Hh9 chuyên đề 11 tổng hợp hình thường gặp trong đề hsg và chuyên p2(67 trang)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN HH9-CHUYÊN ĐỀ 11.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN Câu Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O ) Gọi E giao điểm AB,CD F giao điểm AC BD Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác FDC điểm K khác D Tiếp tuyến (O ) B,C cắt M a) Chứng minh tứ giác BKCM nội tiếp b) Chứng minh E, M , F thẳng hàng Câu Cho đường trịn (O ) đường kính AB Trên tiếp tuyến A (O ) lấy điểm C Vẽ cát tuyến CDE (tia CD nằm tia CA,CO , D, E O , D nằm C , E ) Gọi M giao điểm CO BD , F giao điểm AM (O ) , F A) Vẽ tiếp tuyến CN (O ) Chứng minh CNMD tứ giác nội tiếp Vẽ AH OC H Chứng minh ADMH tứ giác nội tiếp Chứng minh E,O, F thẳng hàng a) b) c) Câu Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O ) (AD BC ) Gọi I giao điểm AC BD Vẽ đường kính CM , DN Gọi K giao điểm AN , BM Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NOC điểm J khác C a) Chứng minh KBNJ tứ giác nội tiếp d) Chứng minh I , K ,O thẳng hàng Câu Cho tam giác nhọn ABC (AB AC ) Đường tròn (I ) đường kính BC cắt AB, AC F , E BE cắt CF H AH cắt BC D Chứng minh tứ giác BFHD, IFED nội tiếp Câu Cho tam giác nhọn ABC đường cao AD, BE,CF cắt H Vẽ HI DE K , IK I , HK AD M, FM DE EF N Gọi S điểm đối xứng B qua D Chứng minh tứ giác FIMH , HMNK nội tiếp MAN DAS Câu Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O ) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến ADE đến (O ) cho ( ADE nằm tia AO, AB , D, E O ,Đường , Gọi K điểm đối xứng với B qua thẳng qua D song song với BE cắt BC , AB PQ E Gọi H , I giao điểm BC với OA, DE Chứng minh OEDH tứ giác nội tiếp Ba điểm A, P, K thẳng hàng a) b) Câu Từ điểm A nằm đường tròn (O ) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( B,C hai tiếp điểm) Từ điểm K nằm cung BC ( K , A nằm phía BC ) dựng tiếp tuyến cắt AB, AC M , N BC cắt OM ,ON P,Q Gọi I giao điểm MQ, NP Chứng minh MBOQ, NCOP tứ giác nội tiếp Câu Cho tam giác nhọn ABC (AB AC ) Đường trịn (O ) đường kính BC cắt AB, AC E, D BD cắt CE H , tiếp tuyến (O ) B, D cắt K, AK KD a) b) BC M, MH BK N Vẽ tiếp tuyến AS (O ) với (S thuộc cung nhỏ CD) , AH I , MH OA L Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AK T Chứng minh tứ giác TKDB, BELO nội tiếp Ba điểm N , E, I thẳng hàng .1 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN c) Ba điểm M , E, D thẳng hàng d) Ba điểm M , S , H thẳng hàng Câu Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) có hai đường cao BE, CD cắt H Gọi M trung điểm BC Giả sử (O) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AED N a) Chứng minh N , H , M thẳng hàng b) Giả sử AN cắt BC K Chứng minh K , E, D thẳng hàng Câu 10 Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O) Gọi Q, R tiếp điểm (O) với AB, AC Gọi M , N trung điểm BC , CA Đường thẳng BO cắt MN P a) b) Chứng minh ORPC tứ giác nội tiếp Ba điểm P, Q, R thẳng hàng Câu 11 Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt H Từ A ta dựng tiếp tuyến AM , AN đến đường trịn đường kính BC a) Chứng minh tứ giác AMDN , MNDO nội tiếp b) Chứng minh ba điểm H , M , N thẳng hàng Câu 12 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF cắt điểm H Gọi M , N trung điểm AH , BC Các phân giác góc ABH , ACH cắt P Chứng minh điểm B, C, E, P, F nằm đường tròn Điểm P trung điểm cung nhỏ EF b) Ba điểm M , N , P thẳng hàng a) Câu 13 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF cắt điểm H Đường thẳng EF cắt điểm M Gọi O trung điểm BC Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác OBF , OCE cắt giao điểm thứ P a) Chứng minh tứ giác EFPH , BCHP, MEPB tứ giác nội tiếp b) Chứng minh OPM tam giác vng Câu 14 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm điểm H Gọi M , N chân đường cao hạ từ B, C tam giác ABC Gọi D điểm cạnh BC Gọi  w1  đường tròn qua điểm B, N , D gọi  w2  đường tròn qua điểm C, D, M DP, DQ đường kính  w1  ,  w2  Chứng minh P, Q, H thẳng hàng  IMO  2013 Câu 15 Cho tam giác ABC có BAC góc lớn Các điểm P, Q thuộc cạnh BC cho QAB  BCA, CAP  ABC Gọi M , N điếm đối xứng A qua P, Q Chứng minh rằng: BN , CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( IMO  2014) Câu 16 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm P cung BC không chứa điểm A (O) Gọi  K  đường tròn qua A, P tiếp xúc với AC ( K ) cắt PC S khác P Gọi  L  đường tròn qua