LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHỦ ĐỀ 8: GÓC Ở TÂM - SỐ ĐO CUNG LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY A/ LÝ THUYẾT 1/ Góc tâm góc có đỉnh tâm đường trịn Góc cắt đường trịn A B cung nhỏ AB cung bị chắn góc tâm AOB 2/ Số đo cung: + Số đocủa cung nhỏ bị chắn số đo góc tâm chắn cung + Số đo cung lớn hiệu 360o số đo cung nhỏ + Số đo nửa đường tròn 180o + Chú ý: - Cung nhỏ có số đo nhỏ 180o - Cung lớn có số đo lớn 180o 3/ So sánh cung: + Cung lớn có số đo lớn ngược lại + Cung có góc tâm lớn lớn ngược lại + Sđ CB = Sđ AC 4/ Nếu C điểm nằm cung AB thì: Sđ AB 5/ Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: - Hai cung căng hai dây - Hai dây căng hai cung 6/ Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: - Cung lớn căng dây lớn - Dây lớn căng cung lớn B/ BÀI TẬP MẪU Bài 1: Cho đường trịn (O, R) điểm M nằm ngồi đường trịn Gọi MA, MB hai tiếp tuyến với đường trịn A B Tính số đo góc tâm tạo hai bán kính OA OB nếu: a) ∠AMB = 70o b) MA = R c) MO = 2R Hướng dẫn Vì MA MB tiếp tuyến đường tròn (O) A B nên: MA ⊥ OA, MB ⊥ O B => ∠MAO = ∠MBO = 90o LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà a) Xét tứ giác MAOB có: ∠AMB + ∠AOB + ∠MAO + ∠MBO = 360o ⇔ ∠AOB = 360o - (∠AMB + ∠MAO + ∠MBO) = 360o - (70o+ 90o + 90o) = 110o Vậy số đo góc tâm tạo hai bán kính OA, OB 110o b) Nếu MA = R Xét ΔMAO có: MA = AO = R MAO có: MA = AO = R ∠MAO = 90o => ΔMAO có: MA = AO = R MAO vuông cân A => MOA = 45o Vậy ∠AOB = 2.∠MOA = 90o c) Nếu MO = 2R Xét ΔMAO có: MA = AO = R MAO vng A có: MO = 2.AO => ∠AMO = 30o => ∠AOM = 60o Vậy: ∠AOB = 2.∠AOM = 120o Bài 2: Cho đường tròn (O; R) dây AB không qua O Trên dây AB lấy điểm M, N cho AM = MN = NB Tia OM, ON cắt (O) C D So sánh cung AC, CD, DB Hướng dẫn Xét ΔMAO có: MA = AO = R AOM ΔMAO có: MA = AO = R BON có: OA = OB = R ∠OAM = ∠OBN (do ΔMAO có: MA = AO = R OAB cân O) AM = BN (gt) => ΔMAO có: MA = AO = R AOM = ΔMAO có: MA = AO = R BON (c – g - c) => ∠AOM = ∠BON (hai góc tương ứng) BD => AC Gọi I trung điểm OB Suy NI đường trung bình ΔMAO có: MA = AO = R OBM => NI // OM => ∠MON = ∠ONI (so le trong) (1) Mặt khác ta có: OB = OC = R, mà M ∈ OC => OM < OB hay NI < OI Xét ΔMAO có: MA = AO = R ONI có NI < OI nên: ∠NOI < ∠ONI (2) BD Từ (1) (2) suy ∠NOI < ∠MON => CD Bài 3: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Kẻ dây AM đường tròn (O) dây BN đường tròn (O’) cho AM // BN Chứng minh AM BN Hướng dẫn Vì AM // BN (gt) LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC => ∠MAB = ∠ABN (so le trong) Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà (1) Mặt khác: OA = OB = O'A = O'B => Tứ giác OAO’B hình thoi => ∠OAB = ∠ABO' (2) Từ (1) (2) suy ra: ∠MAO = ∠NBO' Ta có: ΔMAO có: MA = AO = R MOA cân O ΔMAO có: MA = AO = R NO'B cân O' có góc đáy => ∠MOA = ∠NO'B Do đó: ΔMAO có: MA = AO = R MOA = ΔMAO có: MA = AO = R NO'B (c.g.c) => AM = BN