Hh9 chủ đề 21 tổng hợp hình học –phần 1 ( 2 buổi )

Bài CHỦ ĐỀ….TỔNG HỢP HÌNH HỌC –PHẦN ( BUỔI )  O; R  với OM  R vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với Từ điểm M ngồi đường trịn đường trịn D  O  O  C ; Tia MC cắt  O  ( A , B tiếp điểm) Gọi I trung điểm AM , BI cắt a) Chứng minh OM vng góc với AB H b) Chứng minh IA IB.IC c) Chứng minh tứ giác AHCI nội tiếp Lời giải a) Chứng minh OM vng góc với AB H A I H O C M B Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có MA MB MO tia phân giác góc AMB Tam giác AMB cân M có MH tia phân giác góc AMB nên MH đồng thời đường cao tam giác  MH vng góc với AB H  OM vng góc với AB H b) Chứng minh IA IB.IC Xét hai tam giác IAC IBA có: AIB chung    s® AC IAC IBA  (góc nội tiếp chắn cung AC góc tiếp tuyến dây AC )  IAC IBA IA IC   IB IA  IA IB.IC c) Chứng minh tứ giác AHCI nội tiếp Theo giả thiết I trung điểm AM  1 Tam giác AMB cân M có MH tia phân giác góc AMB nên MH đồng thời đường  2 trung tuyến  H trung điểm đoạn thẳng AB Từ  1  2    IH đường trung bình tam giác AMB  IH // MB  HIC IBM (so le trong)   IBM  s® BC  O  Do MB tiếp tuyến đường tròn 1   CAB  s® BC CAH  s® BC BC 2 (góc nội tiếp chắn cung )     CAH IBM HIC  Tứ giác AHCI nội tiếp  AB  AC  Đường tròn tâm O đường kính AB cắt BC Bài Cho tam giác ABC vuông A , E ; CO cắt đường tròn O K ; AK cắt BC N ; AE cắt BK H a) Chứng minh tứ giác NEHK nội tiếp NH vng góc với AB J  b) Gọi I trung điểm NH Chứng minh góc OKI 90 c) Chứng minh tứ giác EJOK nội tiếp suy điểm I , E , J , O , K thuộc đường tròn Lời giải B E J O H I N K A a) Xét  O C   có BEA BKA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)   Suy NEH  NKH 90   Xét tứ giác NEHK có: NEH  NKH 180 mà hai góc đối nên tứ giác NEHK nội tiếp Trong tam giác ABN có BK AE đường cao  H trực tâm ABN  NH  AB J    b) Tam giác KHI có IK IH (tính chất trung tuyến) IHK cân nên IKH IHK BHJ        OBK  IKO IKH  BKO BHJ  OBK 90 (Đpcm) OKB cân O  BKO   c) Tứ giác BJHE có HJH  BEH 180  BJHE tứ giác nội tiếp   EJH  góc EBH (góc nội tiếp chắn cung HE ) Chứng minh tương tự:   Tứ giác HJAK có HJA HKA 90 mà hai góc đối tứ giác HJAK    HAK EBH  tứ giác HJAK nội tiếp nên HJK    EJK 2 EBK   Mà EOK 2 EBK (góc tâm gấp đơi góc nội tiếp chắn cung)    EOK EJK  tứ giác EJOK nội tiếp  Ta có: OKI 90 ,   OEA OAE       OEI OEA  HEI OAE  JHA 90      HEI EHI  JHA    OKI  OEI 180 mà hai góc đối tứ giác EOKI nên tứ giác EOKI nội tiếp Bài Cho  O  O  , vẽ hai tiếp tuyến AB , AC đến  O  ( B , C hai tiếp điểm A nằm  O  ( D , E thuộc  O  ); D nằm A E ; tia AD nằm tia AO điểm) Vẽ cát tuyến ADE tia AB ) Gọi H giao điểm AO AB a) Chứng minh: AB  AD AE b) Chứng minh: DEOH tứ giác nội tiếp c) Đường thẳng AO  O cắt EH MH  M N ( M nằm A O ) Chứng minh AN AD Lời giải B E D O N H M A C ABD  AEB   s® BD       a) Xét ABD AEB có: Góc A chung, nên ABD ∽AEB (g-g)  AB AD   AB  AE AD AE AB (đpcm)  AB  AC  OA  OB  OC  b) Ta có: trung trực BC nên BC  OA  OBA 90  BH  OA Trong OAB có  Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vng