A, P đồng thời tiếp xúc với AB ( L) cắt PB T khác P Gọi D điểm đối xứng với A qua BC a) Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác DPC b) Ba điểm S , D, T thẳng hàng CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Cho tam giác ABC , hai cạnh AB,AC lấy hai điểm E , D cho Câu 17 ABD  ACE Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt tia CE M , N Gọi H giao điểm BD, CE Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC cắt tia BD I , K a) Chứng minh điểm M , I , N , K nằm đường tròn b) Gọi F giao điểm thứ đường tròn  ABD  ,( AEC ) Chứng minh A, H , F thẳng hàng c) Chứng minh : Tam giác AMN cân A Câu 18 Cho tam giác ABC có (O), ( I ), ( I a ) theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A tam giác Gọi D tiếp điểm ( I ) với BC; P điểm cung BAC (O) , PI a cắt  O  điểm K Gọi M giao điểm PO BC a) Chứng minh: IBI aC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh NI a tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác I a MP c) Chứng minh: DAI  KAI a Cho đường tròn tâm  O  bán kính R dây cung BC cố định có độ dài Câu 19 BC  R Điểm A thay đổi cung lớn BC Gọi E , F điểm đối xứng B, C qua AC, AB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE, ACF cắt giao điểm thứ K a) Chứng minh điểm K ln thuộc đường trịn cố định b) Xác định vị trí điểm K để tam giác KBC có diện tích lớn tìm giá trị lớn theo R c) Gọi H giao điểm BE, CF Chứng minh tam giác ABH # AKC đường thẳng AK qua điểm cố định Câu 20 Từ điểm A nằm đường tròn (O ) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến ADE đến (O ) cho ( ADE nằm tia AO, AB , D, E O , Gọi F điểm đối xứng D qua AO , H giao điểm EF, BC Chứng minh: A,O, H thẳng hàng Câu 21 Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O ) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến AEF đến (O ) cho ( AEF nằm tia AO, AB , F , E O BAF FAC ) Vẽ đường thẳng qua E vuông góc với OB cắt BC M cắt BF N Vẽ OK EF a) Chứng minh: EMKC nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng FM qua trung điểm AB Câu 22 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O ) Các đường cao AD, BE,CF cắt H Tiếp tuyến B,C (O ) cắt G GD EF S Gọi M trung điểm cạnh BC Giả sử EF BC T , AT O K a) Chứng minh điểm A, K, F, E, H nằm đường tròn b) Chứng minh M , S, H thẳng hàng .3 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN cho HA (d ) lấy hai điểm A, B thuộc (d ) Cho (O ) (d ) không giao Vẽ OH Câu 23 HB Lấy điểm M thuộc đường tròn (O ) Dựng cát tuyến qua H , A, B điểm M cắt đường tròn (O ) C , D, E , DE d S Dựng đường thẳng qua O CE cắt tiếp tuyến E (O ) K Dựng ON DE N a) Chứng minh tứ giác HNCS tứ giác nội tiếp b) Ba điểm S,C , K thẳng hàng Câu 24 Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (O ) tiếp xúc với ba cạnh BC , AC , AB D, E, F Trên đoạn OD lấy điểm I dựng đường tròn tâm I bán kính ID Dựng BG,CH tiếp tuyến (I ) G, H Gọi M a) b) BG CH , N EF BC Chứng minh EHGF nội tiếp Ba điểm N ,G, H thẳng hàng Câu 25 Cho đường tròn (O),(O1 ),(O2 ) biết (O1 ),(O2 ) tiếp xúc với điểm I (O1 ),(O2 ) tiếp xúc với (O ) M1, M Tiếp tuyến (O1 ) I cắt (O ) A, A ' Đường thẳng AM cắt (O1 ) điểm N , đường thẳng AM cắt (O2 ) điểm N a) Chứng minh tứ giác M1N 1N 2M nội tiếp OA b) Kẻ đường kính PQ (O ) cho PQ N 2N AI ( Điểm P nằm cung AM không chứa điểm M ) Chứng minh PM1, PM không song song đường thẳng AI , PM1,QM đồng quy Câu 26 Cho tam giác ABC khơng cân Đường trịn (O ) nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh BC ,CA, AB M , N , P Đường thẳng NP cắt BO,CO E, F a) Chứng minh góc OEN ,OCA bù b) Chứng minh điểm B,C , E, F nằm đường tròn.Chứng minh O, M , K thẳng hàng Biết K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF Câu 27 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Kẻ AH vng góc với đường kiính AD E a) BC H BC BE AD Chứng minh HE / /DC b) Qua trung điểm K đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC M Chứng minh MHE cân Câu 28 Cho tam giác nhọn ABC AB AC Vẽ đường cao AD đường phân giác AO tam giác ABC ( D,O thuộc BC ) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC M , N a) Chứng minh điểm M , N ,O, D, A thuộc đường tròn b) Chứng minh BDM CDN CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN c) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt MN I Đường thẳng AI cắt BC K Chứng minh K trung điểm cạnh BC Câu 29 Cho nửa đường trịn O đường kính AB 2R C , D hai điểm di động nửa đường