Bài 7 giải bài toán bằng cách lập phương trình

BÀI 7: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững bước giải tốn cách lập phương trình + Nắm vững kiến thức liên quan đến dạng toán: Quan hệ số; toán chuyển động; toán suất, tốn cơng việc chung riêng, tốn hình học,…  Kĩ + Gọi ẩn xác biểu diễn đại lượng toán theo ẩn số cho đại lượng biết + Lập luận logic, xác, chặt chẽ lập phương trình + Giải dạng toán bản: Quan hệ số; tốn chuyển động; tốn suất, tốn cơng việc chung riêng, tốn hình học,… cách lập phương trình Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Các bước giải tốn cách lập phương trình Bước Lập phương trình: Lưu ý đặt điều kiện cho ẩn: Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn + Ẩn x vận tốc, thời gian, độ dài, suất: x  + Ẩn x người, vật, sản phẩm: x nguyên dương + Ẩn x chữ số hàng đơn vị:  x 9, x   Ẩn x chữ số hàng lớn số:  x 9, x    Biểu diễn đại lượng chưa biết thông qua ẩn đại lượng biết  Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước Giải phương trình Bước Đối chiếu nghiệm phương trình với điều kiện ẩn số kết luận tốn HỆ THỐNG HĨA KIẾN THỨC Giải tốn cách lập phương trình Phương pháp giải + Lập phương trình:  Gọi ẩn đặt điều kiện cho ẩn  Biểu diễn đại lượng  Lập phương trình + Giải phương trình + Kết luận: So sánh nghiệm với điều kiện trả lời toán Dạng toán + Quan hệ số + Chuyển động + Năng suất + Công việc chung riêng + Hình học II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Toán quan hệ số Phương pháp giải Thực đầy đủ bước giải tốn cách lập phương trình Sử dụng mối quan hệ số để ta biểu diễn đại lượng: Trang + Biểu diễn số có hai chữ số: ab 10a  b   a 9;0 b 9; a, b   + Biểu diễn số có ba chữ số: abc 100a  10b  c với  a 9;0 b, c 9; a, b, c   + Tổng hai số x; y x  y + Tổng bình phương hai số x; y là: x  y + Bình phương tổng hai số x; y là:  x  y  + Tổng nghịch đảo hai số x; y là: 1  x y + Hai số tự nhiên liên tiếp có dạng n n  + Phân số có dạng a , b 0 b Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương 145 Hướng dẫn giải Gọi số bé x  x   Số tự nhiên kề sau x  Vì tổng bình phương 145 nên ta có phương trình: x   x  1 145  x  x  x  145  x  x  144 0  x  x  72 0   289 Vì  1  4.1   72  289  nên phương trình có hai nghiệm x1  8 (thỏa mãn); x2   1 289  (loại) Vậy hai số phải tìm Ví dụ Tìm số tự nhiên có hai chữ số Biết tổng hai chữ số chúng 10 tích hai chữ số nhỏ số cho 12 Hướng dẫn giải Gọi chữ số hàng chục số cho x, điều kiện: x  * , x 9 Chữ số hàng đơn vị 10  x Giá trị số cho 10 x  10  x 9 x  10 Theo ra, ta có phương trình: x  10  x  9 x  10  12  x  x  0  x 2 (thỏa mãn) x  (khơng thỏa mãn) Ta có chữ số hàng chục 2, chữ số hàng đơn vị Vậy số cần tìm 28 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Trang Câu 1: Cho số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số chúng 12 Tích hai chữ số nhỏ số cho 16 Tìm số cho Câu 2: Tích hai số tự nhiên liên tiếp lớn tổng chúng 109 Tìm hai số Câu 3: Tìm hai số tự nhiên biết số thứ lớn số thứ hai đơn vị tổng bình phương chúng 125 Câu 4: Một phân số có tử số bé mẫu số Nếu bớt tử số đơn vị bớt mẫu số đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Dạng Tốn chuyển động Bài tốn 1: Chuyển động Phương pháp giải Sử dụng công thức: Quãng đường = Vận tốc  thời gian Ví dụ:  Quãng đường xe máy sau với vận tốc x (km/h) 2x (km)  Vận tốc xe máy đạt chuyển động quãng s v t s s Ta có: v  ; t  t v đường 30 km thời gian t 30 (km/h) t Thời gian An từ nhà đến trường (2 km) vận tốc x  (km/h) (giờ) x Ví dụ mẫu Ví dụ Một người tơ từ A đến B cách 90 km Khi từ B trở A, người tăng tốc độ thêm km/h so với tốc độ lúc đi, thời