OBA ta có: AB  AH AO  AH AO  AD AE  AH AE  AD AO AH AE    ADH ∽AOE  c-g-c   DHA OEA Xét ADH AOE có A chung, AD AO nên     Mà OHD  DHA 180  OED  OHD 180 mà hai góc đối tứ giác DEOH  tứ giác DEOH nội tiếp   DOM DEH       DEM  DOM DEH  DEM   DEM MEH 2 c) ,  Suy EM phân giác tam giác EAH EH MH  EA AM  1  AEM  AND   s® DM      Xét AEM AND có A chung, Nên tam giác AEM đồng dạng tam giác AND (g,g)  1 Từ  2  AE AM  AN AD  2 EH AE MH AM    ta có: EA AN MA AD EH MH  Vậy AN AD Bài  O  kẻ hai tiếp tuyến AB , AC ( B , C tiếp điểm)và Từ điểm A ngồi đường trịn  O  ( E , D   O  ; E nằm A D ) cát tuyến AED đến đường tròn a) Chứng minh: BD.CE  BE.CD b) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh: tứ giác OHED tứ giác nội tiếp   c) Chứng minh: HC  HD.HE BDH CDA Lời giải B D E O H M C a) Chứng minh: BD.CE  BE.CD ABE  ADB   s® BE       Xét ABD AEB có : A chung, Suy ABD ∽AEB  g-g   AB BD  AE EB A Chứng minh tương tự ta có : AB  AC  Mà ACD ∽AEC  g-g   AC CD  AE EC AB AC BD CD    AE AE EB EC Vậy BD.CE  BE.CD b) Chứng minh tứ giác OHED tứ giác nội tiếp Ta có: ABO vng B (tính chất trung tuyến)  AB  AC  OA  OB  OC  Mà trung trực cạnh BC nên BH  OA Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông OAB : AB  AH AO 2 Vì ACE ∽ADC (chứng minh trên) nên AC  AE AD  AB Suy AB  AH AO  AE AD AH AD   Xét AHE ADO có A chung, AE AO  AHE ∽ADO (c-gc)  AHE  ADO     Mà OHE  EHA 180  OHE  ODE 180 mà hai góc đối tứ giác OHED nên tứgiác OHED nội tiếp   c) Chứng minh : HC HD.HE BDH CDA Ta có: AHE ∽DHO (g-g)  AH HE   AH HO HE.DH DH HO 2 Mà AH HO HC (Hệ thức lương) nên HC HD.HE   Chứng minh: BDH CDA 2   Ta có: HB HC HD.HE  HBD ∽HEB  HDB HBE     HBE CDE  BDH CDE Mặt khác:  O; R  Kẻ đường cao AE tam giác ABC ( E thuộc Bài Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp BC ) AE cắt cung nhỏ BC N Kẻ đường kính AM a) Chứng minh BNMC hình thang cân b) Gọi H điểm đối xứng với N qua E BH cắt AC F , chứng minh BF  AC Suy H trực tâm tam giác ABC c) CH cắt AB K Biết AH R , tính diện tích tứ giác AKOF theo R Lời giải A F K H O E B N C M a) Chứng minh BNMC hình thang cân xét đường trịn  O  đường kính AM có: ANM 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Nên AN  NM mà AN  BC (do AE  BC ) Do đó: NM // BC (từ vng góc đến song song)    CBM BMN (so le trong)   Nên s® CM s® BN  O Xét đường tròn  1     CBN  s® NC  s® NM  s® MC 2 có       BCM  s® BM  s® NM  s® BN 2  Từ  1 ,    3   2  3   có: CBN BCM Xét tứ giác BNMC có NM // BC (chứng minh trên)   Nên tứ giác BNMC hình thang mà CBN BCM Do tứ giác BNMC hình thang cân b) chứng minh BF  AC Có H điểm đối xứng với N qua E nên E trung điểm HN Có BC  NH E mà E trung điểm HN Do BC đường trung trực HN  BH BN ; CH CN (tính chất) Mặt khác có tứ giác BNMC hình thang cân nên BN CM ; BM CN (tính chất) Do đó: BH CM ; CH BM Xét tứ giác BHCM có BH CM ; CH BM (chứng minh trên) Nên tứ giác BHCM hình bình hành  Do BH // CM (tính chất hình bình hành) mà CM  AC (do ACM 90 ) Vậy BH  AC (đpcm) * Xét