Liện hệ giữa phép nhân và phép khai phương

LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG A Tóm tắt lý thuyết Định lý: Với hai số a, b 0 , ta có: a.b  a b Chú ý: Định lí cịn mở rộng cho tích nhiều số khơng âm Quy tắc khai phương tích Với A 0, B 0, ta có: AB  A B Mở rộng: Với A1 0, A2 0, , An 0 ta có: A1 A2 An  A1 A2 An Quy tắc nhân bậc hai Với hai biểu thức A 0, B 0, ta có: A Chú ý: Với A 0 , ta có:   A B  A.B  A2  A  A B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Tính giá trị biểu thức Cách giải: Áp dụng công thức khai phương tích Bài 1: Tính a 25.144 b 52.13 c 45.80 d Lời giải a) Ta có: 25.144 5.12 60 b) Ta có: 52.13  52.13  4.13.13  132 26 c) Ta có: 45.80  5.9.5.16  52 16 60 d) Ta có: 28  7.28  7.7.4  2 14 Bài 2: Tính  50    3 a   24   b  28    c  5 4  12  d 3 Lời giải  50    3 a) Ta có:  b) Ta có:   3.2       c) Ta có: d) Ta có:  50 24     3  3 5   1 24.6 0  1 4  12 7  2   51 Bài 3: Tính a 55.77.35 c  b 1 125 d 2.(  2)  (1  2)  1 Lời giải a) Ta có: 55.77.35  5.11.7.11.5.7 5.7.11 385 b) Ta có: 1 1 2.125 25 125  2.125    8 8.5 c) Ta có:  1  (  1).( 1)   1 d) Ta có: 2.(  2)  (1  2)  2      9 Bài 4: Tính a) A      c)  C  12  15  135  b) B       d) D 2 40 12  Lời giải 75  48 a) Ta có: A       32  (  )   (5  3)       (  1)   b) Ta có:    2  (  )   2  B       B  2.(2  2)(2  2)  2.2 2 c) Ta có: ( 12  15  135)  36  9.5  6   36 6  27 d) Ta có: C 2 40 12  75  48 2 40 12   20 2 80    C 8    (8   6) 0 Bài 5: Tính a) A (4  15)( 10  6)  15 c) b) B (3  5)   (3  5)  C         2 2 Lời giải a) Ta có: A (4  15)( 10  ( 10   10  6)  15 ( 10  6)  15 (4  15)(4  15)  10  150   90  6)  15  15  15 10  10  ( 10  6)(4  15) 10   ( 10  6)( 10  6)  2 b) Ta có: B (3  5)   (3  5)       (3  5)          2(    )  2(    2)  2(    )  2( (  1)  (  1)  2(    1) 2 10 c) Ta có: C         2 2  C      2  C   3.( 2  (  ) )    1 Dạng 2: Rút gọn biểu thức Cách giải: Áp dụng công thức khai phương tích Bài 6: Rút gọn a) c) A 10  15  12 C 5 10  b) d) B  15 35  14 D 15  5   31 5 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: A 10  15  5   A  12  B  15   21   35  14 C 5 5 10   10  2 D 15  5  5(  1) 5(  2) 5     5  2 31 5 31 2(  2) Bài 7: Rút gọn biểu thức sau a) c) B  14  28 D b)  12  20 18  27  45 C    4 2 3 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: B  14     2  28  C D c) Ta có:  3  4 2 3 4 4 6   1 2 3 2 3  12  20 3.2  2.2  2(3   5)    18  27  45 3.3  2.3  3(3   5) Bài 8: Rút gọn biểu thức sau: A 15  10    10   Lời giải A Ta có:  A  15  10   5.3  5.2  3.2      10    5.2   3.2 1   3  2   1   3 1 Bài 9: Rút gọn biểu thức sau:  2t 3t A  t 0  a) c) C  x B b) x  x  x   x 1 d) D  Lời giải A a) Ta có: B b) Ta có: a) Ta có:  2t 3t  