gian thời gian 15 phút Tính vận tốc tơ từ A đến B? Hướng dẫn giải Gọi vận tốc ô tô từ A đến B x (km/h) Điều kiện: x  Vận tốc ô tô từ B đến A x  (km/h) Thời gian ô tô từ A đến B 90 (giờ) x Thời gian ô tô từ B đến A 90 (giờ) x 5 Vì thời gian thời gian 15 phút  nên ta có phương trình: 90  x  5  90 x 90 90 450        x  5x 1800  x  x  1800 0 x x 5 x  x  5 x  x  5 Phương trình có hai nghiệm x1 40 (thỏa mãn) x2  45 (không thỏa mãn) Vậy vận tốc ô tô từ A đến B 40 km/h Câu 2: Một ô tô quãng đường dài 520 km Khi 240 km tơ tăng vận tốc thêm 10 km/h hết quãng đường lại Tính vận tốc ban đầu tơ biết thời gian hết quãng đường Hướng dẫn giải Trang Gọi vận tốc ban đầu ô tô x (km/h) Điều kiện: x  Vận tốc lúc sau ô tô x  10 (km/h) Thời gian ô tô hết quãng đường đầu 240 (giờ) x Thời gian ô tô hết quãng đường sau 280 (giờ) x  10 Vì thời gian tơ hết qng đường nên ta có phương trình: 240 280  8  x  55 x  300 0 x x  10 Phương trình có hai nghiệm x1 60 (thỏa mãn) x2  (không thỏa mãn) Vậy vận tốc ban đầu ô tô 60 km/h Bài toán Chuyển động dịng nước Phương pháp giải Vận tốc xi dịng = vận tốc riêng ca nô + vận tốc dòng nước (viết tắt vx vr  ) Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng ca nơ – vận tốc dịng nước (viết tắt vng vr  , ý vr  ) Quãng đường = vận tốc  thời gian; Sx vx t x ; Sng vng tng Ví dụ mẫu Ví dụ Một ca nơ xi dịng từ A đến B cách 40 km sau ngược dịng từ B A Cho biết thời gian xuôi dịng thời gian ngược dịng 20 phút, vận tốc dòng nước km/h vận tốc riêng ca nơ khơng đổi Tính vận tốc riêng ca nô Hướng dẫn giải Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h) Điều kiện x  Vận tốc ca nơ xi dịng x  (km/h) Vận tốc ca nô ngược dòng x  (km/h) Thời gian ca nơ xi dịng 40 (giờ) x 3 Thời gian ca nơ ngược dịng 40 (giờ) x Vì thời gian ca nơ xi dịng thời gian ngược dòng 20 phút  giờ, nên ta có phương trình: 40 40 240      x  720  x 729  x 27  x  3 x  x 3  x  3  x  3 Vậy vận tốc riêng ca nô 27 (km/h) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Quãng đường từ A đến B dài 90 km Một người xe máy từ A đến B, người nghỉ 30 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc (km/h) Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở A Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B Trang Câu 2: Một ô tô dự định quãng đường A đến B dài 120 km thời gian định Khi nửa quãng đường xe dừng lại phút để đến B hẹn nửa qng đường sau tơ phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc dự định ô tô Câu 3: Một người xe đạp từ A đến B cách 30 km với vận tốc xác định Khi từ B trở A người có chút việc riêng nên theo đường khác dài đường cũ km vận tốc lớn lúc đầu km/h Tính vận tốc lúc xe đạp, biết thời gian thời gian 20 phút Câu 4: Quãng đường AB dài 150 km, hai ô tô khởi hành lúc từ A để đến B Vận tốc xe thứ lớn vận tốc xe thứ hai 10 km/h nên xe thứ đến sớm xe thứ hai 30 phút Tính vận tốc xe Câu 5: Khoảng cách hai bến sông A B 48 km Một ca nô từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước km/h Câu 6: Lúc 30 phút sáng, ca nơ xi dịng từ A đến B dài 48 km Khi đến B, ca nô nghỉ 30 phút sau lại ngược dịng từ B đến A lúc 10 36 phút ngày Tìm vận tốc riêng ca nơ, biết vận tốc dòng nước km/h Bài tập nâng cao Câu 7: Cho quãng đường AB dài 90 km Lúc xe máy từ A để đến B Lúc 30 phút ngày, ô tô từ A để tới B với vận tốc lớn vận tốc xe máy 15 km/h (hai xe chạy đường cho) Hai xe nói đến B lúc Tính vận tốc xe Câu 8: Một ca nơ xi dịng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km; lúc đó, từ A B bè nứa trơi với vận tốc dịng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc riêng ca nơ? Câu 9: Một ca nơ xi dịng 45 