Chương GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN Bài GĨC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM GĨC Ở TÂM Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn AOB góc tâm, AmB cung bị chắn AOB SỐ ĐO CUNG Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung sđAmB = sđAOB ° Số đo cung lớn hiệu 360 số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) sñAnB = 360° - sñAmB ° Số đo nửa đường tròn 180 SỐ ĐO CUNG Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung đó: sđAmB = sđAOB ° Số đo cung lớn hiệu 360 số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) ° sñAnB = 360 - sñAmB ° Số đo nửa đường tròn 180 SO SÁNH HAI CUNG Ta so sánh hai cung môt đường tròn hay hai đường Khi đó: Hai cung gọi chúng có số đo = sđCD Þ AB = CD sñAB Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn > sđCD Þ AB > CD sñAB KHI NÀO THÌ sđAB + sđAC = sđCB Nếu C điểm nằm cung AB sñAB = sñAC + sñCB B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tìm số đo góc tâm – Số đo cung bị chắn Để tính số góc tâm, số đo cung bị chắn, ta sử dụng kiến thức sau: Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Số đo cung lớn hiệu số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn) Số đo nửa đường tròn Cung đường tròn có số đo Sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn để tính góc Sử dụng quan hệ đường kính dây cung Ví dụ Kim kim phút đồng hồ tạo thành góc tâm có số đo độ vào thời điểm sau a) b) c) d) 22 Lời giải ° Ta xem mặt đồng hồ hình trịn nên cung đường trịn có số đo 360 ° ° a) Khi kim phút kim thời điểm góc tâm có số đo 360 ¸ 12´ = 90 ° ° b) Khi kim phút kim thời điểm góc tâm có số đo 360 ¸ 12´ = 150 ° ° c) Khi kim phút kim thời điểm góc tâm có số đo 360 ¸ 12´ = 180 d) Khi kim phút kim thời điểm 22 hay 10 đêm góc tâm có số đo 360° ¸ 12´ 10 = 300° Ví dụ Một đồng hồ chạy chậm 20 phút Hỏi để chỉnh lại phải quay kim phút góc ° ĐS: 10 tâm bao nhiều độ? Lời giải Đổi: 20 phút = Để chỉnh lại cho ta cần quay góc tâm 30° ´ = 10° Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi O tâm đường tròn qua ba đỉnh A, B,C Tính số đo góc ° tâm AOB ĐS: 120 Lời giải Tâm O giao điểm ba đường trung trực D ABC ° Ta có: OAB = OAC = BAC ¸ = 30 OBA = OBC = CBA ¸ = 30° Xét D ABC cân O , ta thấy AOB = 180° - (OAB + OBA ) = 180° - (30° + 30°) = 120° ° Vậy số đo góc tâm AOB 120 Ví dụ Hai tiếp tuyến A B đường tròn (O;R ) cắt điểm M Cho biết OM = 2R Tính số đo a) Góc tâm AOB ; b) Mỗi cung AB (cung lớn cung nhỏ) ° ĐS: AOB = 120 ° ° ĐS: sđ AB 120 ;240 Lời giải OA R cosAOM = = = Þ AOM = 60° OM R a) Ta có: ° Vậy AOB = AOM ×2 = 120 ° ° b) Vì AOB = 120 nên sđ AB nhỏ 120 sđ AB lớn ° ° ° 360 - 120 = 240 ° ° Ví dụ Trên đường trịn tâm O lấy ba điểm A, B,C cho AOB = 130 , sđ AC = 60 Tính số đo cung BC (cung lớn cung nhỏ) trường hợp a) C nằm cung nhỏ AB ; ° ĐS: 290 b) C nằm cung lớn AB ° ° ĐS: 170 ,190 Lời giải ° a) Vì sđ AC = AOC nên AOC = 60 Mà AOB = AOC + BOC (vì C nằm cung nhỏ AB ) BOC = AOB - AOC Þ BOC = 130° - 60° = 70° ° ° ° ° Vậy cung nhỏ BC 70 cung lớn BC 360 - 70 = 290 ° b) Vì sđ AC = AOC nên AOC = 60 Mà BOC = AOC + BOA (vì C nằm cung lớn AB ) ° ° ° BOC = 60 + 130 = 190 ° ° ° ° Vậy cung nhỏ BC 360 - 190 = 170 , cung lớn BC 190 C