CHUYÊN ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN BÀI LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG, PHÉP NHÂN Mục tiêu Kiến thức + Phát biểu định nghĩa bất đẳng thức + Phát biểu tính chất mối liên hệ thứ tự phép cộng, phép nhân, tính chất bắc cầu Kĩ + Biểu diễn số trục số + Sử dụng mối liên hệ thứ tự phép cộng, phép nhân để chứng minh bất đẳng thức Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a b a b, a b, a b bất 2, x 0 bất đẳng thức đẳng thức gọi a trái, b vế phải bất đẳng thức Liên hệ thứ tự phép cộng Khi cộng số vào hai vế bất Nếu a b a b đẳng thức ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho Liên hệ thứ tự phép nhân • Khi nhân hai vế bất đẳng thức với Nếu a b 2a 2b số dương, ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho • Khi nhân hai vế bất đẳng thức với Nếu a b 3a 3b số âm, ta bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho Tính chất bắc cầu thứ tự Nếu a b b c a c 0,0 1 nên 2 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Sắp xếp thứ tự số trục số Biểu diễn mối quan hệ tập số Bài toán Sắp xếp thứ tự số trục số Phương pháp giải Sắp xếp thứ tự số: Dựa vào kiến thức học lớp Đây dạng tốn khơng Ví dụ: Sắp xếp số sau từ bé đến lớn: 2; 4;0;4; 1 ; 3; có cách làm quán cho bài, có số bước ưu tiên hỗ trợ cho tốc độ khảo sát số trở nên nhanh chóng Bước Chia số thành hai nhóm: Số âm, số dương, số (nếu có) Lấy số làm trung tâm Số âm: 2; 4; trục số Bước Sắp xếp thứ tự nhóm số dấu: • Có số ngun: So sánh đơn giản Số dương: 4; 3; Số (có) Quy đồng mẫu số nhóm số âm: 8 ; ; 2 Trang • Có số hữu tỉ: Quy đồng mẫu số dương Do nên thứ tự từ bé đến lớn thực so sánh tử số nguyên 8 1 ; ; hay 4; 2; 2 2 • Có số vơ tỉ: So sánh gần Quy đồng mẫu số nhóm số dương: 16 ; ; 4 Do 16 nên thứ tự từ bé đến lớn 1 16 hay ; 3; 4 4 Vậy xếp từ bé đến lớn dãy số cho trước sau: 4; 2; 1 ; 0; ; 3; 4 Ví dụ mẫu Ví dụ: Sắp xếp số sau từ lớn đến bé: ; ;0;2; 5;1 Hướng dẫn giải Số âm: ; Số dương: 2; 5;1 Số (có) Quy đồng mẫu số nhóm số âm: ; 10 10 Do nên thứ tự từ bé đến lớn ; ; 10 10 Sắp xếp thứ tự nhóm số dương: Do nên thứ tự từ bé đến lớn 1;2; Vậy xếp từ bé đến lớn dãy số cho trước sau: ; ;0;1;2; 5 Bài toán Biểu diễn mối quan hệ tập số Phương pháp giải Biểu diễn mối quan hệ tập số: Dựa vào Ví dụ: Điền kí hiệu thích hợp vào chỗ trống: đặc điểm phần tử tập số, ta có biểu I= = đồ thể quan hệ tập số với nhau, dễ Hướng dẫn giải Trang dàng xác định số thuộc không thuộc tập hợp I=là giao “tập hợp số thực” với “tập Bước Định tính tập hợp hợp số vô tỉ” Vậy phần tử tập hợp I=phải vừa số thực, vừa số vô tỉ Bước Xét mối quan hệ tập hợp học Mặt khác I nên phần tử tập hợp I=chỉ bao gồm số vơ tỉ, I I Ví dụ mẫu Ví dụ: Điền vào chỗ trống kí hiệu thích hợp Hướng dẫn giải Vì nên Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Sắp xếp thứ tự dãy số sau: a) 2; 4; 0; 4; ; ; từ bé đến lớn b) 7; 1; 5; 0;3;8 từ lớn đến bé c) 0; 2;5; ; 10 từ bé đến lớn d) ; ; 4; từ lớn đến bé Câu 2: Điền vào chỗ trống kí hiệu thể quan hệ tập hợp sau: a) b) * Dạng 2: Xét tính sai So sánh Ví dụ mẫu Ví dụ Cho a b, so sánh: 3a 3b Hướng dẫn giải Sử dụng tính chất: Nhân hai Do a b nên 3a 3b vế bất đẳng thức với số âm Do 3a 3b nên 3a 3b Sử dụng tính chất: Cộng hai Vậy 3a 3b vế bất đẳng thức với số Ví dụ Xét tính sai khẳng định: Hướng dẫn giải Bước Định tính tập hợp giao “tập hợp số nguyên” với “tập hợp số vô Trang tỉ” Vậy thành phần tập hợp phải vừa số nguyên, vừa số hữu tỉ Mặt khác nên phần tử tập hợp số nguyên Vậy Bước Định tính tập hợp cần tập hợp số tự nhiên, , nên kiểm tra Vậy khẳng định Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Xét tính sai khẳng định sau giải thích a) 2 