Ăn chắc 9+ Vật lý Chủ đề 5: tổng hợp dao động điều hòa

CHỦ ĐỀ TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA BÀI TỐN THUẬN Nội dung tốn: Cho biết phương trình dao động thành phần, yêu cầu tìm dao động tổng hợp Phương pháp giải Tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hoà phương, tần số dao động điều hoà phương, tần số Cách Phương pháp áp dụng trực tiếp công thức tính A tan ϕ =  x1 A1 cos (ωt + ϕ1 ) = ⇒ x A cos (ωt + ϕ )  =  x2 A2 cos (ωt + ϕ )  A= A12 + A22 + A1 A2 cos (ϕ2 − ϕ1 )   A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2  tan ϕ = A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ  * Nếu dạng hàm cos, dạng hàm sin đổi: π  sin (ωt += α ) cos  ωt + α −  2  * Nếu hai dao động pha ϕ2 − ϕ1 = k 2π ⇒ Amax = A1 + A2 * Nếu hai dao động thành phần ngược pha ϕ2 − ϕ1 = ( 2k + 1) π ⇒ Amin = A1 − A2 * Nếu hai dao động thành phần vuông pha ϕ2 − ϕ1 = ( 2k + 1) π Cách Phương pháp cộng hàm lượng giác x = x1 + x2 + = x A1 cos (ωt + ϕ1 ) + A2 cos (ωt + ϕ ) + = x cos ωt ( A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ ) − sin ω t ( A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 )   A cos ϕ = ⇒ x A cos (ωt + ϕ ) Cách Phương pháp cộng số phức x = x1 + x2 + x = A1∠ϕ1 + A2 ∠ϕ2 + A sin ϕ ⇒ A= A12 + A22 Kinh nghiệm: 1) Khi cần tổng hợp hai dao động điều hịa dùng ba cách Khi cần tổng hợp ba dao động điều hịa trở lên nên dùng cách cách 2) Phương pháp cộng số phức áp dụng trường hợp số liệu tường minh biên độ chúng có dạng nhân với số,  A1 = 2a  Ví dụ: = A2 3a ⇒ chọn a =   A3 = 5a 3) Trường hợp chưa biết đại lượng nên dùng phương pháp vectơ quay cộng hàm lượng giác Trường hợp hai dao động thành phần biên độ nên dùng phương pháp lượng giác Ví dụ 1: Một vật thực hai dao động điều hòa phương tần số: x1 = cos (ωt + 30 ) cm, x2 = 8cos (ωt + 90 ) cm (với ω đo rad/s t đo giây) Dao động tổng hợp có biên độ A 6,93 cm B 10,58 cm C 4,36 cm D 11,87 cm Hướng dẫn: Chọn đáp án C Bài toán đơn giản nên ta dùng cách 1: A= A12 + A22 + A1 A2 cos (ϕ − ϕ1 ) 42 + 82 + 2.4.8.cos ( 90 − 30 ) = 4,36 ( cm ) A= Ví dụ 2: (ĐH‒2008) Cho hai dao động điều hịa phương, tần số, biên độ có pha ban đầu π − π (phương trình dạng cos) Pha ban đầu dao động tổng hợp hai dao động A − π B π C π D π 12 Hướng dẫn: Chọn đáp án D tan ϕ π −π a sin + a sin A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 = ⇒ϕ π = A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ a cos π + a cos −π 12 Ví dụ 3: Một vật thực đồng thời dao động điều hồ phương, tần số có phương trình: π  x1 = cos  ωt +  ( cm ) , x2 = cos (ωt + π )( cm ) Phương trình dao động tổng hợp 2  5π  2π  π π     A x cos  ωt − = =  D x cos  ωt −   C x cos  ωt + =  B x cos  ωt + =   3 6     Hướng dẫn: Chọn đáp án x= 3∠ π + 1∠π = 2∠ 2π 2π   ⇒ x = cos  ωt +  ( cm ) 3   Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm sau: (Để chọn đơn vị góc radian) (Để chọn chế độ tính tốn với số phức) (Màn hình máy tính thị Màn hình kết quả: 2∠ 3∠ π + 1∠π ) 2π Nghĩa biên độ A = 2cm pha ban đầu ϕ = 2π nên ta chọn B Chú ý: Để thực phép tính số phức, bấm: MODE hình xuất CMPLX Muốn biểu diện số phức dạng A∠ϕ , bấm SHIFT = Muốn biểu diện số phức dạng: a + bi , bấm SHIFT = Để nhập ký tự ∠ bấm: SHIFT (-) Khi nhập số liệu phải thống đơn vị đo góc độ hay rađian Nếu chọn đơn vị đo độ (D), bấm: SHIFT MODE hình hiển thị chữ D Nếu chọn đơn vị đo Rad (R), bấm: SHIFT MODE hình hiển thị chữ R Ví dụ 4: Một vật thực đồng thời dao động điều hồ phương, tần số có phương trình: 5π  π   x1 = 2sin  π t − cos  π t +  ( cm ) Phương trình dao động tổng hợp  ( cm ) , x2 =  6   A x = cos (π t + 1, 63) π  C x cos  π t −  = 6  5π   B x cos  π t − =    D x = cos (π t − 1,51) Hướng dẫn: Chọn đáp án D  5π  4π    x1 2sin  π t − =  cos  π t −  ( cm ) =      Đổi hàm sin hàm   x cos  π t + π  =    6  Cách 1: A12 + A22 + A1 A2 cos (ϕ2 − ϕ1 )= A=  π −4π  22 + 12 + 2.2.1.cos  − =  6 ( cm ) −4π π + 1.sin A sin ϕ1 + A2 sin ϕ =−8 − ⇒ ϕ =−1,51( rad ) tan ϕ = = A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2 cos −4π + 1.cos π 2sin Cách 2: 5π  x = x1 + x2 = 2sin  π t −  x= 2sin π t cos π    + cos  π t +  6   5π 5π π π − cos π t sin + cos π t cos − sin π t sin 6 6  −2 +   1+  x= cos π t  cos (π t − 1,51)( cm )  − sin