Bài 4 liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

CHUYÊN ĐỀ BÀI LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định lí a a  với a số không âm, b số dương b b + Hiểu cách chia bậc hai  Kĩ + Biết cách khai phương thương + Biết cách chia bậc hai + Giải toán thực phép tính gồm nhiều bậc hai + Rút gọn tính giá trị biểu thức + Giải phương trình chứa bậc hai + Chứng minh đẳng thức chứa bậc hai Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Với số a khơng âm, số b dương ta có a a  b b Khai phương thương Muốn khai phương thương a , Ví dụ: b 25 25   16 16 a 0 b  0, ta khai phương số a số b, lấy kết thứ chia cho kết thứ hai a a  b b Chia bậc hai Muốn chia bậc hai số a không âm cho bậc hai số b dương, ta chia số a cho số b Ví dụ: 27 27  3  khai phương kết a b  a b Chú ý: Với hai biểu thức A 0 B  , ta có A A  B B Ví dụ:  x  1 x2 1   x  1 x2 1  x x2 1 Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA a 0; b  Hai biểu thức A; B A  B Khai phương thương A Chia bậc hai B A B  A B b) 3 : 25 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Khai phương thương Bài toán Khai phương thương số dương Phương pháp giải Ví dụ: Tính a) Muốn khai phương thương a , a 0 b b  0, ta khai phương số a số Hướng dẫn giải a) 9   4 b) 3 25 25 25 :     25 4 b, lấy kết thứ chia cho kết thứ hai a a  b b Ví dụ mẫu Ví dụ Tính a) 16 25 b) 0,4 0,9 c) 25 : 4 d) 25 : 2 Hướng dẫn giải a) 16 16   25 25 Trang b) 0,4 4    0,9 9 c) 25 25 :   25 5 4 d) 25 25 25 :    2 9 Ví dụ Tính a) 612  602 25 b) 10,25 : 64  1,25 : 64 Hướng dẫn giải a) 612  602  25  61  60   61  60  25 b) 10,25 : 64  1,25 : 64   1.121 121 11   25 25 10,25 1,25 10,25  1,25     64 64 64 64 Bài toán Khai phương thương biểu thức Phương pháp giải Ví dụ: Đẳng thức Sử dụng kiến thức sau x x  với y y giá trị x y? Hướng dẫn giải Biểu thức A có nghĩa A 0  x  y  0  Điều kiện xác định:  y  0   x 0   y    x 0  y   x 0 A A Khi  biểu thức thỏa mãn điều kiện khai  Đẳng thức biểu thức A không y 1  B B phương thương âm B dương  x 0 x x  Vậy với  y y y  Ví dụ mẫu Ví dụ Với giá trị x x x  ? x x Hướng dẫn giải Trang x  x  0  Để đẳng thức có nghĩa  x  0   x  0   x   Vậy với x   x  0   x    x 1  x 2  x  x x  x x Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tính a) 25 0,1 2,5 b)  25  : 4 c) d) 53 : 22 Câu 2: Tính a) 452  362 b) 12,5 : 81  1,25 : 81  2,25 : 81 Câu 3: Với giá trị x x x  ? x x Dạng 2: Chia bậc hai Bài toán Chia bậc hai Phương pháp giải Ví dụ: Tính a) 20 : 45 b) 150 : : Hướng dẫn giải Dựa vào quy tắc chia bậc hai: Với hai số a a) khơng âm, b số dương ta có a b  a b 20 : 45  20   45 b) 150 : :  150 : :  50 :  50 :  25 5 Ví dụ mẫu Ví dụ Tính a) 50 : 18 b) c) 315 : : d) 35 : 33 12 : 45 20 Hướng dẫn giải a) 50 : 18  50 18  50 25   18 Trang 35 35  32 3 3 b) 35 : 33  c) 315 : :  315 : :  45 :  45 :  3 d) 12 : 45 20  33  45 9 1 :  :  :   12 20 4 4 Bài toán Chia phân phối nhiều bậc hai