CHUN ĐỀ - CÁC BÀI TỐN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT A.Kiến thức: A Định lí Ta-lét: M ABC AM AN = MN // BC AB AC * Định lí Ta-lét: N C B * Hệ quả: MN // BC AM AN MN = AB AC BC B Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G B a) chứng minh: EG // CD A b) Giả sử AB // CD, chứng minh AB2 = CD EG O Giải Gọi O giao điểm AC BD a) Vì AE // BC G E OE OA = (1) OB OC BG // AC OB OG = (2) OD OA Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: C D OE OG EG // CD = OD OC b) Khi AB // CD EG // AB // CD, BG // AD nên AB OA OD CD AB CD = = AB2 CD EG EG OG OB AB EG AB Bài 2: Cho ABC vuông A, Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vng cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm Ac BF Chứng minh rằng: a) AH = AK D A b) AH2 = BH CK H F K Giải Đặt AB = c, AC = b BD // AC (cùng vng góc với AB) B C Trang nên AH AC b AH b AH b HB BD c HB c HB + AH b + c Hay AH b AH b b.c AH (1) AB b + c c b+c b+c AB // CF (cùng vng góc với AC) nên Hay AK AB c AK c AK c KC CF b KC b KC + AK b + c AK b AK c b.c AK (2) AC b + c b b+c b+c Từ (1) (2) suy ra: AH = AK b) Từ AH AC b AK AB c AH KC AH KC suy (Vì AH = AK) HB BD c KC CF b HB AK HB AH AH2 = BH KC Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng: a) AE2 = EK EG b) 1 AE AK AG c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí qua A tích BK DG có giá trị khơng đổi Giải A a B a) Vì ABCD hình bình hành K BC nên b AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta có: EK EB AE EK AE = = AE EK.EG AE ED EG AE EG b) Ta có: K E C D G AE DE AE BE = = ; nên AK DB AG BD AE AE BE DE BD 1 = 1 AE (đpcm) 1 AK AG BD DB BD AE AK AG AK AG c) Ta có: BK AB BK a KC CG KC CG = = = = (1); (2) KC CG KC CG AD DG b DG Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK a = BK DG = ab khơng đổi (Vì b DG a = AB; b = AD độ dài hai cạnh hình bình hành ABCD khơng đổi) B E A Bài 4: Cho tứ giác ABCD, điểm E, F, G, H theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2 Chứng minh rằng: a) EG = FH P H F O Q D M N G Trang C b) EG vng góc với FH Giải Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CF, DG Ta có CM = 1 BM BE BM = = = CF = BC BC BA BC EM BM 2 = EM = AC (1) AC BE 3 EM // AC Tương tự, ta có: NF // BD NF CF 2 = NF = BD (2) BD CB 3 mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy : EM = NF (a) Tương tự ta có: MG // BD, NH // AC MG = NH = AC (b) Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC BD EM MG EMG = 900 (4) Tương tự, ta có: FNH = 900 (5) Từ (4) (5) suy EMG = FNH = 900 (c) Từ (a), (b), (c) suy EMG = FNH (c.g.c) EG = FH b) Gọi giao điểm EG FH O; EM FH P; EM FN Q (đối đỉnh), OEP ( EMG = FNH) PQF = 900 QPF + QFP = 900 mà QPF = OPE = QFP Suy EOP = PQF = 900 EO OP EG FH Bài 5: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC M AB K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC P Chứng minh a) MP // AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Giải a) EP // AC CP AF = (1) PB FB AK // CD CM DC = (2) AM AK D C tứ giác AFCD, DCBK la hình bình hành nên AF = DC, FB = AK (3) I M A K F P Trang B Kết hợp (1), (2) (3) ta có CP CM MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4) PB AM b) Gọi I giao điểm BD CF, ta có: Mà CP CM DC DC = PB AM AK FB DC DI CP DI IP // DC // AB (5) (Do FB // DC) FB IB PB IB Từ (4) (5) suy : qua P có hai đường thẳng IP, PM song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP qua giao điểm CF DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Bài 6: Cho ABC có BC < BA Qua C kẻ đường thẳng vng gốc với tia phân giác BE ABC ; đường thẳng cắt BE F cắt trung tuyến BD G Chứng minh B đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần Giải M K Gọi K giao điểm CF AB; M giao điểm DF BC G F KBC có BF vừa phân giác vừa đường cao nên KBC cân B BK = BC FC = FK A D E Mặt khác D trung điểm AC nên DF đường trung bình AKC DF // AK hay DM // AB Suy M trung điểm BC DF = AK (DF đường trung bình AKC), ta có BG BK BG BK 2BK = = ( DF // BK) (1) GD DF GD DF AK Mổt khác Hay CE DC - DE DC AD CE AE - DE DC AD 1 (Vì AD = DC) 1 1 DE DE DE DE DE DE DE DE CE AE - DE AE AB AE AB 1 2 (vì = : Do DF // AB) DE