π t  =       cos( −1,51) sin ( −1,51) Cách 3:  4π x = x1 + x2 = 2∠  −   π   + 1∠   =  6 5∠1, 63 ⇒ x = cos (π t + 1, 63)( cm ) Bình luận : Đáp án A! Vậy cách cách sai đâu? Ta dễ thấy,    véc tơ tổng A = A1 + A2 nằm góc phần tư thứ III khơng thể lấy ϕ = −1,51rad ! Sai lầm chỗ, phương trình có hai nghiệm : ϕ = −1,51( rad ) tan ϕ =−8 − ⇒  π − 1,51 = 1, 63 ( rad ) ϕ = Ta phải chọn nghiệm 1,63 rad véc tơ tổng “bị kẹp” hai véc tơ thành phần Qua ta thấy máy tính khơng “dính bẫy” thơng thường giống người! Đây lợi cách Ví dụ 5: Cho hai dao động điều hồ phương tần số, biên độ a a pha ban đầu tương ứng= ϕ1 A π 2π π Pha ban đầu dao động tổng hợp là: = ; ϕ2 B π C − π D Hướng dẫn: Chọn đáp án B Muốn sử dụng máy tính ta chọn a = thực sau : π  x =x1 + x2 =1∠ ( 2π / 3) + 3∠ (π / ) =2∠ (π / 3) ⇒ x =2 cos  ωt +  ( cm ) 3  Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm sau: 2π SHIFT MODE (Để chọn đơn vị góc radian) MODE (Để chọn chế độ tính tốn với số phức) SHIFT ( − ) 2π + 3 SHIFT ( − ) π : (Màn hình máy tính thị 1∠ ( 2π / 3) + 3∠ (π / ) ) SHIFT = Màn hình kết quả: 2∠ (π / 3) Nghĩa biên độ A = 2a pha ban đầu ϕ = π nên ta chọn B Dùng máy tính Casio fx 570 – MS, bấm sau: SHIFT MODE = (Để cài đặt ban đầu, đơn vị đo góc độ) MODE (Để cài đặt tính tốn với số phức) Bấm SHIFT A = + seõ= SHIFT ( − ) 30 :  SHIFT = ϕ 60 Bấm= SHIFT ( − ) 120 + Nghĩa biên độ A = cm pha ban đầu ϕ= 60° nên ta chọn B Chú ý: Nếu hai dao động thành phần có biên độ ta nên dùng phương pháp lượng giác: = x a cos (ωt + ϕ1 ) + a cos (ωt += ϕ2 ) 2a cos ϕ1 − ϕ2 ϕ + ϕ2   cos  ωt +    Ví dụ 6: Phương trình dao động tổng hợp dao động thành phần phương tần số: π  = x1 cos (100t )( = cm ) ; x2 cos 100t +  ( cm ) là: 2  π  A x 4.cos 100t +  cm = 4  π  B x 2.cos 100t +  cm = 8  π  C x 2.cos 100t +  cm = 4  3π   D x 4.cos 100t + =  cm   Hướng dẫn: Chọn đáp án B x = x1 + x2 = 2.4.cos Ví dụ 7: Biên π π π   cos 100t +  = cos 100t +  ( cm ) 4 4   độ dao động tổng hợp ba dao động x1 = cos 4π t ( cm ) , = x2 cos ( 4π t + 0, 75π )( cm= ) x3 3cos ( 4π t + 0, 25π ) ( cm ) là: A cm B cm Hướng dẫn: Chọn đáp án A Cách 1: Phương pháp cộng hàm lượng giác C cm D cm x = x1 + x2 + x cos ωt ( A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ + ) − sin ωt ( A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ + ) 3π π 3π π   = x cos 4π t  cos + cos + 3cos  − sin 4π t  sin + 4sin + 3sin  4 4   π  = x 3,5 cos 5t − 3,5 2= sin 5t 7.cos  4π t +  ( cm= ) ⇒ A ( cm ) 3  Cách 2: Phương pháp cộng số phức x = x1 + x2 + = A1∠ϕ1 + A2 ∠ϕ2 + x = 2∠0 + 4∠ 3π π π + 3∠ = 7∠ 4 Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm sau: SHIFT MODE (Để chọn đơn vị góc radian) MODE (Để chọn chế độ tính tốn với số phức) SHIFT ( − ) + SHIFT ( − ) 3π π + SHIFT ( − ) : 4 (Màn hình máy tính thị 4 2∠0 + 4∠ 3π π + 3∠ ) 4 SHIFT = Màn hình kết quả: 7∠ π Nghĩa biên độ A = cm pha ban đầu ϕ = π (Pha ban đầu cần nhập + 4∠ nên ta chọn A 3π π + 3∠ kết trên) 4 Dùng máy tính Casio fx 570 – MS, bấm sau: SHIFT MODE = (Để cài đặt ban đầu, đơn vị đo góc độ) MODE (Để cài đặt tính tốn với số phức) + SHIFT ( − ) 135 + SHIFT ( − ) 45 Bấm SHIFT = + sẽ= A  SHIFT = ϕ 45 Bấm= Nghĩa biên độ A = pha ban đầu ϕ= 45° nên ta chọn A Ví dụ 8: Một vật thực đồng thời dao động điều hòa pha tần số có phương trình π 5π x1 =5cos ( 2π t + ϕ )( cm ) ; x2 =3cos ( 2π t − π )( cm = ) ; x3 cos  2π t −  ( cm ) , với < ϕ <   tan ϕ = Phương trình dao động tổng hợp 5π   A x cos  2π t + =  ( cm )   2π   B x 3 cos  2π t − =  ( cm )   5π   C x cos  2π t + =  ( cm )   5π   D x 3cos  2π t − =  ( cm )   Hướng dẫn: Chọn đáp án A −5π 5π 5∠ arctan + 3∠ − π + 4∠ = 4∠ 6 π  Ví dụ 9: Vật thực đồng thời hai dao động phương có phương= trình x1 8cos  20t −  ( cm ) 3  π  x2 3cos  20t +  ( cm ) (với t đo giây) Tính gia tốc cực đại, tốc độ cực đại vận tốc vật = 3  vị trí cách vị trí cực đại gần cm Hướng dẫn: Biên độ dao động tổng hợp: A= A12 + A22 + A1 A2 cos (ϕ2 − ϕ1 = ) 64 + + 2.8.3.cos 2π = ( cm ) 2 a= ω= A 20= 2800 ( cm / s ) max Gia tốc cực đại tốc độ cực đại:  = ω= A 20.7 = 140 ( cm / s ) vmax Vị trí cách vị trí cực đại gần cm, tức vị trí cách vị trí cân x = − = ( cm ) Vận tốc tính theo công thức: v = ±ω A2 − x = ±20 − 52 = ±40 ( cm / s ) Ví dụ 10: Một vật có khối