Mặt khác hai đường tròn (O) (O’) nên => AM BN Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt hai điểm A B (R < R') Kẻ đường kính BOC BO’D a) Chứng minh rằng: Ba điểm C, A, D thẳng hàng b) So sánh số đo hai cung nhỏ AC AD Hướng dẫn a) Vì ΔMAO có: MA = AO = R ABC nội tiếp đường trịn đường kính BC nên ΔMAO có: MA = AO = R ABC vng A hay ∠BAC = 90o Tương tự ta có: ∠BAD = 90o => ∠CAD = ∠BAD + ∠BAC = 180o => điểm C, A, D thẳng hàng 180o sđAB b) Xét đường trịn (O) có: sđAC 180o sđAB Xét đường tròn (O’) có: sđAD sđAD => sđAC Bài 5: Cho đường trịn (O) đường kính AB Điểm C thuộc đường tròn (O) cho SđBC = 30o, điểm M thuộc cung AC nhỏ Gọi D E điểm đối xứng với M qua AB OC Chứng minh rằng: ΔMAO có: MA = AO = R DOE Hướng dẫn = 30o => ∠BOC = 30o Vì sđ BC Gọi I giao điểm MD AB, J giao điểm ME OC Theo giả thiết: M D đối xứng với qua AB, mà M thuộc đường tròn (O) nên D thuộc đường tròn (O) Tương tự E thuộc đường trịn (O) Tứ giác MIOJ có ∠I = ∠J = 90o => ∠IMJ + ∠IOJ = 180o => ∠IMJ = 180o - ∠IOJ = ∠BOC = 30o Ta có ΔMAO có: MA = AO = R MOD ΔMAO có: MA = AO = R MOE cân O nên: ∠MOD = 180o - 2∠DMO ∠MOE = 180o - 2∠EMO => ∠MOD + ∠MOE = 360o - 2(∠DMO + ∠EMO) LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà ⇔ 360o - ∠DOE = 360o - ∠IMJ ⇔ ∠DOE = 2∠IMJ = 60o Vậy ΔMAO có: MA = AO = R DOE Bài 6: Cho điểm M chuyển động nửa đường trịn (O) đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax By với đường tròn (O) Tiếp tuyến M với (O) cắt Ax C cắt By D; đường thẳng CO OD cắt (O) E F a) Tính sđ EF b) Tìm tập hợp tâm I đường tròn ngoại tiếp Hướng dẫn a) Vì CA BM hai tiếp tuyến với (O) nên OC tia phân giác ∠AOM Tương tự ta có OD tia phân giác ∠BOM Mà ∠AOM ∠BOM hai góc kề bù => OC ⊥ OD = 90o Vậy ta có ∠COD = 90o hay sđ EF b) Vì ΔMAO có: MA = AO = R COD vng O nên tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔMAO có: MA = AO = R COD trung điểm CD Dễ thấy tứ giác ABCD hình thang có OI đường trung bình nên OI// AC => OI ⊥ AB Vậy I chuyển động đường thẳng d vng góc với AB O Bài 7: Cho AB dây cung đường tròn (O), I trung điểm AB Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý Gọi giao điểm OI MI với (O) C N So sánh MCN ACB Hướng dẫn Kẻ OH ⊥ MN Ta có: ΔMAO có: MA = AO = R OHI vuông H nên OH < OI Mà OH, OI khoảng cách từ O đến hai dây MN AB => AB < MN Do sđ MCN > sđ ACB B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG BT1: Cho (O; 5cm) điểm M cho OM=10cm Vẽ hai tiếp tuyến MA MB Tính góc tâm hai tia OA OB tạo BT2: Cho tam giác ABC, vẽ nửa đường trịn đường kính BC cắt AB D AC E So sánh cung BD; DE EC BT3: Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) với R > r Điểm M (O; R) Qua M vẽ hai tiếp tuyến với (O; r), cắt (O; R) A B (A nằm M B); cắt (O; R) C D (C nằm D M) C/m: hai cung AB CD BT4: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A, B Dây AC đường tròn (O) vng góc với AO’; dây AD đường trịn (O’) vng góc với AO So sánh góc AOC , AO'D BT5: Trên đường tròn (O) có cung AB 140o Gọi A’ B’ đối xứng A, B qua O; lấy cung AD nhận nhận A’ làm điểm Tính số đo cung nhỏ B’ làm điểm giữa; lấy cung CB CD LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà BT6: Cho hai đường tròn (O) , (O’) cắt A, B Kẻ đường kính AOC AO’D Gọi E giao điểm thứ hai đường thẳng AC với (O’) , a) So sánh cung nhỏ CB BD b) Chứng minh B điểm cung EBD BT7: a) Cho đường trịn (O, R) với hai điểm A, B Tìm quỹ tích trung điểm dây đường trịn có độ dài dây AB b) Cho đường tròn (O, R) với hai tiếp tuyến AB, AC Một tiếp tuyến di động đường tròn (O) cắt đoạn thẳng AB, AC điểm tương ứng P, Q Gọi P’, Q’ theo thứ tự giao điểm đoạn thẳng OP, OQ với đường tròn (O) Chứng minh cung nhỏ P'Q' có số đo khơng đổi Tìm quỹ tích trung điểm I P’Q’ Vẽ dây MC cắt dây AB D Vẽ đường vng BT8: Cho đường trịn (O), dây AB Gọi M điểm cung AB góc với AB D, cắt OC K KCD tam giác ? BT9: Cho M, N, P, Q bốn điểm tùy ý đường tròn (O) Các tiếp tuyến (O) bốn điểm cắt tạo thành tứ giác ABCD Tính số đo tổng góc AOB + COD ? BT10: Cho đường tròn (O), dây AB Trên dây AB lấy D nối D với C đường trịn (C khác A, B; A, O, C khơng thẳng hàng) Các đường trung trực AD DC cắt M CMR: đường thẳng MO qua điểm cung AC BT11: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, lấy điểm S cho SA SB cắt nửa đường tròn M N Gọi H giao điểm AN BM Chứng minh: a) Tứ giác SMHN nội tiếp đường tròn b) SH vng góc với AB BÀI TẬP VỀ NHÀ BT1: Cho hai đường tròn đồng tâm (O;R) (O;2R) P điểm ngồi (O;2R) Vẽ đường trịn (P;PO) cắt đường tròn (O;2R) C D, cắt đường tròn (O;R) E F OC OD cắt (O;R) A B CMR: a) CD // EF b) PA PB hai tiếp tuyến (O;R) BT2: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB =5 cm đường chéo AC=8 cm Đường trịn tâm A bán kính R=5 cm tiếp xúc với đường tròn tâm C M thuộc đoạn AC Đường tròn cắt CB E cắt CD F Tính tỉ số độ dài cung BD cung EF BT3: Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A, B tiếp điểm) Cho biết góc AMB 40 a) Tính góc AOB b) Từ O kẽ đường thẳng vng góc với OA cắt MB N.Chứng minh tam giác OMN tam giác cân BT4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẽ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường trịn AB Từ điểm M nửa đường tròn kẽ tiếp tuyến thứ ba với đường trịn, cắt Ax By C D a) Chứng minh: Tam giác COD tam giác vuông b) Chứng minh: MC.MD=OM2 LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà c) Cho biết OC=BA=2R, tính AC BD theo R = 1020 Tính số đo góc A D = 650 ; C BT5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Biết B BT6: Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đường thẳng AB ta lấy điểm M cho điểm B nằm hai điểm A M Kẻ hai tiếp tuyến MN MP với đường tròn (N, P hai tiếp điểm ) a) Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp b) Gọi H giao điểm NP AB Chứng minh NP AB c) Chứng minh OH MH = AH BH