Bài 3 liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

CHUYÊN ĐỀ BÀI LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định lí a.b  a b , với a b hai số không âm + Hiểu cách áp dụng khai phương tích + Hiểu cách nhân bậc hai số không âm  Kĩ + Biết cách khai phương tích + Biết cách nhân bậc hai + Giải toán thực phép tính gồm nhiều bậc hai + Biết cách rút gọn tính giá trị biểu thức + Giải phương trình chứa bậc hai + Chứng minh đẳng thức chứa bậc hai Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Với hai số a b khơng âm, ta có a.b  a b Chú ý: Với hai biểu thức A B khơng âm, ta có Khai phương tích Muốn khai phương tích số khơng âm, A.B  A B ngược lại A B  A.B ta khai phương thừa số nhân kết  A Đặc biệt, A 0, ta có: A  A2  với Nhân bậc hai Muốn nhân bậc hai số khơng âm, ta nhân số dấu với khai phương kết SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA a, b hai số không âm Đặc biệt ab  a b Mở rộng Với số khơng âm A, B LÀ CÁC BIỂU THỨC KHƠNG ÂM Đặc biệt A.B  A B Mở rộng Với biểu thức không âm Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Khai phương tích Bài tốn Khai phương tích số khơng âm Phương pháp giải Ví dụ: Tính a) Dựa vào quy tắc khai phương tích: Với hai số a b khơng âm, ta có Hướng dẫn giải a) Ta có a.b  a b Đưa tích dạng số phương b) 14, 4.160 9.4 9.4  3.2 6 b) Ta có 14, 4.160  144.16  144 16 (bình phương số) sau dựa vào quy tắc 12.4 khai phương tích 48 Ví dụ mẫu Ví dụ Tính a) 12,1.90 b) 2500.6, 4.0,9 Hướng dẫn giải a) Ta có 12,1.90  121.9  121 11.3 33 b) Ta có 2500.6, 4.0,9  25.64.9  25 64 5.8.3 120 Ví dụ Tính a) b) 612  602 64.6, 25  64.2, 25 Hướng dẫn giải a) Ta có 612  602  b) Ta có 64.6, 25  64.2, 25  64  6, 25  2, 25   61  60   61  60   1.121 1.11 11  64.4  64 8.2 16 Bài toán Khai phương tích biểu thức Phương pháp giải Biểu thức A có nghĩa A 0 Ví dụ: Cho biểu thức M  x  x  1 N  x x  a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa; N có nghĩa b) Với giá trị x M  N Trang Hướng dẫn giải a) M có nghĩa x  x  1 0  x 0  x 0   x 1 Trường hợp 1:   x  0  x 1  x 0  Trường hợp 2:   x  0  x 0  x 0   x 1 Vậy M có nghĩa x 0 x 1  x 0  N có nghĩa   x  0 Đẳng thức A.B  A B hai biểu thức A B không âm  x 0  x 1   x 1 Vậy N có nghĩa x 1 b) Để M N đồng thời có nghĩa x 1 Khi x x  biểu thức không âm nên x  x  1  x x   M N Vậy để M  N x 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Với giá trị x  x  1  x    x  x  ? Hướng dẫn giải  x  1  x   0  x  0  x 1     x 2 Để đẳng thức có nghĩa  x  0 x   x     x  0  Khi x 2 biểu thức x  x  không âm nên  x  1  x    x  x  Vậy với x 2  x  1  x    x  x  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tính a) 14, 4.90 b) 250.0,9 b) 81.10, 25  81.1, 25 Câu 2: Tính a) 452  362 Câu 3: Với giá trị x  x    x  3  x  x  ? Trang Dạng 2: Nhân bậc hai Bài toán 1: Nhân bậc hai Phương pháp giải Ví dụ Tính a) Dựa vào quy tắc nhân bậc hai: Với