tròn cho C thuộc cung AD COD 600 (C khác A D khác B ) Gọi M giao điểm tia AC BD , N giao điểm dây AD BC a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp đường tròn tính khoảng cách từ A, B đến đường thẳng CD b) Gọi H I trung điểm CD MN Chứng minh H , I ,O thẳng hàng DI R c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MCD theo R Câu 30 Cho nửa đường trịn O; R đường kính AB Giả sử M điểm chuyển động nửa đường tròn này, kẻ MH vng góc với AB H Từ O kẻ đường thẳng song song với MA cắt tiếp tuyến B với nửa đường tròn O K a) Chứng minh bốn điểm O, B, K, M thuộc đường tròn b) Giả sử C , D hình chiếu H đường thẳng MA MB Chứng minh ba đường thẳng CD, MH , AK đồng quy Gọi E, F trung điểm AH BH Xác định vị trí M để diện tích tứ giác CDFE đạt giá trị lớn c) Câu 31 Cho hình vng ABCD , đường chéo BD lấy điểm I cho BI Đường thẳng qua I vng góc với BD cắt AD E , AI cắt BE H a) Chứng minh AE BA ID b) Đường trịn tâm E bán kính EA cắt AD điểm thứ hai F Chứng minh rằng: DF.DA EH EB Câu 32 Cho đường tròn O; R điểm M nằm ngồi đường trịn Đường trịn đường kính OM cắt đường trịn O; R hai điểm E, F a) Chứng minh giao điểm I đoạn thẳng OM với đường tròn O; R tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF b) Cho A điểm thuộc cung EF chứa điểm M đường trịn đường kính OM ( A khác E F ) Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF B Chứng minh OAOB | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN R2 CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN c) Cho biết OM 2R N điểm thuộc cung EF chứa điểm I đường tròn O; R ( N khác E F ) Gọi d đường thẳng qua F vng góc với đường thẳng EN điểm P , d cắt đường tròn đường kính OM điểm K ( K khác F ) Hai đường thẳng FN KE cắt điểm Q Chứng minh rằng: PN PK Câu 33 R QN QK Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn O Gọi P điểm cung nhỏ AC Hai đường thẳng AP BC cắt M Chứng minh rằng: a) ABP b) MAMP Câu 34 AMB BABM Cho hai đường tròn O; R O '; R ' cắt I J R' R Kẻ tiếp tuyến chung hai đường trịn chúng cắt A Gọi B C tiếp điểm hai tiếp tuyến với O '; R ' , D tiếp điểm tiếp tuyến AB với O; R (điểm I điểm B nửa mặt phẳng bờ O ' A ) Đường thẳng AI cắt O '; R ' M (điểm M khác điểm I ) a) Gọi K giao điểm đường thẳng IJ với BD Chứng minh KB KB KD KI KJ , từ suy b) AO ' cắt BC H Chứng minh bốn điểm I , H ,O ', M nằm đường tròn c) Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp IBD Câu 35 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB , nửa đường trịn lấy điểm C (cung BC nhỏ cung AB ), qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt AB D Kẻ CH vng góc với AB H AB , kẻ BK vng góc với CD K a) Chứng minh CB phân giác DCE b) Chứng minh BK c) Chứng minh BH AD Câu 36 BD CD ; CH cắt BK E EC AH BD Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O Cho P điểm đoạn BC cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB N khác B đường tròn ngoại tiếp tam giác OCP cắt đoạn AC M khác C a) Chứng minh OPM OAC b) Chứng minh MPN BAC OBC c) Chứng minh O trực tâm tam giác PMN BAC 900 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN Câu 37 Trên nửa đường trịn O đường kính AB 2R ( R độ dài cho trước) lấy hai điểm M , N ( M , N khác A, B ) cho M thuộc AN tổng khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN R a) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R b) Gọi I giao điểm AN BM , K giao điểm AM BN Chứng minh bốn điểm M , N , I , K nằm đường trịn Tính bán kính đường trịn theo R c) Tìm GTLN diện tích tam giác KAB theo R M , N thay đổi nửa đường tròn O thỏa mãn giả thiết tốn Câu 38 Cho hai đường trịn O O ' cắt hai điểm A B Vẽ đường thẳng d qua A cắt O C cắt O ' D cho A nằm C D Tiếp tuyến O C tiếp tuyến O ' D cắt E a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp b) Chứng minh BE.DC Câu 39 CB.ED BDCE Cho đường tròn O; R có đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi cho CD khơng vng góc không trùng với AB Gọi d tiếp tuyến A O; R Các đường thẳng BC BD cắt d tương ứng E F a) Chứng minh CDEF tứ giác nội tiếp b) Gọi M trung điểm EF , chứng minh BM c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF Chứng minh MK CD R d) Gọi H trực tâm tam giác DEF , chứng minh H chạy đường tròn cố định Câu 40 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Vẽ đường trịn tâm O , đường kính AH , đường tròn cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác BDEC tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ba