tam giác ABC có AE  BC ; BF  AC mà AE cắt BF H Nên H trực tâm tam giác ABC c) Tính diện tích tứ giác AKOF theo R * Dễ dàng chứng minh * Xét AKC vuông K có AKH ∽ ACM  g.g   cos KAC  AK AH AK R AK      AC R AC nên AC AM AK    cos KAC   KAC 60  AC hay BAC 60 R BC  BOC 120 * Dễ dàng * Chứng minh AKF ∽ ACB  c.g.c  AK KF KF 1 R R     KF   AC CB 2 R 2 * Chứng minh KF  OA Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia tiếp tuyến Ax    Ta có: BAx BCA  AKF  Ax // KF  KF  OA 1 R R2 S AKOF  OA.KF  R  2 Vậy  O  vẽ hai tiếp tuyến MA ; MB ( A , B hai tiếp điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn cát tuyến MEK (tia ME nằm hai tia MO MA ) Gọi I trung điểm EK Bài a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp năm điểm M , A , I , O , B thuộc đường tròn b) Chứng minh: ME.MK  MO c) Gọi S giao điểm MK AB Chứng minh: IA.IB SA.SB  IS Lời giải a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp năm điểm M , A , I , O , B thuộc đường trịn   Ta có: MAO MBO 90 (tính chất tiếp tuyến)   MAO  MBO 180 Nên Nên tứ giác MAOB nội tiếp đường trịn đường kính OM Ta có I trung điểm EK  Nên MIO 90 (quan hệ đường kính dây cung) Do I thuộc đường trịn đường kính OM Vậy năm điểm M , A , I , O , B thuộc đường tròn A K I S E M O B b) Chứng minh ME.MK  MO Xét hai tam giác MAE MKA có: AME chung   MAE MKA (cùng chắn cung AE ) Vậy MAE ∽ MKA (g-g) MA ME   MA2 MK ME Nên MK MA MA  MO  MAO A Mà ( vuông ) Do MK ME  MO c) Gọi S giao điểm MK AB Chứng minh IA.IB SA.SB A K I S E M O B Ta có MA MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Nên MAB cân M   Do MAB MBA     Ta lại có MAB MIB ; MBA MIA (năm điểm M , A , I , O , B thuộc đường tròn)   Suy MIB MIA Xét hai tam giác MIA BIS có:   MIB MIA  IMA  IBA (tứ giác MAIB nội tiếp) Vậy MIA ∽ BIS (g-g) MI IA  Nên BI IS Hay IA.IB IM IS Xét hai tam giác ISB ASM có:   MAB MIB (chứng minh trên) ISB  ASM (đối đỉnh)  ISB ∽ ASM (g-g) Vậy IS SB  Nên AS SM Hay IS SM SA SB IA.IB IM IS  MS  IS  IS MS IS  IS Ta có Vậy IA.IB SA SB  IS  O; R  Kẻ tiếp tuyến AB cát tuyến ADE ( B tiếp Qua điểm A nằm đường tròn điểm , tia AD nằm AB AO ) Bài a) Chứng minh: AB  AD AE b) Gọi I trung điểm DE Đường thẳng qua D song song với OA cắt OB K Chứng minh tứ giác BDKI nội tiếp  O  N ( N B ) Kẻ dây NM  O  , NM // DE Biết R 15cm , OA 25cm Tính c) Tia BI cắt BM Lời giải B E I D K O A H N M   a) Xét ABD AEB có: BAD chung; ABD  AEB (cùng chắn BD )  AEB ∽ ABD  g-g   AE AB   AB  AD AE AB AD b) Vì I trung điểm DE  OI  DE  90  OIA   Tứ giác OIBA có: OIA OBA 90  Tứ giác OIBA nội tiếp  BOA   BIA (cùng chắn AB )   Mà BKD BOA (hai góc đồng vị) (1) (2)   Từ (1) (2)  BIA BKD Suy tứ giác BIKD nội tiếp 1   BNM  BOA BIA  ABM  BOM  OA  BM c) Ta có:  BH HM  BM Gọi H giao điểm OA BM OA2 OB  AB  AB  OA2  OB  252  152 20  cm  Trong OAB : 1 1  2    BH 12  cm  2 OB AB 15 20 Ta có: BH  BM 2.BH 24  cm  Bài H  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  , đường cao BE CF cắt Cho ABC nhọn a) Chứng minh tứ giác AEHF BCEF nội tiếp  