Bdhsg chuyen de phuong trinh duong thang 1

Chuyên đề: BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (HÌNH HỌC OXY) CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phần CÁC TÍNH CHẤT – ĐỊNH LÝ TIÊU BIỂU TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Định lý Thales thuận: Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ A AD AE DE   Trường hợp 1: DE / / BC  AB AC BC E d D B Trường hợp 2: AB / / DC  IA IB AB   IC ID DC C A B I D C Định lý Thales đảo: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tường ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác Đường phân giác tam giác: Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn * Xét tam giác ABC có AD đường phân giác góc A  DB AB AB   DB  DC Ta có: DC AC AC * Xét tam giác ABC có AE đường phân giác ngồi góc A  EB AB AB   EB  EC Ta có: EC AC AC * Chú ý: AD  AE Trang Trang Tính chất đường thẳng EULER: Tính chất 4.1 Trong tam giác trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp nằm đường thẳng (Đường thẳng gọi đường EULER tam giác) Chứng minh: Cho tam giác ABC , gọi G, H , I trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi D điểm đối xứng A I Khi tứ giác BHCD hình bình hành, suy trung điểm M BC trung điểm HD  IM  AH (tính chất đường trung bình tam giác AHD ) GM IM     AHG ~ MIG  ba điểm GA AH H , G, I thẳng hàng GH 2GI Tính chất 4.2 Từ Tính chất 4.1 ta có tính chất sau: BHCD hình bình hành a) Tứ  giác  b) AH   IM c) HG 2GI Các tính chất đặc biệt tam giác – đường trịn: Tính chất 5.1 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm I , G trọng tâm tam giác ABC Gọi D trung điểm AB , E trọng tâm tam giác ACD Khi đó: I trực tâm tam giác DEG IE  DG Chứng minh: Gọi N , H , K trung điểm cạnh AC , BC AD E giao điểm KC DN Ta có: G trọng tâm tam giác ABC CG CE     GE / / AB CD CK Lại có: I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên DI  AB  DI  GE Măt khác: DE // BC  GI  DE Do đó: I trực tâm tam giác DGE Từ ta được: EI  DG Tính chất 5.2 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi P, Q trung điểm BH AH Chứng minh Q trực tâm tam giác ACP AP  CQ Chứng minh: Trang Do P, Q trung điểm BH AH nên PQ / / AB Mà: AB  AC  PQ  AC Mặt khác: AH  PC Do đó: H trực tâm tam giác ACP AP  CQ Tính chất 5.3 Cho tam giác ABC cân A Gọi D điểm nằm cạnh AB cho AB 3 AD H hình chiếu vng góc B CD , M trung điểm HC Chứng minh rằng: AM  BM Chứng minh: Dựng đường thẳng d qua B vng góc với BC Gọi N CD  d Gọi E trung điểm BH Ta chứng minh được: tứ giác ANEM hình bình hành  NE // AM chứng minh E trực tâm tam giác BMN Từ cho ta: NE  MB  MB  AM Tính chất 5.4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  , có H trực tâm Gọi D giao điểm thứ hai AH với  O  Chứng minh: H D đối xứng qua BC Chứng minh: · · · Ta có: BAH = BCH (cùng phụ với góc ABC ) · · Lại có: BAH (góc nội tiếp chắn = BCD cung BD ) · ·  BCH = BCD  tam giác CHD cân C  BC đường trung trực HD Do đó: H D đối xứng qua BC Tính chất 5.5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm I , có BE CF hai đường cao Chứng minh: IA  EF Chứng minh: Cách Trang · · Ta có: tứ giác BFEC nội tiếp  ABC = AEF  (cùng bù với góc FEC ) Gọi D giao điểm thứ hai AI  I  · · Khi đó: ABC (góc nội tiếp chắn = ADC cung AC ) · ·  AEF = ADC · · Mặt khác: ADC + DAC = 900 · ·  AEF + DAC = 900 · E = 900 hay AI  EF Do đó: AK Cách Kẻ tiếp tuyến d đường tròn A , gọi Ax x · · Ta có: xAB (góc nội tiếp góc = ACB tiếp tuyến dây cung chắn cung AB ) Lại có: Tứ giác BFEC nội tiếp  · · ACB = AFE · · Do đó: xAB (theo vị trí so le trong)  = AFE Ax // EF Mà: Ax  AI Do đó: EF  AI Tính chất 5.6 Cho tam giác ABC Gọi I J tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Gọi D giao điểm thứ hai AI  I  Chứng minh rằng: D tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác JBC Chứng minh: ¶ +B ả (cựng bự vi gúc à Ta cú: Jà = A AJ B ) 1 ¶ =B ¶ (dó BJ phân giác góc B) Mà: B ¶A = A ¶ (dó BJ phân giác góc A ) ¶ =B ¶ (góc nội tiếp chắn cung CD ) A ả +B ả = Jà BD  J =B 1 3 Suy ra: Tam giác BDJ cân D  BD  DJ  1 Mặt khác: Do AI phân giác góc A  D điểm cung nhỏ BC  DB  DC   Từ  1   cho ta: DB  DJ  DC  D tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác