Hh9 chủ đề 22 tổng hợp hình học phần 2 ( 2 buổi )

CHỦ ĐỀ…TỔNG HỢP HÌNH HỌC - PHẦN ( BUỔI ) Cho ABC H Bài  AB  AC  nhọn nội tiếp  O; R  ; Các đường cao AD , BE CF ABC cắt a)   Chứng minh tứ giác AFDC nội tiếp BDF EDC b) Kẽ Ex // BC Tia Ex cắt tia AD, tia DF N , M Chứng minh M đối xứng với E qua AD c) Gọi giao điểm AH EF I , K điểm đối xứng F qua D S giao điểm đường thẳng BC với EK Chứng minh IS // FK Lời giải a)   + Ta có AD CF đường cao ABC  ADC  AFC 90  Tứ giác AFDC nội tiếp Chứng minh tương tự, ta có: Tứ giác BFHD ; CEID nội tiếp     + Ta có: BDF BHF (góc nội tiếp chắn cung BF ), EDC EHC (góc nội tiếp chắn cung EC )     Mà BHF EHC (hai góc đối đỉnh)  BDF EDC b) Ta có: Ex // BC Mà AD  BC  AD  Ex  AN  ME  DN đường cao EMD   90  BDF D     EDC  D3 90    D   DN BDF EDC  cmt   D    Ta có tia phân giác MDE  DN đường phân giác EMD EMD có DN đường cao, đường phân giác nên EMD cân D  DN đường trung trực đoạn thẳng ME  M đối xứng với E qua AD c)   Ta có: BDF EDC (Chứng minh trên)   Mà BDF KDC (hai góc đối đỉnh)     EDC KDC  DS tia phân giác DKS  DS phân giác EDK IE DE   DI phân giác cuûa EDF   IF DF  SE DE   DS phân giác EDK   SK DF   Mà DK DF  TC đối xứng  IE SE     IF SK  NS // FK (định lí Ta-lét đảo) O Bài Cho điểm S ngồi đường trịn   với SO 2 R, vẽ hai tiếp tuyến SA SB đến đường tròn ( A , B tiếp điểm) Gọi I giao điểm AB với SO a) Chứng minh SO  AB I tứ giác SAOB nội tiếp b) O Trên tia đối tia BA lấy điểm C , từ S vẽ đường thẳng vng góc với OC K cắt   H Chứng minh CH tiếp tuyến  O  c) Tính diện tích hình phẳng theo R giới hạn SA , SB cung AB nhỏ Lời giải a) Ta có: SA SB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA OB R  S O thuộc đường trung trực AB  SO đường trung trực AB  SO  AB I Xét tứ giác SAOB có:   OAS 90 OBS 90    OAS  OBS 180  Tứ giác SAOB nội tiếp     b) Ta có: OKS OBS 90  OKBS nội tiếp  B1 S1 (cùng chắn cung KO )       90  KISC CKS CIS nội tiếp  C1 S1 (cùng chắn cung KI )  B1 C1 OK OB    C   B  OKB ∽ OBC OB OC  OK OC OB Xét OKB OBC có KOB chung OK OH   OH OC Mà OB OH  OK OC OH OK OH     Xét OHK OCH có HKO chung OH OC  OHK ∽ OCB  OKH OHC   Mà OKH 90  OHC 90  CH tiếp tuyến  O    c) Tính AOS 60 Suy AOB 120 Tính AI  R , suy AB R SO AB R.R  R 2 Tính diện tích tứ giác  O , O Bài Cho ABC nhọn nội tiếp   tia phân giác BAC cắt BC M , cắt   N Từ M kẻ MK  AB ME  AC S SAOB  a) Chứng minh tứ giác AKME nội tiếp AKE cân b) Chứng minh AB AC  AM AN suy AM  AB AC  MB.MC O O c) Tiếp tuyến A   cắt đường thẳng BC F Từ F kẻ tiếp tuyến FD với   ( D khác A )  Chứng minh: DM tia phân giác BDC Lời giải   a) AKM  AEM 90  90 180  AKME nội tiếp Xét AKM vuông K AEM vng E có:    MAE AM chung, MAK (do AM tia phân giác BAC )  AKM AEM  AK  AE  AKE cân A      b) Xét ABM ANC có: MAB NAC (do AM tia phân giác BAC ), ABM  ANC (hai góc  nội tiếp chắn AC ) AB AM   ABM ∽ ANC  AN AC  AB AC  AM AN      Xét ABM CNM có: MAB MCN (hai góc nội tiếp chắn BN ), ABM  ANC (hai góc nội  tiếp chắn AC ) MA MB   ABM ∽ CNM  MC MN  MB.MC  AM MN  AM  AN  MN   AM AM  AM Ta có: AB AC  MB.MC  AM AN  AM MN Vậy AM  AB AC  MB.MC      