Chuyên đề 2 liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương , ôn thi toán lớp 9 và tuyển sinh lớp 10, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Chương 1 CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA Chuyên đề 2 LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG A Kiến thức cần nhớ 1 Với thì và ngược lại Đặc biệt, khi , ta có 2 Với thì và ngược lại 3 Bổ sung Với thì V. Giáo dụcGiáo dục 4.0Thứ tư, 2582021, 09:30 (GMT+7) Kinh nghiệm ôn luyện môn Toán 9 hiệu quả Với hơn 10 năm kinh nghiệm luyện thi vào lớp 10, thầy Lưu Huy Thưởng từ HOCMAI khuyên học sinh học theo ba mốc thời gian với 4 bước quan trọng. 4 bước quan trọng khi bắt tay ôn luyện Toán 9 Theo thầy Lưu Huy Thưởng, giáo viên môn Toán tại Hệ thống Giáo dục HOCMAI, học sinh có thể ôn luyện theo 4 bước sau: Đầu tiên, các em nên có lộ trình học tập đúng đắn. Khi có được điều này, học sinh có thể kiểm soát mục tiêu, đánh giá quá trình và kết quả học tập, từ đó, điều chỉnh phương pháp phù hợp. Thứ hai, các em nên bắt tay ngay vào việc học và nắm vững lý thuyết cơ bản trong chương trình học lớp 9. Nội dung chương trình Toán lớp 9 bao gồm hai phần: Đại số và Hình học và chia thành 8 chủ đề. Trong đó, phần Đại số có các chủ đề: Căn bậc hai, Căn bậc ba; Hàm số bậc nhất; Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn; Hàm số y=a.x bình phương (a khác 0) với phương trình bậc hai một ẩn. Về Hình học, chương trình có các chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông; Đường tròn; Góc với đường tròn và chủ đề về Hình học không gian (bao gồm Hình trụ, hình nón, hình cầu).

Chương CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA Chuyên đề LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG A Kiến thức cần nhớ Với A  0, B  thì: A.B  A B ngược lại  A Đặc biệt, A  , ta có: A  B Với A  0, B  A B  A.B  A2  A A ngược lại B A  B A B Bổ sung  Với A1 , A2 , , An  thì:  Với a  0; b  thì:  Với a  b  thì: A1 A2 An  A1 A2 An a  b  a  b (dấu “=” xảy  a  b  ) a  b  a  b (dấu “=” xảy  a  b b  ) B Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực phép tính a) b)  15  15 ;    11   11 Giải a) b)  15  15  64  15  49    11   11    11  6   11  11   11  12  36  11  22 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: P       Giải Tìm cách giải Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức có dạng a  b nên ta dùng tính chất giao hốn thực phép tính Trình bày lời giải P             P     2  P   2   2 2  2 a b Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: A  10  21  Giải Tìm cách giải Để rút gọn biểu thức có dạng x  xy  y   x y   a2 b  Ta cần biến đổi: a  b ta ý tới đẳng thức x y  , ta xác định x y thông qua x  y  a; xy  b Chẳng hạn: x  y  10; x y  21   x; y   3;7 Trình bày lời giải A   3.7     3    3 7  Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: B      Giải Tìm cách giải Đề chưa xuất dạng Ta cần biến đổi toán dạng a2 b a  b giải theo cách Trình bày lời giải Ta có: B    16   B    1   3 7 2 B        B  Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: A      21  12 Giải Tìm cách giải Với tốn có nhiều “chồng chất”, ta giảm bớt số căn, cách đưa phía dạng thức a  b sau dùng đẳng A2  A giải ví dụ Trình bày lời giải Ta có