hai số a b khơng âm, ta có b) 90 10 20 15 Hướng dẫn giải a) 90 10  90.10  900 30 b) 20 15  20.3.15  900 30 a b  a.b Áp dụng quy tắc nhân bậc hai mở rộng: a1 a2 an  a1.a2 an Với a1 , a2 , , an số không âm Ví dụ mẫu Ví dụ Tính a) b) 12,8.1,8 72 50 Hướng dẫn giải a) Ta có 72 50  72.50  36.2.50  36.100  36 100 6.10 60 b) Ta có 12,8.1,8  64.0, 2.1,8  64.0,36  64 0,36 8.0, 4,8 Bài toán Nhân phân phối nhiều bậc hai Phương pháp giải Ví dụ Tính  b)  a)  20   45  3 3  Hướng dẫn giải Sử dụng tính chất phân phối phép nhân với a) Ta có 20   45 phép cộng sau áp dụng tính chất: Với hai số a  20  5  45 b không âm, ta có  20.5  5.5  45.5 a b  ab   100  25   225 Trang 10   15 0 Áp dụng đẳng thức tính chất: b) Ta có Với số khơng âm a, ta có:  a 2   3  3    3   a 3  1 Ví dụ mẫu Ví dụ Tính  b)  c)   12  a)   51 2  5  27   1 51 Hướng dẫn giải a) Ta có  12    12  27   27    27   12.27  12.3  3.27   4.81   4.9  81   3.3 2.9  2.3   18        b) Ta có    2 51  5   5   2 5 5 3  c) Ta có  5     5 1  51    51      5  10    4  10  Ví dụ Tính a)   7 b)  7  Trang c)   5   5  d)   3 Hướng dẫn giải 2 2 a) Ta có  7    b) Ta có  7    c) Ta có  5        6      3 5     32  d) Ta có   2   2 2 7  14  9  14 7  42  13  42 5  2 9  2 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tính a) 18 c) 12  b) 12,8.80  12  d)   3  3 Câu 2: Tính  a) c)   7   11   d)       b) 5  7 Câu 3: Rút gọn a)   3   b)  15  10   10    c)           15 10   Dạng 3: Rút gọn biểu thức Phương pháp giải Ví dụ Rút gọn biểu thức: a) 2x x với x 0 b) x3 8x Hướng dẫn giải Trước hết tìm điều kiện biến để biểu thức có nghĩa (nếu cần) a) Ta có 2x 6x Áp dụng quy tắc: +) Khai phương tích Trang +) Nhân bậc hai  +) Hằng đẳng thức 2x 12 x x  3  x  x 2 x 2x (vì x 0 ) b) Điều kiện xác định: x 0 Ta có 9x2 2x   x2  x 8x 4 3  x x     x x   Ví dụ mẫu Ví dụ Rút gọn biểu thức với x  x a) x c) 1  x với x  2x b)  y3 với y  y 9 Hướng dẫn giải 7  x  49 7 x x a) Ta có x b) Ta có y y  y3  y3 y2     y  y 9 y 9 3 c) Ta có 1  x5  x  x 2 x 2x 2x Ví dụ Rút gọn biểu thức a) x3 x b) 4x4  y2  y  4 c) 16 x  x  x  1 Hướng dẫn giải a) Điều kiện xác định x 0 Ta có x3 4 x x   16 x 4 x  x  x x  Trang b) Ta có 4x y  y  4  x  y  2 2 x  y   y 2 2 x y   x  y y     2 2 c) Ta có 16 x  x  x 1  x  x  x 1  x  x  1 4 x  x  1 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Rút gọn biểu thức với x  x a) x c) 1  12 x với x  3x b)  y5 với y  y 4 d) x 27 với x 0 x6 Câu 2: Rút gọn biểu thức a) x3 x b) 4x4  y2  y  9 c) 16 x  x  x   4  Câu 3: Rút gọn biểu thức P  x  x  x   với  x  Dạng 4: Biến đổi biểu thức dạng tích Phương pháp giải Ví dụ Phân tích thành nhân tử a)  b) x y  y x Vận dụng linh hoạt cách sau: Hướng dẫn giải  5 +) Đặt nhân tử chung a) Ta có  +) Nhóm hạng tử b) Điều kiện xác định: x 0; y 0 +) Dùng đẳng thức 5     51 Ta có x y  y x  x   x 2  y y x  y y x Ví dụ mẫu Ví dụ Phân tích thành nhân tử a) x  x y  y