Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 16 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
16
Dung lượng
603,03 KB
Nội dung
BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHỦ ĐỀ 23: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Với ba số a, b, c ta có: Nếu a < b a + c < b + c Nếu a > b a + c > b + c Nếu a ≤ b a + c ≤ b + c Nếu a ≥ b a + c ≥ b + c Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho 2/ Với ba số a, b, c mà c > ta có: Nếu a < b a.c < b.c Nếu a ≤ b a.c ≤ b.c Nếu a > b a.c > b.c Nếu a ≥ b a.c ≥ b.c Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số dương bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho 3/ Với ba số a, b, c mà c < ta có: Nếu a < b a.c > b.c Nếu a ≤ b a.c ≥ b.c Nếu a > b a.c < b.c Nếu a ≥ b a.c ≤ b.c Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho B/ CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1: THỨ TỰ CÁC SỐ a < b : đọc a nhỏ b a ≤ b : đọc a nhỏ b Chú ý đến quy tắc cộng nhân hai vế bất đẳng thức cho số Bài 1: Bất đẳng thức biểu thị thứ tự số? sao? a) (-2) + ≥ b) – ≤ 2.(-3) c) + ( - 8) < 15 + (- 8) d) x2 + ≥ Hướng dẫn a) (-2) + ≥ sai ≥ bất đẳng thức sai BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà b) – ≤ 2.(-3) – = c) + ( - 8) < 15 + (- 8) < 15 cộng hai vế bất đẳng thức cho – d) x2 + ≥ x2 ≥ với x Bài 2: Mỗi khẳng định sau hay sai? Vì sao? a) (−6).5 (-6).5 < (-5).5 Vậy khẳng định (-6).5 < (-5).5 b) -6 < -5 -3 < => (-6).(-3) > (-5).(-3) Vậy khẳng định (-6).(-3) < (-5).(-3) sai c) -2003 ≤ 2004 -2005 < => (-2003).(-2005) ≥ (-2005).2004 Vậy khẳng định (-2003).(-2005) ≤ (-2005).2004 sai d) x2 ≥ -3 < => -3x2 ≤ Vậy khẳng định -3x2 ≤ Bài 3: Số a số âm hay dương nếu: a) 12a < 15a? b) 4a < 3a? c) -3a > -5a Hướng dẫn a) Ta có: 12 < 15 Để có bất đẳng thức 12a < 15a ta phải nhân hai vế bất đẳng thức 12 < 15 với số a Để bất đẳng thức chiều a > b) Vì > 4a < 3a trái chiều Để nhân hai vế bất đẳng thức > với a bất đẳng thức trái chiều a < c) Từ -3 > -5 để có -3a > -5a ta phải nhân hai vế bất đẳng thức với số a dương Bài 4: Cho tam giác ABC Các khẳng định sau hay sai ? B C > 180o a) A BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà B < 180o b) A C < 180o c) B B ≥ 180o d) A Hướng dẫn B C > 180o bất đẳng thức sai a) A b) c) bất đẳng thức d) bất đẳng thức sai Bài 5: a) So sánh (-2).3 -4,5 b) Từ kết câu a) suy bất đẳng thức sau: (-2).30 < -45; (-2).3 + 4,5 =>(-2).3 < (-1,5).3 =>(-2).3 < -4,5 b) Từ bất đẳng thức: (-2).3 < -4,5 ta nhân hai vế bất đẳng thức với 10 > được: (-2).30 < -45 Từ bất đẳng thức: (-2).3 < -4,5 ta cộng vào hai vế với 4,5 được: ( − ) + , < − , + , =>(-2).3 + 4,5 < DẠNG 2: SO SÁNH HAI SỐ * Dùng quy tắc cộng nhân hai vế bất đẳng thức cho số * Dùng tính chất bắc cầu a b ac b c a b ac b c a b ac b c a b ac b c Bài 1: Cho x y so sánh : a) x y b) 3x 3y c) x y 3 Bài giải a) x y “ nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ” x y “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số ” 2x y b) x y “ nhân hai vế bất đẳng thức với số âm 3 ” BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà 3 x 3 y “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số ” 3x y c) x y “ nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ” x y “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số ” 3 x y 5 5 3 Bài 2: So sánh hai số x , y : a) x y b) x y Bài giải a) x y “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số ” x y 3x y “ nhân hai vế bất đẳng thức với số dương 3 3x y x y b) x 7 y 7 “cộng vào hai vế bất