lượng 0,5 kg thực đồng thời ba dao động điều hồ phương, tần có số phương trình: π π   x1 = cos 10t +  ( cm ) ; x2 = cos 10t +  ( cm ) ; 3 6   π  = x3 8cos 10t −  ( cm ) (với t đo s) Tính dao động độ lớn gia tốc vật vị trí cách 2  vị trí cực đại gần cm Hướng dẫn: Tổng hợp theo phương pháp cộng số phức: 3∠ π + 4∠ π + 8∠ −π shift 23 = = 6∠ − π Biên độ dao động tổng hợp cm nên dao động : W = 1 mω A2 0,5.10 0, 062 0, 09 ( J ) = = 2 Vị trí cách vị trí cực đại gần cm, tức vị trí cách vị trí cân x = − = ( cm ) 2 Độ lớn gia tốc vật tính theo cơng thức:= a ω= x 10 = 400 ( cm / s ) Ví dụ 11: Một vật tham gia đồng thời dao động điều hoà phương tần số vuông pha với Nếu tham gia dao động thứ vật đạt vận tốc cực đại v1 Nếu tham gia dao động thứ hai vật đạt vận tốc cực đại v2 Nếu tham gia đồng thời dao động vận tốc cực đại A 0,5 ( v1 + v2 ) C ( v12 + v22 ) B ( v1 + v2 ) 0,5 D 0,5 ( v12 + v22 ) 0,5 Hướng dẫn: Chọn đáp án C Vì hai dao động vuông pha nên biên độ dao động tổng hợp:= A A12 + A22 Vận tốc cực đại vật: v = ωA = v12 + v22 (ω A1 ) + (ω A2 ) = 2 Ví dụ 12: (CĐ‒2011) Một vật nhỏ có chuyển động tổng hợp hai dao động điều hòa phương π  Hai dao động có phương trình x1 = A1 cos ω t x2 A2 cos  ωt +  Gọi E vật = 2  Khối lượng vật A E ω A12 + A22 B 2E ω A12 + A22 C E ω ( A12 + A22 ) D 2E ω ( A12 + A22 ) Hướng dẫn: Chọn đáp án D Vì hai dao động vng pha nên biên độ dao động tổng hợp:= A Cơ dao động vật:= E A12 + A22 mω A2 2E ⇒ = m ω ( A12 + A22 ) Chú ý: 1) Lực kéo cực đại: Fmax = kA = mω A 2) Lực đàn hồi cực đại: Fdh max = k ∆l0 + A mg  ∆l0 =k Trong đó, ∆l0 độ biến dạng lị xo vị trí cân bằng:  mg sin α ∆l =  k Ví dụ 13: Con lắc lị xo gồm vật nhỏ nặng kg thực đồng thời hai dao động điều hồ theo phương ngang, theo phương trình: x1 = 5cos π t ( cm ) x2 = 5sin π t ( cm ) (Gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng, t đo giây, lấy π = 10 ) Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật A 50 2N B 0,5 2N Hướng dẫn: Chọn đáp án B C 25 2N D 0, 25 2N  x1 = 5cos π t  π   = = π t 5cos  π t −   x2 5sin 2   k m= = ω 10 ( N / m )  ⇒ A= A12 + A22 + A1 A2 cos (ϕ2 − ϕ1 )= 0, 05 ( m ) ( ) ⇒ Fmax = k ( ∆l0 + A ) = 10 + 0, 05 = 0,5 ( N ) Ví dụ 14: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ nặng kg thực đồng thời hai dao động điều hoà theo phương thẳng đứng, theo phương trình: x1 = cos10t ( cm ) x2 = sin10t ( cm ) (Gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng, t đo giây lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2) Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật A 10 N B 20 N C 25 N D 0,25 N Hướng dẫn: Chọn đáp án B   x1 = cos10t  π   = sin10t cos 10t −   x2 5= 2    mg k mω= 100 ( N / m ) ⇒ ∆= l0 = 0,1( m ) = k   A= A12 + A22 + A1 A2 cos (ϕ2 − ϕ1 ) = 10 ( cm ) = 0,1( m ) ⇒  Fmax = k ( ∆l0 + A ) = 100 ( 0,1 + 0,1) = 20 ( N ) Chú ý: Giả sử thời điểm x = A tăng (giảm) để tính giá trị x1 x2 có thể: Dùng n phương pháp vectơ quay; Giải phương trình lượng giác π  Ví dụ 15: Hai dao động điều hịa phương tần số có phương= trình x1 cos 10t +  ( cm ) 6  5π   = x2 cos 10t +  ( cm ) Tại thời điểm li độ dao động tổng hợp cm tăng li độ dao   động thứ hai bao nhiêu? A 10 cm B cm C cm Hướng dẫn: Chọn đáp án C Phương trình dao động tổng hợp: x = x1 + x2 = 6∠ π + 6∠ 5π π = 6∠ D −3 cm π  = cos 10t +  (cm) 2  Vì x = tăng nên pha dao động (ở nửa vòng 10t + π = − π ⇒ 10t = − 5π  ⇒ x2 = cos 10t +  tròn) 5π   5π 5π  +  = cos  −  = ( cm )    Chú ý: 1) Hai thời điểm pha cách khoảng thời gian kT t2 − t= kT ⇒ ∆ϕ= k 2π ⇒ x= xt t1 2) Hai thời điểm ngược pha cách khoảng ( 2k + 1) T ⇒ ∆ϕ = ( 2k + 1) π ⇒ xt1 = − xt2 3) Hai thời điểm vuông pha cách khoảng ( 2k + 1) t2 −= t1 ( 2k + 1) T ⇒ ∆= j ( 2k + 1) π ⇒= A T xt21 + xt22 Ví dụ 16: Một vật thực đồng thời dao động điều hòa pha tần số có phương trình lần 2π  2π  lượt x1 =A1 cos  2π t + )( cm ) , x3 A3 cos  2π t −  ( cm ) Tại thời điểm  ( cm ) , x2 =A2 cos ( 2π t =     t1 giá trị li độ x1 ( t1 ) = −10cm, x2 ( t1 ) = 40 cm , x3 ( t1 ) = −20cm Thời điểm t2= t1 + T giá trị li độ x1 ( t2 ) = −10 cm, x2 ( t2 ) = cm, x3 ( t2 ) = 20 cm Tìm phương trình dao động tổng hợp? π  A x 30 cos  2π t +  = 3  π  B x 20 cos  2π t −  = 3  π  C x 40 cos  2π t +  = 3  π  D x 20 cos  2π t −  = 3  Hướng