b) x  x y  y Trang c) x x  y y d) x   x  Hướng dẫn giải a) Điều kiện xác định: x 0, y 0 Ta có x  x y  y  x 2 x y      y 2 x y b) Điều kiện xác định: x 0, y 0 Ta có x  x y  y   x  x y y     2 x y c) Điều kiện xác định: x 0, y 0 Ta có x x  y y 3  x   y   x  y   x    x y  y d) Điều kiện xác định: x 2 Ta có  x2   x   x  2  x  2   x  x  x2  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phân tích thành nhân tử a) x  x xy  y b) xy  x  y  12 Câu 2: Phân tích thành nhân tử a) x  12 x y  y b) c) x x  27 y y d) x  x y  y x   x  Câu 3: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x  y  z  xyz 4 Tính giá trị biểu thức: P  x  y   z  y   z   x  z   x   y  xyz Trang 10 Dạng 5: Giải phương trình Bài tốn Áp dụng đẳng thức Phương pháp giải Ví dụ Giải phương trình: 25  x  1 15 Hướng dẫn giải Ta có Áp dụng đẳng thức  A A2  A ; 2 25  x  1 15  x  15  A (với A 0 )  x  3  x  3   x    x 4   x  Vậy phương trình có nghiệm: x 4; x  Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình a)  x  1 4 b)  x  1 c)  x  5 6 d)  x  1 2 9  Hướng dẫn giải a) Ta có  x  1  x  4 4  x  4     x    x 5   x  Vậy phương trình có nghiệm: x  3; x 5 b) Ta có   x  1  x  1 2 9  x  3  x 2  x 1 3  x  3      x    x   x  Vậy phương trình có nghiệm: x  2; x 1 c) Ta có  x  2  x  5 6  x  6  x  2     x    x 7   x 3 Vậy phương trình có nghiệm: x 3; x 7 d) Ta có  x  1    x  1  Vì   nên phương trình vơ nghiệm Trang 11 Bài tốn Đặt nhân tử chung Phương pháp giải Ví dụ Giải phương trình: a) x  2 x  b) x    x  1   x  1 6 Hướng dẫn giải - Tìm điều kiện xác định để biểu thức có nghĩa a) x  2 x  Điều kiện xác định:  x 1  x  0   x 1   x  0  x 1 Khi đó: - Phân tích biểu thức thành nhân tử x  2 x    x  1  x  1   x  đưa thừa số dấu để nhân tử chung  x  0  x   0  x  0   x  2  x  0   x  4  x 1  (thoả mãn điều kiện)  x 3 Vậy phương trình có nghiệm x 1; x 3 b) x    x  1   x  1 6 Điều kiện xác định: x 1 Ta có  x    x  1   x  1 6 x   x   x  6  x  6  x  1  x  1  x 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình Trang 12 a)  x  1 b) x2   c) d) 4 x  x  x  0 1  x  5   x  5  25  x   2 x x 6 Hướng dẫn giải a) Điều kiện xác định: x 1 Ta có  x  1   x  1  x  2 4 x   x  0  x   0  x  0   x   0  x  0   x  16  x 1  (thoả mãn điều kiện)  x 17 Vậy phương trình có nghiệm x 1; x 17  x  0  b) Điều kiện xác định:  x  0  2 x  0  Ta có x2   x  x  0  x  x    x     x 9   x 3  x 3  1 x   x  x  0 x 3   x  0  x  0   x   x  0  x  0   x   x   x  0   x  2 x  Trang 13  x  0   x  2 x   x 3  x   Kết hợp với điều kiện ta có x 3 nghiệm phương trình c) Điều kiện xác định: x 5 Ta có 1  x  5   x  5  25  x   2 1 x   x   x  2  x   x   x  2    x  2 2  x  Vì   nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình vơ nghiệm d) Điều kiện xác định: x  x  x Ta có 6 x x  0 x 9 x  0 x    x  0 x 3   x 9 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x 9 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giải