A      21  12  2  42  2 3   2  42 2 3  2  44 3  2    3  2 32  Suy A  Ví dụ 6: Rút gọn: C       Giải Tìm cách giải Ví dụ biến đổi để đưa dạng a2 b   x y  Do để rút gọn biểu thức dạng C  x  y  x  y ta thường tính C sau nhận xét dấu C, từ tìm C Trình bày lời giải Xét C        C2       C2        1  2  42 2 2 2    1  Vì C  nên C   x   x  y   y Chứng minh rằng: x  y Ví dụ 7: Cho x, y thỏa mãn Giải Tìm cách giải Nhận xét giả thiết x, y có vai trị Phân tích từ kết luận để có x  y , cần phân tích giả thiết xuất nhân tử  x  y  Dễ thấy x  y có chứa nhân tử  x  y  , phần lại để xuất nhân tử  x  y  vận dụng  a b   a  b  a  b từ suy ra: mẫu số khác Từ chúng có lời giải sau: Trình bày lời giải Từ đề ta có điều kiện: x  1; y  - Trường hợp 1: Xét x  1; y   x  y - Trường hợp 2: Xét x y khác Ta có: x2  y  x 1  y     x  y  x  y   x  1   y  1 x 1  y 1 0     x  y  x  y    x 1  y 1    a b a b Lưu ý a b Vì x  y  0 x y 0 x  y x 1  y 1 Ví dụ 8: Cho a  1 Tính giá trị biểu thức 16a  51a (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2011 – 2012) Giải Tìm cách giải Để thay giá trị trực tiếp a  1 vào biểu thức khai triển dài dịng, dễ dẫn đến sai lầm Do nên tính từ từ, cách tính a ; a a đẳng thức Bài toán đơn giản khơng dễ mắc sai lầm Trình bày lời giải 2a    2a     4a  4a      4a   4a      2  16a   12   17  12  256a8  289  408  288  577  408  16a   51  Xét 16a8  51a  577  408  16  Vậy 577  408 16  577  408  408  408 169  16 16 16a  51a  169 13  16 Ví dụ 9: Tính giá trị S  1 6 6  với a  ; b a b 2 Giải Tìm cách giải Nếu thay giá trị a b vào biểu thức biến đổi tốn phức tạp, dẫn đến sai lầm Bài tốn có dạng đối xứng bản, ta tính tổng tích a b, sau dùng đẳng thức để tính Trình bày lời giải Từ đề suy ra: a  b  6; ab  Ta có: a  b2   a  b   2ab  ; a  b3   a  b   3ab  a  b   6  3.1  2 3 3 5 2 Xét  a  b   a  b   a  a b  a b  b  a  b  a b  a  b  4.3  a  b5  Từ tính được: a  b5  11 2 5 5 7 2 3 Xét  a  b   a  b   a  a b  a b  b  a  b  a b  a  b  Suy ra: 4.11  a  b7  1.3  a  b  41 S 1   b7  a  41 a b Ví dụ 10: Cho b  0; a  b Chứng minh đẳng thức: a b  a  a2  b a  a2  b  2 Giải 2 Đặt vế phải là: B  a  a  b  a  a  b 2 Ta có B  Xét B  a  a  b  2 B  a  2 a2   a2  b a a2  b   a  a2  b   a a2  b ; B2  a  b Vì B  nên B  a  b Vế phải vế trái Suy điều phải chứng minh  Ví dụ 11: Cho số thực x; y thỏa mãn: x  x    y 1 Chứng minh rằng: x  y  xy  Giải  Đặt y   z từ giả thiết ta có: x  x  Nhân hai vế với x      x2   x   x   x  z  z   x   x  1  z  z2   Nhân hai vế đẳng thức (*) với  x  x    z   z   2 z   z   x  x    2 z   z 2  z    * x   x ta   x2  z  z    z 2 z   z ta  y2  y    x  x2   z   z  2 Từ (1) (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được: x  z   x  y 1   x  y  3 2 2 Xét x  y  3xy   x  y   x  xy  y   3xy  x  xy  y  3xy  x  xy  y   x  y   Vậy x  y  3xy  Điều phải chứng minh C Bài tập vận dụng  2.1 Tính: Ta có: A  2 3    2 3   2 3  2 3 Hướng dẫn giải – đáp số   5 5  2    6.2  24 2.2 Chứng minh số sau số tự nhiên  a) A    b) B    1   10  ;  2 Hướng dẫn giải – đáp số    a) Ta có A             1    1       1  1     1                1  52 Vậy A số tự nhiên   1     B    1   1    b) Ta có B    1  1 Vậy B số tự nhiên 2.3 Rút gọn biểu thức: a) P  10  20   12 ; 5 b) Q  2 3 6 84 