Hh9 c2 b3 liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY A Tóm tắt lý thuyết B Trong đường trịn I - Hai dây cách tâm: O Trong đường trịn   có: A O AB CD, OI  AB I ; OK  CD K D  OI OK K - Hai dây cách tâm nhau: O Trong đường trịn   có: OI  AB I , OK  CD K , OI OK  AB CD  OI OK Trong hai dây đường tròn - Dây lớn dây gần tâm - Dây gần tâm dây lớn O Cụ thể: AB, CD hai dây đường tròn   OI , OK khoảng cách từ tâm O tới AB, CD Ta có: AB  CD OI  OK B Bài tập áp dụng Bài 1: Cho đường tròn tâm O hai dây AB, CD C vng góc với I Giả sử IA 2cm, IB 4cm Tính khoảng cách từ tâm O K O đến dây A H D Lời giải Vẽ OH  AB, OK  CD , ta được: HA HB 3cm IA 2cm  IH 1cm Xét OKIH có góc vng nên hình chữ nhật  OK HI OH OK 1cm (hai dây cách tâm) B C Bài 2: Cho đường trịn tâm O bán kính OA 11cm Điểm M thuộc bán kinh OA cách O C khoảng 7cm Qua M kẻ dây CD có độ dài A O M H 18cm Tính MC , MD  MC  MD  D Lời giải Kẻ OH  CD  HC HD 9cm  Xét OHD( H 90 )  OH 40  OH 2 10(cm)  Xét OHM ( H 90 )  MH 9  MH 3(cm) Ta có: MD MH  HD 12cm; MC HC  MH 6cm Bài 3: O;3cm  Cho đường tròn  , dây AB 4cm H A B a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB D b) M điểm cho OM 2cm Vẽ dây CD O vng góc với OM M So sánh AB CD M C Lời giải a) Vẽ OH  AB H  H trung điểm dây AB (định lí đường kính vng góc với dây cung) Ta có: AH HB  AB 2cm 2 2 2 Tam giác OAH vuông H  OH  AH OA  OH  3  OH   cm  b) Ta có: 5 2  OH  OM  AB  CD (định lí liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây) Bài 4: O; 25cm  Cho đường tròn  , dây AB 40cm Vẽ H A dây cung CD song song với AB có 20 B 20 khoảng cách đến AB 22cm Tính độ dài 25 O dây cung CD 25 C D K Lời giải Kẻ OH  AB cắt dây CD K HK  CD  AB / / CD  nên AH HB 20cm, CK KD  CD Và OH , OK khoảng cách từ O đến AB, CD, HK 22cm Áp dụng hệ thức pytago cho OHB vuông H có cạnh huyền OB 25cm ta được: OB BH  HO  252 202  OH  OH 15cm  OH    OK KH  OH 22  15 7  cm  Áp dụng hệ thức Pytago vào tam giác OKD vng K có cạnh huyền OD 25cm ta được: OD DK  OK  252 DK   DK 242  DK 24  cm  Vậy CD 48cm Cho đường tròn O, tâm Bài 5: dây A H K  AB 24cm, AC 20cm, BAC  900 điểm O nằm  BAC B O M Gọi M trung điểm AC , khoảng cách từ M đến AB 8cm C a Chứng minh ABC cân C b Tính bán kính đường trịn Lời giải a Kẻ MH  AB H ; CK  AB K  MH đường trung bình AKC  AM 10cm, AH 6cm  AK 12cm  AK  AB Xét ABC , có CK đường cao đồng thời đường trung tuyến  ABC cân C ( CK qua O CK đường trung tuyến ABC ) b Ta có MA MC  OM  AC  OMC AKC ( gg )  MC OC 10 OC     OC 12,5(cm) KC AC 16 20 Bài 6: O Cho điểm A nằm đường tròn   có CB A đường kính AB  AC Vẽ dây AD vng góc với BC H Chứng minh O B C H a Tam giác ABC vuông A b H trung điểm AD, AC  AD , BC D tia phân giác góc ABD c ABC  ADC Lời giải a) Vì OA OB OC R  ABC vng A b Vì OH  AD  AH HD  H trung điểm AD +) Xét ADC , có CH đường cao đồng thời đường trung tuyến  ADC cân C  CA CD +) Xét ADB , có BH đường cao đồng thời đường trung tuyến  ADB cân B  BC phân giác ABD       c) Ta có: ABC CBD; CDH CBD  ABC CDH Bài 7: O; R  Cho đường trịn  đường kính AB Gọi D M N theo thứ tự trung điểm OA H OB Qua M N vẽ dây CD M A O C EF song song với ( C E nằm ột nửa đường trịn đường kính AB ) nhật b) Giả sử CD EF tạo vỡi AB góc nhọn 30 Tính diện tích hình chữ nhật N K E a) Chứng minh tứ giác CDFE hình chữ F B CDFE