O  ( D tiếp điểm, D thuộc b) Hai đường thẳng EF BC cắt I Vẽ tiếp tuyến ID với cung lớn BC ) Chứng minh: ID IB.IC  O  P Q Chứng minh PQ // EF c) DE , DF cắt đường tròn Lời giải D A E F H I B   Tứ giác BCEF có: BEC CFB 90  BCEF nội tiếp     b)Xét IDB ICD có: DIC chung, IDB ICD (cùng chắn BD )  IDB ∽ ICD  g-g  ID IB   ID IB.IC IC ID  1   c) Vì tứ giác BCEF nội tiếp  IFB ICE    Xét IFB ICE có: CIE chung; IFB ICE (chứng minh trên)  IFB ICE  g-g   IF IB   IF IE IB.IC IC IE  2 P C Q   a) Tứ giác AEHF có: AEH  AFH 90  AEHF nội tiếp  O Từ   1  2  ID IF IE ID IF  IE ID ID IF   Xét IDF IED có: DIE chung; IE ID (chứng minh trên)  IDF ∽ IED  c-g-c   3    IED IDQ  4    Mà IDQ DPQ (cùng chắn DQ ) Từ  3  4    IED DPQ (hai góc đồng vị)  PQ // EF Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB , nửa đường trịn lấy điểm C ( C khác A B ) Trên cung BC lấy điểm D ( D khác B C ).Vẽ đường thẳng d vng góc với AB B Các đường thẳng AC AD cắt d lần lượt E F a) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn b) Gọi I trung điểm BF Chứng minh ID tiếp tuyến nửa đường tròn đã cho  c) Đường thẳng CD cắt d K , tia phân giác CKE cắt AE AF lần lượt M N Chứng minh AMN tam giác cân Lời giải E M C D N F K I A B O a) Ta có: AEB góc có đỉnh ngồi đường trịn 1    AEB  sđ AB  BC  sđ AC 2   (1)  CDA góc nội tiếp   CDA  sđ AC   Từ (1) (2)  AEB CDA (2)     Mà CDA  CDF 180  AEB  CDF 180  Tứ giác CDFE tứ giác nội tiếp  b) Ta có: ADB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BF  ID IB  BF  BDF vuông D Vì I trung điểm Xét OID OIB có: OI chung ID IB (bán kính) ID IB (chứng minh trên)  OID OIB (c-c-c)    OBI ODI 90  ID tiếp tuyến nửa đường tròn  O     c) Tứ giác CDFE nội tiếp nên NKD E (cùng bù với NDC ) 1 ANM NDK     NKD NDK  CKE Ta có: (góc ngồi NDK ) (3) AMN E   MKE    CKE  E (góc ngồi MEK ) (4)   Từ (3) (4)  ANM  AMN  AMN cân A Bài 10 Khi quay tam giác vuông AOC vịng quanh cạnh góc vng OA cố định hình nón A O C Tính thể tích V hình nón biết AC 13  cm  ; OC 5  cm  V 3  r h   3,14  Lời giải 2 2 2  cm  Trong OAC ta có: AC OA  OC  OA  AC  OC  13  12  h 12  cm  1 V   r h  3,14.52.12 314 cm3 3 Bài 11  cm  , đáy hình vng ABCD cạnh 30 Một hình chóp có độ dài cạnh bên 25  cm  Tính diện tích xung quanh hình chóp Lời giải Gọi H trung điểm CD Vì SCD cân S nên ta có SH  CD SH  SC  CH  252  152 20  cm  S xq  30.20.4 1200 cm 2 Diện tích xung quanh hình chóp Bài 12 Một dụng cụ gồm phần có dạng hình trụ, phần cịn lại có dạng hình nón Các kích thước cho hình bên Hãy tính: a) Thể tích dụng cụ b) Diện tích mặt ngồi dụng cụ (khơng tính nắp đậy) Lời giải a) Thể tích phần hình trụ: V1 S h  r h  0, 2.0, 1, 08 m3 1 V2   r h   0, 2.0,9 0, 46 3 m Thể tích phần hình nón: Thể tích dụng cụ: V V1  V2 1, 08  0, 46 1,54 m3 b) Diện tích xung quanh phần hình trụ: S xq1 2 rh 2 0, 7.0, 3, 08 m 2 Chiều dài đường sinh hình nón: l  0,  0, 1,14 m S xq  rl  0, 7.1,14 2,51 m Diện tích xung quanh hình nón: S S xq1  S xq 3, 08  2,51 5,59 m Diện tích mặt ngồi dụng cụ (khơng tính nắp