DE DE DF DE DF Suy CE AK + BK 2(AK + BK) CE 2(AK + BK) 2BK 2 (Do DF = AK) 2 DE DE AK DE AK AK (2) Từ (1) (2) suy BG CE EG // BC = GD DE Trang C Gọi giao điểm EG DF O ta có OG OE FO = = OG = OE MC MB FM Bài tập nhà Bài 1: Cho tứ giác ABCD, AC BD cắt O Đường thẳng qua O song song với BC cắt AB E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD F a) Chứng minh FE // BD b) Từ O kẻ đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD G H Chứng minh: CG DH = BG CH Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối tia BC cho BN = CM; đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự E, F Chứng minh: a) AE2 = EB FE AN b) EB = EF DF CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TỐN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC A Kiến thức: A Tính chất đường phân giác: ABC ,AD phân giác góc A BD AB = CD AC B D C A AD’là phân giác góc ngồi A: BD' AB = CD' AC D' B C B Bài tập vận dụng A Bài 1: Cho ABC có BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD a) Tính độ dài BD, CD c b I B Trang D a C b) Tia phân giác BI góc B cắt AD I; tính tỉ số: AI ID Giải BD AB c a) AD phân giác BAC nên CD AC b BD c BD c ac BD = CD + BD b + c a b+c b+c Do CD = a - ac ab = b+c b+c AI AB ac b+c c : b) BI phân giác ABC nên ID BD b+c a Bài 2: < 600 phân giác AD Cho ABC, có B a) Chứng minh AD < AB b) Gọi AM phân giác ADC Chứng minh BC > DM Giải A + A > A + C = 180 - B 600 a)Ta có ADB =C 2 >B AD < AB ADB b) Gọi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d Trong ADC, AM phân giác ta có DM AD DM AD DM AD = = = CM AC CM + DM AD + AC CD AD + AC DM = C D M B abd CD.AD CD d ab ; CD = ( Vận dụng 1) DM = (b + c)(b + d) AD + AC b + d b+c Để c/m BC > DM ta c/m a > 4abd hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) (b + c)(b + d) Thật : c > d (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd Bất đẳng thức (1) c/m Bài 3: Cho ABC, trung tuyến AM, tia phân giác góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự D E A a) Chứng minh DE // BC b) Cho BC = a, AM = m Tính độ dài DE c) Tìm tập hợp giao diểm I AM DE ABC có BC cố định, AM = m không đổi D I E Trang B M C d) ABC có điều kiện DE đường trung bình Giải a) MD phân giác AMB nên DA MB (1) DB MA EA MC ME phân giác AMC nên (2) EC MA Từ (1), (2) giả thiết MB = MC ta suy DA EA DE // BC DB EC x DE AD AI m b) DE // BC Đặt DE = x x x = 2a.m BC AB AM a m a + 2m c) Ta có: MI = a.m DE = khơng đổi I cách M đoạn không đổi nên tập hợp a + 2m điểm I đường trịn tâm M, bán kính MI = a.m (Trừ giao điểm với BC a + 2m d) DE đường trung bình ABC DA = DB MA = MB ABC vuông A Bài 4: Cho ABC ( AB < AC) phân giác BD, CE a) Đường thẳng qua D song song với BC cắt AB K, chứng minh E nằm B K b) Chứng minh: CD > DE > BE A Giải a) BD phân giác nên K AD AB AC AE AD AE = < = (1) DC BC BC EB DC EB Mặt khác KD // BC nên Từ (1) (2) suy AD AK (2) DC KB D E M C B AK AE AK + KB AE + EB KB EB KB EB AB AB KB > EB E nằm K B KB EB b) Gọi M giao điểm DE CB Ta có CBD (Góc so le trong) KBD = KDB = KDB KBD EBD EB < DE mà E nằm K B nên KDB > EDB > EDB > EDB DEC DEC Ta lại có CBD > ECB > DCE (Vì DCE = ECB ) + ECB = EDB + DEC Suy CD > ED CD > ED > BE Bài 5: Trang Cho ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF Chứng minh a DB EC FA 1 DC EA FB b 1 1 1 AD BE CF BC CA AB H Giải A DB AB = a)AD đường phân giác BAC nên ta có: (1) DC AC F E EC BC FA CA = = Tương tự: với phân giác BE, CF ta có: (2) ; EA BA FB CB (3) DB EC FA AB BC CA = Tửứ (1); (2); (3) suy ra: =1 DC EA FB AC BA CB B D b) Đặt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da Qua C kẻ đường thẳng song song với AD , cắt tia BA H Theo ĐL Talét ta có: BA.CH c.CH c AD BA AD CH CH BH BH BA + AH b + c Do CH < AC + AH = 2b nên: d a Chứng minh tương tự ta có : b c 1 11 1 2bc d a 2bc b c da b c b c 1 1 1 1 Và Nên: db a c dc a b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d a db dc b c a c a b da db dc a b c 1 1 1 ( đpcm ) d a db dc a b c Bài tập nhà Cho ABC có BC = a, AC = b, AB = c (b > c), phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD > BE b) Vẽ hình bình hành BEKD Chứng minh: CE > EK c) Chứng minh CE > BD Trang C