2 3 Hướng dẫn giải – đáp số   a) Ta có: P  P    10    5  3 2  5 5    3 2  10   5  3  b) Ta có Q        2 3     1 2 3   1 2.4 Rút gọn biểu thức: a) C  b) D  62    3  62  6 3 ; 96  Hướng dẫn giải – đáp số a) C  C C 1   2    1   2    1 2   1 2  2   1   1   2  2 b) D    3  2   3      2    1    3   1   1 2.5 Cho x   Tính giá trị B  x  3x  3x  x  20 x  2018 (Thi học sinh giởi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số Từ x    , bình phương hai vế ta được: x  x    x  x    * 2 2 Ta có B  x  x  x  1  x  x  x  1   x  x  1  2013 Kết hợp với (*) ta có: B  2013 2.6 Tính giá trị biểu thức A  x  2002 x  2003 với  27  10  x   27  10  27  10 13    13  :  27  10 13  (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2002 – 2003) Hướng dẫn giải – đáp số 27  10  Ta có: 5 2 5 2 27  10  2 5 5             23     23  46 2 Tử số là:      Xét a  13  3; a  13     a  13   13    a  13   a  Do x    13   13    13  46  13  :  46 13  Vậy giá trị biểu thức A  462  2002.46  2003  92205 2.7 So sánh: a)  20  ; b) 17  12  ; c) 28  16  Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có Vậy  1  1  1  20   b) Ta có 17  12 =  12  = =  2 =  2  1= c)   1  16  16  12 =   1   3 2 32 2  1 = 42 =   1= Vậy   1 = 1   28  16   2.8 a) Giả sử a b hai số dương khác thỏa mãn: a  b   b2   a Chứng minh a  b  b) Chứng minh số 20092  20092.20102  20102 số nguyên dương (Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có a   a  b   b2 Bình phương hai vế khơng âm, ta được: a  2a  a   a  b  2b  b   b2  a  a  b  b2 Bình phương hai vế không âm, ta được: a   a   b2   b2   a  b4  a  b2    a  b   a  b  1  Do a, b hai số dương khác nên a  b   a  b   hay a  b  Điều phải chứng minh b) Đặt a  2009 , ta có: a  a  a  1   a  1  a  a  2a3  a   a  1 2  a  2a  a  1   a  1  a  a  1 2   a  a  1  20092  2009  số nguyên dương 2.9 Cho b  0; a  b Chứng minh đẳng thức:  a  b  a  b  a  a2  b  Hướng dẫn giải – đáp số Đặt A  a  b  a  b ta có A  Xét A2  a  b   a b  a b a   A2  2a  a  b  A2  a  a  b   b  Vì A  nên A  a  a  b Suy điều phải chứng minh 2.10 Cho x1   x2   Hãy tính: A  x1.x2 ; B  x12  x22 ; C  x13  x23 ; D  x15  x25 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A  x1.x2       Ta có: B  x12  x22      2 Ta có: C   x1  x2   x1  x1 x2  x2    C C C    3  3    2         2     2  10 2 3 3 Xét  x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x1 x2  x2  6.4 10  x15  x25  x12 x22  x1  x2   24 10  x15  x25   3  3    24 10  x15  x25      2  24 10  x15  x25      2   D  x15  x25  20 10 7  7 2.11 Rút gọn biểu thức: A   11  32 (Tuyển sinh lớp 10, chun tốn, TP Hồ Chí Minh, năm học 2010 – 2011) Hướng dẫn giải – đáp số Xét B      B2      5   5    B  14  49   14  11 Mà B  nên B  14  11 Từ suy ra: A  14  11  11    2 1  A   2.12 Cho x, y số thực thỏa mãn:  x 1  y y  Tìm giá trị nhỏ S  x  3xy  y  y  12  1  y 1  x x Hướng dẫn giải – đáp số Tập xác định x  1; y   Trường hợp 1: Xét x  y  suy ra: P  12  3.1.1  2.12  8.1  12   1  Trường hợp 2: Xét x  y  Ta có: x x  y y  x 1  y 1      x 1 y  0 x 1  y 1   x  y x  xy  y    x  y x  xy  y     x y  x  y  x  xy  y  0    x   y     x y  x y x 1  y 1  0  x y Mà x  1; y  nên x  xy  y  Suy x 1  y 1 0 x y 0 x y Ta có: S  x  x  x  x  12  S  x  x  12  S   x     Dấu xảy