CHỦ đề 23 LIÊN hệ GIỮA THỨ tự PHÉP CỘNG PHÉP NHÂN

BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHỦ ĐỀ 23: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Với ba số a, b, c ta có: Nếu a < b a + c < b + c Nếu a > b a + c > b + c Nếu a ≤ b a + c ≤ b + c Nếu a ≥ b a + c ≥ b + c Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho 2/ Với ba số a, b, c mà c > ta có: Nếu a < b a.c < b.c Nếu a ≤ b a.c ≤ b.c Nếu a > b a.c > b.c Nếu a ≥ b a.c ≥ b.c Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số dương bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho 3/ Với ba số a, b, c mà c < ta có: Nếu a < b a.c > b.c Nếu a ≤ b a.c ≥ b.c Nếu a > b a.c < b.c Nếu a ≥ b a.c ≤ b.c Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho B/ CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1: THỨ TỰ CÁC SỐ a < b : đọc a nhỏ b a ≤ b : đọc a nhỏ b Chú ý đến quy tắc cộng nhân hai vế bất đẳng thức cho số Bài 1: Bất đẳng thức biểu thị thứ tự số? sao? a) (-2) + ≥ b) – ≤ 2.(-3) c) + ( - 8) < 15 + (- 8) d) x2 + ≥ Hướng dẫn a) (-2) + ≥ sai ≥ bất đẳng thức sai BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà b) – ≤ 2.(-3) – = c) + ( - 8) < 15 + (- 8) < 15 cộng hai vế bất đẳng thức cho – d) x2 + ≥ x2 ≥ với x Bài 2: Mỗi khẳng định sau hay sai? Vì sao? a) (−6).5 (-6).5 < (-5).5 Vậy khẳng định (-6).5 < (-5).5 b) -6 < -5 -3 < => (-6).(-3) > (-5).(-3) Vậy khẳng định (-6).(-3) < (-5).(-3) sai c) -2003 ≤ 2004 -2005 < => (-2003).(-2005) ≥ (-2005).2004 Vậy khẳng định (-2003).(-2005) ≤ (-2005).2004 sai d) x2 ≥ -3 < => -3x2 ≤ Vậy khẳng định -3x2 ≤ Bài 3: Số a số âm hay dương nếu: a) 12a < 15a? b) 4a < 3a? c) -3a > -5a Hướng dẫn a) Ta có: 12 < 15 Để có bất đẳng thức 12a < 15a ta phải nhân hai vế bất đẳng thức 12 < 15 với số a Để bất đẳng thức chiều a > b) Vì > 4a < 3a trái chiều Để nhân hai vế bất đẳng thức > với a bất đẳng thức trái chiều a < c) Từ -3 > -5 để có -3a > -5a ta phải nhân hai vế bất đẳng thức với số a dương Bài 4: Cho tam giác ABC Các khẳng định sau hay sai ? B  C  > 180o a) A BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà B  < 180o b) A  C  < 180o c) B B  ≥ 180o d) A Hướng dẫn B  C  > 180o bất đẳng thức sai a) A b) c) bất đẳng thức d) bất đẳng thức sai Bài 5: a) So sánh (-2).3 -4,5 b) Từ kết câu a) suy bất đẳng thức sau: (-2).30 < -45; (-2).3 + 4,5 =>(-2).3 < (-1,5).3 =>(-2).3 < -4,5 b) Từ bất đẳng thức: (-2).3 < -4,5 ta nhân hai vế bất đẳng thức với 10 > được: (-2).30 < -45 Từ bất đẳng thức: (-2).3 < -4,5 ta cộng vào hai vế với 4,5 được: ( − ) + , < − , + , =>(-2).3 + 4,5 < DẠNG 2: SO SÁNH HAI SỐ * Dùng quy tắc cộng nhân hai vế bất đẳng thức cho số * Dùng tính chất bắc cầu a  b ac  b  c a  b ac  b  c a  b ac  b  c a  b ac  b  c Bài 1: Cho x  y so sánh : a) x  y  b)  3x  3y c) x y   3 Bài giải a) x  y “ nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ”  x  y “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số ”  2x   y  b) x  y “ nhân hai vế bất đẳng thức với số âm 3 ” BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà  3 x  3 y “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số ”   3x   y c) x  y “ nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ”  x y  “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số ” 3  x y 5 5 3 Bài 2: So sánh hai số x , y : a) x   y  b)  x   y Bài giải a) x   y  “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số ”  x    y    3x  y “ nhân hai vế bất đẳng thức với số dương 3  3x  y  x  y b)  x   7    y   7  “cộng vào hai vế bất đẳng thức với số 7”  4 x  4 y “ nhân hai vế bất đẳng thức với số âm  4    4  x    4  y  x  y Bài 3: Cho a < b, so sánh: 2a 2b; 2a a + b; -a -b Hướng dẫn +) a < b > => 2a < 2b +) a < b cộng hai vế với a => a + a < a + b => 2a < a + b +) a < b -1 < => -a > -b Bài 4: So sánh a b nếu: a) a + < b + b) -3a > -3b c) 5a – ≥ 5b – d) -2a + ≤ -2b + Hướng dẫn ” BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà a) Ta có: a + < b +5 =>a + + (-5) < b + + (-5) (cộng hai vế với -5) => a < b b) Ta có : -3a > -3b => − a (− 1 ) < − b (− ) (nhân hai vế với − < ) 3 => a < b c) Ta có: 5a – ≥ 5b – => 5a – + ≥ 5b – + (cộng hai vế với 6) => 5a ≥ 5b => a ≥ b (nhân hai vế với > ) => a ≥ b d) -2a + ≤ -2b + => -2a ≤ -2b (cộng hai vế với -3) => − 2a.( − 1 ) ≥ − 2b ( − ) (nhân hai vế với − < ) => a ≥ b 2 DẠNG 3: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta sử dụng số phương pháp sau: + Từ bất đẳng thức đúng, cộng nhân hai vế bất đẳng thức với số + Lập hiệu A – B chứng minh A – B ≥ + Chú ý: A2  với A Dấu “=” xảy  A = |A|  A với A Dấu “=” xảy  A  C2 + D2 + …+ F2 ≥ C2 ≥ 0, D2 ≥ 0, …, F2 ≥ + Dùng phép biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức * Từ bất đẳng thức đúng, cộng nhân hai vế bất đẳng thức với số Bài 1: Cho m bất kỳ, chứng minh : a) m   m  b) 2m   2m  c)  3m    m  Hướng dẫn a) Vì 3  4 “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số m ” Ta m   m  b) Vì 5  “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số 2m ” Ta 2m   2m  c) Vì  “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số 3m ” BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Ta  3m   3m   3m    m  Bài 2: Cho a  b  chứng minh 1) a  ab 2) ab  b2 3) a  b2 Hướng dẫn 1) a  b “ nhân hai vế bất đẳng thức với số a  ”  a.a  ab  a  ab , (1) 2) a  b “ nhân hai vế bất đẳng thức với số b  ”  a.b  b.b  ab  b2 , (2) 3) Từ (1) (2) ta có a  b2 Bài : Cho a  b chứng minh : a) 2a   2b  b) 2a   2b  c)  3a    b  Hướng dẫn a) a  b “ nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ”  2a  2b “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số :  ”  2a   3  2b   3   2a   2b  b) a  b “ nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ”  2a  2b “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số :  ”  2a   5   2b   5   2a   2b  Vì 5  8 nên 2b   2b  , theo tính chất bắc cầu ta có 2a   2b  c) a  b “ nhân hai vế bất đẳng thức với số âm : 3 ”  3a  3b “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số ”   3a   3b Vì  nên  3b   3b theo tính chất bắc cầu ta có  3a    b  * Phương pháp xét hiệu A – B BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Bài