c) FAM  ACN (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn AN ), AMF  ACN (do ABM ∽ ANC )   FAM  AMF  MFA cân F  FA FM mà FA FD  FM FD  FMD cân F    FMD FDM     FMD MDC  MCD ( FMD góc ngồi MDC ),    FDM MDB  FDB     mà FMD FDM (chứng minh trên), MCD FDB (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây  cung chắn BD )    MDC MDB   DM tia phân giác BDC AB  AC  Cho ABC vuông A ,  , đường cao AH Gọi K trung điểm AH Vẽ đường trịn tâm K đường kính AH cắt AB AC D , E a) Chứng minh ADHE hình chữ nhật AD AB  AE AC Bài b) Gọi O trung điểm BC Chứng minh AO vuông góc với DE c) Giả sử AB 15cm , AC 20 cm Trung trực DE trung trực BC cắt I Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác BDEC (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Lời giải a) Chứng minh ADHE hình chữ nhật AD AB  AE AC   K ; AH  Ta có: ADH  AEH 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  )  Mà DAE 90 ( ABC vuông A )   ADH DAE  AEH 90  ADHE hình chữ nhật Chứng minh được: b) AD AB  AE AC   AH  Gọi O trung điểm BC Chứng minh AO vng góc với DE Gọi giao điểm AO DE M   K Ta có: D1 H1 (2 góc nội tiếp chắn cung AE   )  H       C 1 (kí hiệu ACH C1 (cùng phụ H )  D1 C1      Mà C1  A1 ( OAC cân)  A1 D1 C1      Lại có D1  E1 90  A1  E1 90  AMD 90  AO  DE M c) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác BDEC Chứng minh: I tâm đường tròn nội tiếp tứ giác BDEC Do: Trung trực DE trung trực BC cắt I nên ID IE ; IB IC Xét tứ giác AKIO có: AO  DE ; IK  DE  AO // IK mà AK // IO Nên tứ giác AKIO hình bình hành  OI  AK Trong tam giác ABC vng A , ta có: BC 25cm ; 15.20  AH  12 cm  AK 6 cm  IO 6 cm AH BC  AB AC 25 Xét tam giác vng COI ta có: IO 6 cm , OC 12,5cm 2 Tính đúng: IC  12,5  13,87 cm Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Bài  AB  AC  Hai đường cao AD , CE cắt O H Vẽ đường kính AK   a) Chứng minh: AB AC  AD AK b) AK cắt CE M , CK cắt AD F Chứng minh AEDC nội tiếp AH AF  AM AK c) Gọi N hình chiếu C lên AK Chứng minh EDNC hình thang cân Lời giải a)Chứng minh: AB AC  AD AK   Xét ABD AKC có ACK  ADB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ABD  AKC ( chắn cung AC)  ABD ∽AKC (g-g) b)  AB AD  AK AC  AB AC  AD AK AK cắt CE M , CK cắt AD F Chứng minh: AEDC nội tiếp AH AF  AM AK   Xét tứ giác AEDC có AEC  ADC 90  AEDC nội tiếp AMH  A  A  90 KFA   C  90 C 2 Xét AMH KFA có ; A  A  C  C  2 ( góc nội tiếp chắn cung BK )   Suy ra: AMH KFA  FAK góc chung  AMH ∽AFK (g-g)  AH AK  AM AF  AH AF  AM AK Gọi N hình chiếu C lên AK Chứng minh: EDNC hình thang cân c)   Gọi I trung điểm BC , suy IE IC  IEC cân I suy IEC ICE         Mà ICE 90  ABC , KAC 90  AKC , ABC  AKC  ICE KAC Từ  1  2  1  2    ta có: IEC KAC NEC   Suy ra: tứ giác EDNC có: NAC NEC mà hai góc hai góc kề cạnh, suy tứ giác EDNC nội tiếp Mà tứ giác AEDC nội tiếp nên ta có điểm A , E , D , N , C thuộc đường tròn    CDN CEN (góc nội tiếp chắn cung CN )     Mà DCE CEN  CDN DCE , mà hai góc vị trí so le nên DN // EC Suy EDNC hình thang cân Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AD , BE , CF cắt H Từ A dựng tiếp tuyến AM , AN với đường trịn tâm O đường kính BC ( M , N tiếp điểm) Gọi K giao điểm OA MN Bài a) O Chứng minh E , F thuộc vào   OA  MN K b)  Chứng minh AK AO  AE AC MN phân giác góc EKC c) Chứng minh M , H , N thẳng hàng Lời giải a) BEC , BFC vuông E , F Do B , E , C , F thuộc đường trịn đường kính BC O Do E , F thuộc   Do AM , AN hai tiếp tuyến đường tròn nên: AM  AN , OM ON suy OA đường trung trực đoạn MN  OA  MN K b) Ta có AON vng N , có NK đường cao Suy AK AO  AN    Xét AEN ANC có: EAN góc chung ; ANE  ACN (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung EN ) AE AN  Suy : AEN ∽ANC (g-g) nên : AN AC  AN  AE AC  AK AO  AN  AE AC ( Điều phải chứng minh) Từ AK AO  AE AC  AK AC  AE AO AK AC   Xét ΔAEK ΔAOC có AE AO EAK góc chung   Do AEK ∽AOC (c-g-c)  AKE  ACO    Lại có OCA OKC OEC   Vậy AKE OKC   Từ ta có EKN CKN  Vậy MN đường phân giác EKC c)    Xét AEH ADC có HAE góc chung ADC  AEH 90  ΔAEH ∽ΔADC (g-g)  AE AC  AH AD Mà AK AO  AE AC (chứng minh trên)  AK AO  AH AD  AK AD  AH AO   Ta lại có HAK OAD   Suy ra: AHK ∽AOD (c-g-c) suy AKH  ADO 90  OA  HK K Mà OA  MN K nên M , H , N thẳng hàng O; R  Từ điểm A  vẽ hai tiếp tuyến AB , AC ( B , C tiếp điểm) cát tuyến Bài ADE  O  Gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh AO  BC H AH AO  AD AE   b) Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp OHE  AHD c) Đường thẳng qua D song song với BE , cắt AB , BC I , K Chứng minh D trung điểm IK Lời giải B I O H A D M E C K OB OC  Có  AB  AC nên OA trung trực BC  OA  BC H a) + Xét tam giác ACO vng C , có CH đường cao nên AH AO  AC  1    + ACD ∽AEC (g-g) AEC  ACD AEC chung  Từ b) CA AD  AE AC  AC  AD AE  1  2 Có  2  AH AO  AD AE AH AO  AD AE  AH AD  AE AO AH AD   Xét hai tam giác AHD AEO có OAE chung AE AO   Nên AHD ∽AEO (c-g-c) suy EOA HDA  tứ giác OHDE nội tiếp  3    OHE ODE (góc nội tiếp chắn cung OE )     Ta lại có : OED cân O ( OE OD )  OED ODE hay OEA ODE  4   AHD ∽AEO  DHA OEA  5 Từ  3 ,   c)  5   suy OHE  AHD Gọi M giao điểm BC AE  Chứng minh HM phân giác EHD  Mà HA  HM nên HA phân giác góc kề bù EHD  MD AD  ME AE MD KD AD ID   Mà ME BE , AR BE  KD ID hay D trung điểm KI Bài AB  AC  O O Cho ABC nhọn  nội tiếp đường trịn   có đường cao AD AD cắt    E  AC  , đường thẳng ED cắt đường thẳng AB I điểm thứ hai M Vẽ ME vuông góc với AC a) Chứng tỏ tứ giác MDEC nội tiếp, MI  AB b) Chứng tỏ AB AI  AE AC c) Gọi N điểm đối xứng với M qua AB , F điểm đối xứng với M qua AC NF cắt AD H Chứng tỏ H trực tâm ABC Lời giải a)   Xét tứ giác MDCE có MDC MEC 90 Do đó: HAM đồng dạng OCD HM AM  Suy OD CD  MH CD  AM OD (đpcm) Bài 11  O O; R  Từ điểm A nằm đường tròn  với OA  R Vẽ hai tiếp tuyến AD , AE với ( D , E tiếp điểm) Gọi H giao điểm DE AO Lấy điểm M thuộc cung nhỏ DE ( M khác D , khác E , MD  ME ) Tia AM cắt đường tròn  O; R  N Đoạn thẳng AO cắt cung nhỏ DE K a) Chứng minh AO  DE AD  AM AN Chứng minh NK tia phân giác góc DNE tứ giác MHON nội tiếp O; R  c) Kẻ đường kính KQ đường trịn  Tia QN cắt tia ED C Chứng minh MD.CE ME.CD b) Lời giải a) Chứng minh AO  DE AD  AM AN Ta có: AD  AE (tính chất