Đs chuyên đề 2 liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương

Chương CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA Chuyên đề LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG A Kiến thức cần nhớ Với A 0, B 0 thì: A.B  A B ngược lại Đặc biệt, A 0 , ta có:  A  A2  A A A  ngược lại B B Với A 0, B  A B  A.B A A  B B Bổ sung  Với A1 , A2 , , An 0 thì:  Với a 0; b 0 thì:  Với a b 0 thì: A1 A2 An  A1 A2 An a  b  a  b (dấu “=” xảy  a 0 b 0 ) a b  a  b (dấu “=” xảy  a b b 0 ) B Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực phép tính  15  15 ; a) b)    11   11 Giải  15  15  64  15  49 7 a) b)   11   11  6  11  6   11  11   11 12  36  11 22 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: P      2 Giải Tìm cách giải Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức có dạng nên ta dùng tính chất giao hốn thực phép tính Trình bày lời giải P      P  4 2  2  P   2 2 2  2 2 2   2  2 2 4 a  b a b Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: A  10  21  Giải a 2 b Tìm cách giải Để rút gọn biểu thức có dạng  x 2 xy  y  x y Ta cần biến đổi:  ta ý tới đẳng thức a 2 b   x y  , ta xác định x y thông qua x  y a; xy b Chẳng hạn: x  y 10; x y 21   x; y  3;7 Trình bày lời giải A   3.7   3  3  3 3 7  Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: B      3 Giải Tìm cách giải Đề chưa xuất dạng Ta cần biến đổi toán dạng a 2 b a 2 b giải theo cách Trình bày lời giải Ta có: B    16   B    1  B     3 7 2  2  B  Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: A      21  12 Giải Tìm cách giải Với tốn có nhiều “chồng chất”, ta giảm bớt số căn, cách đưa phía dạng a 2 b sau dùng đẳng thức ví dụ Trình bày lời giải Ta có A       2 3 4 3 21  12 2 3       3 A2  A giải     3     2 2  2 3 3 Suy A 2 Ví dụ 6: Rút gọn: C   5  2  Giải Tìm cách giải a 2 b  Ví dụ khơng thể biến đổi để đưa dạng Do để rút gọn biểu thức dạng C  x  y  x   x y  y ta thường tính C sau nhận xét dấu C, từ tìm C Trình bày lời giải Xét C 2   2   C 4    4   C 6      51 2 4   Vì C  nên C 1  Ví dụ 7: Cho x, y thỏa mãn  2  2     5 x   x  y   y Chứng minh rằng: x  y Giải Tìm cách giải Nhận xét giả thiết x, y có vai trị Phân tích từ kết luận để có x  y , cần phân tích giả thiết xuất nhân tử  x  y  Dễ thấy x  y có chứa nhân tử  x  y  , phần lại để xuất nhân tử  x  y  vận dụng  a b   a  b a  b từ suy ra: Từ chúng có lời giải sau: Trình bày lời giải Từ đề ta có điều kiện: x 1; y 1 - Trường hợp 1: Xét x 1; y 1  x  y - Trường hợp 2: Xét x y khác Ta có: x2  y  x   y  0 a b a b Lưu ý mẫu số khác a b   x  y  x  y   x  1   y  1 0 x 1 y     x  y  x  y   0  x   y    Vì x  y    x  y 0  x  y x 1 y 1 Ví dụ 8: Cho a  2 Tính giá trị biểu thức 16a8  51a (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2011 – 2012) Giải 1 Tìm cách giải Để thay giá trị trực tiếp a  2 vào biểu thức khai triển dài dòng, dễ dẫn đến