x  Do giá trị nhỏ S x    Từ (1) (2) giá trị nhỏ S x  2.13 Rút gọn biểu thức sau: P    48  10  ; Q   1  2   12  18  128 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: P    48  10     3 P    48  10  P    48  10   P    28  10 P    25  10    3 P  4 35  P  4 5 5  P    25    25   b) Q    1  2   12  16   Q  1   2   12  Q  1   2  2 4 Q  1   2   1 Q  1   2  1  Q  1  62 42  Q  1  42      1 62 2   1   4 2 62 1   1 1  2.14 Rút gọn biểu thức: a) A    13  48 1 b) T    13  48 6 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: A    12   1 A 6 5 2 1  1    1 1   1  1 A 62 A   1  1 1  1 1 1   13  6 2    1  1 1   1  6 T  1 T T  1 A b) Ta có 62  1  2 3 3  1 6  3  1 6   1   1 42 3 1   1 1  2.15 Rút gọn biểu thức: A  10  30  2  : 10  2 1 Hướng dẫn giải – đáp số  A A A   10   2  Ta có: A    10    10    10     1 1 2  3 1  3 1  2   1 1  1 1    2 2.16 Biết x       Tính giá trị biểu thức: S  x  16 x Hướng dẫn giải – đáp số Xét x        2  2 63 2    x2   2       x2   2    3   x2    2  63 Bình phương hai vế ta được: 64  16 x  x      3        3    64  16 x  x  32  x  16 x  32  2.17 Cho x  2019   x  2019   2020   y  2019   y  2019    2020  2020 Tính giá trị A  x  y Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x  2019  a; y  2019  b    2 Đẳng thức cho có dạng: a  a  2020 b  b  2020  2020  * Nhân hai vế đẳng thức (*) với a     2020  a  b  b  2020  a  2020  a , ta được:  a  2020  a 2020  b  b  2020  a  2020  a  1 Nhân hai vế đẳng thức (*) với a  a  2020  b  2020  b   2020  b  2020  b , ta được: b  2020  b   a  a  2020  b  2020  b   Từ (1) (2) cộng vế với vế rút gọn ta được: a  b   x  2019  y  2019  Vậy A  x  y  4038 2.18 Rút gọn biểu thức: A  x2  5x   x  x2 3x  x   x    x : 1 2x 3 x Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: A   x    x  3  x   x    x  x   x    x  2   x    x  Điều kiện xác định 3  x  , :2  x  2x 3 x A  3 x  x A x 3 3 x  3 x 3 x  :2 x  3 x   x  2 x   x  x  x   x  2 3 x 3 x 2013 2012 2011 2013 2012 2011 2.19 Cho biểu thức P   a  8a  11a    b  8b  11b  Tính giá trị biểu thức P với a   b   (Thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số Xét a   bình phương hai vế ta được: a  8a  16   a  8a  11  Xét b    bình phương hai vế ta được: b  8b  16   b2  8b  11  P  a 2011  a  8a  11  b 2011  b  8b  11  P 0 2.20 Cho 3  x  ; x  2  2x   2x  a Tính giá trị biểu thức P    4x theo a x (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2013 – 2014) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: P   P P  2x    2x    2x    2x x  2x   2x  x   2x    2x x   2x   2x   2x   2x x   x  4x  2x   2x   a 2.21 Tính giá trị biểu thức: A  x  3x  x  Với x          2 (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt a       , a  2 Xét a    5  4 62  4   1  3  a  3  x     1   62 62  1 2 1 1  1  1 2 x    x     x  1   x  x   Ta có: A  x3  3x  x  A  x  x  x  1   x  x  1   2.22 Đố Căn bậc hai 64 viết dạng sau: 64   Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng dạng Hướng dẫn giải – đáp số Đặt số ab Theo đầu bài, ta có: ab  a  b  ab  a  2a b  b  10a  a  2a b  a  b  10  a chẵn Đặt a  K  K  ¥   K  b  10  K  b  Do b  nên b  0;1; 4;9  Nếu b   K   a  10 (loại)  Nếu b   K   a   Số 81  Nếu b   K   a   Số 64 (đã cho)  Nếu b   K   a   Số 49