Lời giải a) Kẻ OH  CD H ; K OH  EF Do HOM KON  OH OK  CD EF (hai dây cách tâm nhau)  CDFE hình bình hành, HK đường trung bình nên  900 HK / / CE  E  CDFE hình chữ nhật b) Tam giác vng HOM có: Ta có  900  CF E  300  OH  OM  R  HK  R M đường kính 15 15 E  EF CF  CE  R  EF  R CEF Tam giác vuông SCDFE  15 15 R R  R 2 Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp A O đường tròn   Đường cao AH tam giác ABC cắt đường trịn D Vẽ đường kính O AOE a Chứng minh BEDC hình thang cân b Gọi M điểm cung DE , B OM cắt BC I Chứng minh O I E trung điểm BC c) Tính bán kính đường trịn biết BC 24cm, IM 8cm Lời giải  AD  BC  CD   BE CD  BC / / DE  BE  AD  DE a) Ta có:        mặt khác ta lại có: BE  ED CD  DE  BD CE  BD CE Vậy BEDC hình thang cân M H D C       Ta có: BE  EM CD  DM  MB MC  IB IC Lại có: BI IC  OI  BC (đường kính qua trung điểm dây) Đặt OC OM R, xét OIC vuông: 2 2 D OC OI  IC  R  R    12  R 13cm Bài 9: M C O O' Hai đường tròn     bán kính cắt O' O M A a) Chứng minh hai cung nhỏ MN hai N B đường tròn b) Vẽ đường kính MOA MO ' B Chứng minh: NA  NB c) Vẽ đường kính NOC Tia BM cắt đường O tròn   D Chứng minh cung nhỏ MN , AC , CD Lời giải a) Vì MN dây chung hai đường tròn nên hai cung nhỏ MN hai đường tròn b) Ta có: AM MB  (hai đường trịn nhau) AN  AM  MN     MB  MN  NB Tứ giác ACMN hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm   đường, nên: CM / / AN  AC MN  1 Mặt khác ta lại có: A, N , B thẳng hàng AN BN nên ON đường trung bình tam giác    2 ABD  CN / / DM  MN CD    Từ  1    MN  AC CD (đpcm) Bài 10: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB D lấy điểm D cho AD  AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O hạ đường vng góc OH , OK K O BD  H  BC ; K  BD  với BC A a) Chứng minh rằng: OH  OK b) So sánh hai cung nhỏ BD BC B C Lời giải a) Xét OBD OBC cân O có đường cao kẻ từ đỉnh theo thứ tự OK OH nên chúng đồng thời trung tuyến 1  KD  BD; CH  BC 2 mặt khác DBC có: BD BA  AD BA  AC  BC  KD  HC Xét OKD OHC , vng ta có: OK  OD  KD  OC  KD  OC  HC OH  OK  OH b) Ta có:   BC  BD  BC  BD Bài 11: D O; R  Cho đường trịn  đường kính AB , dây H E cung DE Tia DE cắt AB C Biết A O  DOE 90 ; OC 3R a) Tính độ dài CD CE theo R b) Chứng minh CD.CE CA.CB Lời giải 2 2 a) Tam giác ODE vuông cân O , ta có: DE OD  OE 2 R  DE 2 R Kẻ OH  DE  OH  R 2 Tam giác COH vuông H , có: B C CH OC  OH 9 R  CD CH  HD  b) Ta có: R R2 R 17  CH  ; CE CH  EH  2 R 17 R R   2 CD.CE  R  34     34  A 34    34  2   R  34  2 8R F 2 O N CA.CB 4 R.2 R 8R  CE.CD CA.CB Bài 12: C O Cho đường trịn   có hai dây AB CD E D M B vng góc với E , IC 4cm, ID 28cm a) Tính khoảng cách từ O đến dây O b) Vẽ đường kính DF đường trịn   So sánh hai khoảng cách từ tâm O đến hai dây cung CF AB Lời giải CD CE  ED 32  cm  a) Kẻ OM  CD H , ON  AB N , ta có: CM  CD 16  cm  ; EM CM  CE 12  cm  Vì CD  AB  OM ON Tứ giác ENOM hình chữ nhật có OM ON  EMON hình vng  OM ON EM 12  cm  b) Ta có: OM  CD  MC MD (định lí đường vng góc dây cung) Do OM đường trung bình Vì FCD  FC 2OM 2.12 24  cm  FC  AB  24  32; AB CD  nên khoảng cách từ tâm O đến dây cung FC lớn khoảng cách từ tâm O đến dây AB (định lý liên hệ dây khoảng đến tâm) Bài 13: O; R  Cho đường tròn  hai dây AB, CD A H CD R B a) Hãy so sánh diện tích tam giác AOB, COD O AB R b) Hãy xác định