km ngược dịng 18 km Biết vận tốc xi dịng lớn vận tốc ngược dòng km/h Thời gian xuôi nhiều thời gian ngược Tính vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng ca nô biết vận tốc ca nô ngược dịng lớn 10 km/h? Dạng 3: Tốn suất lao động Phương pháp giải Năng suất khối lượng cơng việc làm Ví dụ đơn vị thời gian Một công nhân cần phải làm 300 sản phẩm  Tổng lượng công việc = Năng suất  thời gian 20 ngày  Năng suất = Tổng lượng công việc: Thời gian Tổng khối lượng công việc: 300 sản phẩm  Thời gian = Tổng lượng công việc: Năng suất Thời gian: 20 ngày Năng suất: Số sản phẩm mà công nhân cần làm ngày 300 : 20 15 (sản phẩm) Ví dụ mẫu Ví dụ Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm số ngày dự kiến Trong thực tế, cải tiến kĩ thuật nên ngày xí nghiệp làm vượt mức sản phẩm, khơng họ làm 80 sản phẩm mà cịn hồn thành sớm kế hoạch ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày xí nghiệp sản xuất sản phẩm? Hướng dẫn giải Trang Gọi số sản phẩm mà xí nghiệp phải làm ngày theo kế hoạch x (sản phẩm) Điều kiện x  * ; x  75 Số sản phẩm ngày xí nghiệp làm thực tế x  (sản phẩm) Số ngày xí nghiệp cần làm theo dự kiến Số ngày xí nghiệp làm thực tế 75 (ngày) x 80 (ngày) x 5 Vì xí nghiệp hồn thành sớm dự kiến ngày nên ta có phương trình: 75 80 375  x  1  1  375  5x  x  x  x  10 x  375 0 x x 5 x  x  5 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 15 (thỏa mãn) x  25 (loại) Vậy theo kế hoạch ngày xí nghiệp cần làm 15 sản phẩm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một phân xưởng theo kế hoạch cần sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hồn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch ngày phân xưởng cần sản xuất sản phẩm Câu 2: Để chở hết 240 hàng ủng hộ đồng bào miền núi, đội xe dự định dùng số xe loại Lúc khởi hành, họ bổ sung thêm xe loại đội, nhờ so với dự định ban đầu xe phải chở Hỏi lúc đầu đội có xe, khối lượng xe phải chở Câu 3: Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm thời gian quy định với suất Sau làm 400 sản phẩm, tổ tăng suất thêm ngày 10 sản phẩm, hồn thành cơng việc sớm ngày Tính số sản phẩm làm ngày theo quy định Câu 4: Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” đội tàu dự định chở 280 hàng đảo Nhưng chuẩn bị khởi hành số hàng hóa tăng thêm so với dự định Vì đội tàu phải bổ sung thêm tàu tàu chở dự định hàng Hỏi dự định đội tàu có tàu, biết tàu chở số hàng Câu 5: Một người thợ làm 120 sản phẩm thời gian suất dự định Khi làm 50 sản phẩm, người thợ nhận thấy làm với suất thấp suất dự định sản phẩm ngày Do đó, để hồn thành thời gian định, người thợ tăng suất thêm sản phẩm ngày so với dự định Tính suất dự định người thợ Dạng 4: Tốn cơng việc làm chung, riêng Ta ý rằng: Ví dụ Hai người làm cơng việc 12 + Thường coi khối lượng công việc đơn vị xong Trong hai người làm (công công việc 12 + Nếu đội làm xong công việc x việc) (ngày) ngày đội làm (cơng việc) x Số phần công việc mà người làm số người hồn thành công việc hai đại lượng tỉ lệ nghịch với + Nếu vịi chảy riêng đầy bể Nếu người thứ làm xong công việc x x (giờ) vịi chảy người làm (cơng việc) x Trang Người thứ hai làm xong cơng việc y (bể) x + Năng suất + Năng suất = Tổng suất người làm (công việc) y Trong giờ, hai người làm 1  (công việc) x y Ví dụ mẫu Ví dụ Hai cơng nhân làm chung cơng việc xong cơng việc Nếu người làm mình, để hồn thành cơng việc người thứ cần làm nhiều người thứ hai 12 Hỏi làm người phải làm để xong cơng việc đó? Hướng dẫn giải Gọi thời gian người thứ làm xong công việc x (giờ) Điều kiện: x  12 Người thứ hai làm xong cơng việc x  12 (giờ) Trong giờ, người thứ làm (công việc) x  12 Trong giờ, người thứ hai làm Trong giờ, hai người làm (công việc) x cơng việc, nên ta có phương trình: 1 x  12      x  12 x 16 x  96  x  28 x  96 0 x x  12 x  x  12  Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 24 (thỏa mãn), x2 4 (loại) Vậy người thứ làm 24 xong cơng việc Một người thứ hai làm 12 xong cơng việc Ví dụ Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước sau 40 phút đầy bể Nếu để chảy thời gian vịi thứ chảy đầy bể nhanh vịi thứ hai Tính thời gian vịi chảy đầy bể Hướng dẫn giải Đổi 40 phút  20 Gọi thời gian vịi thứ chảy đầy bể x (giờ) Điều kiện: x  20 Thời gian vịi thứ hai chảy đầy bể x  (giờ) Một vòi thứ chảy (bể) x Một vòi thứ hai chảy (bể) x 3 Một hai vòi chảy : 20  (bể) 20 Trang Ta có phương trình: 1 2x  3      x  x 40 x  60  x  31x  60 0 x x  20 x  x  3 20 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 12 (thỏa mãn) x2  (loại) Vậy thời gian vòi thứ chảy riêng đầy bể 12 (giờ) thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể 15 (giờ) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Nếu hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước bể đầy sau 24 phút Nếu vịi chảy riêng vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể Câu 2: Hai vòi nước chảy vào bể cạn sau 12 phút đầy bể Nếu để vịi chảy riêng mà đầy bể tổng thời gian 30 Hãy tính thời gian vịi chảy đầy bể Câu 3: Lớp 9A lớp 9B lao động tổng vệ sinh sân trường sau hồn thành xong cơng việc Nếu làm riêng lớp 9A nhiều thời gian lớp 9B hoàn thành xong công việc Hỏi làm riêng, lớp cần thời gian để hồn thành cơng việc Câu 4: Hai người thợ làm chung công việc 48 phút xong Nếu họ làm riêng người thứ hồn thành cơng việc nhanh người thứ hai Hỏi làm riêng người cần để xong cơng việc Dạng 5: Tốn có nội dung hình học Phương pháp giải Ta cần ghi nhớ công thức chu vi, diện tích hình vng, hình chữ nhật, hình tam giác,… + Với hình chữ nhật:   Diện tích = Chiều dài  chiều rộng Chu vi = (Chiều dài + Chiều rộng)  + Với hình tam giác: Cạnh đáy Chiều cao  Diện tích =  Chu vi = Tổng cạnh  Độ dài cạnh huyền: c a2  b2 (c độ dài cạnh huyền; a, b độ dài cạnh góc vng) Ví dụ mẫu Ví dụ Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng m diện tích 180 m Tìm chiều dài, chiều rộng khu vườn Hướng dẫn giải Gọi chiều rộng khu vườn x (m) Điều kiện: x  Chiều dài khu vườn x  (m) Do diện tích khu vườn 180 m nên ta có phương trình: x  x  3 180 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 12 (thỏa mãn), x2  15 (loại) Vậy chiều rộng khu vườn 12 m, chiều dài khu vườn 15 m Bài tập tự luyện dạng Trang Câu 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 34 mét đường chéo 13 mét Tính chiều dài, chiều rộng mảnh đất theo đơn vị mét Câu 2: Một tam giác có chiều cao cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm dm cạnh đáy giảm dm diện tích tăng thêm 12 dm Tính chiều cao cạnh đáy tam giác Câu 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật trước có chu vi 136 m Nay người ta mở rộng chiều dài thêm m, chiều rộng thêm m, diện tích mảnh vườn tăng thêm 255 m Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn lúc đầu Câu 4: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 720 m Nếu tăng chiều dài thêm 10 m giảm chiều rộng m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Dạng Các dạng khác Ví dụ mẫu Ví dụ Một phịng họp có 90 người họp xếp ngồi dãy ghế Nếu ta bớt dãy ghế dãy ghế lại phải xếp thêm người đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy ghế xếp người? Hướng dẫn giải Gọi số dãy ghế lúc đầu x (dãy) Điều kiện: x   ; x  Số người dãy ghế 90 (người) x Số dãy ghế sau bớt dãy