ = AQ + CQ Câu 53 Cho O điểm nằm tam giác ABC Gọi A ', B ',C ' điểm đối xứng A, B,C qua O Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác A 'B 'C ', A 'BC , B 'CA, C 'AB có điểm chung Câu 54 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ) Hai phân giác BM CN góc B C Tia MN cắt (O ) P Gọi X ,Y , Z hình chiếu vng góc P xuống BC ,CA, AB Chứng minh rằng: PY = PX + PZ a) b) 1 = + PB PA PC Câu 55 Cho tam giác nhọn ABC (AB ¹ AC ) Đường trịn đường kính BC cắt cạnh · AB, AC tương ứng M , N Gọi O trung điểm BC Đường phân giác BAC · cắt R Chứng minh đường tròn ngoai tiếp tam giác BMR CNR MON qua điểm nằm cạnh BC Câu 56 Cho tứ giác ABCD có đường chéo BD khơng phân giác góc ABC · · · · Chứng minh tứ CDA Một điểm P nằm tứ giác cho: PBC = DBA ;PDC = BDA giác ABCD nội tiếp AP = CP Câu 57 Ba tia Ix, I y, Iz chung gốc I Lấy cặp điểm A, A ' Ix , lấy cặp điểm B, B ' Iy , lấy cặp điểm C ,C ' Iz theo thứ tự kể từ I cho IA.I A ' = IB IB ' = I C IC ' Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , A ' B 'C ' I thẳng hàng Câu 58 Cho BC dây cung khác đường kính đường trịn (O ) Điểm A thay đổi cung lớn BC Đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC ,CA, AB M , N , P a) b) Tìm vị trí A để chu vi tam giác MNP đạt giá trị lớn Chứng minh đường thẳng Ơ-le tam giác MNP qua điểm cố định Câu 59 Cho hai đường trịn (O1;r1) (O2;r2 ) tiếp xúc ngồi với Một đường tròn (O ) thay đổi tiếp xúc với (O1) (O2 ) Giả sử AB đường kính (O ) cho AO1O2B hình thang (AB / / O1O2 ) Gọi I giao điểm AO2 với BO1 Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định Câu 60 Cho tam giác ABC có I tâm đường tròn nội tiếp, O tâm đường tròn ngoại · tiếp trọng tâm G Giả sử OIA = 900 Chứng minh IG BC song song Câu 61 Cho hình chữ nhật ABCD bốn đường tròn (A;R1),(B ;R2 ), (C ;R3 ), (D;R4 ) cho R1 + R3 = R2 + R4 < AC Gọi D 1, D hai tiếp tuyến chung (A;R1) (C ;R3 ) ; D 1, D hai tiếp tuyến chung (B ;R2 ) (D;R4 ) Chứng minh tồn đường tròn tiếp xúc với bốn đường thẳng D 1, D 2, D 3, D 10