điểm D,O, E thẳng hàng c) Cho biết AB Câu 41 3cm, BC 5cm Tính diện tích tứ giác BDEC Cho tam giác ABC không tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn I Gọi D, E, F tiếp điểm BC ,CA, AB với đường tròn I Gọi M | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN giao điểm đường thẳng EF đường thẳng BC , biết AD cắt đường trịn I điểm N ( N khơng trùng với D ), gọi K giao điểm AI EF a) Chứng minh điểm I , D, N , K thuộc đường tròn b) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn I Câu 42 Từ điểm P nằm đường tròn O kẻ hai tiếp tuyến PM , PN tới đường tròn O , ( M , N hai tiếp điểm) Gọi I điểm thuộc cung nhỏ MN đường tròn O , ( I khác điểm MN ) Kéo dài PI cắt MN điểm K , cắt đường tròn O điểm thứ hai J Qua điểm O kẻ đường thẳng vng góc với PJ điểm F cắt đường thẳng MN điểm Q Gọi E giao điểm PO MN a) Chứng minh PI PJ PK.PF b) Chứng minh năm điểm Q I , E,O, J thuộc đường tròn Câu 43 Cho đường trịn O có đường kính AB cố định, M điểm thuộc O ( M khác A, B ) Các tiếp tuyến O A M cắt C Đường tròn I qua M tiếp xúc với đường thẳng AC C CD đường kính I Chứng minh rằng: a) Ba điểm O, M , D thẳng hàng b) Tam giác COD tam giác cân c) Đường thẳng qua D vng góc với BC qua điểm cố định M di động đường tròn O Câu 44 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O , đường cao BE CF Tiếp tuyến B C cắt S , BC OS cắt M a) Chứng minh AB.MB b) Hai tam giác AEM ABS đồng dạng c) Gọi AM cắt EF N , AS cắt BC P Chứng minh NP Câu 45 AE.BS Cho tam giác ABC vuông A có AB BC AC ngoại tiếp đường trịn tâm O Gọi D, E, F tiếp điểm O với cạnh AB, AC , BC ; BO cắt EF I M điểm di chuyển đoạn CE a) Tính BIF b) Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh AM nội tiếp AB tứ giác ABHI CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN c) Gọi N giao điểm BM với cung nhỏ EF O , P Q hình chiếu N đường thẳng DE, DF Xác định vị trí điểm M để PQ lớn Câu 46 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O Giả sử M điểm thuộc đoạn thẳng AB ( M không trùng A, B ), N điểm thuộc tia CA ( N nằm đường thẳng CA cho C nằm A N ) cho MN cắt BC I I trung điểm MN Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt O điểm P khác A a) Chứng minh tứ giác BMIP CNPI nội tiếp b) Giả sử PB PC , chứng minh tam giác ABC cân Câu 47 Cho ABC có A 600 Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC ,CA, AB D, E, F Đường thẳng ID cắt EF K , đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự M , N a) Chứng minh tứ giác IFMK IMAN nội tiếp b) Gọi J trung điểm cạnh BC Chứng minh ba điểm A, K , J thẳng hàng c) Gọi r bán kính đường trịn I S diện tích tứ giác IEAF Tính S theo r Chứng minh S IMN Câu 48 S ( S IMN diện tích IMN ) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn O; R Trên cung nhỏ AD lấy điểm E ( E không trùng với A D ) Tia EB cắt đường thẳng AD, AC I K Tia EC cắt đường thẳng DA, DB M , N Hai đường thẳng AN , DK cắt P a) Chứng minh tứ giác EPND tứ giác nội tiếp b) Chứng minh EKM c) Khi điểm M vị trí trung điểm AD Hãy xác định độ dài đoạn AE theo R Câu 49 ABN DKM Cho tam giác ABC Trên phân giác AD có hai điểm M , N cho CBM Chứng minh ACN BCM Câu 50 Cho hình thoi ABCD có BAD 600 Một đường thẳng thay đổi qua C cắt AB, AD N , M Gọi P giao điểm BM DN Chứng minh P thuộc đường tròn cố định Câu 51 Cho tam giác ABC vuông A AB AC Gọi D điểm cạnh BC , E điểm cạnh BA kéo dài phía A cho BD BE CA Gọi C điểm AC cho E, B, D, P thuộc đường tròn, Q giao điểm thứ hai BP với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh AQ CQ | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN BP CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN Câu 52 Cho tam giác ABC có A B C nội tiếp đường trịn O , ngoại tiếp đường tròn I Cung nhỏ BC có M điểm N trung điểm cạnh BC Điểm E đối xứng với I qua N Đường thẳng ME cắt đường tròn O điểm thứ hai Q Lấy điểm K thuộc BQ cho QK QA Chứng minh rằng: a) Điểm Q thuộc cung nhỏ AC đường tròn O b) Tứ giác AIKB nội tiếp BQ Câu 53 AQ CQ Cho O điểm nằm tam giác ABC Gọi A ', B ',C ' điểm đối xứng A, B,C qua O Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác A ' B 'C ', A ' BC , B 'CA, C ' AB có điểm chung Câu 54 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Hai phân giác BM CN góc B C Tia MN cắt O P Gọi X,Y , Z hình chiếu vng góc P xuống BC ,CA, AB Chứng minh rằng: a) PY PX PZ b) PB PA PC Câu 55 Cho tam giác nhọn ABC AB AC Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB, AC