x  (dãy) Số người dãy sau bớt Theo ta có phương trình: 90 (người) x 90 90 450  3  3  x  5x  150 0 x x x  x  5 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 15 (thỏa mãn), x2  10 (loại) Vậy lúc đầu phịng họp có 15 dãy ghế dãy có người Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một phịng họp có 300 ghế ngồi phải xếp cho 357 người đến dự họp, ban tổ chức kê thêm hàng ghế hàng ghế phải xếp thêm nhiều quy định ghế đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng ghế có ghế? Câu 2: Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”, lớp 9A trường THCS Phúc Xá dự định trồng 300 xanh Đến ngày lao động, có bạn Liên Đội triệu tập tham gia chiến dịch an tồn giao thơng nên bạn lại phải trồng thêm đảm bảo kế hoạch đặt Hỏi lớp 9A có học sinh? Câu 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch? Câu 4: Trong phong trào trồng gây rừng, lớp học tham gia ba đợt trồng năm Số em lớp trồng đợt Đợt lớp vắng em, trồng 120 Đợt hai lớp vắng em, trồng 160 Đợt ba lớp không vắng em nào, trồng 315 Biết Trang 10 học sinh có mặt ba đợt trồng có số trồng đợt thứ ba tổng số trồng hai đợt trước Tính số học sinh lớp Câu 5: Người ta hòa lẫn kg chất lỏng I với kg chất lỏng II hỗn hợp có khối lượng riêng 700 kg / m Biết khối lượng riêng chất lỏng I lớn khối lượng riêng chất lỏng II 200 kg / m Tính khối lượng riêng chất lỏng LỜI GIẢI Dạng 1: Toán quan hệ số Câu 1:   * Gọi chữ số hàng chục x x   ,0  x 9 Chữ số hàng đơn vị 12  x Giá trị số cho 10 x   12  x  Vì tích hai chữ số nhỏ số cho 16 nên ta có phương trình: x  12  x  10 x   12  x   16  12 x  x 9 x   x  x  0 Có a  b  c 1   0 nên phương trình có nghiệm x1  (loại); x2 4 (thỏa mãn) Vậy số cần tìm 48 Câu 2: Gọi số tự nhiên nhỏ x, x  * Khi số tự nhiên liền sau x  Tích hai số x  x  1 , tổng hai số là: x  Theo ta có phương trình: x  x  1   x  1 109  x  x  110 0 Phương trình có nghiệm x1 11 (thỏa mãn) x2  10 (không thỏa mãn) Vậy hai số tự nhiên cần tìm 11 12 Câu 3: Gọi số thứ x  x  , x 5 Số thứ hai x  Vì tổng bình phương hai số 125, nên ta có phương trình:   x   x  5 125  x  x  10 x  25 125  x  10 x  100 0  x  5x  50 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 10 (thỏa mãn) x2  (loại) Vậy số thứ 10, số thứ hai Câu 4: Gọi tử số phân số cần tìm x  x   Mẫu số phân số cần tìm x  Phân số cần tìm x  x   x 9 Khi bớt tử số đơn vị bớt mẫu số đơn vị, ta phân số x (điều kiện x  ) x 8 Theo ta có phương trình: x x 8   x  x  1  x    x    x  x  x  17 x  72  18 x  72  x  (thỏa mãn) x 9 x  Trang 11 Vậy phân số cần tìm 4 Dạng Tốn chuyển động Bài toán Câu 1: Gọi vận tốc xe máy từ A đến B x (km/h) Điều kiện x  Vận tốc từ B trở A x  (km/h) Thời gian xe máy lúc 90 90 (giờ); thời gian xe máy lúc (giờ) x x 9 Vì thời gian nghỉ 30 phút (  giờ) thời gian kể từ lúc A đến lúc trở A nên ta có phương trình: 90  x    90 x 90 90 20 x  90   5      x  x 40 x  180  x  31x  180 0 x x 9 x  x  9 x  x  9 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 36 (thỏa mãn) x2  (loại) Vậy vận tốc lúc 36 (km/h) Câu 2: Đổi phút  20 Gọi vận tốc dự định ô tô x (km/h) Điều kiện: x  Thời gian dự định ô tô 120 (giờ) x Thời gian ô tô nửa quãng đường đầu 60 (giờ) x Vận tốc ô tô nửa quãng đường sau x  (km/h) Do thời gian ô tô nửa quãng đường lại 60 (giờ) x 2 Do xe đến B hẹn nên ta có phương trình: 60 60 120 60 60 120          x  x  2400 0 x x  20 x x x  20 x  x   20 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 48 (thỏa mãn) x2  50 (loại) Vậy vận tốc dự định ô tô 48 (km/h) Câu 3: Gọi vận tốc người xe đạp lúc x (km/h) Điều kiện: x  Vận tốc người xe đạp lúc x  (km/h) Thời gian người xe đạp lúc 30 (giờ) x