sai lầm Do nên tính từ từ, cách tính a ; a a8 đẳng thức Bài tốn đơn giản khơng dễ mắc sai lầm Trình bày lời giải 2a 1   2a    4a  4a  2   4a 1  4a 1    3  2  16 a 9  12  17  12  256a8 289  408  288 577  408  16a   51  Xét 16a8  51a  577  408  16  577  408 16  577  408  408  408 169  16 16 Vậy 16a  51a  169 13  16 Ví dụ 9: Tính giá trị S  1 6 6  với a  ; b a b 2 Giải Tìm cách giải Nếu thay giá trị a b vào biểu thức biến đổi tốn phức tạp, dẫn đến sai lầm Bài tốn có dạng đối xứng bản, ta tính tổng tích a b, sau dùng đẳng thức để tính Trình bày lời giải Từ đề suy ra: a  b  6; ab 1 2 Ta có: a  b  a  b   2ab 4 ; a  b3  a  b   3ab  a  b  6  3.1 3 2 3 3 5 2 Xét  a  b   a  b  a  a b  a b  b a  b  a b  a  b  4.3 a  b5  Từ tính được: a  b5 11 2 5 5 7 2 3 Xét  a  b   a  b  a  a b  a b  b a  b  a b  a  b  Suy ra: 4.11 a  b  1.3  a  b7 41  S 1  b7  a 41 a b Ví dụ 10: Cho b 0; a  b Chứng minh đẳng thức: a  a2  b a  a2  b a b   2 Giải 2 Đặt vế phải là: B  a  a  b  a  a  b 2 Ta có B 0 Xét B  a  a  b 2 2 B a 2 a2   a2  b a a2  b   a  a2  b  a a2  b ; B a  b Vì B 0 nên B  a  b Vế phải vế trái Suy điều phải chứng minh  Ví dụ 11: Cho số thực x; y thỏa mãn: x  x   y   3 Chứng minh rằng: x  y  xy 1 Giải  Đặt y   z từ giả thiết ta có: x  x  Nhân hai vế với x   x ta  z   z  2  *  y  y  2 x      x  z  z  2    x2   x    z  z  2 x   x  z  z   x   x  1 z   z ta Nhân hai vế đẳng thức (*) với  x  x    z   z  2  z   z    x  x   2  z   z  2 2 2  x  x2   z   z  2 Từ (1) (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được: x  z 0  x  y  0  x  y 1 3 2 2 Xét x  y  3xy  x  y   x  xy  y   3xy  x  xy  y  3xy  x  xy  y  x  y  1 3 Vậy x  y  xy 1 Điều phải chứng minh C Bài tập vận dụng 2.1 Tính:  2 3  2 3  2  3  2 3 Hướng dẫn giải – đáp số  Ta có: A  2    5  2   2 6.2 24 2.2 Chứng minh số sau số tự nhiên  a) A   b) B     1  10   ;  2 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có A         2   51           3        2        3      2    8   1      3 51 Vậy A số tự nhiên b) Ta có B   3     B   1  3  2 Vậy B số tự nhiên 2.3 Rút gọn biểu thức: a) P  10  20   12 ; 5 b) Q     4 2 3 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: P  P    10   3 5 3 2  5 5      10  5  3  2 b) Ta có Q        2 3     1 2 3  1  2.4 Rút gọn biểu thức: a) C  b) D  62   6 3  6  6 3 2 9  ; Hướng dẫn giải – đáp số a) C  C C 1   2    1   2   1 2   2  2    1   1   1  2 2 b) D    3  2   3      21   2    1   2  2.5 Cho x  2 Tính giá trị B  x5  x  x3  x  20 x  2018 (Thi học sinh giởi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số Từ x   , bình phương hai vế ta được: x  x  3  x  x  0  * 2 2 Ta có B  x  x  x  1  x  x  x  1   x  x  1  2013 Kết hợp với (*) ta có: B 2013 2.6 Tính giá trị biểu thức A x  2002 x  2003 với x  27 10    27  10  27  10 13    13  :  13  (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2002 – 