đậy): xq  O; R  điểm A đường tròn với OA  R Từ A vẽ hai tiếp tuyến Bài 13 Cho đường tròn AB , AC  O  , ( B , C tiếp điểm) Vẽ dây BE  O  , song song với AC ; AE cắt  O  , D khác E ; BD cắt AC S Gọi M trung điểm DE Chứng minh: A , B , C , O , M thuộc đường tròn SA  SB.SD  O  , K khác B Chứng minh: CK // DE b) Tia BM cắt c) Hai đường thẳng DE BC cắt V , đường thẳng SV cắt BE H Chứng minh điểm: H , O , C thẳng hàng a) Lời giải B H E D M A V O S K a) C    O ) Ta có: OBA OCA 90 ( AB , AC tiếp tuyến  OMA 90 (tính chất đường kính dây cung)  A , B , C , O , M thuộc đường đường kính AC   + EB // AC (giả thiết) suy DAS BED (so le trong)   ABD (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn BD mà BED )   DAS  ABD Xét tam giác SAD tam giác SBA có:  DSA chung  DAS  ABD (chứng minh trên)  SAD ∽ SBA (g-g)  SA SD  SB SA (cạnh tương ứng tỉ lệ)  SA2 SB.SD b) Vì A , B , C , O , M thuộc đường tròn    BMA BCA (góc nội tiếp chắn AB )    mà BCA BKC (góc nội tiếp góc tạp tiếp tuyến dây cung chắn BC )    BMA BKC mà chúng vị trí đồng vị  ED // KC (đpcm) + Ta có SA SB.SD (chứng minh trên) c) Chứng minh tương tự SC SB.SD  SA SC + Vì BE // AC (giả thiết)  BH HV HE   SC SV SA (định lí Ta let)  BH HE  SC SA mà SA SC (chứng minh trên)  BH HE  HO  BE (tính chất đường kính dây cung) Mà BE // AC (giả thiết) suy đường thẳng HO  AC  1  O   OC  AC + Ta có AC tiếp tuyến đường tròn Từ Bài 14  2  1   suy H , O , C thẳng hàng Cho ABC vuông A Vẽ đường trịn tâm O , đường kính AC cắt BC H Gọi I  O  F trung điểm HC Tia OI cắt đường tròn a) Chứng minh: AH đường cao ABC tứ giác ABOI nội tiếp  b) AF cắt BC D Chứng minh: AF tia phân giác HAC BA  BD c) Qua A kẻ đường thẳng vng góc với OB cắt OI S Chứng minh: SH tiếp tuyến đường  O tròn Lời giải A O K B H D I F S C  a) H thuộc đường trịn tâm O , đường kính AC nên AHC 90  AH  BC + Có IH IC (giả thiết)  OI  CH (tc đường kính dây cung)    OIH 90 hay OIB 90   + Ta có OIB OAB 90  tứ giác ABIO nội tiếp (dhnb) b) Ta có HI CI (giả thiết) OI  HC (chứng minh trên)  OI đường trung trực HC (đn) mà F  đường thẳng OI  FH FC (tính chất đường trung trực)  CF   HF (liên hệ cung dây) 1   HAF  CAF    sđ HF sđ FC Lại có     HAF CAF  AF tia phân giác HAC     + Ta có AH  BC (chứng minh trên)  ADH  HAD 90  ADH  CAD 90    mà BAC BAD  CAD 90   ADH BAD  ABD cân B (dhnb)  BA BD (tính chất) c) Gọi K giao điểm SA BO + Xét tam giác vuông ABO có đường cao AK : AB BK BO  1 + Xét tam giác vng ABC có đường cao AH AB BH BC Từ   1  2  2 suy BK BO BH BC BK BC  BH BO BK BC   + Xét BKC BHO có: OBC chung; BH BO (chứng minh trên)  BKC ∽ BHO (c-g-c)    HCK KOH (góc tương ứng)  tứ giác OKHC nội tiếp đường     OKC OHC (góc nội tiếp chắn OC )   OHC OCH ( HOC cân O )   OCH BKH (góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện)   BKH  OKC   Mà BKS OKS 90 ( BO  AS ) 1    HKS CKS  HKC  3  Dễ dàng chứng minh OI tia phân giác HOC 1   SOC  HOC  4 Xét tứ giác nội tiếp OKHC :    HOC HKC (góc nội tiếp chắn HC ) Từ  3 ,    5  5   suy CKS SOC  Tứ giác