b) 7 c) 16 0 d) x Câu 2: So sánh a b thỏa mãn: a) 1 a b 2 b) 7a 7b c) 1 a b 2 d) a 1 b Câu 3: Xét tính sai khẳng định sau (với a, b số thực bất kỳ) giải thích a) a 4 a a2 b) 0 3 c) a b ab a b d) a2 0 Dạng Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ mẫu Ví dụ Cho m n, chứng minh: m 2017 n 2016 Hướng dẫn giải Do m n nên m 2017 n 2017 Sử dụng tính chất cộng hai Do 2017 2016 nên n 2017 n 2016 vế bất đẳng thức với số Suy m 2017 n 2017 n 2016 Vậy toán chứng minh Sử dụng tính chất bắc cầu Ví dụ Cho m 2, chứng minh: m 2m Hướng dẫn giải Theo đề ta có: Trang m 0 m 2 m 2 m 0 m 0 m m 0 m 2m 0 m 2m Vậy toán chứng minh Bài tập tự luyện dạng Câu 1: a) Cho m m Chứng minh m m b) Cho a b Chứng minh a b Dạng Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Phương pháp giải Là mở rộng nâng cao chứng minh bất đẳng thức, với vế bất đẳng thức cần chứng minh chưa biết đích đến tốn Định nghĩa: Giá trị nhỏ biểu thức P theo biến m (có thể có điều kiện) số k cho: + P k với giá trị biến m (theo điều kiện cho trước có, khơng có điều kiện ta hiểu m số thực bất kỳ) + Phải tồn giá trị biến m để biểu thức P đạt giá trị k Giá trị lớn định nghĩa tương tự Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P m 2m với m 2 Bước Biến đổi biểu thức tạo bất đẳng Hướng dẫn giải thức Biến đổi m 2m m 2m m 1 2 Ta có m 1 0 m 1 m Bước Kiểm chứng dấu bất đẳng thức có xảy khơng? Suy bất đẳng thức P m 2m Dấu m 1 xảy 0 m 1 Trang Do m 2 nên xảy m 1, tương đương với việc dấu đẳng thức bất đẳng thức P m 2m xảy Vậy với m 2, giá trị nhỏ biểu thức P m 2m m 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm giá trị lớn biểu thức P m 2m với m 2 Hướng dẫn giải m 0 m 0 Ta có m 2 m 2 m 0 m m 0 m 2m 0 Suy bất đẳng thức m 2m 0 m 0 Dấu xảy m m 0 m 2 Do m 2 nên xảy m 0 m 2, tương đương với việc dấu đẳng thức bất đẳng thức P m 2m 0 xảy Vậy với m 2, giá trị lớn biểu thức P m 2m m 0 m 2 Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a a 1 với a Câu 2: Tính giá trị lớn biểu thức M x với x x ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Sắp xếp thứ tự số trục số Biểu diễn mối quan hệ tập số Câu Sắp xếp thứ tự số: 1 a) 2; 4; 0; 4; ; ; từ bé đến lớn là: 4; 2; 0; ; ; ;4 4 b) 7; 8; 1; 5; 0;3;8 từ lớn đến bé là: 8;3; 0; 1; 5; 7; c) 0; 2;5; ; 10 từ bé đến lớn là: 2; 0; 10;5 d) ; ; 4; từ lớn đến bé là: ; ; 9; Trang Câu a) b) * Dạng Xét tính sai So sánh Câu 1 1 a) Khẳng định sai, 2, ( vô lý) 2 2 3.7 22 b) Khẳng định đúng, 4 22 28 (luôn đúng) 7 7 7 c) Khẳng định 16 0 đúng, 16 4 0, 0 điều hiển nhiên d) Khẳng định x sai, x x (vơ lý x x 0 với số thực x bất kì) Câu a) 1 1 1 a b a b a b 2 2 2 1 1 b) 7a 7b 7a 7b a b 7 7 c) 1 1 1 a b a b a b a b 2 2 2 (luôn đúng) Do đó: a b a b d) Ta có 5 5 a 5 20 5 20 5 b a b Câu 2 a) a2 4 a a2 4 a a a 0 a 0 * Đến kết luận khẳng định a) sai với a 1 bất đẳng thức * sai a2 b) 0 a2 0, với a số thực bất đẳng thức a 0 nên khẳng định b) 3 3 2 c) a b ab a b a b a b ab a3 a b b3 b a 0 a2 a b b a b 0 a b a b a b a b 0 * Trang Đến kết luận khẳng định c) sai với a 0; b bất đẳng thức * sai 2 d) a 0 a 0 * 1 a a 0 a 0 Bất đẳng thức * với a số thực vì: a 0 Vậy khẳng định d) Dạng Chứng minh bất đẳng thức Câu m a) Ta có: m m m m 1 m m m m m Vậy m m với m b) Ta có: a b 0 ab0 a b a b a b a b Vậy a b2 với a b Dạng Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Câu 2 Biến đổi P a 3 a 1 a2 6a a 2a 2a 4a 10 2 a 2a 2 a 1 Với a , ta có a 1 0 P 2 a 1 8 Dấu “=” xảy a 1 0 a 1 2 Vậy biểu thức P a a 1 có giá trị nhỏ a 1 Câu 2 2 x 1 Biến đổi M x x x x 2 x x x x Ta có bất đẳng thức: x 1 0 với x 2 x 1 0 x 1 1 x 1 0 x x x x Suy M 2 Dấu “=” xảy x 1 0 x (thỏa mãn x ) Vậy với x 0, giá trị lớn biểu thức M x x x Trang