2t   3t  t2  t      t 0     28 y y4 C  x  y  0  B  y x  x  x  x    x  1 28 y y4  y  0 x4   x2 x4   x2 a) Ta có: x4   x2 x   x  ( x   x )( x   x )  ( x  4)  ( x )  2 Bài 10: Rút gọn biểu thức sau: A a) x yy x x  xy  y  x 0; y 0; xy 0  B b) a  2a  1 (a 0; a  ) c) 4a  a  d) D x y y x x  xy  y a4 a 4 4 a  ( a 0; a 4) a 2 a Lời giải A a) Ta có: x yy x x  xy  y B b) Ta có: x y y x x  xy  y x y       A x y x y  xy x y xy x y a  2a  (2 a  1)(1  a )  a   (2 a  1) 2 a1 c) Ta có: 4a  a 1 d) Ta có: D a4 a 4 4 a  a 2 a   a 2   a a 2  a 2 a ( x 0; y 0; x  y )  0 Dạng 3: Giải phương trình Cách giải: Khi giải phương trình chứa thức, ln cần ý đến điều kiện kèm +)  B 0 A B    A B +)  B 0(hoac A 0) A B  A B Bài 1: Giải phương trình sau a) x  x  2 x  b) x  x   3x c)  x2  x  x  d) x   x  0 Lời giải a) Ta có:  x  0 2 x  0 x  x  2 x     x 2   x  x  x   x        3x 0 x  x   3x    x  x   x  b) Ta có: c) Ta có:  x   x    x  x  0   x  0   x  0   x 1  x  x  x     x      x  x   x  3  x     x  0 x   x  0     x  4  x   d) Cách 1: Ta có Cách 2: Với x 3   x 3  tm    x 3  x   11  loai    x   x  x    x   x  0  x 3  tm  Bài 2: Giải phương trình sau a 9.(2  3x) 6 c 10( x  3)  20 b x  2 x  d x  x  3 x  Lời giải  x  9.(2  x) 6   x 6   x 2    x 0 a) Ta có: b) Ta có: x  2 x   (2 x  3)(2 x  3) 2 x   x  x  2 x    x  0 x  3.( x   2) 0     x  0 3  x   x 7  c) Ta có: 10( x  3)  20  10( x  3) 20  x 5(tm) (điều kiện x 3 )  3 x  0  ( x  3) 3 x   x  3 x     x  3 x     x   x   d) Ta có:  x 2    x  (tm)     x  (loai )   Bài 3: Giải phương trình ẩn y a) y  20  y   y  45 4 b) y  27  Lời giải a) Điều kiện y 5 1 25 y  75  49 y  147 20 y  20  y   Ta có: y  45 4  y  4  y 9 (thỏa mãn) b) Điều kiện y 3 y  27  Ta có:  y  3   1 1 25 y  75  49 y  147 20   y    25  x    49  x   20 7 1 25  y    49  y   20  y   y 3 y  20  y  20 y  5  y 28 (thỏa mãn) Bài 4: Giải phương trình sau 9x   7x  b) x  a) x  2 x  Lời giải x  2 x   a) Ta có:   x       x     3   x   b) Điều kiện 3  x  x   x  12    2  x  8 x  12  3  x   4 x  x  21 0    x 2 7  3  S  ;   2   x   7x    x  5 9x   7x   9x   Ta có: x   7x   7 x   x 6 (thỏa mãn) Dạng 4: Chứng minh đẳng thức Cách giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số khơng âm, ta có: a b  ab +) , dấu “=” xảy a b a b c  abc +) Bài 1: Cho số không âm a, b, c Chứng minh a b  ab a) (BĐT Cauchy) b) a  b  a  b a b   a  b c) d) a  b  c  ab  bc  ca Lời giải a) Do a b 0  a, b, c 0    ab 0  Bình phương hai vế bất đẳng thức ta được:  a b     ab      a  2ab  b a  2ab  b a  2ab  b  4ab ab   ab 0  0 4 10  a  b  0 a  2ab  b  0  4 (bất đẳng thức đúng) b) Bình phương hai vế bất đẳng thức ta được:  a b   a b   a  b  a  b  ab   ab 1 a b   a  b  a b   2 c) Ta có: (bất đẳng