Do quãng đường lúc dài lúc km nên quãng đường người xe đạp lúc là: 30  36 (km) Trang 12 36 (giờ) x 3 Thời gian người xe đạp lúc Vì thời gian thời gian 20 phút (  giờ) nên ta có phương trình: 30 36 90  x      x  x 270  18 x  x  21x  270 0 x x 3 x  x  3 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 9 (thỏa mãn) x2  30 (loại) Vậy vận tốc lúc người xe đạp (km/h) Câu 4: Gọi vận tốc ô tô thứ x (km/h) Điều kiện: x  Vận tốc ô tô thứ hai x  10 (km/h) Thời gian ô tô thứ hết quãng đường AB 150 (giờ) x Thời gian ô tô thứ hai hết quãng đường AB 150 (giờ) x  10 Vì xe thứ đến B sớm xe thứ hai 30 phút (  giờ) nên ta có phương trình: 150 150 1500      x  10 x 3000  x  10 x  3000 0 x  10 x x  x  10  Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 60 (thỏa mãn) x2  50 (loại) Vậy vận tốc ô tô thứ 60 km/h; vận tốc ô tô thứ hai 50 km/h Câu 5: Gọi vận tốc ca nô nước yên lặng x (km/h) Điều kiện: x  Vận tốc ca nơ xi dịng x  (km/h); vận tốc ca nơ ngược dịng x  (km/h) Thời gian ca nô chạy xuôi dịng 48 (giờ) x 4 Thời gian ca nơ chạy ngược dịng 48 (giờ) x Vì thời gian nên ta có phương trình: 48 48 96 x  5  5  x  80 96 x  x  96 x  80 0 x 4 x   x  4  x  4 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 20 (thỏa mãn) x2  (loại) Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng 20 km/h Câu 6: Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h) Điều kiện: x  Vận tốc ca nơ xi dịng x  (km/h); vận tốc ca nơ ngược dịng x  (km/h) Thời gian ca nô chạy xi dịng 48 48 (giờ) thời gian ca nơ chạy ngược dịng (giờ) x 3 x Trang 13 Thời gian nghỉ 30 phút (  giờ) Tổng thời gian đi, nghỉ 10 36 phút – 30 phút = 41 10 48  x  3  48  x  3 36 48 48 41      x  x  10 x2  10 Ta có phương trình: 96 x 36 8x      x  80 x  27 0 x  10 x  10 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 27 (thỏa mãn) x2  (loại) Vậy vận tốc riêng ca nô 27 km/h Bài tập nâng cao Câu 7: Xe máy trước ô tô khoảng thời gian là: 30 phút – = 30 phút = Gọi vận tốc xe máy x (km/h) Điều kiện: x  Vì vận tốc tơ lớn vận tốc xe máy 15 km/h nên vận tốc ô tô x  15 (km/h) Thời gian xe máy hết quãng đường AB Thời gian ô tô hết quãng đường AB Do xe máy trước ô tô 90 (giờ) x 90 (giờ) x  15 hai xe tới B lúc nên ta có phương trình: 90 90    90.2  x  15  x  x  15 90.2 x  180 x  2700  x  15x 180 x  x  15x  2700 0 x x  15 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 45 (thỏa mãn) x2  60 (loại) Vậy vận tốc xe máy 45 (km/h); vận tốc ô tô 60 (km/h) Câu 8: Do ca nô xuất phát từ A với bè nứa nên thời gian ca nô thời gian bè nứa: 2 (giờ) Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h) Điều kiện: x  Vận tốc ca nơ xi dịng x  (km/h) Vận tốc ca nơ ngược dịng x  (km/h) Thời gian ca nô xi dịng 24 (giờ) x 4 Khoảng cách BC 24  16 (km) Thời gian ca nô ngược dòng từ B đến C 16 (giờ) x Trang 14 Theo ra, ta có: 24 16 40 x  32  2  2  x  32 40 x  32  x  40 x 0 x 4 x   x  4  x  4  x 0  x  x  20  0    x 20  x    x 20 Vậy vận tốc riêng ca nô 20 km/h Câu 9: Gọi vận tốc ngược dịng ca nơ x (km/h) Điều kiện: x  10 Vận tốc xi dịng ca nơ x  (km/h) Thời gian ngược dịng ca nơ Thời gian xi dịng ca nơ 18 (giờ) x 45 (giờ) x 6 Vì thời gian xi dịng nhiều thời gian ngược dịng nên ta có phương trình: 45 18 27 x  108  1  1  27 x  108  x  x  x  21x  108 0 x 6 x x  x  6 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 12 (thỏa mãn) x2 9 (loại x  10 ) Vậy vận tốc ngược dịng ca nơ 12 km/h; vận tốc xi dịng ca nơ 18 km/h Dạng 3: Tốn suất lao động Câu 1: Gọi số sản phẩm ngày xưởng cần làm theo kế hoạch x (sản phẩm) Điều kiện: x  * ; x  1100 Số sản phẩm ngày phân xưởng làm thực tế x  (sản phẩm) Số ngày phân