dẫn: Chọn đáp án B Hai thời điểm t2 t1 vuông pha nên biên độ tính theo cơng thức: = A xt21 + xt22 x12(t1) + x12(t 2) = 20 ( cm ) ; A2 = Với A1 = A3 = x22(t1) + x22(t 2) = 40 ( cm ) x32(t1) + x32(t 2) = 40 ( cm ) Tổng hợp theo phương pháp cộng số phức: x = x1 + x2 + x3 = A1∠ϕ1 + A2 ∠ϕ2 + A3∠ϕ3 A 3π / B 2π / D π / C π / Hướng dẫn: Chọn đáp án C Cách 1: Áp dụng: B= A12 + A22 − A1 A2 cos∆ϕ 6= 62 + 62 − 26.6 cos ∆ϕ ⇒ cos ∆ϕ = ⇒ ∆ϕ= π ⇒ chọn C Cách 2: Khoảng cách hai chất điểm lớn M1M2 // MN tứ giác MM1M2N hình chữ nhật ⇒ M 1M = MN = 6(cm = ) OM = OM ⇒ ∆OM 1M ⇒ ∆ϕ= π ⇒ chọn C Quy trình giải nhanh: Khi cho biết biên độ dao động tổng hợp hai chất điểm dao động A độ lệch pha hai dao động thành phần là: cos ∆ϕ = A2 − A12 − A22 A1 A2 Khi cho biết khoảng cách cực đại hai chất điểm B độ lệch pha hai dao động thành phần là: cos ∆ϕ = A12 + A22 − B 2 A1 A2 Nếu ∆ϕ = π / (hai dao động vng pha) B = A12 + A22 = A Nếu ∆ϕ > π / B > A12 + A22 B > A Nếu ∆ϕ < π / B < A12 + A22 B < A Ví dụ 3: Hai lắc lò xo giống hệt dao động điều hòa mặt phẳng nằm ngang, dọc theo hai đường thẳng song song cạnh song song với trục Ox Biên độ lắc A1 = cm, lắc A = cm Con lắc dao động sớm pha lắc trình dao động khoảng cách lớn hai vật dọc theo trục Ox cm Khi động lắc cực đại động lắc thứ A 1/4 giá trị cực đại B 3/4 giá trị cực đại C 2/3 giá trị cực đại D 1/2 giá trị cực đại Hướng dẫn: Chọn đáp án B Cách 1: Khoảng cách hai chất điểm lớn M1M2 // MN tứ giác MM1M2N hình chữ nhật ⇒ M 1M = MN = 4(cm) = cos ∆ϕ 2 ) ( 4) ( OM ) + ( OM ) − ( M 1M 2= 2.OM 1.OM 2 ( + ) 2.4.4 − ( 4) = π ⇒ ∆ϕ = =  x1 4sin ωt (cm)  Ta chọn:  π  =  x2 sin  ωt +  (cm)    Chọn t = x1 = Wd1 = max, x2 = A2/2 nên lắc 1/4 động 3/4 ⇒ Chọn B Cách 2: Áp dụng công thức: cos ∆ϕ = ⇒ cos ∆ϕ = ( 4) ( + ) 2.4.4 − ( 4) = A12 + A22 − B 2 A1 A2 π ⇒ ∆ϕ = =  x1 4sin ωt (cm)  Ta chọn:  Chọn t = x1 = Wd1 = max, π  =  x2 sin  ωt +  (cm)    x2 = A2/2 nên lắc 1/4 động 3/4 ⇒ Chọn B Ví dụ 4: Hai chất điểm M N có khối lượng, dao động điều hòa tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân M N đường thẳng qua gốc tọa độ vng góc với Ox Biên độ M N cm Trong trình dao động, khoảng cách lớn M N theo phương Ox cm Mốc vị trí cân Ở thời điểm mà M có động gấp ba lần năng, tỉ số động M N A 4/3 B 4/3 C 3/4 D 4/3 Hướng dẫn: Chọn đáp án C Cách 1: Khoảng cách hai chất điểm lớn M1M2 // MN tứ giác MM1M2N hình chữ nhật ⇒ M 1M = MN = (cm = ) OM = OM ⇒ ∆OM 1M ⇒ ∆ϕ = A1  600 WtM= WM ⇒ OM= ⇒ α= 3WtM ⇒  = W dM W = W  dM M  WdM = 1   WtN α 2= 60 ⇒ WtN= WdN= WN ⇒    α = 0 ⇒ W = W tN N  W dM =  WtN WM 4= WN ⇒ Chọn C WM 4= WN π Cách 2: Áp dụng công thức: = cos ∆ϕ π ⇒ ∆ϕ = Ta chọn: A12 + A22 − B 62 + 62 − 62 = = A1 A2 2.6.6 =  x1 cos ωt (cm)  π   =  x2 cos  ωt +  (cm)    Vì khối lượng, tần số góc biên độ dao động thành phần nên W =±2π / Do x = ± A x = ± A / 2; tức W = max = W Wt = W / t2 Vì vậy, Wd1 / Wt = / Wd1 / Wt = ⇒ chọn C Khi = Wd1 3W = 3W / x1 = ± A1 / nên ωt = ±π / ωt t1 Chú ý : Khi hai dao động vng pha 1) Khoảng cách cực đại hai chất điểm biên độ dao động tổng hợp: b= A= A12 + A22 2) Ở thời điểm đó, dao động động dao động nên tỉ số động tỉ số tỉ số Ví dụ 5: (ĐH‒2012) Hai chất điểm M N có khối lượng, dao động điều hòa tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân M N đường thẳng qua gốc tọa độ vng góc với Ox Biên độ M cm, N cm Trong trình dao động, khoảng cách lớn M N theo phương Ox 10 cm Mốc vị trí cân Ở thời điểm mà M có động năng, tỉ số động M động N A 4/3 B 3/4 C 9/16 D 16/9 Hướng dẫn: Chọn đáp án C Cách 1: Khoảng cách hai chất điểm lớn M1M2 // MN tứ giác MM1M2N hình chữ nhật ⇒ M 1M = MN = 10 (cm) ( OM ) + ( OM ) − ( M 1M ) = ⇒ cos ∆ϕ= 2.OM 1.OM 2 ⇒ ∆ϕ= π WtM = WdM = WN A1 π π ⇒ α1= ⇒ α 2= ⇒ WtN = WdN = 4 2 WM ⇒ OM= 2 WdM 0,5WM  A1  = =  = ⇒ Chọn C WdN 0,5WN  A2  16 Cách 2: Khoảng cách hai chất điểm thời điểm : cos(ωt + ϕ1 ) − 8cos(ωt += ϕ2 ) 10 cos(ωt + ϕ12 )        xM ∆x xN Vì 62 + 82 = 102 nên xM vng pha với xN Do đó: xM2 xN2 + = A12 A22 W mω2 A12 Khi WtM xM = ± A1 từ suy ra: xN = ± A2 2, hay = WdM = = WN mω2 A22 W= W= = tN dN WdM  A1  Tỉ số động M động N là:= =  WdN  A2  16 Cách 3: Áp dụng công thức: cos ∆ϕ = A12 + A22 − B π = ⇒ ∆ϕ = ± Hai dao động vuông pha A1 A2 Ở thời điểm đó, dao động động dao động