thức đúng) a  b 0     a1   b  0 (bất đẳng thức đúng) d) Ta có: a  b  c  ab  bc  ca  2a  2b  2c  ab  bc  ca 0        a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a 0   a b   b c   c a  0 (đúng) Bài 2: Cho số không âm a, b, c Chứng minh rằng: a) a2  a b a b  2 b) a b  2 c) b a d) a 1 2  a  R  1   4 a b  a  b   a b b c c a   6 a b e) c Lời giải a) Bình phương hai vế ta được: 2  a b   a  b  a  b a  b  ab a  b ab     a  b 2 ab        2 4   đúng) a2  b) Ta có: a 1 a   1 1 a 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm a  , ta có: 11 (bất đẳng thức a   2 a  1  a  2 a  a2  a 1 Như  a2 1 a 1 2 (đpcm) a b c) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm b a , ta có: a b a b  2 2 b a b a d) Ta có: 1 a b a b   1    2   2  4 b a b a  a b (đpcm)  a  b   a b b c c a  a c   b c   a b               2   6 c a b  c a c b b a e) Ta có: (đpcm) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2 Câu 1: Tính P  117,  26,  1440 a) P 108 b) P 110 c) P 120 d) P 135 Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: Ta có: P  117,52  26,52  1440   117,5  26,5   117,5  26,5   1440  144.91  144.10  144  91  10   144.81 12.9 108 Câu 2: Phép tính sai a) 13,5 150 45 b) 4,8 30 12 c) 7, 80 36 d) 0, 05 500 5 12 Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: A) 13,5 150  13,5.150  135.15  15.9.15 15.3 45 B) 4,8 30  4,8.30  144 12 C) 7, 80  7, 2.80  72.8  8.9.8 8.3 24 D) 0, 05 500  0, 05.500  5.5 5 Câu 3: Phép tính  3 2  32  cho kết số a) a) a) a) Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Ta có:  3 2  3 2          2 1    1     1   3 Câu 4: Biểu thức   2 1       21  2  1     21 1  4x   x  x  xy  y  có giá trị số thay x 9; y 4 a) 65 a) 70 a) 75 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Ta có: 3 x    4x  x y  2     4 a) 60   3   x  x  xy  y    3 2  13  x1 x y   x  x  y 3 x   x  y  Thay x 9 y 4 vào biểu thức , ta được: 3     3   1    3.5.5 75 Câu 5: Rút gọn      1   25 số a) a) a)  a) Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Ta có:      1    25 2 5     Câu 6: Rút gọn E   25 10     20  25 6     16 2 3 ta được: a) E 1  b) E 1  c)  d) E 1  Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: E Ta có:  E      16 2 3 6 8 4   2 3 2 3    1 2 3  1     2 3  2 3 Câu 7: Trong kết luận sau đây, kết luận sai a)   15 b)    c)    d)    10 Lời giải Chọn đáp án B 14 4 6  Giải thích: Ta có A) B)   15   3 3  2    18   18 C)      15   15  15 3    92  72  81 2  , lại có 15  7,  15   72   18  10  16 18 (sai) 1      ,    D)    10    10  28  74  16 10  16 10  74  28 46  10  23  640  529 (đúng) Câu 8: Nếu x  x  5 x số nào? a) x 3 b) x 4 c) x 6 d) x 8 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Ta có: x  