2003) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: 27  10  5 2 5 2 27  10  5  5  2             23     23 46 Tử số là:     5 Xét a  13   13  3; a   a  13   13    a 2 13   a  Do x    13    13  : 13    13  46 2  13  46 Vậy giá trị biểu thức A 462  2002.46  2003 92205 2.7 So sánh: a)  20  ; b) 17  12  ; c) 28  16  27  10 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có Vậy   1  17  12 = 1    =   1=   1  4 3 16  16 12 =  32 2  12  = =  2 =  2  1= Vậy 1  20   b) Ta có c)  1 2  1 = 4 3  =  1  28  16   2.8 a) Giả sử a b hai số dương khác thỏa mãn: a  b   b2   a Chứng minh a  b 1 20092  20092.20102  20102 số nguyên dương b) Chứng minh số (Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có a   a b   b Bình phương hai vế khơng âm, ta được: a  2a  a   a b  2b  b   b  a  a b  b Bình phương hai vế không âm, ta được: a   a  b   b   a  b  a  b 0   a  b   a  b  1 0 Do a, b hai số dương khác nên a  b2 0  a  b  0 hay a  b 1 Điều phải chứng minh b) Đặt a 2009 , ta có: 2 a  a  a  1   a  1  a  a  2a  a   a  1  a  2a  a  1   a  1  a  a  1 2  a  a  1 20092  2009  số nguyên dương 2.9 Cho b 0; a  b Chứng minh đẳng thức: a b  a  b  a  a2  b  Hướng dẫn giải – đáp số b ta có A 0 Đặt A  a  b  a  Xét A a  b 2 a b a  b a   A2 2a 2 a  b  A2 2 a  a  b b    Vì A 0 nên A  a  a  b Suy điều phải chứng minh 2 3 5 Hãy tính: A  x1.x2 ; B  x1  x2 ; C  x1  x2 ; D  x1  x2 2.10 Cho x1   x2   Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A  x1.x2      2 2 Ta có: B x1  x2 3    6  2 Ta có: C  x1  x2   x1  x1 x2  x2     C   C   C 3  3  3  3     2     2 4 10 2 3 3 Xét  x1  x2   x1  x2  x1  x1 x2  x1 x2  x2  6.4 10  x15  x25  x12 x22  x1  x2   24 10  x15  x25   3  3    24 10  x15  x25      2  24 10  x15  x25      2  D  x15  x25 20 10     2 7  7 2.11 Rút gọn biểu thức: A    11 3 2 (Tuyển sinh lớp 10, chun tốn, TP Hồ Chí Minh, năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải – đáp số Xét B      B 7     5 7  5 7   B 14  49  14  11 Mà B  nên B  14  11 Từ suy ra: A  14  11  11    2  A 2 2.12 Cho x, y số thực thỏa mãn:    1 x 1 y y  y  1 x x 2 Tìm giá trị nhỏ S x  3xy  y  y  12 Hướng dẫn giải – đáp số Tập xác định x 1; y 1  Trường hợp 1: Xét x  y 1 suy ra: P 12  3.1.1  2.12  8.1  12 6  1  Trường hợp 2: Xét x 1 y 1 Ta có: x x  y y  x  1 y  0     x   y 1 0 x 1 y   x y x  xy  y    x y x  xy  y    x  x y  y  x  xy  y   0  x   y     x  x y x 1 y  0  Mà x 1; y 1 nên x  xy  y  Suy y x x y x 1 y y 0  x  y Ta có: S  x  3x  x  x  12  S 2 x  x  12  S 2  x    0 0 Dấu xảy x 2 Do giá trị nhỏ S x 2   Từ (1) (2) giá trị nhỏ S x 2 2.13 Rút gọn biểu thức sau: P    48  10  ;  Q  3  12  18  128  2  Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: P    48  10     3 P    48  10  P    48  10   P    28  10 P    25  10   5 3 P  4 5  P   5 5  P    25    25  3 b) Q   3   2   12  16   Q  3   2   12  Q  3   2  2 4 Q  3  62 3  1  3   2 3 3  Q  4 2  