phương trình a) c)  x  1  x  1 2 0 b)  x  1 3 d)  x  1  Câu 2: Giải phương trình Trang 14 a)  x  2 b) x2   c)  x  1   x  1  d) x 16 x  x  x  x  0 25  x  1 1 8 Câu 3: Giải phương trình: x   2x   x   x  2 Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ Cho a 0, chứng minh rằng: Phương pháp giải a 1  a 1 Hướng dẫn giải Ta có Ta sử dụng phương pháp sau: a 1  a 1 +) Với a 0; b 0 a b  a2 b  +) Sử dụng phép biến đổi tương đương  a 1   a 1  a  a  a   a 0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy a 0 Vậy a 1  a 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh rằng: a  b 2 ab với a, b hai số không âm (Bất đẳng thức Côsi với hai số khơng âm) Hướng dẫn giải Ta có a  b 2 ab  a  b  ab 0   a b  0 (luôn với a, b hai số không âm) Dấu “=” xảy a b Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Chứng minh a) a  b  c  ab  ba  ca với a, b, c số không âm b) x 1 x 2 với x  Câu 2: Giải phương trình Trang 15 x   17  x x  8x  17 x  8x  22 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Khai phương tích Câu a) 36 b) 15 Câu a) 27 b) 27 Câu  x    x  3  Với x 3 x  x  Dạng Nhân bậc hai Câu a) 12 b) 32 c) 18 d)  3 b) 17  66 c) d)7 Câu a)  10 Câu   a)                     10   10     1       1     1          1 8   10    15 15     15 15      15    15   15  b)  15         4 Trang 16 2   c)                     2         1   10  10  10  10  2      2   2      5  5 8 Dạng Rút gọn biểu thức Câu a) b) y2 c)  x d) x2 Câu a) x  1 c) x  x   2  b) x y  Câu Ta có P  x x  x   x  x  3  x x    Vì x  nên x x Vì  x  nên x  3  x Vậy P x   x  Dạng Biến đổi biểu thức dạng tích Câu a) Điều kiện xác định: x 0; y 0 Ta có x   x   x    x x x  y   x1  xy  y x y y y   x1  x1 b) Điều kiện xác định: x 0; y 0 Trang 17 xy  x  y  12 Ta có  x y  x  y  12   x    y  3 x 3   y   y Câu      x b)     a) x  y  c) x  y x  x y  y d) x   y     x 3  Câu Từ giả thiết: x  y  z  xyz 4   x  y  z   xyz 16 Ta có x   y    z  x  16   x  y   yz   x   x  y  z   xyz   y  z   yz       x x  yz Từ suy ra: x   y    z  y   x    z  z   x    y   xyz 8 Dạng Giải phương trình Câu a) x 1; x  b) x  1; x 0 c) x  d) Vô nghiệm Câu a) x 2; x 3 b) x 1 c) x 2 d) x 16 Câu Điều kiện x  Phương trình trở thành: 2 x   x   x   2 x  4   x    x   4  x     x   0 2x         2x   4  2x   Trang 18 x  1    x 3 Dạng Chứng minh bất đẳng thức Câu a) Ta có a  b  c  ab  ba  ca  2a  2b  2c 2 ab  bc  ca  a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a 0   a b   b c   c a  0 (luôn với a, b, c số không âm) Dấu “=” xảy a b c b) Ta có   x 1 x x 1 x 2  0 x  x 1   x  x1 x 0 0 (luôn với x  ) Dấu “=” xảy x 1 Câu Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có:  x  1   17  x   x 21   17  22x   x   17  x 18  x   17  x 6 Mặt khác: x  x  17 x  x  22  x  x  16 x  x  x  16   x  x  Do        x  4  6 2 x  9  17  x 9 2 x   17  x  x  x  17 x  x  22    x 4  x  x 0  x  0  Trang 19