OKSC nội tiếp    OCS OKS 90 (tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp 180 )    OHS OCS 90  OH  HS  SH tiếp tuyền đường tròn  O   AB  AC  nội tiếp đường tròn Bài 15 Cho tam giác nhọn ABC DE  AC E DF  AB F a) Chứng minh AFE  ADE tứ giác BCEF nội tiếp  O có đường cao AD Vẽ  O  N (khác A ) b) Tia EF cắt tia CB M , đoạn thẳng AM cắt đường tròn Chứng minh AF AB  AE AC MN MA MF ME c)  O  I Chứng minh OI  EF Tia ND cắt đường tròn Lời giải A N E O F M B C D I a) Chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp tổng hai góc đối 180  AFE  ADE    Mà: ACB  ADE (do phụ CDE )   Nên AFE  ACB  tứ giác BCEF nội tiếp b) Chứng minh AF AB  AE AC Chứng minh : MN MA MB.MC ; MB.MC ME.MF  MN MA ME.MF c) Chứng minh điểm A , N , F , D , E thuộc đường tròn  AND  AFD 90  ANI 90  AI đường kính  O   điểm A , O , I thẳng hàng Mặt khác chứng minh OA  EF Vậy OI  EF Bài 16 Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy điểm C , D cho CD 2 R ( AC  AD , C không trùng A D không trùng B ) AC cắt BD E , AD cắt BC H , M trung điểm BE Gọi I điểm cung AB  I  ngoại tiếp tam giác ABE a) Chứng minh tam giác AED vng cân I tâm đường trịn  I  K ( K  A ), EH cắt AB CF Chứng minh tứ giác FHDB b) AD cắt đường tròn BKQF tứ giác nội tiếp ( Q giao điểm CF AD ) c) Gọi P giao điểm AI BE Chứng minh MH // PQ Lời giải E N P K M I D C H q A F O B 2 2    a) AB đường kính nên ADB 90 ; CD 2 R OC  OD  DOC 90 Do AED 45 Vậy AED vng cân D I điểm cung AB nên OI trung trựccủa AB ADI 45  DI  phân giác góc AED AED vuông cân D  DI trung trực AE  I tâm đường tròn ngoại tiếp ABE b) H trực tâm tam giác ABE , từ suy FHDB nội tiếp tứ giác FCEB nội tiếp  AFC  AEB  AKB  Tứ giác BKQF nội tiếp c) NK // BE  AP AD  AN AK  1 Tứ giác BKQF nội tiếp  AQ AK  AF AB Tứ giác FHDB nội tiếp  AH AD  AF AB  AQ AK  AH AD Từ  1 Bài 17  O  2  AD AQ  AK AH  2 AP AQ  suy AN AH Mà H , M , N thẳng hàng ( BHEN hình bình hành) nên PQ // HM  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  có đường cao AD Tia AD cắt Cho tam giác ABC nhọn M  M  A Vẽ ME  AC E a) Chứng minh tứ giác MDEC nội tiếp AD AM  AE AC b) Gọi H điểm đối xứng M qua BC Tia BH cắt AC S Chứng minh AH AD  AS AC  O  N BN cắt ST I Chứng minh I trung điểm c) Tia CH cắt AB T , tia MS cắt ST Lời giải N A K S I T H E O B D C M a) Tứ giác MDEC nội tiếp có hai đỉnh D , E nhìn cạnh MC góc vng Xét hai tam giác ADE ACM có : A chung AED  AMC (tứ giác MDEC nội tiếp ) Vậy ADE ∽ACM (g-g)  AD AE   AD AM  AE AC AC AM b) H điểm đối xứng M qua BC  HM  BC Ta có AM  BC D Vậy điểm A , H , D , M thẳng hàng Xét BHM có BD vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên BHM cân B      BHM BMH mà BMH BCA (cùng chắn cung AB )   Vậy BHM BCA  Tứ giác HSCD nội tiếp (góc ngồi góc đối trong) Xét hai tam giác AHS ACD có : A chung AHS  ACD (tứ giác HSCD nội tiếp) Vậy AHS ∽ACD (g-g)  AH AS   AH AD  AS AC AC AD c) Chứng minh H trực tâm   BHM BCA (chứng minh trên)   BCA DME (tứ giác MDEC nội tiếp, chắn cung DE )   Vậy BHM DME  BS // ME  BS  AC