HH9-CHỦ ĐỀ 12 LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây b) Hai dây căng hai cung AB CD AB CD Định lí Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn b) Dây lớn căng cung lớn AB CD AB CD Bổ sung a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song AB∥ CD AC BD b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây (không qua tâm) qua điểm cung bị căng dây c) Trong đường trịn, đường kính qua AK KB HA HB điểm cung vng góc với AK KB OH ⊥ AB dây căng cung ngược lại Trang B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh hai cung Phương pháp giải Để giải toán chứng minh hai cung nhau, cần nắm định nghĩa góc tâm kết hợp với liên hệ cung dây để tìm góc chắn cung Ví dụ Cho O , hai dây AB, CD song song với không qua tâm Chứng minh : sđ BD sđ AC Hướng dẫn giải Kẻ đường kính EF ∥ AB∥ CD Trường hợp 1: AB CD phía so với EF Ta có: OAB (vì OAB cân O, OBA OA OB R ) Lại có: OAB AOE ; OBA BOF (hai góc so le EF ∥ AB ) Do AOE BOF (1) Tương tự: OCD (vì OCD cân O, ODC OC OD R ) Lại có: OCD ; ODC COE DOF (hai góc so le EF ∥ CD ) Do COE (2) DOF Từ (1) (2) suy AOC BOD sđ AC Vậy sđ BD Trường hợp 2: AB CD khác phía so với EF Chứng minh tương tự Câu Cho đường trịn O đường kính AB cung AC có số đo nhỏ 90 Vẽ dây CD vng góc với AB dây DT song song với AB Chứng minh AOC BOT Trang Hướng dẫn giải Gọi N trung điểm CT CDT có: NC ND NT (tính chất tam giác vng) Lại có: OC OD OT (cùng bán kính) Do N trùng O hay ba điểm C; O; T thẳng hàng Khi đó: AOC BOT (hai góc đối đỉnh) Xét AOC , BOT có OC OA OB OT (cùng bán kính) AOC BOT Vậy AOC BOT (c.g.c) Câu Vẽ phía ngồi tam giác ABC nửa đường trịn đường kính BC Trên nửa đường trịn DE EC Các tia AD, AE cắt cạnh BC M N lấy hai điểm D E cho BD Chứng minh BM MN NC Lời giải Lời giải Xét OBD có OB OD R BOD 60 (vì sđ 60 ) BD Vậy OBD đều, nên OBD 60 Xét hai tam giác BMD AMC có: M (hai góc đối đỉnh), MBD MCA M 60 Do đó: BMD ∽ CMA (g.g) BM BD CM CA Mà BD OB BC AC BM BM 2 CM BM CM Mà BM MC BC BM Chứng minh tương tự: CN BC BC BM MN NC Câu Chứng minh đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Mệnh đề đảo có không? Hãy nêu điều kiện để mệnh đề đảo Trang Lời giải +) Xét đường tròn O , đường kính IK qua điểm cung AB IB IA IB Ta có: IA Mà OA OB R IO đường trung trực đoạn thẳng AB Gọi H IK AB HA HB +) Mệnh đề đảo: Nếu đường kính qua trung điểm dây căng cung qua điểm cung Xét trường hợp dây AB không qua O: OAB cân O OA OB Khi đó, OH đường trung tuyến HA HB nên đồng thời đường phân giác AOB AOI BOI BI AI Trường hợp AB đường kính mệnh đề đảo khơng Do cần bổ sung điều kiện dây AB không qua O để mệnh đề đảo Câu Cho đường trịn O đường kính AB, dây EF khơng cắt đường kính AB (F nằm AE ) Gọi I, K chân đường vng góc kẻ từ A B đến EF Chứng minh KE IF Lời giải Gọi H trung điểm EF Thế OH ⊥ EF (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Ta có: AI ⊥ EF ; BK ⊥ EF AI ∥ BK (quan hệ vng góc song song) Do đó: AIKB hình thang Mà hình thang AIKB có OH ∥ AI ∥ BK OA OB nên HI HK (1) (tính chất đường trung bình hình thang) Lại có HE HF (2) Trang Từ (1) (2) HI HF HK HE , hay KE IF Dạng 2: Chứng minh hai cung không Phương pháp giải Để giải tốn chứng minh hai cung khơng nhau, cần vận dụng thành thạo mối liên hệ cung dây, kết hợp với định lý Py-ta-go, Ta-let,… tìm góc chắn cung khơng tính độ lớn cung Câu Cho đường trịn O đường kính AB đường trịn O đường kính AO Các điểm C, D thuộc BC BD đường tròn O cho B CD Các dây cung AC AD cắt đường tròn O theo thứ tự E F Hãy: a) So sánh độ dài đoạn thẳng OE OF b) So sánh số đo cung AE AF đường tròn O Lời giải a) Ta có: OE OA OO AO nên AEO vng E (tính chất tam giác vng) Khi OE ⊥ AC nên E trung điểm AC (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Do đó: OE đường trung bình ABC nên OE BC Tương tự OF DB BD nên OE OF Mà BC BD BC b) Theo chứng minh ta có: AOE AOF vuông nên AE AO OE ; AF AO OF Mà OE OF AE AF AE AF Câu Cho đường tròn O Trên dây cung AB, lấy hai điểm C, D cho AC BD CD Kéo dài OC, EF OD cắt O E, F Chứng minh AE FB Lời giải Trang Lời giải OBA +) AOB cân O OA OB OAB Mà AO BO, AC BD nên AOC BOD (c.g.c) AOC BOD AE FB nên AE FB +) Ta có D nằm đường trịn nên AO DO Gọi C trung điểm OA Ta có CC ' đường trung bình AOD CC OD AO CO COD ; C O C (so le 2 trong) CO Xét OCC có: CC C O AOC C EF Vậy AE FB Câu Cho đường tròn O hai dây AB, CD song song với Gọi I, K trung điểm AB, CD Chứng minh I, O, K thẳng hàng Lời giải Lời giải Gọi MN đường kính qua tâm O MN ⊥ AB Dễ thấy MN ⊥ CD (quan hệ vng góc song song) MN ⊥ AB MN qua I, với I trung điểm AB (quan hệ vuông góc đường kính dây cung) Tương tự MN ⊥ CD MN qua K, với K trung điểm CD (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Suy I, K, O thẳng hàng (Vì nằm MN) Câu Giả sử ABC tam giác nhọn có đỉnh thuộc đường trịn O Đường cao AH cắt đường tròn O D Kẻ đường kính AE đường tròn O Chứng minh rằng: Tứ giác BCED hình thang cân Lời giải Trang Lời giải Xét ADE có OA OD OE R (ba điểm nằm đường tròn) OD AE ADE vuông D (trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh đó) Dễ thấy AD ⊥ DE ; AD ⊥ BC DE∥ BC nên BDEC hình thang CD BE CD Từ ta có: BE (cung bị chắn hai dây song song nhau) BDEC hình thang cân Câu Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M, N hai điểm bên hình vng.Chứng minh MN a Lời giải Câu ABCD hình vng, gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD Ta có OA OB OC OD AC (tính chất hình vng) AC a (định lý Py-ta-go) AC a Vẽ đường tròn O , bán kính R 2 Vẽ dây cung M N đường tròn tâm O qua M, N hai điểm bên hình vng Ta có MN M N Ta lại có M N AC (trong đường trịn đường kính dây cung lớn nhất) Mà AC a nên MN a (điều phải chứng minh) Trang