CHƯƠNG ĐƯỜNG TRÒN BÀI LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY Mục tiêu Kiến thức + So sánh độ dài đường kính dây + Nắm vững mối quan hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây + Vận dụng kiến thức quan hệ vng góc đường kính dây để tính độ dài dây, tính khoảng cách từ tâm đến dây Kĩ + Vẽ hình minh họa kiện tốn + Tính độ dài dây, khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây + So sánh độ dài dây, khoảng cách từ tâm đến dây I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Định lí Trong đường trịn a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm AB CD OI OJ Định lí Trong hai dây đường trịn a) Dây lớn dây gần tâm b) Dây gần tâm dây lớn OI OJ AB CD SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Khoảng cách từ tâm đến dây độ dài LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính độ dài dây Phương pháp giải Sử dụng kiến thức sau đây: Ví dụ: Cho đường trịn tâm O , bán kính Trong đường trịn, đường kính R 2 cm Lấy A, B đường trịn cho vng góc với dây qua khoảng cách từ tâm O đến dây AB trung điểm dây cm Tính độ dài dây cung AB Trong đường trịn, đường kính Hướng dẫn giải qua trung điểm dây không qua tâm vng góc với dây Dùng định lý Py-ta-go, hệ thức lượng tam giác vuông Gọi H trung điểm AB Khi OH AB nên khoảng cách từ O đến dây cung AB OH 1 cm Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng OAH có OA2 OH HA2 22 12 HA2 HA cm Vậy độ dài dây cung AB 2 cm Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đoạn thẳng AB 6 cm Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I cho AI 1 cm Qua I dựng đường thẳng d vng góc với AB Trên đường thẳng d lấy điểm C cho tam giác ABC vuông C Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng d điểm thứ hai D Tính độ dài dây cung CD Hướng dẫn giải Vì tam giác ABC vng C CI đường cao tam giác nên ta có: CI AI BI 1.5 5 CI cm Vì tam giác ABC vng C nên đường trịn đường kính AB qua điểm A, B, C Theo mối liên hệ đường kính dây cung ta có AB CD I I trung điểm CD Vậy độ dài dây cung CD 2CI 2 cm Ví dụ Cho đường trịn O; R có hai dây AB, CD vng góc với I Giả sử IA 2 cm , IB 4 cm Tính khoảng cách từ tâm O đến dây Hướng dẫn giải Ta có AB IA IB 2 6 cm Gọi E , F trung điểm AB, CD Khi ta có OE AB, OF CD OE OF Vậy tứ giác OEIF hình vng Khi OE OF IE AB AI 1 cm Vậy khoảng cách từ O đến dây AB CD cm Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho đường tròn tâm O bán kính R 5 Biết khoảng cách từ tâm O đến dây cung AB Tính độ dài dây cung AB Câu Cho đường tròn tâm O bán kính R 13 cm , biết dây cung AB dài 24 cm Tính khoảng cách từ tâm O đến dây cung AB Câu Cho hình vng ABCD có cạnh cm Gọi M , N trung điểm AB, BC E giao điểm CM DN a) Chứng minh bốn điểm M , B, N , E nằm đường trịn b) Tính bán kính đường trịn tính khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây ME Bài tập nâng cao Câu Cho đường tròn O dây CD Từ O kẻ tia vng góc với CD M , cắt O H Tính bán kính R O biết CD 16 cm MH 4 cm Câu Cho đường trịn O bán kính OA 11 cm Điểm M thuộc bán kính AO cách O khoảng cm Qua M kẻ dây CD có độ dài 18 cm Tính độ dài đoạn thẳng MC , MD Dạng So sánh độ dài dây cung đoạn thẳng liên quan Phương pháp giải Phương pháp: Sử dụng kiến thức: Ví dụ: Cho đường trịn Trong đường trịn R 5 cm So sánh độ dài hai dây cung AB O bán kính - Hai dây cách tâm CD biết AB 6 cm khoảng cách từ - Hai dây cách tâm O đến dây CD cm Trong đường tròn Hướng dẫn giải - Dây lớn dây gần tâm - Dây gần tâm dây lớn Gọi I trung điểm CD Theo giả thiết ta có OI 3 cm Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng OID ta có OD OI ID 52 33 ID ID 4 cm Khi độ dài dây cung CD 4.2 8 cm Vậy CD AB Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đường trịn O bán kính R 10 cm So sánh khoảng cách từ tâm O đến hai dây cung AB CD Biết AB 16 cm khoảng cách từ tâm O đến dây CD cm Hướng dẫn giải Gọi I , J trung điểm AB, CD Theo mối liên hệ đường