độ dài AB cho AB  CD mà C K D S AOB SCOD Lời giải a) Vẽ OH  AB, OK  CD  HA HB  R R ; KC KD  2 R 2 R2 R OH OA  HA R      OH  2   Khi đó: 2 2 R 3 R2 R OK OC  KC R     OK  ; S AOB  AB.OH  2   2 2 R 2R2 R2  R   1 ; SCOD  CD.OK   2  1    S AOB  SCOD    2 4 Từ CK R 3    SinCOK     COK 600  COD 1200 CO R b) Ta có Góc nhọn hai đường thẳng OC , OD 60 1 SCOD  CO.DO.sin600  R sin60 2 Gọi góc nhọn hai đường thẳng OA, OB  1 1 S AOB  OA.OB.sin  R sin ; S AOB SCOD  R sin  R sin600   60 2 2 Do  COD 600 120 Để cho AB  CD , ta lấy AOB 600 lúc tam giác AOB đều, suy ra: AB OA R  CD *) Lưu ý: Thay cho việc vẽ OH  AB, OK  CD ta gọi H K trung điểm AB CD Thế OH  AB, OK  CD BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM O Câu 1: Cho đường tròn   đường kính AB dây CD khơng cắt đường kính AB Gọi M N theo thứ tự hình chiếu A B đường thẳng CD Hỏi tam giác MON tam giác A) Tam giác cân B) Tam giác C) Tam giác vuông Chọn đáp án A D) Tam giác vuông cân M Giải thích: Ta có: AM / / BN   CD   AMNB C I D N hình thang vng A Lại có: B O IC ID  gt   OI  CD  1  OI / / AM / / BN Trong hình thang AMNB có: OA OB; OI / / AM / / BN  IM IN    OI Từ     vừa đường cao, vừa đường trung tuyến MON nên MON cân O O Câu 2: Cho đường tròn   hai dây AB CD cắt điểm P nằm  O  Gọi H K theo thứ tự trung điểm hai dây AB CD Chọn đáp án A) OH OK B) PH PK   C) OPH OPK Chọn đáp án D D) A, B C sai A H Giải thích: B Ta có: HA HB  OH  AB P O KC KD  OK  CD D Do AB CD  OH OK K C Hai tam tam giác vuông OHP OKP có OP cạnh huyền chung 10 Lại có: OH OK  OHP OKP  PH PK   Và OPH OPK O;6,5cm  Câu 3: Cho đường tròn  có đường kính MN dây MP 12cm Vẽ dây PQ vng góc với MN H Tính độ dài dây PQ (làm trịn đến số thập phân thứ nhất) A) 8,5  cm  B) 9,  cm  10, cm D) 10,8  cm    C) Chọn đáp án B P 12 Giải thích: M MNP nội tiếp đường trịn  O  , có cạnh MN 6,6 N H O  MNP đường kính   vng P Q Theo địn lý Pitago ta có: NP  MN  MP  132  122 5  cm  MNP vuông P , nên ta có: PH MN PM PN  PH  PM PN 4,  cm  MN Có MN  PQ  HP HQ  PQ 2HP 9, O;15cm  AB 24  cm  Câu 4: Cho đường tròn  dây Tính số đo góc tam giác OAB (làm tròn đến độ)    A) O 106 ; A B 37    C) O 110 ; A B 35 Chọn đáp án B    B) O 100 ; A B 40 D) Cả A, B, C sai B Giải thích: Kẻ M OM  AB  MA MB 12  cm  A Tam giác OMA vng M , ta có: cos A  AM 12  370  0,8  A OA 15 AOB có OA OB 15  cm  11 15cm O   Do AOB cân O nên A B 37  1800  2.370 1060 O Vậy góc tam giác OAB là:  10 , A B  37 O O; R  Câu 5: Cho đường tròn  hai đường kính vng góc AB, CD Trên bán kính AO lấy đoạn AI  AO O , vẽ tia CI cắt   E Tính R theo CE R 10 A) 3R 10 B) 3R 10 C) 15R 11 D) A Chọn đáp án C C R I B O Giải thích: Ta có AI  AO R 2R R   OI R   3 3 E D OCI vuông O , ta có: R 10  R CI  OC  OI  R      3 2 CED nội tiếp đường tròn O có cạnh CD đường kính  CED vng E  Hai tam giác vng OCI CED có C : chung  COI #CED   CO CI CO.CD   CE  CE CD CI R.2 R R 3R 10   10 10 R O Câu 6: Cho ABC cân A nội tiếp đường tròn   Gọi E , F theo thứ tự hình chiếu 12  O  lên AB AC Khẳng định sau  B) AO tia phân giác BAC A) OE OF D) Cả A, B, C C) AEF cân A Chọn đáp án B A Giải thích: 12 Ta có: ABC cân A  AB  AC  OE OF O +) OA : cạnh chung +) OE OF : Chứng minh   A  A    AOE AOF  AE  AF F E Xét hai tam giác vng AOE AOF , có: B  1  2  AO Từ     phân giác  BAC  AEF Từ   cân A 13 C