hai tiếp tuyến cắt A ) OD OE  AO đường trung trực đoạn DE  AO  DE      NAD ADM AND có: DAM ( góc chung ) ADM  AND (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây chắn cung MD ) AD AM   ADM đồng dạng với AND AN AD  AD  AM AN b) Chứng minh NK tia phân giác góc DNE tứ giác MHON nội tiếp    Ta có AO đường trung trực đoạn DE (chứng minh trên), mà K  AO  KD KE  sđ KD = sđ KE   DNK  sđ KD (góc nội tiếp chắn cung KD ) Mà   ENK  sđ KE (góc nội tiếp chắn cung KE )    DNK ENK  NK tia phân giác góc DNE 2 Xét ADO vuông D , đường cao DH : AD  AH AO mà AD  AM AN (từ a) Do đó: AH AO  AM AN  AH AN  AM AO   Ta lại có HAM NAO (góc chung)  AHM đồng dạng ANO (c – g – c)      AHM  ANO  MHO  ANO 180 hay MHO  MNO 1800 Suy ra: Tứ giác MHON nội tiếp O; R  c) Kẻ đường kính KQ đường tròn  Tia QN cắt tia ED C Ta có: ADM đồng dạng AND (chứng minh trên) AME đồng dạng AEN   MD AM  ND AD ME AM  NE AE MD ND  Mà AD  AE Vậy ME NE  1  O Mặt khác, ta có:  QNK 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn   )  CN  NK Mà NK tia phân giác góc DNE  NC phân giác ngồi đỉnh N tam giác DNE  CD ND  CE NE (tính chất đường phân giác tam giác)  2 MD CD   ME CE  MD.CE ME.CD (đpcm) Từ   O ; R O ; SO  R  Bài 12 Cho đường trịn  điểm S nằm ngồi đường trịn    Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA ; SB ( A ; B tiếp điểm) cát tuyến SMN không qua tâm ( M nằm S N ) tới đường  1 tròn  O a) Chứng minh: SA SM SN b) Gọi I trung điểm MN Chứng minh: IS phân giác góc AIB c) Gọi H giao điểm AB SO Hai đường thẳng OI BA cắt E Chứng minh: OI OE R Lời giải a) Chứng minh: SA SM SN    Xét SAM SNA ta có: ASN chung; SAM SNA (cùng chắn cung AM góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)  SAM ∽SNA (g - g)  SA SM   SA2 SM SN SN SA (đpcm) b) Gọi I trung điểm MN Chứng minh: IS phân giác góc AIB   O Vì I trung điểm dây MN đường tròn    OI  MN  OIS 90 OAS 90 (SA  tiếp tuyến); OBS 90 ( SB tiếp tuyến) Ba điểm I ; A ; B nhìn OS góc vng nên nằm đường trịn đường kính OS  Năm điểm I ; A ; B ; O S thuộc đường trịn đường kính OS     Do SA SB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)  SA SB  AIS SIB  IS phân giác góc AIB c) Gọi H giao điểm AB SO Hai đường thẳng OI BA cắt E Chứng minh: OI OE R Ta có: SA SB (chứng minh trên) OA OB R  SO đường trung trực AB  SO  BE H     Tứ giác IHSE nội tiếp (vì EHS EIS 90 )  OHI SEO (góc ngồi tứ giác nội tiếp)    OHI OES đồng dạng (vì góc EOS chung OHI SEO )  OH OI   OI OE OS OH OE OS  1 Áp dụng hệ thức lượng AOS vng A có đường cao AH , ta có: OA2 OH OS  2 Từ  1  2  OI OE OA2 R (đpcm) Cho hình chữ nhật ABCD với AB 2a ; BC a Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB vịng hình trụ tích V1 quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC Bài 13 V2 vịng hình trụ tích V2 Tính tỉ số V1 Lời giải Khi quay hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AB ta hình trụ có chiều cao h1  AB 2a , bán kính R1 BC a Khi thể tích hình trụ là: V1 Sđáy cao R12  h1 a  2a 2a 3 Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC ta hình trụ có chiều cao h2 BC a , bán kính R2 CD 