3 2 62 2 Q  3  3 Q  62 4    42    3  62  3   3  2 2.14 Rút gọn biểu thức: a) A    13  48 1 b) T    13  48 6 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: A    12   1 2 62 5 A A A A b) Ta có T T T  1 1   1  1 62   3 1   1   1  6  3  3 1  1 1  13  2   1 1 1  6 3 62 1 3 62 5  1   3  2 3 6 3  6  1  1 2 2  3  31  3 4 3  1 3 3 2.15 Rút gọn biểu thức: A  10  30  2  10  2 : 31 Hướng dẫn giải – đáp số    10   Ta có: A   A  10   10  2 2  2  10     3 3 2 3  42 3   2 A  A  1 3 1   1    2 2.16 Biết x     6 2 Tính giá trị biểu thức: S  x  16 x Hướng dẫn giải – đáp số Xét x 2         x 8  2     2  2 6 2    x 8  2    3   x 2   2  6 3 Bình phương hai vế ta được: 64  16 x  x 4     3        3    64  16 x  x 32  x  16 x 32  2.17 Cho x  2019   x  2019   2020   y  2019   y  2019  Tính giá trị A x  y Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x  2019 a; y  2019 b    2 Đẳng thức cho có dạng: a  a  2020 b  b  2020 2020  * Nhân hai vế đẳng thức (*) với a  2020  a , ta được:   2020 2020 a      2020  a  b  b  2020  a  2020  a 2020  b  b  2020  a  2020  a  1 b  2020  b , ta được: Nhân hai vế đẳng thức (*) với a  a  2020  b  2020  b  2020  b  2020  b   a  a  2020  b  2020  b   Từ (1) (2) cộng vế với vế rút gọn ta được: a  b 0  x  2019  y  2019 0 Vậy A x  y 4038 2.18 Rút gọn biểu thức: A  x2  5x   x  x 2 3x  x   x    x : 1 2x 3 x Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A   x    x  3  x   x    x  x   x    x  2   x    x  :2  x  2x 3 x Điều kiện xác định   x  , A  3 x  x A x 3 3 x  3 x 3 x  :2 x 3 x   x  2 x   x  x  x   x  2 3 x 3 x 2013 2012 2011 2013 2012 2011 2.19 Cho biểu thức P  a  8a  11a    b  8b  11b  Tính giá trị biểu thức P với a 4  b 4  (Thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số Xét a   bình phương hai vế ta được: a  8a  16 5  a  8a  11 0 Xét b   bình phương hai vế ta được: b  8b  16 5  b  8b  11 0 P a 2011  a  8a  11  b 2011  b2  8b  11  P 0 2.20 Cho 3  x  ; x 0 2  2x   x a Tính giá trị biểu thức P    4x theo a x (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2013 – 2014) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: P   P P  2x    2x   2x   2x x  2x   2x  x   2x    2x x   2x   2x   2x   2x x   4x x   a  2x   2x  2.21 Tính giá trị biểu thức: A 2 x  x  x  Với x      5  3  (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt a      Xét a 4   5 ,a  5 4   4    51 3   a  3  x  3   1  3  1 62  6 1 5  1  2 x    x     x  1 2  x  x  0 Ta có: A 2 x  x  x  A 2 x  x  x  1   x  x  1  1 2.22 Đố Căn bậc hai 64 viết dạng sau: 64 6  Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng dạng Hướng dẫn giải – đáp số Đặt số ab Theo đầu bài, ta có: ab a  b  ab a  2a b  b  10a a  2a b  a  b 10  a chẵn Đặt a 2 K  K    K  b 10  K  b 5 Do b 9 nên b 0;1; 4;9  Nếu b 0  K 5  a 10 (loại)  Nếu b 1  K 4  a 8  Số 81  Nếu b 4  K 3  a 6  Số 64 (đã cho)  Nếu b 9  K 2  a 4  Số 49