tương ứng M , N Gọi O trung điểm BC Đường phân giác BAC MON cắt R Chứng minh đường tròn ngoai tiếp tam giác BMR CNR qua điểm nằm cạnh BC Câu 56 Cho tứ giác ABCD có đường chéo BD khơng phân giác góc ABC CDA Một điểm P nằm tứ giác cho: PBC DBA; PDC BDA Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp AP CP Câu 57 Ba tia Ix, Iy, Iz chung gốc I Lấy cặp điểm A, A ' Ix , lấy cặp điểm B, B ' ' Iy , lấy cặp điểm C ,C ' Iz theo thứ tự kể từ I cho IAIA IB.IB ' IC IC ' Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , A ' B 'C ' I thẳng hàng Câu 58 Cho BC dây cung khác đường kính đường trịn O Điểm A thay đổi cung lớn BC Đường trịn bàng tiếp góc A tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC ,CA, AB M , N , P a) Tìm vị trí A để chu vi tam giác MNP đạt giá trị lớn b) Chứng minh đường thẳng Ơ-le tam giác MNP qua điểm cố định Câu 59 Cho hai đường tròn O1; r1 O2 ; r2 tiếp xúc ngồi với Một đường trịn O thay đổi tiếp xúc với O1 O2 Giả sử AB đường kính O cho AO1O2B hình thang AB / /O1O2 Gọi I giao điểm AO2 với BO1 Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định Câu 60 Cho tam giác ABC có I tâm đường tròn nội tiếp, O tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm G Giả sử OIA 900 Chứng minh IG BC song song 10 CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN Vì BMPD, AMPN tứ giác nội tiếp nên CDPN tứ giác nội tiếp Hơn QD QN , nên Q tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDPN Vậy QC DQC DPC BAC Câu 64 Giải: B Theo định lý Sim-sơn, ba điểm C P,Q, R thẳng hàng Từ hai R bốn điểm C , D, P,Q ; A, D,Q, R O thuộc đường tròn ta DCA suy P Q D A DPR Tương tự ta cặp tam giác đồng dạng DAB DQP, DBC DRQ Do DC BC PQ DC BC Suy PQ QR Điều tương đương với chân đường phân DA BA QR DA BA giác góc D tam giác ADC chân đường phân giác góc B tam giác ABC trùng nhau, hay phân giác góc ABC ADC cắt AC Câu 65 Giải: Gọi H giao điểm MC với PQ Ta cần chứng minh H trung điểm MQ Ta có KAC KMA suy Mặt khác KA MA CA MA CA KA Tương tự KBC KC KB KC BC AM P A (1) M O2 O1 Dễ dàng nhận thấy BMP MB CB KB nên MB CB AC BM KMB suy C K H BCQ B BC CQ BM MP CA MP (2) ta có CQ MA suy có: MP CA HQ MA CQ HD (2) Q Từ (1) Sử dụng định lý Mê-lê-la –uyt cho tam giác QPA với cát tuyến MCH ta Do HQ HD Câu 66 Giải: T 52 A1 C' C1 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN TA,TB,TC cắt đường tròn O ' điểm thứ hai A1, B1,C AB C 1 Khi ABC , chúng có cạnh tương ứng song song Ta có AC 1 B1C A1B1 AC BC AB TA1 TB1 AA ' BB ' TA1 Tương tự TB1 TA1 AA ' TA12 TA12 TB12 TB1 AA '2 AA1.AT BB1.BT BB ' TA1 TC AA ' CC ' TC Do TA TB TC (1) Theo định lý Ptơ- lê-mê ta có AA ' BB ' CC ' AA ' BB ' CC ' TB.AC TABC TC AB (2) Từ (1) (2) ta có: BB '.AC AA '.BC CC '.AB Vậy Câu 67 Giải: Kẻ tiếp tuyến chung A C KH , LT O1 Q B F T P O2 Giao điểm M KH , LT với O E N K O1 X L O2 Y O H B,C Kẻ tiếp tuyến chung EF O1 O2 cho E B nằm phía O1O2 Các điểm M , N tiếp điểm O1 , O2 với O EF cắt O P,Q Ta chứng minh BC / /PQ Gọi A điểm cung PQ đường tròn O , kẻ tiếp tuyến AX, AY O1 , O2 Dễ dàng chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng, ba điểm A, F, N thẳng hàng tứ giác MEFN nội tiếp Do AX AX AY AE.AM AY hay AF AN Áp dụng câu 66 cho tam giác ABQ nội tiếp đường tròn O đường tròn O1 tiếp xúc với O M , ta có: AX.PQ Suy AC BH BK BK AC AB CL CL.AB Tương tự AY PQ CT AC KH BH AC CT AB hay AC ABTL trung điểm cung BC , PQ / /BC 53 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN AB Vậy A CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN Câu 68 Giải: Lấy E, F thuộc đường tròn cho CDB Khi AE BC , FD AB, EC ADE, BDA AB, BF DCF AD Áp dụng định lý Ptô-lê-mê B cho hai tứ giác nội tiếp C E AECD BCDF ta có: AC ED AE.CD BC CD AD.EC O AD.AB (1) Và BDCF BC DF BC AB BF.CD A ADCD (2) Mặt khác CDE Do FDC CDB FDE D F BDE EDC ADE FCE BDE FCD ADB FCD ECD suy ED FC (3) Từ (1),(2),(3) ta có điều phải chứng minh Câu 69 Giải: Tứ giác BC ' MA ' A ' MB 'C nội tiếp nên A ' MC ' B MB ' A ' MCA ' Mà B A ' MC ' A ' MB ' Ta lại có C ' A' M BCM C CM MA ' A ' MB ' A ' MC ' C MA ' suy MB ' A' B ' M 1800 suy A ' MB ' (c.g.c) Do C ' MA ' MCA ' Mặt khác MC ' A ' 1800 MBA ' nên C ' MA ' Do BMC B khơng đổi Vậy M thuộc đường tròn cố định Câu 70) Gọi H trực tâm AMN , I A trung điểm cạnh MN Gọi Az tia phân giác BAC B M O H C O' I 54 z N CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Ta có HAM OAN nên Az tia phân giác OAH Gọi