2a Khi thể tích hình trụ : V1 Sđáy cao R22  h2 4a  a 4a 3 V2 4a 3  2 V 2a  Vậy O; R  O Bài 14 Từ điểm A đường tròn  vẽ hai tiếp tuyến AB AC   ( với B C hai tiếp điểm) a) Chứng minh: AO vng góc với BC H O O b) Vẽ đường kính CD   ; AD cắt   M ( M không trùng D ) Chứng minh: Tứ giác AMHC nội tiếp c) BM cắt AO N Chứng minh: N trung điểm AH Lời giải B D M O N H A C O a) Vì AB AC tiếp tuyến    AB  AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  A nằm đường trung trực BC Vì OB OC  O nằm đường trung trực BC Do AO đường trung trực BC  AO  BC H  b) Vì AO  BC H  AHC 90 Xét  O Do    có DMC góc nội tiếp chắn nửa đường trịn  DMC 90  AMC 90 AHC  AMC  90  Mà H , M hai đỉnh kề tứ giác AMHC nhìn cạnh AC góc 90  Tứ giác AMHC nội tiếp đường trịn đường kính AC    c) Tứ giác AMHC nội tiếp (chứng minh trên), suy ra: HMD  ACH (cùng bù với HMA )      Mà DMB DCB ( chắn cung BD )   Cộng  1  2 :     HMD  DMB  ACH  DCB 90  HMB 90  HM  BN Xét BHN vuông H có HM đường cao  NH NM NB (hệ thức lượng tam giác vuông)  3    Tứ giác AMHC nội tiếp (chứng minh trên), suy ra: HCM MAN (cùng chắn HM )    Mà HCM  ABM (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn BM ) Do    MAN  ABM HCM     Xét ANM BNA có BNA chung, MAN  ABM (chứng minh trên)  ANM ∽BNA (g-g) Từ  3  4 suy  AN NM   NA2 BN NM BN NA  4 NH  NA2  BN NM   NH  NA O; R  Bài 15 Cho nửa đường trịn tâm  đường kính AB điểm C đường tròn cho CA CB Gọi M trung điểm dây cung AC Nối BM cắt cung AC E ; AE BC kéo dài cắt D a) Chứng minh: DE.DA DC.DB b) Chứng minh: MOCD hình bình hành O c) Vẽ đường trịn tâm E bán kính EA cắt đường trịn   điểm thứ hai N Kẻ EF vng góc với AC , EF cắt AN I , cắt đường tròn  O  điểm thứ hai K ; EB cắt AN H Chứng minh: Tứ giác BHIK nội tiếp đường tròn Lời giải D C S N E H I M F A B O K  O a) Ta có: ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn   )  ACD 90 (vì kề bù với ACB ) Ta lại có: AEB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O))   DEB 90 (vì kề bù với AEB ) Xét ADC BDE có : ACD DEB   90  (chứng minh trên) ADC BDE  (góc chung) Do ADC ∽BDE (g-g)  DA DC   DE.DA DC.DB DB DE b) Ta có MC MA (giả thiết)  OM  AC (liên hệ đường kính dây cung)  Ta lại có CD  AC (vì ACD 90 )  OM // CD (quan hệ từ vng góc đến song song)  1 Mặt khác DAB có BE AC hai đường cao cắt M  M trực tâm DAB  DM  AB Mà  CB   CO  AB CA CB  CA  2 Do DM // CO Từ  1   suy MOCD hình bình hành c) Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp đường tròn   sđ BE  K O Ta có: (góc nội tiếp đường trịn   )      sđ EA  NHB  sđ BN O Ta lại có: (góc có đỉnh nằm đường tròn   )     E Mà : EA EN (bán kính đường trịn   )  EA EN 1     sđ EA    sđ EN  NHB  sđ BN  sđ BN  sđ BE 2  Từ  3    4   4      NHB  K   sđ BE    suy ra:  Mà NHB góc H tứ giác BHIK Vậy tứ giác BHIK nội tiếp đường tròn Bài 16 Cho đường tròn  O; cm  O điểm A   với OA 8cm Tia AO cắt đường tròn  O O hai điểm D E ( D nằm hai điểm A O ), cát tuyến ACB cắt đường tròn   hai điểm C B ( C nằm hai điểm A B )   a) Chứng minh ACD  AEB AC AB  AD AE b) Gọi H trung điểm đoạn thẳng OD Chứng minh tứ giác OHCB nội tiếp