Phương pháp giải Ví dụ: Tính   20  80  45 : Hướng dẫn giải Sử dụng tính chất phân phối phép chia với Ta có phép cộng sau áp dụng tính chất: Với hai số a khơng âm, b dương ta có  20  80   20 :  80 :   20 :  80 :  a a  b b  45 :   16  45 : 45 : 2   3 Ví dụ mẫu Ví dụ Tính  a)  18   32 :   b) 12  27  75 : Hướng dẫn giải  a)  18   32 : 2 :  18 :  2 :  18 :  32 : 32 : 2   16 2.2  3.3  9   b) 12  27  75 : 3 12 :  27 :  75 : 3 12 :  27 :  75 : 3   25 Trang 6   5 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tính a) 125 : 20 875 : : c) 39 : 93 : b) d) 28 : 45 180 Câu 2: Tính a)  45  20  :   b)   c)  325  117  208 : 13   d)  11     16   :    16  11  : 11  11  Dạng 3: Rút gọn biểu thức Phương pháp giải Ví dụ: Rút gọn biểu thức Trước hết tìm điều kiện biến để biểu thức có nghĩa (nếu cần) Áp dụng quy tắc a) 2x : x với x  b) 8x : x Hướng dẫn giải a) Điều kiện xác định x  2x 2x 1 : 6x    3.6 x - Khai phương thương - Chia bậc hai b) Điều kiện xác định x  - Hằng đẳng thức 8x : x  8x : x  x 2 x 2 x (vì x  0) Ví dụ mẫu Ví dụ Rút gọn biểu thức a) x với x  x: b) 4 y3 với y  : y 9 c) 1 :  27 x với x  3x d) x2 27 với x 0 : x6 Hương dẫn giải Trang x x  x :  3 9 a) Với x  0, ta có x: b) Với y  0, ta có 4 y3  y3 4 9 36 :  :    y 9 y 9 y y y y c) Với x  0, ta có 1 1 1 1 :  27 x  :  27 x    3x 3x 81x 9x x  27 x   x2 27 x 27 x2 x6 x8 x4 :  :    3 x6 27 81 x6 d) Với x 0, ta có Ví dụ Rút gọn biểu thức a) 8x : x b) x : y2  4y  c) x8 : x2  4x      Hướng dẫn giải a) Điều kiện xác định: x 0 Ta có 8x : x  x  x 2 x x b) Điều kiện xác định: y 2 Ta có x : y2  4y   x :   y  2   x2 y c) Điều kiện xác định: x 2 Ta có x8 : x2  4x     x8 : Ví dụ Rút gọn biểu thức P  x  4x    x4  x  2  x4  x  2 x2 với  x  x2  2x 1 Hướng dẫn giải x2 Ta có P  x  x   x2  x  1  x2  x  1  x x Vì x 0 nên x x Vì  x  nên x  1  x Trang x Vậy P  1 x Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Rút gọn biểu thức a) x: x3 với x  b) y3 với y  : y c) 1 :  125 x với x  5x d) x2 với x 0 : 2x6 Câu 2: Rút gọn biểu thức a) x2  x x2 x b) x2  2x  x2  d) x x2  2x  x2 với   x 0 x2  2x 1 Câu 3: Rút gọn biểu thức P  Câu 4: Tính giá trị biểu thức c) A 5  1 13  7  1 13   1 Câu 5: Rút gọn biểu thức a) A   10   14  b) B   c) C   13  48 6 2  2  2 2 2 1 Câu 6: Chứng minh 3 1 1 1  3 1 1 1 Dạng 4: Giải phương trình chứa thức Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Giải phương trình x 2 x Bước Tìm điều kiện để biểu thức có Hướng dẫn giải nghĩa Bước Nếu hai vế khơng âm ta bình phương hai Điều kiện xác định: x 0 x Trang Suy x  x  dấu x 1 vế để khử x    Trường hợp 1:  x   x   x   x  x   x    x  Trường hợp 2:  x   x  Điều kiện xác định: x 1 x  Bình phương hai vế phương trình ta x 4  x  4  x    x  4 x  x  x 7  x  (thỏa mãn x  ) Vậy phương trình cho có nghiệm x Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình a) 2x  1 x 1 b) x x 1 2 Hướng dẫn giải a) 2x  1 x 1 Điều kiện xác định: 2x  0 x 