x  5  x   x  ( x  phải số không âm)    x  5  x 1   x 8  tm   x  10 x  25  x   x  11x  24 0    x 3  loai  Câu 9: Điều kiện để x   x  16 có nghĩa a) x  b) x 4 c) x  x 4 d) x 4 Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Ta có: x   x  16 4 x    x  4  x  4 15  x      x  0  x  0       x  0    x    x   0   x  0       x  0 Để x   x  16 có nghĩa  x     x      x 4  x   x 4  BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tính a) A  32.200 c) C b) B  125   14    14  2 d) D  117,  26,5  1440 Lời giải 2 2 a) Ta có: A  32.200  4.8.2.10  10 2.4.10  A 80 2 b) Ta có: B  125  5.5.25  5 5.5  B 25 c) Ta có: C   14    14     14  16  81  56  25 5 d) Ta có: D  117,52  26,52  1440   117,5  26,5   117,5  26,5   1440  144.91  144.10  144  91  10   144.81 12.9 108 Bài 2: Thực phép tính a) A  12  18  48  27 30  162 b) B 32 2   (  3) 1 Lời giải a) Ta có: A  12  18  48  27  6     30  162 3 2   (  3) 2  b) Ta có: Bài 3: Rút gọn biểu thức a) A u v  u v u3  v3 (u , v 0; u v ) u v x2  x  B ( x  2) x2  b) Lời giải a) Ta có: b) Ta có: A B u  v3  uv (u , v 0; u v )  u v u v u v  u v x2  x  x   ( x  2) x2  x Bài 4: Rút gọn biểu thức A x xy y a) c) x y x C y1    y x y  y 1  x  1  b) Lời giải a) Ta có 17 B x  x 1 x  x 1 x xy y A  x y  x y   x   x   y   x y    x  y  xy   x y  x  xy  y x y   x  y  xy   xy  y  x  y  xy  xy b) Ta có c) Ta có   x  x 1  x  x 1 B  y x C y1  x  1 x1  y 1  x  1 2 x1  x 1 x  y1   y1  x  1 4   y1 y1 x   x y   x  1 Bài 5: So sánh số sau a)  b)  7 c) 2005  2007 2006 d)     Lời giải  7   2 a) Ta có: 1 1   9  14  14  8  14  82  Xét 22.14  64  56   : 64  56  Do       b)    Xét  6 8 7 2 13  40 13  42  13  40    13  42  2 40  42   40  42   8 5 7  2005  2007 4012  2005.2007    2006 4.2006 8024 c) Ta có:    Xét  4012     2005.2007  8024 2  2006  1  2006 1  2.2006 2 2 (vì 2006   2006 ) 18 2006   20062  Do 2005  2007  2006     d) Ta có:  Xét  2  2   3     2   2   3 2 6    2 3  2   2  2  1 Bài 6: Giải phương trình sau a) 25t  2 5t  b) c)  x  x  1( x 1) d) t 2 2t  t   4t  20  9t  45 3 Lời giải 25t  2 5t   a) Ta có:   t  (loai ) 25t    5t      t   tm   b) Ta có: t 2  2t  c) Ta có:  x   x  1( x 1)   x  ( x  1)  x  (tm) d) Ta có: t  2 2t   t   4(2t  1)  t  t   4t  20  12 105 9t  45 3  t  3  t  5 16 Bài 7: Cho biểu thức A x2  x  (  2) x  Rút gọn tìm giá trị x để A có GTLN, tìm GTLN Lời giải 19 Ta có: A 2 x (x  x2  2)  3( x  2)  ( x  x  2) 1   MaxA=  x 0 x    x , x  3 Vì nên 2 Bài 8: So sánh số sau a)  2  b)   10 c) 18 15 17 Lời giải a) Ta có: (3  5) 14  14  180; (2  6) 14  12 14  192    2  2 b) (2  4) 12 16 16 28  16 28  256.3;(3  10) 28  36.20     10 c) Cách 1: 182 324;( 15 15) 255  18  15 17 2 Cách 2: 15 17  16  17   16   16 16  18 20