xưởng cần làm theo kế hoạch Số ngày phân xưởng cần làm theo thực tế 1100 (ngày) x 1100 (ngày) x 5 Vì phân xưởng hồn thành kế hoạch sớm ngày nên ta có phương trình: 1100  x  5  1100 x 1100 1100 5500 2750  2  2  2  1  x  x  2750 0 x x 5 x  x  5 x  5x x  5x Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 50 (thỏa mãn) x2  55 (loại) Vậy theo kế hoạch ngày phân xưởng cần làm 50 sản phẩm Câu 2: Gọi số xe đội lúc đầu x (xe) Điều kiện: x  * Số xe thực tế đội x  (xe) Lúc đầu, lượng hàng xe phải chở 240 (tấn) x Lúc thêm xe, lượng hàng xe phải chở 240 (tấn) x 4 Trang 15 Do bổ sung thêm xe xe chở hàng nên ta có phương trình: 240 240 960  3  3  960 3x  12 x  x  12 x  960 0  x  x  320 0 x x 4 x  x  4 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 16 (thỏa mãn); x2  20 (loại) Vậy lúc đầu đội có 16 xe Câu 3: Gọi số sản phẩm dự kiến làm ngày x (sản phẩm) Điều kiện: x  * ; x  600 Thời gian dự kiến tổ 600 (ngày) x Thời gian làm 400 sản phẩm đầu tổ 400 (ngày) x Số sản phẩm lại 600  400 200 (sản phẩm) Do thời gian làm số sản phẩm cịn lại 200 (ngày) x  10 Vì thực tế cơng việc hoàn thành sớm dự kiến ngày nên ta có phương trình: 200  x  10   200 x 600  400 200  200 200   1   1  1  x  x x  10  x x  10 x  x  10   2000  x  10  x  10 x  2000 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 40 (thỏa mãn) x2  50 (loại) Vậy số sản phẩm dự kiến làm ngày 40 sản phẩm Câu 4: Gọi số tàu dự định đội x (chiếc) Điều kiện: x  * Số tàu thực tế tham gia vận chuyển hàng x  (chiếc) Số hàng tàu phải chở theo dự định 280 (tấn) x Số hàng tàu phải chở thực tế 286 (tấn) x 1 Vì thực tế tàu chở dự định hàng nên ta có phương trình: 280 286 280  x  2  2  280  x 2 x  x  x  x  140 0 x x 1 x  x 1 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 10 (thỏa mãn) x2  14 (loại) Vậy đội tàu lúc đầu có 10 Câu 5: Gọi số sản phẩm ngày người thợ cần làm theo dự định x (sản phẩm) Điều kiện: x  * ; x  Số ngày cần làm theo dự định 120 (ngày) x Trang 16 Trong 50 sản phẩm đầu, ngày người thợ làm x  (sản phẩm) nên số ngày làm 50 sản phẩm đầu 50 (ngày) x Số sản phẩm lại 120  50 70 (sản phẩm) ngày người thợ làm x  (sản phẩm) nên số ngày làm 70 sản phẩm sau 70 (ngày) x 2 Do thực tế người hồn thành dự định nên ta có phương trình: 50 70 120 120 x  40 120      120 x  40 x 120 x  480  x 12 (thỏa mãn điều kiện) x  x 2 x x  x Vậy số sản phẩm ngày người thợ cần làm theo dự định 12 sản phẩm Dạng Tốn cơng việc làm chung, riêng Câu 1: 12 Đổi 24 phút  Gọi thời gian vịi thứ chảy đầy bể x (giờ) Điều kiện: x  12 Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể x  (giờ) Một vòi thứ chảy (bể) x Một vòi thứ hai chảy (bể) x 2 Một hai vòi chảy : 12  bể nên ta có phương trình: 12 1 2x       5x  10 x 24 x  24  5x  14 x  24 0 x x  12 x  x   12 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 4 (thỏa mãn), x2  (loại) Vậy thời gian vòi thứ chảy riêng đầy bể (giờ) thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể (giờ) Câu 2: Đổi 12 phút  36 Gọi thời gian vịi thứ chảy đầy bể x (giờ) Điều kiện: 36   30 Thời gian vịi thứ hai chảy đầy bể 30  x (giờ) Một vòi thứ chảy Một vòi thứ hai chảy (bể) x (bể) 30  x Trang 17 Một hai vòi chảy : 36  bể nên ta có phương trình: 36 1 30      150 x  5x 1080  x  30 x  216 0 x 30  x 36 x  30  x  36 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 18 (thỏa mãn), x2 12 (thỏa mãn) Vậy thời gian vòi thứ chảy riêng đầy bể 18 (giờ) thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể 12 (giờ) ngược lại Câu 3: Gọi thời gian lớp 9A hoàn thành công việc x (giờ) Điều kiện: x  Thời gian lớp 9B hồn thành xong cơng việc x  (giờ) Trong giờ, lớp 9A