1 Suy x  x  dấu x  2 x    Trường hợp 1:  x 1   1 x   x  x    2 x    Trường hợp 2:  x     x   x    x    Điều kiện xác định: x  x   Bình phương hai vế phương trình ta 2x  1  x   x   x 2 x 1 Trang 10 (thỏa mãn điều kiện x  ) Vậy phương trình cho có nghiệm x 2  x  0  b) Điều kiện xác định  x 1   x 1  x 1  x   Bình phương hai vế phương trình ta x 5 (khơng thỏa mãn điều kiện) 4  x  4 x   x   x  x 1 Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài tập tự luyện dạng Giải phương trình a) 2x  2 x 1 b) x x 1 2 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Khai phương thương Câu a) 9   25 25 b) 0,1 1    2,5 25 25 c)  25  25 25 :    4 9 d) 53 53.2 :   55.22  100 10 2 2 Câu a) 452  362   45  36   45  36  b) 12,5 : 81  1,25 : 81  2,25 : 81   9.81  81 9 12,5  1,25  2,25 1    81 81 Câu Trang 11 Để x   x 0  x x   x  0  x x x     x 1  x 1  x  x x  x x Vậy với x 1 Dạng Chia bậc hai Câu a) 125 : 20  125 25   20 b) 39 : 93 :  39 39 33 :  :  :   3 93 36 c) 875 : :  875 125 :  125 :   25 5 7 d) 28 : 45 180  45 1 :  : 1 28 180 4 Câu   45  20  :  45 :  20 :  :     b)    16  7:  : 7  7  16 4 :  :   1  7 7 a) c)   2  325  117  208 : 13  325 : 13  117 : 13  208 : 13 5   10   d)  11   16  11  : 11  : 11   11 11  16 : 11  11 : 11   1  11 11 11 11 Dạng Rút gọn biểu thức Câu a) Với x  0, ta có x3 x3 3 x:  x:    (do x  nên x x ) 9 x x x b) Với y  0, ta có y3 y3 16 :  :   y y y y Trang 12 c) Với x  0, ta có 1 1 1 :  125 x  :  125 x   5x 5x 625 x 25 x d) Với x 0, ta có x2 x2 :  :  x x 2 2x 2x   Câu a) Điều kiện x  0  x    x x Ta có x   x x 3  x  b) Điều kiện x 0; x  0  x 0; x 4 x Ta có x   x  x  x 2   x 2 c) Điều kiện x  0  x  x  2x   x2  x Ta có  x    x    d) Điều kiện x  x  0  x   x x 2 0  x  x x  Ta có x  x   x  x   Câu x2 P   Với   x 0, ta có x2  2x 1 x2  x  1 x2   x  1  x x 1 Vì   x 0 nên x  x; x   x  Vậy P  x x 1 Câu Ta có A 1 1      13 5 7   1      13 5    1  7    7  13   1      7  13   1  13     13      13 13 1  1  1        13 13   Trang 13 Câu a) Ta có  10 A  10   10   3 5 3 2 3 10     10  10    10         15  5 15  5 30  10 3 2  5 5   10    10    10       2 5       1   14  3 2 b) Ta có B 3 6 3  3   c) Ta có C   13  48  12   1  6   3 2  2      1 2 3   3 6  3 2 2 1  2 3 3   2 3  2 3 2 2 6   2         1          3  1    1 3 2  3  2    2  2     3  2  3 31   12  42   6 6 3 6 3  3 2 3 2  3 3  4 2  12  6   13  12 6 3 2  3     3 2 42 2  2   6 2   3 2  1   3 3 2 1          2    18     18 Trang 14 12  18 12     6 Câu 1 Ta có VT  3 1 1    1   1  1   1 1  3  3  42        4        3       1 VP (điều phải chứng minh) Dạng Giải phương trình chứa thức a) Điều kiện 2x  0  x 1  x 2  x 1 Bình phương hai vế ta 2x  4  x  4 x   x  (thỏa mãn điều kiện) x 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x   x  0  b) Điều kiện  x 1   x 3  x 3  x   Bình phương hai vế ta x 4  x  4 x   x  (không thỏa mãn điều kiện) x 1 Vậy phương trình cho vô nghiệm Trang 15