nên tỉ W W1  A1  số động tỉ số tỉ số năng: dM= = ⇒ chọn C  = WdN W2  A2  16 Ví dụ 6: (CĐ‒2012) Hai vật dao động điều hòa dọc theo trục song song với Phương trình dao động vật = x1 A1 cos ωt (cm) = x A sin ωt (cm) Biết 64 x12 + 36 x22 = 482 ( cm ) Tại thời điểm t, vật thứ qua vị trí có li độ x1 = cm với vận tốc v1 = ‒18 cm/s Khi vật thứ hai có tốc độ A 24 cm/s B cm/s C cm/s D 24 cm/s Hướng dẫn: Chọn đáp án B 64 x12 + 36 x22 =482 ⇒ 64.32 + 36 x22 =482 ⇒ x2 =4 ( cm ) Đạo hàm hai vế phương trình: 64 x12 + 36 x22 =482 ⇒ 128 x1v1 + 72 x2 v2 =0 ⇒ v= 16 x1v1 = ( cm / s ) ⇒ Chọn B x2 Bình luận: Từ phương trình:  x2 = ? ax12 + bx22 = c Cho x1 , v1 ax + bx= c ⇒   → ⇒ ax1v1 + bx2 v2 = 2ax1 x '1 + 2bx2 x '2 =  v2 = ? 2 Ví dụ 7: Hai chất điểm dao động điều hòa, phương cùng tần số với li độ x1 x Li độ hai chất điểm thỏa mãn điều kiện: 1,5 x12 + x22 = 18 ( cm ) Tính biên độ dao động tổng hợp hai dao động A cm B cm C cm D 21 cm Hướng dẫn: Chọn đáp án D 2  x  x  Từ 1,5 x + 2= x 18 ( cm ) ⇒   +  2=   12    2 2 π   x1 ⊥ x2 ⇒ ∆ϕ = ⇒ ⇒ A= A 12 ( cm ) ; A2 ( cm ) =  = A12 + A22= 12 + 9= 21 ( cm ) Ví dụ 8: Ba chất điểm dao động điều hòa, phương, biên độ A, vị trí cân gốc tọa độ tần số khác Biết rằng, thời điểm li độ vận tốc chất điểm liên hệ với biểu thức x1 x2 x3 + = Tại thời điểm t, chất điểm cách vị trí cân cm v1 v2 v3 lúc này, hai chất điểm lại nằm đối xứng qua gốc tọa độ chúng cách cm Giá trị A gần giá trị sau đây? A 3,2 cm B 3,5 cm C 4,5 cm D 5,4 cm Hướng dẫn: Chọn đáp án B Đạo hàm theo thời gian hai vế hệ thức x1 x2 x3 + =ta được: v1 v2 v3 x '1 v1 − x1v '1 x '2 v2 − x2 v '2 x '3 v3 − x3v '3 + = thay v12 v22 v32 ⇒ ⇒ ω12 ( A2 − x12 ) + ω12 x12 ω12 ( A2 − x12 ) + ω22 ( A2 − x22 ) + ω12 x12 ω22 ( A2 − x22 )  x ' v = v2 = ω2 ( A2 − x )  2  xv ' = x.a = −ω x ω32 ( A2 − x32 ) + ω32 x32 = ω32 ( A2 − x32 ) 2 1 1 1 x2= x1= 22 + =  → += 2 2 2 2 2 x3 =3 A − x1 A − x2 A − x3 A −4 A −4 A −9 ⇒ A= 14= 3, 74 ( cm ) ⇒ chọn B Ví dụ 9: Ba chất điểm dao động điều hòa, phương, biên độ A, vị trí cân gốc tọa độ tần số góc ω, 2ω 3ω Biết rằng, thời điểm li độ vận tốc chất điểm liên hệ với biểu thức x1 x2 x3 + = Tại thời điểm t, tốc độ chất điểm theo v1 v2 v3 thứ tự 10 cm/s, 15 cm/s v Giá trị v0 gần giá trị sau đây? A 16 cm/s B 19 cm/s Hướng dẫn: Chọn đáp án B C 45 cm/s D 54 cm/s Đạo hàm theo thời gian hai vế hệ thức x1 x2 x3 + =ta được: v1 v2 v3 x '1 v1 − x1v '1 x '2 v2 − x2 v '2 x '3 v3 − x3v '3 + = v12 v22 v32 x 'v = v2 = ω2 ( A2 − x )  thay  v2  2 2 xv ' = x a = −ω x = −ω A + = −ω2 A2 + v    ω    ⇒ v12 + ω12 A2 − v12 v22 + ω22 A2 − v22 v32 + ω32 A2 − v32 ω12 ω22 ω32 + = ⇒ = + v12 v22 v32 v12 v22 v32 + = ⇒ v3 =18 ( cm ) ⇒ Chọn B 10 15 v3 Chú ý: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đường thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, tần số vị trí cân gốc tọa độ Khi hai chất điểm gặp tọa độ x0, chúng chuyển động ngược chiều  x1 =  v1 =  =  x1  v1 = A1 cos ( ωt = + ϕ1 ) x0 −ωA1 sin ( ωt + ϕ1 ) > ⇒ ( ωt + ϕ1 ) = ? A2 cos ( ωt = + ϕ2 ) x0 −ωA2 sin ( ωt + ϕ2 ) < ⇒ ∆ϕ = ( ωt + ϕ2 ) − ( ωt + ϕ1 ) = ? ⇒ ∆ϕ = ( ωt + ϕ2 ) − ( ωt + ϕ1 ) = ? ⇒ ( ωt + ϕ ) = ? Hoặc  x1 =  v1 =  =  x1  v1 = A1 cos ( ωt = + ϕ1 ) x0 −ωA1 sin ( ωt + ϕ1 ) < ⇒ ( ωt + ϕ1 ) = ? A2 cos ( ωt = + ϕ2 ) x0 −ωA2 sin ( ωt + ϕ2 ) > ⇒ ( ωt + ϕ ) = ? Khi hai chất điểm gặp tọa độ x0, chúng chuyển động chiều dương  x1 =  v1 =  =  x1  v1 = A1 cos ( ωt = + ϕ1 ) x0 −ωA1 sin ( ωt + ϕ1 ) > ⇒ ( ωt + ϕ1 ) = ? ⇒ ∆ϕ = A2 cos ( ωt = + ϕ2 ) x0 −ωA2 sin ( ωt + ϕ2 ) > ( ωt + ϕ2 ) − ( ωt + ϕ1 ) = ? ⇒ ( ωt + ϕ ) = ? Khi hai chất điểm gặp tọa độ x0, chúng chuyển động chiều âm  x1 =  v1 =  =  x1  v1 = A1 cos ( ωt = + ϕ1 ) x0 −ωA1 sin ( ωt + ϕ1 ) < ⇒ ( ωt + ϕ1 ) = ? + ϕ2 ) x0 A2 cos ( ωt = −ωA2 sin ( ωt + ϕ2 ) < ⇒ ∆ϕ = ⇒ ( ωt + ϕ ) = ? ( ωt + ϕ2 ) − ( ωt + ϕ1 ) = ? Ví dụ 10: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đường thẳng song song với trục Ox , cạnh nhau, tần số biên độ chất điểm thứ A/ chất điểm thứ hai A Vị trí cân chúng xem trùng gốc tọa độ Khi hai chất điểm gặp tọa độ +A/2, chúng chuyển động ngược chiều Hiệu pha hai dao động giá trị sau đây: A 2π / C π B π / D π / Hướng dẫn: Chọn đáp án D A A  = cos ( ω= t + ϕ1 )  x1 π Cách 1:  ⇒ ( ωt + ϕ1 ) = − v = − ωA sin ( ωt + ϕ ) > 