đẳng thức với số 7” 4 x 4 y “ nhân hai vế bất đẳng thức với số âm 4 4 x 4 y x y Bài 3: Cho a < b, so sánh: 2a 2b; 2a a + b; -a -b Hướng dẫn +) a < b > => 2a < 2b +) a < b cộng hai vế với a => a + a < a + b => 2a < a + b +) a < b -1 < => -a > -b Bài 4: So sánh a b nếu: a) a + < b + b) -3a > -3b c) 5a – ≥ 5b – d) -2a + ≤ -2b + Hướng dẫn ” BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà a) Ta có: a + < b +5 =>a + + (-5) < b + + (-5) (cộng hai vế với -5) => a < b b) Ta có : -3a > -3b => − a (− 1 ) < − b (− ) (nhân hai vế với − < ) 3 => a < b c) Ta có: 5a – ≥ 5b – => 5a – + ≥ 5b – + (cộng hai vế với 6) => 5a ≥ 5b => a ≥ b (nhân hai vế với > ) => a ≥ b d) -2a + ≤ -2b + => -2a ≤ -2b (cộng hai vế với -3) => − 2a.( − 1 ) ≥ − 2b ( − ) (nhân hai vế với − < ) => a ≥ b 2 DẠNG 3: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta sử dụng số phương pháp sau: + Từ bất đẳng thức đúng, cộng nhân hai vế bất đẳng thức với số + Lập hiệu A – B chứng minh A – B ≥ + Chú ý: A2 với A Dấu “=” xảy A = |A| A với A Dấu “=” xảy A C2 + D2 + …+ F2 ≥ C2 ≥ 0, D2 ≥ 0, …, F2 ≥ + Dùng phép biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức * Từ bất đẳng thức đúng, cộng nhân hai vế bất đẳng thức với số Bài 1: Cho m bất kỳ, chứng minh : a) m m b) 2m 2m c) 3m m Hướng dẫn a) Vì 3 4 “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số m ” Ta m m b) Vì 5 “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số 2m ” Ta 2m 2m c) Vì “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số 3m ” BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Ta 3m 3m 3m m Bài 2: Cho a b chứng minh 1) a ab 2) ab b2 3) a b2 Hướng dẫn 1) a b “ nhân hai vế bất đẳng thức với số a ” a.a ab a ab , (1) 2) a b “ nhân hai vế bất đẳng thức với số b ” a.b b.b ab b2 , (2) 3) Từ (1) (2) ta có a b2 Bài : Cho a b chứng minh : a) 2a 2b b) 2a 2b c) 3a b Hướng dẫn a) a b “ nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ” 2a 2b “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số : ” 2a 3 2b 3 2a 2b b) a b “ nhân hai vế bất đẳng thức với số dương ” 2a 2b “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số : ” 2a 5 2b 5 2a 2b Vì 5 8 nên 2b 2b , theo tính chất bắc cầu ta có 2a 2b c) a b “ nhân hai vế bất đẳng thức với số âm : 3 ” 3a 3b “ cộng vào hai vế bất đẳng thức với số ” 3a 3b Vì nên 3b 3b theo tính chất bắc cầu ta có 3a b * Phương pháp xét hiệu A – B BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Bài Chứng minh a2 + b2 + c2 ab + bc + ca với a, b, c Hướng dẫn: Xét hiệu: A = (a2 + b2 + c2) − (ab + bc + ca) = 1 (a − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2) 2 = 1 (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 2 a, b, c Vì A nên a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Dấu “=” xảy a = b = c Bài Cho biểu thức sau: A = (a + b)(a4 + b4) B = (a2 + b2)(a3 + b3) với a, b So sánh A B Hướng dẫn: Xét hiệu A − B = (a + b)(a4 + b4) − (a2 + b2)(a3 + b3) = (a5 + b5 + a4b + ab4) − (a5 + b5 + a3b2 + a2b3) = a4b − a3b2 − a2b3 + ab4 = a3b(a − b) − ab3(a − b) = ab(a − b)(a2 − b2) = ab(a + b)(a − b)2 a, b Do A B Dấu “=” xảy a = b = a = b Bài Chứng minh bất đẳng thức sau với số dương a, b: Hướng dẫn (a+b)2−4ab (a−b)2 1 a+b Xét hiệu + − = − = = 0 a b a+b ab a+b ab(a+b) ab(a+b) VT VP Bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy a = b Bài 7: Cho 0abc Chứng minh rằng: a b c b c a b c a a b c 1 + a b a+b BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Hướng dẫn Xét hiệu: a b c b c a (a 2c b a c 2b b 2c c a a 2b) b c a a b c abc (a 2c b 2c) (b a a 2b) (c 2b c a ) abc c(a b ) ab(b a ) c (b a ) abc (b a )(ca cb ab c ) abc (b a )(c b)(c a ) abc Vì a b c a b c b c a b c a a b c Vậy * Phương pháp biến đổi tương đương Bài 8: Cho a, b bất kỳ, chứng minh : 1) a b2 2ab 2) a b2 ab 3) a b2 ab Hướng dẫn 1) Với a, b ta có a b a b2 2ab 2) a b2 2ab a b2 2ab a b2 ab 2 b b b 3b b 3) a b ab a 2.a b a 2 2 2 2 Bài Với a, b 0, chứng minh rằng: a + b a+b Hướng dẫn Ta có: a + b a+b a + ab + b a + b ab (đúng với a, b 0) Vậy bất đẳng thức xuất phát BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Dấu “=” xảy a = b = a2 b2 c a b c Bài 10 Cho a, b, c ba số thực Chứng minh bất đẳng thức: 3 Hướng dẫn Bất đẳng thức cho tương đương với: a b2 c a b c a b2 c a b c 2 a b c a b c ab bc ca a b2 c ab bc ca 2 a b b c c a Bất đẳng thức cuối đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c Bài 11: Chứng minh rằng: |a| + |b| |a + b| a, b Hướng dẫn Nhận xét: |x|2 = x2 với x |x|.|y| = |xy| x, y Ta có: |a| + |b| |a + b| (|a| + |b|)2 (|a + b|)2 |a|2 + 2|a|.|b| + |b|2 (a + b)2 a2 + 2|ab| + b2 a2 + 2ab + b2 |ab| ab (đúng với a, b) Vậy bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy ab Chú ý: Ngồi ra, ta có bất đẳng thức khác liên quan tới dấu giá trị tuyệt đối: |a| − |b| |a − b| (Dấu “=” xảy ab 0) Bài 12: Với a , b, c chứng minh: Hướng dẫn a b c 1 2( ) bc ca ab a b c a b c 1 2( ) bc ca ab a b c BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà a b c 2(bc ac ba ) (do abc 0) a b c 2bc 2ac 2ab (a b c)2 HiĨn nhiªn ®óng Vậy a b c 1 2( ) bc ca ab a b c 2 2 Bài 13: Chứng minh a,b,c,d thì: a b c d a b c d (1) Hướng dẫn (1) a b c d (a b c d ) a a (b b ) ( c c ) ( d d ) 1 1 ( a ) (b ) ( c ) ( d ) 2 2 Vậy : a2 b2 c2 d a b c d Bài 14: Chứng minh nếu: a b a b a b (1) Hướng dẫn (1) a b a b3 a (a 1) b3 (b 1) a (a 1) b3 (b 1) ( a 1) (b 1) (a 1) (b 1) ( a 1)( a 1) (b 1)(b3 1) a b ( a 1) ( a a 1) (b 1) (b b 1) a b Suy điều phải chứng minh Vì: (a 1) (a 1) ( a a 1) (b 1) (b 1) (b b 1) a b a b2 DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT * Giả sử f(x) ≤ k (k số) dấu xảy x = a => Giá trị lớn f(x) k x = a, kí hiệu max f(x) = k x = a * Giả sử f(x) ≤ k (k số) dấu xảy x = a BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà => Giá trị nhỏ f(x) k x = a, kí hiệu f(x) = k x = a Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A x x 11 b) B = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) c) C x x y y Hướng dẫn a) A x x 11 x x 10 x 1 10 10 Min A = 10 x b) B = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = (x - 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36 Min B = -36 x = x = -5 c) C x x y y = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 + Min C = x = 1; y = Bài 2: Tìm GTNN của: a) M x x x x b) N x 1 x Hướng dẫn a) M x x x x x x x 1 x x 1 x Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x) hay x x x x 3 x x 3 x 1 Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x) hay x Vậy Min M = + = x 2 b) N x 1 x x x Đặt t x t Do N = t2 – 3t + = (t 32 )2 1 N 4 BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Dấu “=” xảy t t 3 x x 3 Do N t x 2 2x 1 x 4 Vậy N x hay x 4 Bài 3: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Hướng dẫn M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 x y x2 y2 y x xy ( x y2 ) 2 2 2 2 M ( x2 y ) Ngoài ra: x + y = x2 + y2 + 2xy = 2(x2 + y2) – (x – y)2 = => 2(x2 + y2) ≥ Do x y 1 x y x y 2 2 1 2 Ta có: M ( x y ) ( x y ) M Do M 1 dấu “=” xảy x y 4 Vậy GTNN M x y Bài 4: Tìm GTLN GTNN của: y 4x x2 1 Hướng dẫn * Cách 1: y 4x ax x a a x2 1 x2 Ta cần tìm a để ax x a bình phương nhị thức a 1 a Ta phải có: ' a (3 a ) - Với a = -1 ta có: y 4x x 4x ( x 2) 1 x 1 x2 x2 BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà y 1 Dấu “=” xảy x = -2 Vậy GTNN y = -1 x = -2 - Với a = ta có: y 4x -4x x (2 x 1)2 4 4 x 1 x2 1 x2 Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN y = x = * Cách 2: Vì x2 + nên: y 4x yx x y (1) x 1 y giá trị hàm số (1) có nghiệm - Nếu y = (1) x - Nếu y (1) có nghiệm ' y ( y 3) ( y 1)( y 4) y 1 y 1 1 y y y Vậy GTNN y = -1 x = -2 Vậy GTLN y = x = Bài 5: Tìm GTLN GTNN của: A x2 x x2 x 1 Giải Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm: a x2 x x2 x 1 (1) 3 Do x + x + = x + .x + x 4 2 2 Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2) + Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x = + Trường hợp 2: Nếu a để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ , tức là: (a 1)2 4(a 1)(a 1) (a 2a 2)( a 2a 2) (3a 1)(a 3) a 3(a 1) BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Với a (a 1) a 1 a = nghiệm (2) x 2(a 1) 2(1 a ) Với a x = Với a = x = -1 Kết luận: gộp trường hợp 2, ta có: GTNN A x = GTLN A = x = -1 C/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho a, b, c, d, e R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2 b2 c2 ab bc ca b) a2 b2 ab a b c) a2 b2 c2 2(a b c) d) a2 b2 c2 2(ab bc ca) e) a b c 2a(ab a c 1) a2 f) b2 c2 ab ac 2bc g) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc h) a2 b2 c2 d e2 a(b c d e) 4 2 Hướng dẫn: a) (a b)2 (b c)2 (c a)2 b) (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 c) (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 d) (a b c)2 2 2 a f) (b c) 2 e) (a b ) (a c) (a 1) g) (a bc)2 (b ca)2 (c ab)2 2 2 a a a a h) b c d e 2 2 2 2 Bài 2: Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức sau: a b a2 b2 a) ab a3 b3 a b b) ; với a, b c) a4 b4 a3b ab3 d) a4 4a e) a3 b3 c3 3abc , với a, b, c > f) a4 b4 a6 b2 b6 a2 ; với a, b BỒI DƯỠNG TOÁN THCS – CLC g) 1 a 1 b Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà ; với ab 1 ab h) (a5 b5 )(a b) (a4 b4 )(a2 b2 ) ; với ab>0 Hướng dẫn 2 a b (a b)2 a2 b2 a b (a b)2 a) 0; 0 ab b) (a b)(a b)2 c) (a3 b3 )(a b) d) (a 1)2 (a2 2a 3) e) Chú ý: a3 b3 (a b)3 3a2b 3ab2 BĐT (a b c) a2 b2 c2 (ab bc ca) f) (a2 b2 )2 (a4 a2b2 b4 ) g) (b a)2 (ab 1) (1 ab)(1 a2 )(1 b2 ) 0 h) ab(a b)(a3 b3 ) Bài 3: Cho a, b, c, d R Chứng minh a2 b2 2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) a4 b4 c4 d 4abcd b) (a2 1)(b2 1)(c2 1) 8abc c) (a2 4)(b2 4)(c2 4)(d2 4) 256abcd Hướng dẫn: a) a4 b4 2a2b2; c2 d2 2c2d ; a2b2 c2d2 2abcd b) a2 a ; b2 b ; c2 c c) a2 a ; b2 b ; c2 c ; d d Bài 4: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) ab bc ca a2 +b2 c2 Tìm GTNN biểu thức: f (t ) t 4t Hướng dẫn 4t (2t 1)2 4t (2t 1)2 Ta viết: f (t ) t 1 4t 4t 4t 4t Vì t > nên ta có: f (t ) Dấu “=” xảy 2t t 2 Vậy f(t) đạt GTNN t ... (-6 ).5 < (-5 ).5 Vì -6 < -5 > => (-6 ).5 < (-5 ).5 Vậy khẳng định (-6 ).5 < (-5 ).5 b) -6 < -5 -3 < => (-6 ). (-3 ) > (-5 ). (-3 ) Vậy khẳng định (-6 ). (-3 ) < (-5 ). (-3 ) sai c) -2 003 ≤ 2004 -2 005 < => (-2 003). (-2 005)... (-2 ).3 -4 ,5 b) Từ kết câu a) suy bất đẳng thức sau: (-2 ).30 < -4 5; (-2 ).3 + 4,5 => (-2 ).3 < (-1 ,5).3 => (-2 ).3 < -4 ,5 b) Từ bất đẳng thức: (-2 ).3... (-2 003). (-2 005) ≥ (-2 005).2004 Vậy khẳng định (-2 003). (-2 005) ≤ (-2 005).2004 sai d) x2 ≥ -3 < => -3 x2 ≤ Vậy khẳng định -3 x2 ≤ Bài 3: Số a số âm hay dương nếu: a) 12a < 15a? b) 4a < 3a? c) -3 a > -5 a