O ' đối xứng với O qua Az Khi O ' thuộc AH Khi O thay đổi BC O ' thay đổi đường thẳng đường thẳng BC qua Az Tam giác OIN có I 900, ION BAC khơng đổi nên đối xứng với ON không OI OA AO ' khơng đổi Do khơng đổi O ' thuộc OI AH định nên H thuộc đường thẳng ' song song với đổi Mặt khác AH 2.OI nên Câu 71 Giải: A Gọi M , N , P,Q M trung điểm AB, BC ,CD, DA Q H Gọi G giao điểm MP, NQ O G B N C G trung điểm chung D P hai đoạn H đối xứng với O H1 qua G , H 1' đối xứng với A qua H Ta chứng minh H 1' H Thật vậy, ta có MH / /BH 1' ( MH đường trung bình tam giác ABH 1' ; MH / /OP ( MOPH hình bình hành); OP (đường kính qua trung điểm dây cung).Suy BH 1' trực tâm tam giác BCD H 1' bình hành Suy O ' H cố OA CD Tương tự DH 1' CD BC , suy H 1' H Lấy O ' đối xứng với O qua H , AOH 1O ' hình R (bán kính O ) Tương tự O ' H O ' H3 O ' H4 R Vậy ta có đpcm Câu 72 Giải: Ta chứng minh ba đường thẳng Ơ-le qua C trọng tâm tam giác ABC Do tính tương tự, ta chứng minh cho tam giác BCI F S S1 A O1 I A' Về phía ngồi tam giác ABC , dựng tam giác A ' BC đều, nội tiếp đường tròn O1 Tứ giác B IBA 'C nội tiếp BA 'C BIC 1800 Do A ' B A 'C nên IA ' phân giác CIB , suy ba điểm A, I , A ' thẳng hàng Gọi F trung điểm BC , S S trọng tâm tam 55 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN FS1 FO1 FS nên ba điểm S1,O1, S FA FI FA ' thẳng hàng Mặt khác, O1S1 đường thẳng Ơ-le tam giác IBC , đường thẳng Ơ-le giác ABC tam giác IBC Vì tam giác IBC qua trọng tâm tam giác ABC Chứng minh hoàn toàn tương tự với tam giác IAC , IAB Ta có đpcm Câu 73 Giải: A Ta sử dụng bổ đề sau để chứng minh Bổ đề: cho tam giác nhọn ABC O1 H1 có O tâm đường trịn ngoại O N H tiếp, H trực tâm Khi AO AH ta có BAC M I O2 H2 600 C B Trở lại toán: Giả sử bốn điểm O, I , H ,C thuộc đường trịn Vì CI phân giác HCO nên IH IO t 600 bốn điểm O, I , H , A thuộc đường tròn Ta chứng minh: BAC Kí hiệu M , N hình chiếu I OA AH Lấy hai điểm O1,O2 nằm tia AO cho IO1 IO2 t (O1 nằm A M , M nằm O1 O2 ) Lấy hai điểm H 1, H nằm tia AH cho IH IH t ( H nằm A N , N nằm H H ) a) Nếu O AO H , O O2 H AH Áp dụng bổ đề ta BAC b) Nếu O IO1O2 O1 H O1 H H O IH 2H IO2O1 H Khi AIO AIH suy 600 , trái với điều giả thiết O2 H IO1O2 H Ta có IH1H nên IH 1H Suy tứ giác AOIH nội tiếp Giả sử A B không nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác OIH Khi BAC ABC 600 nên tam giác ABC đều, suy ba điểm O, I , H trùng nhau, vô lý Vậy ta có đpcm Câu 74 Giải: Gọi E giao điểm AH A 56 P CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN O , (E khác A ) Giao điểm MN EC F Tứ giác ABEC nội tiếp đường trịn O , có OK MK nên theo “bài tốn bướm” ta có KM KF (1) Mặt khác MAK BAE HCB HE BK nên tam giác HCE cân C , suy HK KE (2).Từ (1) (2) ta có tứ giác MHFE hình bình hành, MH / /EF Suy MHK KEF ABC Chứng minh hoàn toàn tương tự ta NHK QHP MHN ABC 1800 ACB ACB Ta có BAC Suy tứ giác AQPH nội tiếp Câu 75 Giải: Ta có ARC AHX APC ACR 1800 ABC AHC Do tứ giác AHCR nội tiếp.Suy CAP R Q Tương tự ta có tứ giác A AHBQ nội tiếp.Từ suy XAH X QBH E O QBA ABH BAP H ABH (2) C B Từ (1) (2) suy AHX XAH P CAP BAP ABH CAB nội tiếp Vậy XEA ABH AHX 90 Do AXH 900 AEH hay tứ giác AXEH CAP (theo (1)) Suy EX / /AP (đpcm) Câu 76 Giải: Gọi M , N trung điểm BD,CE KN cắt AB, O2 , O S, P,Q Ta có S KQC KAC EPQ Suy EP / /CQ , mà N trung điểm EC nên N trung điểm PQ Ta thấy: 2SASM SASD A SASB ; D 2SK SN SASD SK SP SK SQ mà K O2 E P M SK.SP (tứ giác AKPD O B N 57 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸPO1- TIỆN C Q CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN nội tiếp); SASB SK SQ (tứ giác AKQB nội tiếp) SASM SK.SN tứ giác AKNM nội tiếp, hay K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Mặt khác tứ giác AMO1N nội tiếp AMO1 900 hay có O1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Suy tứ ANO1 giác AKNO1 nội tiếp AKO1 ANO1 900 (đpcm) Câu 77 C D A O O' N B F I E M Giải: Gọi M điểm đối xứng B qua EF Ta có EMF Mà EBF EAF EBF A1 tứ giác MEAF nội tiếp đường tròn tuyến A M A2 EBF E1 F1 EBF 1800 nên EMF EAF 1800 Vậy Gọi N giao điểm tiếp ta A chứng minh ba điểm N , E, F thẳng hàng Thật vậy, gọi F ' F' giao điểm thứ hai NE với Ta có NAE N E NF ' A M NA ME NM NA (1) Tương tự (2) Từ (1) (2) ta có MF ' NF ' NF ' NF ' AE ME AE AF ' nên (*) Gọi I giao điểm AB EF Ta có AF ' MF ' ME MF ' Mà IEB IAE (g.g) nên IE IAIB IF IE IF (g.g) Suy AE AF ' 58 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN EB AE