kính dây cung ta có OI AB, OJ CD Khi OJ 4 cm Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng OIA có OA2 OI IA2 102 OI 82 OI 6 cm Vậy OI OJ Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho đường tròn tâm O điểm I thuộc miền đường tròn Qua I kẻ dây AB dây CD vng góc với OI Tia OI cắt đường trịn điểm E Gọi H trung điểm AB OH cắt đường tròn điểm F a) So sánh AB CD b) Chứng minh IE HF Câu Tứ giác ABCD có góc A C 90 a) Chứng minh AC BD b) Trong trường hợp AC BD ? Bài tập nâng cao Câu Cho tứ giác ABCD có góc B D 90 a) Chứng minh bốn điểm A, B, C , D thuộc đường tròn b) So sánh độ dài AC BD Câu Cho đường tròn tâm O hai điểm A, B bên đường tròn Gọi M trung điểm AB Qua A B , kẻ đường thẳng song song với MO , chúng cắt đường tròn tạo thành hai dây CD EF Chứng minh CD EF ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Tính độ dài dây Bài tập Câu Dựng OH AB , ta có H trung điểm AB Theo giả thiết ta có OH 3, OB 5 Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vng OHB có OB OH HB 52 32 HB2 HB 4 Vậy AB 2HB 8 Câu Theo định lí ta có HA HB AB 12 cm Xét tam giác vuông OBH có OB OH HB 132 OH 122 OH 5 cm Dựng OH AB Câu a) Ta có DCN CBM (hai cạnh góc vng nhau) C 90 D N C N D 1 1 1 N 90 nên Xét tam giác ECN có C NEC 90 1 Vì tam giác MNE vuông E nên ba điểm M , N , E thuộc đường trịn đường kính MN Vì tam giác MBN vuông B nên ba điểm M , N , B thuộc đường trịn đường kính MN Vậy bốn điểm B, M , N , E thuộc đường trịn đường kính MN b) Xét tam giác ABC có MN đường trung bình nên MN AC Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng ABC có AC AB BC 42 42 AC 4 cm Vậy bán kính đường trịn qua bốn điểm B, M , E , N R AC cm Gọi O trung điểm MN Kẻ OH ME , suy khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây ME đoạn OH Lại có NE ME suy OH ∥ NE hay OH đường trung bình tam giác MNE Suy OH NE Theo định lí Py-ta-go tam giác vng DCN ta có DN DC NC 42 22 2 cm Lại có CE đường cao tam giác DCN nên EN DN NC EN NC 42 cm DN 5 Vậy OH EN cm Bài tập nâng cao Câu Đặt OM x Vậy bán kính đường trịn Khi R OH x Vì OM CD nên M trung điểm CD Xét tam giác vng OMD có OD OM MD x x 64 x x 16 x 64 x 6 Câu Dựng OH CD HC HD O R 10 cm Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vng OHC có OC OH HC 112 OH 92 OH 40 cm Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vng OMH có OM OH HM 40 HM HM 3 cm Vậy MC MH CH 3 12 cm MD CD MC 6 cm Dạng So sánh độ dài dây cung đoạn thẳng liên quan Bài tập Câu a) Vì H trung điểm AB nên OH AB Vì tam giác OHI vng H nên OI OH Theo định lí ta suy AB CD b) Vì OI OH nên R OI R OH IE HF Câu a) Vì tam giác ABD vuông A nên ba điểm A, B, D thuộc đường trịn đường kính BD Vì tam giác BCD vuông C nên ba điểm B, C , D thuộc đường trịn đường kính BD Vậy bốn điểm A, B, C , D thuộc đường trịn đường kính BD Vì BD đường kính AC dây cung đường tròn qua bốn điểm A, B, C , D nên BD AC b) Giả sử BD AC Vì BD đường kính đường trịn qua bốn điểm A, B, C , D nên dây AC đường kính đường trịn qua bốn điểm A, B, C , D Khi trung điểm AC BD phải trùng hay AC BD cắt trung điểm đường Xét tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD cắt trung điểm đường nên tứ giác hình bình hành Mặt khác góc A 90 nên ABCD hình chữ nhật Vậy ABCD hình chữ nhật AC BD Bài tập nâng cao Câu a) Gọi O trung điểm AC Vì tam giác ABC vng B nên OA OB OC Vì tam giác ADC vng D nên OA OD OC Suy OA OB OC OD Vậy bốn điểm A, B, C , D nằm đường trịn có đường kính AC b) Vì AC đường kính đường tròn qua bốn điểm A, B, C , D Nếu góc A C 90 BD đường kính đường trịn qua bốn điểm A, B, C , D Khi AC BD Nếu góc A C khơng vng BD dây cung đường tròn qua bốn điểm A, B, C , D Khi AC BD Câu Dựng OK CD OH EF Vì CD ∥ EF (giả thiết) nên O, H , K thẳng hàng K 90 nên Xét tứ giác ABHK có AK ∥ BH H ABHK hình thang vng Vì M trung điểm AB MO ∥ AK ∥ BH nên O trung điểm KH Tức OH OK Do khoảng cách từ O đến dây CD khoảng cách từ O đến dây EF nên CD EF