Chứng minh a2 + b2 + c2  ab + bc + ca với a, b, c Hướng dẫn: Xét hiệu: A = (a2 + b2 + c2) − (ab + bc + ca) =  1 (a − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2) 2  =  1 (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 2   a, b, c Vì A  nên a2 + b2 + c2  ab + bc + ca Dấu “=” xảy  a = b = c Bài Cho biểu thức sau: A = (a + b)(a4 + b4) B = (a2 + b2)(a3 + b3) với a, b  So sánh A B Hướng dẫn: Xét hiệu A − B = (a + b)(a4 + b4) − (a2 + b2)(a3 + b3) = (a5 + b5 + a4b + ab4) − (a5 + b5 + a3b2 + a2b3) = a4b − a3b2 − a2b3 + ab4 = a3b(a − b) − ab3(a − b) = ab(a − b)(a2 − b2) = ab(a + b)(a − b)2  a, b  Do A  B Dấu “=” xảy  a = b = a = b Bài Chứng minh bất đẳng thức sau với số dương a, b: Hướng dẫn (a+b)2−4ab (a−b)2 1 a+b Xét hiệu + − = − = = 0 a b a+b ab a+b ab(a+b) ab(a+b)  VT  VP Bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy  a = b Bài 7: Cho 0abc Chứng minh rằng: a b c b c a      b c a a b c 1 +  a b a+b BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Hướng dẫn Xét hiệu: a b c b c a       (a 2c  b a  c 2b  b 2c  c a  a 2b) b c a a b c abc  (a 2c  b 2c)  (b a  a 2b)  (c 2b  c a )  abc c(a  b )  ab(b  a )  c (b  a )  abc  (b  a )(ca  cb  ab  c ) abc  (b  a )(c  b)(c  a )  abc  Vì  a  b  c a b c b c a      b c a a b c Vậy * Phương pháp biến đổi tương đương Bài 8: Cho a, b bất kỳ, chứng minh : 1) a  b2  2ab  2) a  b2  ab 3) a  b2  ab  Hướng dẫn 1) Với a, b ta có  a  b    a  b2  2ab  2) a  b2  2ab   a  b2  2ab  a  b2  ab 2 b b b  3b b  3) a  b  ab   a  2.a     b       a     2 2  2  2 Bài Với a, b  0, chứng minh rằng: a + b  a+b Hướng dẫn Ta có: a + b  a+b  a + ab + b  a + b  ab  (đúng với a, b  0) Vậy bất đẳng thức xuất phát BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Dấu “=” xảy  a = b = a2  b2  c  a  b  c  Bài 10 Cho a, b, c ba số thực Chứng minh bất đẳng thức:   3   Hướng dẫn Bất đẳng thức cho tương đương với: a  b2  c  a  b  c     a  b2  c    a  b  c  2   a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca    a  b2  c    ab  bc  ca  2   a  b   b  c    c  a   Bất đẳng thức cuối đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy  a = b = c Bài 11: Chứng minh rằng: |a| + |b|  |a + b| a, b Hướng dẫn Nhận xét: |x|2 = x2 với x |x|.|y| = |xy| x, y Ta có: |a| + |b|  |a + b|  (|a| + |b|)2  (|a + b|)2  |a|2 + 2|a|.|b| + |b|2  (a + b)2  a2 + 2|ab| + b2  a2 + 2ab + b2  |ab|  ab (đúng với a, b) Vậy bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy  ab  Chú ý: Ngồi ra, ta cịn có bất đẳng thức khác liên quan tới dấu giá trị tuyệt đối: |a| − |b|  |a − b| (Dấu “=” xảy  ab  0) Bài 12: Với a , b, c  chứng minh: Hướng dẫn a b c 1    2(   ) bc ca ab a b c a b c 1    2(   ) bc ca ab a b c BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà  a  b  c  2(bc  ac  ba ) (do abc  0)  a  b  c  2bc  2ac  2ab   (a  b  c)2  HiĨn nhiªn ®óng Vậy a b c 1    2(   ) bc ca ab a b c 2 2 Bài 13: Chứng minh a,b,c,d thì: a  b  c  d   a  b  c  d (1) Hướng dẫn (1)  a  b  c  d   (a  b  c  d )    a  a   (b  b )  ( c  c )  ( d  d )   1 1  ( a  )  (b  )  ( c  )  ( d  )  2 2 Vậy : a2  b2  c2  d   a  b  c  d Bài 14: Chứng minh nếu: a  b  a  b  a  b (1) Hướng dẫn (1)  a  b  a  b3   a (a  1)  b3 (b  1)   a (a  1)  b3 (b  1)  ( a  1)  (b  1)  (a  1)  (b  1)   ( a  1)( a  1)  (b  1)(b3  1)  a  b    ( a  1) ( a  a  1)  (b  1) (b  b  1)  a  b   Suy điều phải chứng minh Vì: (a  1)   (a  1) ( a  a  1)  (b  1)   (b  1) (b  b  1) a b   a b2  DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT * Giả sử f(x) ≤ k (k số) dấu xảy  x = a => Giá trị lớn f(x) k x = a, kí hiệu max f(x) = k x = a * Giả sử f(x) ≤ k (k số) dấu xảy  x = a BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà => Giá trị nhỏ f(x) k x = a, kí hiệu f(x) = k x = a Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A  x  x  11 b) B = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) c) C  x  x  y  y  Hướng dẫn a) A  x  x  11  x  x   10   x  1  10  10  Min A = 10 x   b) B = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = (x - 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36  -36  Min B = -36 x = x = -5 c) C  x  x  y  y  = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 +   Min C = x = 1; y = Bài 2: Tìm GTNN của: a) M  x   x   x   x  b) N   x  1  x   Hướng dẫn a) M  x   x   x   x  x   x   x 1   x  x 1   x  Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x)  hay  x  x   x   x   3 x  x   3 x 1 Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x)  hay  x  Vậy Min M = + =  x  2 b) N   x  1  x    x   x   Đặt t  x  t  Do N = t2 – 3t + = (t  32 )2  1 N  4 BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Dấu “=” xảy t    t  3   x   x   3  Do N   t   x      2 2x 1   x     4 Vậy N    x  hay x   4 Bài 3: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Hướng dẫn M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2  x y x2 y2 y   x    xy   ( x  y2 )     2 2 2  2  M  ( x2  y ) Ngoài ra: x + y =  x2 + y2 + 2xy =  2(x2 + y2) – (x – y)2 = => 2(x2 + y2) ≥ Do x  y  1 x  y   x  y  2 2 1 2 Ta có: M  ( x  y ) ( x  y )   M   Do M  1 dấu “=” xảy  x  y  4 Vậy GTNN M   x  y  Bài 4: Tìm GTLN GTNN của: y  4x  x2 1 Hướng dẫn * Cách 1: y  4x  ax  x   a  a  x2 1 x2  Ta cần tìm a để ax  x   a bình phương nhị thức  a  1 a  Ta phải có:  '   a (3  a )    - Với a = -1 ta có: y  4x  x  4x  ( x  2)  1     x 1 x2  x2  BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà  y  1 Dấu “=” xảy x = -2 Vậy GTNN y = -1 x = -2 - Với a = ta có: y  4x  -4x  x  (2 x  1)2  4   4 x 1 x2 1 x2  Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN y = x = * Cách 2: Vì x2 +  nên: y  4x   yx  x  y   (1) x 1 y giá trị hàm số  (1) có nghiệm - Nếu y = (1)  x   - Nếu y  (1) có nghiệm   '   y ( y  3)   ( y  1)( y  4)   y 1   y 1    1  y   y   y   Vậy GTNN y = -1 x = -2 Vậy GTLN y = x = Bài 5: Tìm GTLN GTNN của: A  x2  x  x2  x 1 Giải Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm: a x2  x  x2  x 1 (1) 3 Do x + x + = x + .x +    x     4  2 2 Nên (1)  ax2 + ax + a = x2 – x +  (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2) + Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x = + Trường hợp 2: Nếu a  để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ   , tức là: (a  1)2  4(a  1)(a  1)   (a   2a  2)( a   2a  2)   (3a  1)(a  3)    a  3(a  1) BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Với a  (a  1) a 1  a = nghiệm (2) x  2(a  1) 2(1  a ) Với a  x = Với a = x = -1 Kết luận: gộp trường hợp 2, ta có: GTNN A  x = GTLN A = x = -1 C/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho a, b, c, d, e  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2  b2  c2  ab  bc  ca b) a2  b2   ab  a  b c) a2  b2  c2   2(a  b  c) d) a2  b2  c2  2(ab  bc  ca) e) a  b  c   2a(ab  a  c  1) a2 f)  b2  c2  ab  ac  2bc g) a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1 a2 )  6abc h) a2  b2  c2  d  e2  a(b  c  d  e) 4 2 Hướng dẫn: a)  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  b)  (a  b)2  (a  1)2  (b  1)2  c)  (a  1)2  (b  1)2  (c  1)2  d)  (a  b  c)2  2 2 a  f)    (b  c)   2  e)  (a  b )  (a  c)  (a  1)  g)  (a  bc)2  (b  ca)2  (c  ab)2  2 2 a  a  a  a  h)    b     c     d     e  2  2  2  2  Bài 2: Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức sau:  a b a2  b2 a) ab       a3  b3  a  b  b)   ; với a, b    c) a4  b4  a3b  ab3 d) a4   4a e) a3  b3  c3  3abc , với a, b, c > f) a4  b4  a6 b2  b6 a2 ; với a, b  BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC g) 1 a  1 b  Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà ; với ab  1  ab h) (a5  b5 )(a  b)  (a4  b4 )(a2  b2 ) ; với ab>0 Hướng dẫn 2  a b (a  b)2 a2  b2  a  b  (a  b)2 a)   0;  0   ab        b)  (a  b)(a  b)2  c)  (a3  b3 )(a  b)  d)  (a  1)2 (a2  2a  3)  e) Chú ý: a3  b3  (a  b)3  3a2b  3ab2 BĐT  (a  b  c)  a2  b2  c2  (ab  bc  ca)  f)  (a2  b2 )2 (a4  a2b2  b4 )  g)  (b  a)2 (ab  1) (1  ab)(1  a2 )(1  b2 ) 0 h)  ab(a  b)(a3  b3 )  Bài 3: Cho a, b, c, d  R Chứng minh a2  b2  2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) a4  b4  c4  d  4abcd b) (a2  1)(b2  1)(c2  1)  8abc c) (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d2  4)  256abcd Hướng dẫn: a) a4  b4  2a2b2; c2  d2  2c2d ; a2b2  c2d2  2abcd b) a2   a ; b2   b ; c2   c c) a2   a ; b2   b ; c2   c ; d   d Bài 4: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) ab  bc  ca  a2 +b2  c2 Tìm GTNN biểu thức: f (t )  t  4t Hướng dẫn 4t  (2t  1)2  4t (2t  1)2 Ta viết: f (t )  t     1 4t 4t 4t 4t Vì t > nên ta có: f (t )  Dấu “=” xảy  2t    t  2 Vậy f(t) đạt GTNN t  ... có bất đẳng thức 12a < 15a ta phải nhân hai vế bất đẳng thức 12 < 15 với số a Để bất đẳng thức chiều a > b) Vì > 4a < 3a trái chiều Để nhân hai vế bất đẳng thức > với a bất đẳng thức trái chiều... ≥ C2 ≥ 0, D2 ≥ 0, …, F2 ≥ + Dùng phép biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức * Từ bất đẳng thức đúng, cộng nhân hai vế bất đẳng thức với số Bài 1: Cho m bất kỳ, chứng... – Thái Hà  3 x  3 y “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số ”   3x   y c) x  y “ nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ”  x y  “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số ” 3  x y 5