IF IA IE BF Tương tự IA AF IF EB Suy IA AE BF ME Do AF AE MF hay AF AE AF AF ' AF (**) Từ (*) (**) ta có suy F F ' Vậy ba điểm N , E, F thẳng ME MF MF ' MF hàng Ta có N thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABF Do N thuộc trung trực AB , suy N thuộc đường thẳng OO ' Tương tự CD cắt điểm N ' thuộc OO ' Do tính chất đối xứng, CD EF cắt điểm thuộc OO ' N đường thẳng CD, EF, , N ' Vậy đồng quy N (đpcm) Câu 78 Giải(Bạn đọc xem thêm phần’’Các định lý hình học tiếng’’Nội dung định lý Lyness Qua M kẻ tiếp tuyến chung O ' O Ta có N NMX B1 M1 B A NMD NMB Q Vậy MN phân giác góc DMB O I N Gọi Q giao điểm thứ hai MN O Ta có Q điểm D cung BD x P O' C M CQ phân giác góc DCB Gọi I giao điểm CQ NP Ta có ICM sđ DM nội tiếp Do QMB QMD QDN sđ DQ NPA DQN sđ DM IMC MQD sđQB QIM QD N1 QNI QN QM IPM Suy tứ giác IPCM QI QD QN QM Mà QI Do I tâm đường trịn nội tiếp tam giác BCD Tương tự tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD nằm NP Câu 79 Giải: Gọi A ' giao điểm thứ hai AI với O Theo câu 78 ta có tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm IM (xét với O1 IN (xét với O2 ) Suy tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (đpcm) A Câu 80 Giải: Ta có BMC 900 A 1800 B 59 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN X M Y CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN 1800 ZMY B (vì tứ giác MZCY nội tiếp) Do BMZ XBM YMC nên YNC Suy KXB BXK BXM MYC LYM LYM YTC BTN Vậy tứ giác BXTN nội tiếp Tương tự ta có tứ giác YCNZ nội tiếp Mặt khác BNX YMC XNY BTX B Từ YNC YZT BNC BMX YMC B BMX BNC BAC A C 1800 Suy tứ giác ABNC nội tiếp B BMX suy XBM B 2B B C Câu 81 Giải: ABE a) AB AC ACF (g.g) AE AF AE AC x A AF AB E M b) Ta có BFH BDH 1800 F H N Tứ giác BFHD nội tiếp (tứ giác có K hai góc đối bù nhau) Ta có ADB AEB 900 B O C D Tứ giác ABDE nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh D, E nhìn AB góc vng) c) Ta có BFC BEC 900 Tứ giác BFEC nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh F , E nhìn AEF ABC Mà xAC ABC (hệ quả) Do xAC BC góc vng) (hai góc vị trí so le trong) nên Ax / /EF Lại có OA Ax Do OA EF d) Gọi I giao điểm AD EF Ta có ADE EDF Mà AD ABE FDH BC nên có DK dường phân giác ngồi KF KE AEF DI tia phân giác DEF Xét DEF có IF NF IF (1) Áp dụng hệ Talet vào tam giác: IAE có FN / /AE : (2); IE AE IE KF MF NF MF NF MF (3) Từ (1),(2),(3) cho KAE có MF / /AE : KE AE AE AE Câu 82 Giải: I 60 D CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN a) Ta có AM MC ( M điểm AC ) ABM IBM (hệ góc nội tiếp) AMB ACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường BM trịn) AI , AC BI ABI có BM vừa đường cao BM AI vừa đường phân giác ABM IBM Do tam giác ABI cân B 900 BM b) Ta có KMI KMI c) Xét 900 KCI ABN 900 NI 900 900 AC BI 1800 Vậy tứ giác MICK nội tiếp IBN có AB BN cạnh chung Do NIB AI ; KCI ABN BI ( ABI cân B ), ABN IBN (c.g.c) NAB IBN (chứng minh trên), NIB Mà NAB BI Mà I thuộc đường tròn B, BA (vì BI đường trịn B, BA 900 nên BA ) Vậy NI tiếp tuyến + Xét ABC có M trung điểm AI , ABI cân B , BM đường cao, O trung điểm AB MO đường trung bình tam giác ABI MO / /BI Mà NI BI (chứng minh trên) Vậy NI MO d) Ta có IKD IDA IBA IBM (hai góc nội tiếp chắn cung IK đường tròn IBK ) Mà IBM ( IDA IBA góc nội tiếp góc tâm chắn cung AI đường trịn B, BA , BN tia phân giác IBA ) Do IDK IDA hai tia DK, DA trùng D, K, A thẳng hàng Mà C , K , A thẳng hàng nên D, K, A,C thẳng hàng Vậy ba điểm A,C , D thẳng hàng Câu 83 Giải:a) Ta có ICD IHD ICD ICH IDH 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn O ).Tứ giác IHDC có 900 Do tứ giác IHDC nội tiếp đường tròn tâm M Mà BCA ICH cung AB O ) .61 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN IMH 2ICH IDH (hai góc chắn CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN Do BCA ICH 2ICH Ta có BCH IDH nên BCH IMH 2ICH Vậy tứ giác b) Gọi T giao điểm PD BCMH nội tiếp đường tròn J ngoại tiếp B tam giác HMD T D C I Xét PHD P PTM M có HPD (chung), PHD PTM H A O (hai góc nội tiếp chắn cung MD J ).Do PHD minh tương tự có PM.PH Xét PBD PBD PH PD PT PM PC PB , nên PD.PT PC PB PBD PTC (c.g.c) N PM PH PTM (g.g) PTC có PBD (chung), PD PC D J PB (vì PD.PT PT PD.PT Chứng PC PB ) Do PTC Tứ giác BCDT nội tiếp nên T thuộc đường tròn O Do T N Vậy ba điểm P, D, N thẳng hàng Câu 84 Giải: a) AM , AN tiếp tuyến đường trịn O có AMO ANO 900 900 b) I trung điểm BC (gt) OA Ta có AM 1800 AIM AMO BC , AIO 900 AN AM AN Xét AMB