làm (công việc) x Trong giờ, lớp 9B làm (công việc) x Một hai lớp làm công việc, nên ta có phương trình: 1 2x       x  x 12 x  30  x  17 x  30 0 x x x  x  5 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 15 (thỏa mãn), x2 2 (loại) Vậy thời gian lớp 9A hồn thành cơng việc 15 thời gian lớp 9B hồn thành cơng việc 10 Câu 4: Đổi 48 phút  24 Gọi thời gian người thứ làm xong cơng việc x (giờ) Điều kiện: x  24 Thời gian người thứ hai làm xong cơng việc x  (giờ) Trong giờ, người thứ làm (công việc) x Trong giờ, người thứ hai làm (công việc) x 4 Một hai người làm : 24  công việc, nên ta có phương trình: 24 1 2x       x  20 x 48 x  96  x  28 x  96 0 x x  24 x  x   24 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 8 (thỏa mãn), x2  12 (loại) Vậy người thứ làm xong cơng việc, người thứ hai làm 12 xong cơng việc Trang 18 Dạng Tốn có nội dung hình học Câu 1: Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật 34 17 (m) Gọi chiều dài mảnh đất x (m) Điều kiện:  x  17 Chiều rộng mảnh đất 17  x (m) Vì độ dài đường chéo 13 m nên theo định lí Pytago ta có phương trình: x   17  x  132  x  289  34 x  x 169  x  17 x  60 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 12 (thỏa mãn), x2 5 (loại chiều dài nhỏ chiều rộng) Vậy chiều dài chiều rộng mảnh đất 12 m m Câu 2: Gọi độ dài chiều cao tam giác x (dm) Điều kiện: x  Độ dài cạnh đáy tam giác x (dm) Diện tích tam giác ban đầu 4 x x  x dm   Độ dài chiều cao tam giác sau tăng thêm dm x  (dm) Độ dài cạnh đáy tam giác sau giảm dm x  (dm) Diện tích tam giác sau thay đổi kích thước  x  3  x   dm 2 3    Vì diện tích tam giác tăng thêm 12 dm nên ta có phương trình:  x  3  x  3 4 33   12  x  x  x  12  x  x   x 33 (thỏa mãn) 6 2 2  Vậy độ dài chiều cao tam giác 33 dm; độ dài cạnh đáy 44 dm Câu 3: Nửa chu vi lúc đầu mảnh vườn 136 68 (m) Gọi chiều dài mảnh vườn x (m) Điều kiện  x  68 Chiều rộng mảnh vườn 68  x (m)   Diện tích ban đầu mảnh vườn x  68  x  m Chiều dài mảnh vườn sau tăng thêm m x  (m) Chiều rộng mảnh vườn sau tăng thêm m 71  x (m)   Diện tích mảnh vườn sau thay đổi kích thước  x  5  71  x  m Vì diện tích mảnh vườn tăng thêm 255 m , nên ta có phương trình:  x  5  71  x  x  68  x   255   x  66 x  355 68x  x  255  x 100  x 50 (thỏa mãn) Trang 19 Vậy chiều dài chiều rộng mảnh vườn 50 m 18 m Câu 4: Gọi chiều dài mảnh đất x (m) Điều kiện x  Chiều rộng mảnh đất 720 (m) x Chiều dài mảnh đất tăng thêm 10 m x  10 (m) Chiều rộng mảnh đất giảm m 720  (m) x Vì diện tích mảnh đất khơng đổi, nên ta có phương trình: 720   x  x  10     720   x  10   720  x  720 x   x  660 x  7200 720 x  x  10 x  1200 0  Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 40 (thỏa mãn), x2  30 (loại) Vậy chiều dài chiều rộng mảnh đất 40 m 18 m Dạng Các dạng khác Câu 1: Gọi số hàng ghế phòng họp lúc đầu x (hàng) Điều kiện: x  * Số ghế hàng 300 (ghế) x Số hàng ghế phòng họp lúc sau x  (hàng) Số ghế hàng lúc sau 300  (ghế) x Vì tổng số người đến dự họp 357 người nên ta có phương trình: 300    357   x  1  300  x  357 x  x  302 x  300 357 x  x  55x  300 0  x   x  1  15 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 20 (thỏa mãn), x2  (loại) Vậy lúc đầu phịng họp có 20 hàng ghế, hàng ghế có 15 ghế Câu 2: Gọi số học sinh lớp 9A x (học sinh) Điều kiện: x  * ; x  Số bạn lớp 9A dự định trồng 300 (cây) x Sau bạn tham gia chiến dịch an toàn giao thơng lớp 9A cịn lại x  (học sinh) Do bạn cịn lại phải trồng 300 (cây) x Theo đề ta có phương trình: 300 300 1500  2  2  x  x  750 0 x x x  x  5 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 30 (thỏa mãn), x2  25 (loại) Vậy lớp 9A có 30 học sinh Trang 20