1  A  = ϕ2 ) π  x1 A cos ( ωt += ⇒ ( ωt + ϕ ) =  v1 = −ωA sin ( ωt + ϕ2 ) <  ⇒ ∆ϕ = ( ωt + ϕ2 ) − ( ωt + ϕ1 ) = π ⇒ Chọn D Cách 2: Dùng vòng tròn lượng giác: ∆ϕ= π  π π −  − = ⇒ Chọn D  6 Chú ý: Cách gọi phương pháp dùng VTLG kép + Ta vẽ hai vịng trịn đồng tâm với bán kính biên độ dao động thành phần (nếu bán kính hai đường trịn trùng nhau) + Tại li độ gặp ta vẽ đường thẳng vnggóc với trục x cắt vịng tròn hai điểm với α =arccos x0 x β =arccos A1 A2 Nếu gặp hai chất điểm chuyển động chiều (một nửa vịng trịn nửa dưới) độ lệch pha ∆ϕ = β + α chuyển động chiều (cùng nửa nửa vịng trịn) ∆ϕ = β − α Ví dụ 11: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đường thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, tần số biên độ chất điểm thứ cm chất điểm thứ hai 14,928 cm Vị trí cân chúng xem trùng gốc tọa độ Khi hai chất điểm gặp tọa độ 3,864 cm, chúng chuyển động chiều Hiệu pha hai dao động giá trị sau đây: A 2π / B π / C π Hướng dẫn: Chọn đáp án B Khi gặp hai chất điểm chuyển động chiều nên độ lệch pha: D π/2 ∆ϕ = β − α = arccos 3,864 3,864 π − arccos ≈ 1, 047 ≈ ⇒ Chọn B 14,928 4 Hiện tượng trùng phùng gặp Giả sử hai lắc bắt đầu dao động từ thời điểm t = Sau khoảng thời gian ∆t lắc thực n1 dao động, lắc thực n2 dao động: ∆t = n1 T1 = n2 T2 ⇒ n1 = n2 phân số tối giản = n = a.n a ⇒ b n2 = a.n ⇒∆ = t anT = bnT2 , ∆tmin = a.= T1 b.T2 n=1 Ví dụ 1: Hai lắc đơn có chiều dài 64 cm 81 cm dao động nhỏ hai mặt phẳng song song Lấy gia tốc trọng trường π2 m/s2 Hai lắc qua vị trí cân theo chiều lúc t = Xác định thời điểm gần mà tượng tái diễn A 14,4s B 16 s C 28,8 s D 7,2 s Hướng dẫn: Chọn đáp án A  2π T1 =    2π T2 =  l1 = 1, ( s ) g l2 = 1,8 ( s ) g ⇒ ∆t= n1.T1= n2 T2 ⇒ n1 1,8 n1 = 9n = = ⇒ n2 1, n2 = 8n ⇒ = ∆t 14, 4.n ⇒ ∆ = tmin 14, ( s ) ⇒ Chọn A Ví dụ 2: Hai lắc đơn có chiều dài 64 cm 81 cm dao động nhỏ hai mặt phẳng song song Lấy gia tốc trọng trường π2 m/s Hai lắc qua vị trí cân theo chiều lúc t = Gọi t1 t2 thời điểm gần mà qua vị trí cân chiều qua vị trí cân ngược chiều Giá t1 t2 A 14,4 s 7,2 s B 7,2 s 14,4 s C 28,8 s 7,2 s D 7,2 s 28,8 s Hướng dẫn: Chọn đáp án Gọi t thời điểm mà hai vật dao động qua vị trí cân bằng: T1 T = t n= n2= 0,8 = n1 0,9n2 ( s ) (với n1 n2 số nguyên dương) 2 n1 0,9 n1 = 9n ⇒= = ⇒ ⇒ = t 0,8.9 = n 0,9.8 = n 7, 2n( s ) (với n = 1; 2; 3…) n2 0,8 n2 = 8n Khi n chẵn hai chất điểm qua vị trí cân chiều nhau, cịn n lẻ hai chất điểm qua vị trí cân ngược chiều = 2.2 14, ( s ) t1 7,= ⇒ ⇒ Chọn A = 2.1 7, ( s ) t2 7,= Ví dụ 3: Hai lắc đơn có chiều dài 64 cm 81 cm dao động nhỏ hai mặt phẳng song song Lấy gia tốc trọng trường π2 m/s Hai lắc qua vị trí cân theo chiều lúc t = Đến thời điểm t = 110 s số lần mà hai vật dao động qua vị trí cân ngược chiều A lần B lần C 15 lần D 14 lần Hướng dẫn: Chọn đáp án B Gọi t thời điểm mà hai vật dao động qua vị trí cân bằng: T1 T = t n= n2= 0,8 = n1 0,9n2 ( s ) (với n1 n2 số nguyên dương) 2 n1 0,9 n1 = 9n ⇒= = ⇒ ⇒ = t 0,8.9 = n 0,9.8 = n 7, 2n( s ) (với n = 1; 2; 3…) n2 0,8 n2 = 8n Khi n chẵn hai chất điểm qua vị trí cân chiều nhau, cịn n lẻ hai chất điểm qua vị trí cân ngược chiều Từ điều kiện < t ≤ 110 s ⇒ < n ≤ 15, 28= ⇒ n 1; 2; ;15 ⇒ Trong có có giá trị lẻ n ⇒ chọn B Chú ý: Hai dao động điều hòa phương Ox biên độ vị trí cân O với phương = x1 A cos ( ω1t + ϕ1 = trình là: ) , x A cos ( ω2 t + ϕ2 ) Để tìm thời điểm gặp có thể: giải phương trình x1 = x2 dùng vịng trịn lượng giác Khi giải phương trình x1 = x2 ta hai họ nghiệm: ( ω2t + ϕ2 ) + ( ω1t + ϕ1= ) k 2π (nếu ω2 > ω1 )  ( ω2t + ϕ2 ) − ( ω1t + ϕ1 )= l.2π ( ω1t + ϕ1 ) + ( ω2t + ϕ2= ) k 2π Hoặc  (nếu ω2 < ω1 ) ( ω1t + ϕ1 ) − ( ω2t + ϕ2 )= l.2π Trong đó, k l số nguyên cho t > Thời điểm lần ứng với giá trị t > nhỏ (thông thường ứng với k, l = 1!) Ví dụ 4: Tại thời điểm ban đầu, hai chất điểm qua gốc O theo chiều dương, thực dao động điều hịa trục Ox có biên độ có tần số góc 5π/6 rad/s 2,5π rad/s Thời điểm đầu tiên, thời điểm lần thứ 2013, thời điểm lần thứ 2014 thời điểm lần thứ 2015 hai chất điểm gặp bao nhiêu? A B Hướng dẫn: Chọn đáp án A C D   5πt π  =  x1 A cos  −     Cách 1: Phương trình dao động chất điểm:   x A cos  2,5πt − π  =    2  Để tìm thời điểm gặp ta giải phương trình x1 = x hay: π   5πt π  cos  