I thuộc đường trịn đường kính AK AI AIM AMK M AMK có IAM Do O A B AM AK 900 Tứ giác AMON AN ( AM , AN tiếp tuyến O ) (chung), AIM AMK AIM AMK (g.g) AI AM ANO Tứ giác AMON nội tiếp đường trịn đường kính OA OI + Xét đường trịn AMOIN có AM Xét (gt) K I C AM N ACM có MAB (chung), AMB 62 ACM (hệ góc tạo tiếp tuyến dây CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN cung).Do AK AI AMB AM AC ACM (g.g) AB AM AM Vậy AB.AC AM AB.AC c) Ta có AIO 900 ; O, A cố định I thuộc đường trịn đường kính OA Khi B M I M ; B N I N Do cát tuyến ABC thay đổi I chuyển động cung tròn MON đường tròn đường kính OA d) Xét đường trịn đường kính OA có AM IM IN IMN có IK đường phân giác IM IM IN 2IN MK NK AN NIK MK Do NK MK MIK 2NK MN MK MN IM ABC cắt đoạn thẳng MN điểm K cho MK Vậy cát tuyến 2IN Câu 85 Giải: 900 AH a) Ta có AHB (gt) N BC Do H thuộc đường trịn O H E đối xứng qua AC AC Do AHN AEN A (tính chất đối xứng trục) Mà AHN sđ AN ADN E N O1 O Do AEN ADN cân A Vậy AD b) ADB ADB + Xét ADM M D AE K B C H I 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), AH + Xét ADE AE (tính chất đối xứng trục) AD 900 ADB ADB Q AHB AHB AHB (cạnh huyền- cạch góc vng) ADM AHM có AD AHM (c.g.c) phân giác MHN ADM AH , DAM AE nên AD 900 có AD DAB AH AH , AB (cạnh chung) Do HAB HAM , AM (cạnh chung) Do AHM Ta có AHM AHN ADM Vậy HA tia c) H E đối xứng qua AC (gt) 63 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN AHC giác AHCE có AHC 900 AEC 900 AEM ADM 900 Tứ BC nên AEC 1800 nên tứ giác AHCE nội tiếp Mặt khác thuộc đường tròn AHM 900 AH AEC (tính chất đối xứng trục) Mà AHC A, H ,C , E A, E, H , M thuộc đường tròn tứ giác AEHM nội tiếp (2) Từ (1) (2) ta có năm điểm A, E,C , H , M thuộc đường trịn 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) AMC Ta có ANB thuộc đường trịn) 900, ANB ( AMC ABC có CM , BN , AH ba đường cao 900, AH ABC (hai góc nội tiếp chắn cung AH ACB (hai góc nội tiếp chắn AH O1 Do O ); AQD AD AB DQ Mà DI BC DI DQ BC ) nên BK BC ADI + Xét BC ).Do ba đường thẳng CM , BN , AH đồng quy ABC có ADQ ADQ d) Xét 900 ( A, E,C , H , M AHC DQ ( I trung điểm DQ ), BK ABK có ADI AID ADI ABK (c.g.c) ngoại tiếp tam giác AHK ABK , AKB AD AB DI BK ADQ ABC (g.g) BC ( K trung điểm DQ BC + Do Tứ giác AIHK nội tiếp Vậy I thuộc đường trịn Câu 86) Giải: a) Ta có ABC ADC 900 có AC (cạnh chung), AB ADC ADC ABC CD DN BC AD nên CN 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn).Xét ADC (cạnh huyền – cạnh góc vuông) AC sin BAC 3a , 2a sin 300 DNC vuông D a ; BD CN AD ( ABD đều) Do BAC AD 300 DAC AB AC cos BAC CD2 , CN DN 2a 7a B b) ABD có AC đường M phân giác nên đường cao, đường trung tuyến M , N K H A trung điểm AB, AD O C I MN 64 900 ABC ABC E N x F 3a , a2 7a CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN đường trung bình tam giác ABD AC MN / /BD Ta có MN BD, MN / /BD MBC 900, MKC 900, MEC 900 ( H trực tâm thuộc đường trịn T đường kính MC Ta có KFB KFB O ) ADB DF bình hành c) AMN có AM KN KN MN BD 3a Vậy DF KCE MK KE MFI Ta có KME MCK KME xME trịn ngoại tiếp tam giác MIF KN KF KI ( KN ADB (xét AB AD AD nên AMN cân Mà AK đường phân giác nên đường cao, đường trung Do CK tia phân giác MCE xME 900 , CMN ) Do B, M , K, E,C KCB (xét T ), KCB AN AM 3a CMN có CK đường cao, đường trung tuyến MCK MKC KF / /AD Tứ giác KFDN có KF / /ND KN / /FD nên hình A tuyến AC KCE Xét đường trịn T có MFI Vẽ Mx tiếp tuyến đường trịn MIF có Hai tia MK , Mx trùng Vậy KM tiếp xúc với đường KMI KI Ta có NF / /FM , KN KN KN KIN , IKN chung) KF CMN cân C KM KF KFM (g.g) AC KNF KN NF KI , mà KM KM 900 , KNF KN nên KIN 900 mà KF / /AD Vậy IND KNF 900 Câu 87 Giải: A a) MAC MDA b) MHC MDO (c.g.c) D C M MCH c) CAD DOH , MHC COD K E H O F DHO CHD B BHD d) DE cắt CF K OHD OCD 1800 COD 1800 sđCD sđCE sđ DF 65 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN DKF tứ giác DKHF , CHUYÊN ĐỀ 9.TỔNG HỢP BÀI THI THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN KHF 1800 KDF 900 KH MO H Mà AB MO H Nên KH , AB trùng Câu 88 Giải: Vẽ OH MF H Tứ giác OBDH nội tiếp, A, B, H ,O,C thuộc đường tròn G AHB AOB x BDS Tứ giác BDFH nội tiếp BDH D B M BFH F H A ABM BDH S BFH O BM / /DH , DH / /GM C ( DH đường trung bình tam giác MGF ) T E M , B,G thẳng hàng.Tương tự M ,C , L thẳng hàng BC / /GL mặt phẳng bờ BM có chứa F vẽ tia Mx tia tiếp tuyến đường tròn O , xMB MCD Trên nửa MLG Mx tia tiếp tuyến đường tròn MGL L Vậy hai đường tròn O MGL tiếp xúc 66