BÀI TẬP VẬN DỤNG ° Bài Trên đường tròn (O) , lấy hai điểm A B cho AOB = 90 Tính số đo cung AB ° ĐS: 270 Lời giải ° ° Vì AOB = 90 nên số đo cung nhỏ AB 90 số đo cung ° ° ° lớn AB 360 - 90 = 270 Bài Cho đường tròn (O;R ) có dây AB = R Tính số đo a) Góc tâm AOB ; ° ĐS: 60 ° ĐS: 300 b) Cung lớn AB Lời giải a) Vì AB = R nên D OAB hay AOB = OAB = ABO = 60° ° b) Do AOB = 60 nên số đo cung lớn AB 360° - 60° = 300° Bài Cho đường trịn (O;R ) có đường kính AB Gọi C điểm cung AB Vẽ dây CD có độ dài R Tính số đo góc tâm BOD trường hợp a) D nằm cung CB ; ° ĐS: 30 b) D nằm cung CA ° ĐS: 150 Lời giải a) Vì AB đường kính (O;R ) C nằm cung AB nên AOC = BOC = AOB ¸ = 90° Mặt khác, OC = OD = CR = R nên D OCD tam giác hay COD = 60° ° Ta có BOC = COD + BOD Þ BOD = BOC - COD = 30 b) Trường hợp D ¢nằm cung CA ta thực tương tự câu a) ° Ta có BOD ¢= BOC +COD ¢= 150 Bài Trên đường trịn (O) , lấy hai điểm A B phân biệt Kẻ đường kính AOC BOD Chứng minh AD = BC Lời giải Vì AC , BD cắt O nên AOD = BOC ( hai góc đối đỉnh) Mà sđ AD = AOD sđ BC = BOC sđ AD = sđ BC Vậy AD = BC (đpcm) ° Bài Trên đường trịn, có cung AB 150 , cung AD nhận B làm điểm giữa, cung CB nhận A làm điểm Tính số đo cung CD Lời giải ° ° Vì sđ AB = 150 nên AOB = 150 Mà B, A điểm cung AD CB nên BOD = COA = AOB = 150° ° ° ° Số đo cung lớn AB 360 - 150 = 210 Ta có ° ° ĐS: 90 ,270 AOB = AOD + BOD Þ AOD = AOB - BOD = 60° ° Và AOC = AOD + DOC Þ DOC = AOC - AOD = 90 ° ° ° ° Vậy số đo cung nhỏ AB 90 số đo cung lớn AB 360 - 90 = 270 D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài a) Từ đến kim quay góc tâm nhiêu độ? b) Cũng hỏi từ đến giờ? ° ĐS: 900 ° ĐS: 60 Lời giải ° a) Khi kim đồng hồ đến mốc góc tâm có số đo 60 , đến mốc góc tâm có ° ° ° ° số đo 150 Do đó, từ đến kim quay góc tâm 150 - 60 = 90 ° b) Khi kim đồng hồ đến mốc góc tâm có số đo 210 , đến mốc góc tâm ° có số đo 270 Do đó, từ đến kim quay góc tâm 270° - 210° = 60° Bài Chênh lệch múi Việt Nam Nhật Bản Hỏi để chỉnh đồng hồ Việt Nam theo Nhật Bản kim phải quay góc tâm độ? ° ĐS: 60 Lời giải Vì chênh lệch múi Việt Nam Nhật Bản nên để chỉnh đồng hồ Việt Nam ° ° theo Nhật Bản kim phải quay góc tâm 60 ´ = 120 ° Bài Cho hai đường thẳng xy zt cắt O , góc tạo thành có góc 80 Vẽ ° ° đường trịn tâm O Tính số đo góc tâm xác định hai bốn tia gốc O ĐS: 80 ;100 Lời giải ° Theo đề ta có, xOz = 80 Vì xOz, zOy hai góc kề bù nên xOz + zOy = xOy ° ° ° ° ° Ta 80 + zOy = 180 Þ zOy = 180 - 80 Þ zOy = 100 Bài Hai tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt ° điểm A Cho biết BAC = 60 Tính số đo a) Góc tâm BOC ; ° ĐS: BOC = 120 ° ° ĐS: sđ AB 120 ;240 b) Mỗi cung BC (cung lớn cung nhỏ) Lời giải ° a) Ta có: BAC + ACO + ABO + BOC = 360 (Tổng góc tứ giác) ° Do BOC = 360 - (BAC + ACO + ABO ) = 360° - (BAC + ACO + ABO ) (Vì ACO = ABO = 90°) = 360° - (60° + 90° ×2) = 120° ° ° ° ° ° Vì BOC = 120 nên sđ BC nhỏ 120 sđ BC lớn 360 - 120 = 240 ° Bài 10 Trên đường tròn (O) , lấy hai điểm A B cho AOB = 120 Gọi C điểm cung nhỏ AB Tính số đo cung nhỏ BC cung lớn BC Lời giải Vì C điểm cung nhỏ AB nên sđ AB = sđ AC +sđCB = 2×sđCB Ta có AOB = AOC + COB =2ìCOB ị COB = AOB ¸ = 120° ¸ = 60° ° Vậy số đo cung nhỏ BC 60 số đo cung lớn BC 360° - 60° = 300° - HẾT - ° ĐS: 300