2,5π= t −  cos  −  2   2  π  5πt π   2,5πt −  =−  −  + k 2π     Phương trình có hai họ nghiệm:  (trong đó, k l số  π  5πt π  −  + l.2π  2,5πt −  =+  2  2  nguyên cho t > 0) 0,3 + k 0, ( s ) ( k = 0,1, 2, ) t = ⇒ ( s ) ( l 1, 2, ) = = t l.1, Laàn 1: t1 = 0,3 + 0.0,6 = 0,3 ( s ) k =  0,3 + 1.0,6 = 0,9 ( s ) k = Laàn 2: t2 =  = t3 1,2.1 = 1,2 ( s ) = l Laàn 3:  0,3 + 2.0,6 = 1,5 ( s ) k = Laàn 4: t4 =  0,3 + 3.0,6 = 2,1( s ) k = Laàn 5: t2 =  = t3 1,2.2 = 2,4 ( s ) = l Laàn 6:    Laàn 3n+1: t3n += t3n + 0,3 ( s )  = Laàn 3n: t3n 1,2 = n ( s ) l n   t3n + 0,9 ( s ) Laàn 3n+2: t3n +=  Laàn= 2013 3.671: = t3.671 1,2.671 = 805,2 ( s )  ⇒Chọn A Laàn 2014 = 3.671: t2014 = t2013 + 0,3 = 805,5 ( s )  Laàn 2015 = 3.671 + : t2015 = t2013 + 0,9 = 806,1( s ) 5πt   x1 = A sin Cách 2: Viết phương trình dạng sin:  Giải phương trình x1 = x hay  x2 A sin 2,5πt = 5πt  2,5πt = π − + k 2π  5πt ta hai họ nghiệm:  sin 2,5π =sin 5πt  2,5π= t + l.2π  = t 0,3 + k 0, ( s ) (k=0,1,2, ) Từ suy ra:  = = ( s ) (l 1, 2, ) t l.1, Cách 3: Dùng vòng tròn lượng giác biểu diễn dao động điều hòa dạng   5πt π  =  x1 A cos  −     hàm cos:   x A cos  2,5πt − π  =    2  Hai chất điểm gặp tổng số pha hiệu số pha số nguyên lần 2π:  π   5πt π   2,5πt −  +  − = k 2π      π   5πt π  − = l.2π  2,5πt −  −  2  2  = t 0,3 + k 0, ( s ) (k=0,1,2, ) Từ suy ra:  = = ( s ) (l 1, 2, ) t l.1, Kinh nghiệm: ( ω2t + ϕ2 ) + ( ω1t + ϕ1= ) k 2π Nếu ω2 > ω1 giải hai phương trình:  ( ω2t + ϕ2 ) − ( ω1t + ϕ1 )= l.2π ( ω1t + ϕ2 ) + ( ω2t + ϕ1= ) k 2π Nếu ω1 > ω2 giải hai phương trình:  ( ω1t + ϕ2 ) − ( ω2t + ϕ1 )= l.2π Ví dụ 5: Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox (O vị trí cân bằng) có biên độ A có tần số f1 = Hz f = Hz Lúc đầu, hai chất điểm qua li độ A/2 theo chiều âm Thời điểm lần chất điểm gặp A t = 2/27 s B t = 1/3 s C t = 1/9 s Hướng dẫn: Chọn đáp án A ω1 = f1 = 6π ( rad / s ) ; ω2 = f = 12π ( rad / s )  π  =  x1 A cos  6πt +     Phương trình dao động chất điểm:   x A cos 12πt + π  =    3   π  π 12πt +  +  6πt + = k 2π     Giải phương trình:   π  π 12πt +  −  6πt + = l.2π 3  3  1  1, 2,3, ) t =− 27 + k ( s ) (t > ⇒ k =  t l ( s ) (t >= = ⇒ l 1, 2,3, )  D t = 1/27 s 1 Lần 1: t = − + = ( s ) k = 27 27 Chú ý: Nếu ϕ1 = ϕ2 = −α (với < α < π / ) lần ứng với ( ω2t − α ) + ( ω1t − α ) =   Xuaát   Xuaát 2α  ⇒t=  ω2 + ω1  Xuaát    Xuaát  phát chiều dương x = α = π π A α = π A phát chiều dương x = ± α = phát chiều dương x = ± phát chiều dương x = ± π A α = Ví dụ 6: (ĐH ‒ 2013): Hai lắc đơn có chiều dài 81 cm 64 cm treo trần phòng Khi vật nhỏ hai lắc vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chúng vận tốc hướng cho hai lắc dao động điều hịa với biên độ góc, hai mặt phẳng song song với Gọi ∆t khoảng thời gian ngắn kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo song song Giá trị ∆t gần giá trị sau đây: A 2,36 s B 8,12 s C 0,45 s D 7,20 s Hướng dẫn: Chọn đáp án C ω= g 10π = ( rad / s ) ; ω=2 l1 g 10π = ( rad / s ) l2 2α π π Cách 1: Vì α = nên t = = ≈ 0, 42 ( s ) ⇒ Chọn C ω2 + ω1 10π + 10π Cách 2: Hai sợi dây song song x1 = x2 hay: A sin ω2t = A sin ω1t ⇒ ω2t = π − ω1t = π ≈ 0, 42 ( s ) ω2 + ω1 Chú ý: Nếu ω2 + ω1 bội số ω2 − ω1 ω2 ω1 xẩy hai họ nghiệm nhập thành họ nghiệm Ví dụ 7: Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox (O vị trí cân bằng) có biên độ A có tần số f1 = Hz f = Hz Lúc đầu, hai chất điểm qua li độ A/2 chất điểm theo chiều âm chất điểm theo chiều dương Tìm thời điểm hai chất điểm gặp Tìm tỉ số vận tốc chất điểm chất điểm gặp lần thứ 26 A B Hướng dẫn: Chọn đáp án C D  π  =  x1 A cos  6πt +     Phương trình dao động chất điểm:   x A cos 12πt − π  =    3  π π   Giải phương trình x1 = x hay cos 12πt −=  cos  6πt +  3 3    π  π 12πt −  −  6πt +  = k 2π ⇒ t = + k ( s )( t > ⇒ k = 0,1, 2, )      12πt − π  +  6πt + π = l.2π ⇒ t = l ( s )( t > ⇒ l = 1, 2,3, )     3  3 Họ nghiệm thứ nằm họ nghiệm thứ nên viết nhập lại thành họ nghiệm:  Laàn 1: t1 = ( s ) n =  = n  Laàn : t2 = ( s ) n t = ( s)  9   26  Laà = n 26 : t = ( s ) n 26 25  Tỉ số vận tốc chất điểm chất điểm gặp lần thứ 26: v1 x '1 = = v2 x '2 π  −6πA sin  6πt +  26 t = (s) v1 3  → = − π v2  −12πA sin 12t π −  3  Chú ý: Nếu hai dao động điều hòa phương biên độ, vị trí cân tần số = x1 A cos ( ωt + ϕ1= ) , x2 A cos ( ωt + ϕ2 ) phương trình x1 = x2 có họ nghiệm: ( ωt + ϕ1 ) + ( ωt + ϕ2=) Lúc đó: k 2π −ωA sin ( ωt + ϕ1 ) v1 −ωA sin ( ωt + ϕ1 ) = = = −1 v2 −ωA sin ( ωt + ϕ2 ) −ωA sin  k 2π − ( ωt + ϕ1 )  Trong chu kì chúng gặp lần n chu kì gặp 2n lần Ví dụ 8: Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox có phương trình lần = x1 A cos(πt + π / 2) và= x A cos(πt + π / 6) Tìm thời điểm lần 2013 hai chất điểm gặp lượt tính tỉ số vận tốc vật vật A t = 0,3 s v1/v2 = B t = 2/3 s v1/v2 = ‒1 C t = 0,4 s v1/v2 = ‒1 D t = 2/3 s v1/v2 = ‒2 Hướng dẫn: Chọn đáp án B π  π  x1 =x2 ⇒  πt +  +  πt +  =k 2π ⇒ t =− + 2k ( k =1, 2,3, ) 2  6  12076 Lần thứ 2013 ứng với k = 2013 nên t2013 =− + 2.2013 = (s) 3 Tỉ số vận tốc vật vật 2: v1 =−1 ⇒ Chọn B v2 Ví dụ 9: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đường thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, với biên độ tần số 3(Hz) 6(Hz) Vị trí cân chúng xem trùng gốc tọa độ Khi gặp tỉ số tốc độ chất điểm thứ với tốc độ chất điểm thứ hai A 3:2 B 2:3 C 1:2 D 2:1 Hướng dẫn: Chọn đáp án C 2 v1 ω1 A − x1 ω1 = = = 2 v2 ω2 A − x2 ω2 f1 = ⇒ Chọn C f2 Ví dụ 10: Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox có phương trình lần πt x 0,5A cos 4πt Tìm thời điểm hai chất điểm gặp tính lượt= x1 A cos 4= tỉ số vận tốc vật vật A t = 0,125 s v1/v2 =2 B t = 0,2 s v1/v2 = ‒1 C t = 0,4 s v1/v2 = ‒1 D t = 0,5 s v1/v2 = ‒2 Hướng dẫn: Chọn đáp án A x1 = x2 ⇒ A cos 4πt = 0,5 A cos 4πt ⇒ cos 4πt = ⇒ 4πt = ⇒ π ⇒ tmin = ( s ) v1 −ωA sin 4πt = =2 ⇒ Chọn A v2 −ω0,5 A sin 4πt Chú ý: Giả sử thời điểm t0, hai lắc có chu kì gặp li độ x1,sau nửa chu kì li độ chúng đổi dấu, tức gặp li độ ‒x1 Do đó: * Khoảng thời gian hai lần liên tiếp hai lắc gặp T * Khoảng thời gian n lần liên tiếp hai lắc gặp ∆t = ( n − 1) T Ví dụ 11: Hai lắc lị xo giống có khối lượng vật nặng 10 (g), độ cứng lò xo 100π2 N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền (vị trí cân hai vật gốc tọa độ) Biên độ lắc thứ lớn gấp đôi lắc thứ hai Biết hai vật gặp chúng chuyển động ngược chiều Khoảng thời gian ba lần hai vật nặng gặp liên tiếp A 0,03 s B 0,02 s Hướng dẫn: Chọn đáp án B C 0,04 s D 0,01 s Khoảng thời gian lần liên tiếp: ( − 1) T m = 2π = 0, 02 ( s ) ⇒ Chọn B k Chú ý: Hai lắc có chu kì xấp xỉ T1 T2 (giả sử T2 < T1) bắt đầu dao động từ thời điểm t = 0, sau lắc thứ hai thực dao động lắc thứ cịn “1 chút” dao động Sẽ tồn khoảng thời gian ∆t để lắc thứ hai lắc thứ dao động: ⇔ ∆t ∆t − = T2 T1 Tlớn Tbé ∆t ∆t − = ⇒ ∆t = Tbé Tlớn Tlớn − Tbé Ví dụ 12: Một lắc đơn A dao động nhỏ với TA trước mặt lắc đồng hồ gõ giây B với chu kì TB = (s) Con lắc B dao động nhanh lắc A chút (TA > TB) nên có lần hai lắc chuyển động chiều trùng với vị trí cân chúng (gọi lần trùng phùng) Quan sát cho thấy hai lần trùng phùng cách 60 (s) Chu kỳ dao động lắc đơn A A 2,066 s B 2,169 s C 2,069 s D 2,079 s Hướng dẫn: Chọn đáp án C Sau khoảng thời gian ∆t = 60 (s) lắc B lắc A dao động: ∆t ∆t 60 60 − =⇒ − =⇒ TA = 2, 069 ( s ) ⇒ Chọn C TB TA TA Ví dụ 13: Hai lắc đơn giống hệt nhau, sợi dây mảnh dài kim loại, vật nặng có khối lượng riêng D Con lắc thứ dao động nhỏ bình chân khơng chu kì dao động T0, lắc thứ hai dao động bình chứa chất khí có khối lượng riêng nhỏ ρ = εD Hai lắc đơn bắt đầu dao động thời điểm t = 0, đến thời điểm t0 lắc thứ thực lắc thứ hai dao động Chọn phương án A εt0 = 4T0 B 2εt0 = T0 C εt0 = T0 Hướng dẫn: Chọn đáp án   T0 = 2π g0  T ⇒ 0=   T T = 2π ρ g  g0 −  D 1  ε  ε − ε ≈ 1 −  ⇒ = 1 −    T T0   Sau khoảng thời gian t0 lắc lắc dao động: t0 t0 t t  ε 2T − =1 ⇒ − 1 +  =1 ⇒ t0 = ⇒ Chọn D T0 T T0 T0   ε D εt0 = 2T0 ... 7: Chuyển động vật tổng hợp hai dao động điều hoà phương, tần số Biên độ dao động thứ cm biên độ dao động tổng hợp cm Dao động tổng hợp trễ pha π/3 so với dao động thứ hai Biên độ dao động thứ... tướng tổng hợp dao động Khi cho hai dao động x1, x2 x3 tìm dao động lại Hai chất điểm dao động điều hòa đường thẳng song song hai mặt phẳng song song có vị trí cân gốc tọa độ Nếu hai dao động điều. .. Khi hai dao động vuông pha 1) Khoảng cách cực đại hai chất điểm biên độ dao động tổng hợp: b= A= A12 + A22 2) Ở thời điểm đó, dao động động dao động nên tỉ số động tỉ số tỉ số Ví dụ 5: (ĐH‒2012)