JBC Tính chất 5.7 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  C  tâm I có AD đường phân giác góc A Gọi d tiếp tuyến A  C  d cắt BC E Chứng minh rằng: tam giác AED cân E Trang Chứng minh: ¶ = C¶ (góc nt góc tạo tiếp Ta có: A 1 tuyến dây cung chắn cung AB ) ¶ =A ¶ ( AD phân giác) A 2 3 · ¶ +A ¶ = C¶ + A ¶ =D ¶  EAD =A 1 Do đó: Tam giác EAD cân E Một số tính chất đặc biệt tứ giác: Tính chất 6.1 Trong hình thang cân có hai đường chéo vng góc độ dài đường cao độ dài đường trung bình Chứng minh: Do hình thang ABCD cân, AC  BD I nên tam giác AIB CID vuông cân I  MN đường cao đường trung tuyến AB   NI  AB  CD    NI  MI   EF  MN (đpcm)  MI  CD  Tính chất 6.2 Cho hình vng ABCD Gọi M N trung điểm cạnh AB BC Ta có: AN  DM Chứng minh: Cách 1 1 ìï A ¶ ¶ ïï = D1 ¶ ¶ · 0 í¶ ¶ = 900 Þ A1 + M = 90 Þ AHM = 90 Þ AN ^ DM ïï D + M ïỵ Cách 2: (vẽ hình) Đặt cạnh hình vng a  a   Chọn hệ trục toạ độ Oxy thoả mãn: D O , cạnh AD thuộc chiều dương trục Oy , cạnh DC thuộc chiều dương trục Ox a   a Ta có: D  0;  , A  0; a  , M  ; a  , N  a;  2   2 Trang  a  a    DM  ; a  ; AN  a;    DM AN 0  AN  DM 2 2   Tính chất 6.3 Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm BC , N điểm cạnh · CD cho CN 2 ND Chứng minh: MAN = 450 Chứng minh: Đặt cạnh hình vng a  a   10 5a ; AM a ; MN  Áp dụng định lý cosin tam giác AMN ta có: MA + NA2 - MN · · cosMAN = = Þ MAN = 450 2MA.NA Cách Xây dựng hệ trục Oxy tương tự tính chất 6.2 Ta có: AN a Tính chất 6.4 Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm BC , N điểm cạnh AC cho AC 4 AN Chứng minh: tam giác DMN vuông N Chứng minh: Cách Chứng minh: DN  NM Gọi E trung điểm DI  tứ giác NECM hình bình hành  1 NE  CD   Mặt khác: DI  CN (đường chéo hình vng ABCD )  3 Từ    3 cho ta: E trực tâm tam giác DNC  CE  DN  4 Từ  1   cho ta: MN  DN  tam giác DNM vuông N Cách Đặt cạnh hình vng a  a   Áp dụng định lý Pitago tam giác vng DCM để tính DM Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông DIN để tính DN Áp dụng định lý cosin tam giác CMN để tính MN Từ cho ta: DM  DN  NM Cách Xây dựng hệ trục Oxy tương tự tính chất 6.2 Tính chất 6.5 Cho hình vng ABCD Gọi M N trung điểm cạnh AB BC Gọi I giao điểm CM DN Ta có: AI  AD Chứng minh: Gọi P trung điểm CD Ta có: CPAM hình bình hành  AP // MC Mặt khác: CM  DN (theo tính chất 6.2)  AP  DN hay AP  DI  1 Lại có: AP // CM hay FP // CI , mà P trung điểm CD  F trung điểm DI   Trang Từ  1   ta tam giác ADI cân A cho ta: AD  AI (đpcm) Tính chất 6.6 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vng góc B AC Các điểm M K trung điểm AH CD Chứng minh rằng: BM  MK Chứng minh: Gọi E trung điểm BH Ta chứng minh được: Tứ giác CEMK hình bình hành  MK // CE  1 Ta có: ME  BC BH  CM nên: E trực tâm tam giác BMC  CE  MB   Từ (1) (2) cho ta: MB  MK (đpcm) Tính chất 6.7 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M điểm đối xứng B qua C , N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Chứng minh: AN  CN Chứng minh: · · Ta có tứ giác BCND nội tiếp  BNC (cùng = BDC chắn cung BC ) · · Lại có: BAC (tính chất hình chữ nhật) = BDC · ·  BAC = BNC  tứ giác ABCN nội tiếp  · · · ABC + ANC = 1800 Þ ANC = 900 Þ AN ^ NC (đpcm) Tính chất 6.8 Cho hình thang ABCD vng A D có CD = AB Gọi H hình chiếu vng góc D AC , M trung điểm HC Chứng minh: BM  MD Chứng minh: Lấy điểm phụ E trung điểm DH Chứng minh tứ giác ABME hình bình hành E trực tâm tam giác ADM  BM  MD Trang Phần MỘT SỐ CÁCH GIẢI BÀI TỐN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có A  1; 3 , phương trình đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ B, C d1 : x  y  0 d : x  y  0 Viết phương trình đường thẳng BC Giải: Cách (Tìm số phương trình tương ứng với số ẩn) Gọi G trọng tâm ABC G d1  d  tọa độ G định bởi:  x  x  y     4    G ;   3   x  y  0  y   Gọi B  2b;   5b   d1 , C    5c; c   d 1  2b   5c 4 G trọng tâm tam giác ABC nên ta có hệ phương trình:  3   5b  c  Giải ta được: B  0;   , C  3;  1 Suy phương trình BC : x  y  0 Cách (Tìm điểm giao đường thẳng xác định) 4  + Gọi G trọng tâm ABC G  ;   3  (theo cách 1) + Gọi I trung điểm BC thì: A d1 G J B I C d2 xG  x A    xI  2  I  3;      2  x  xG  x A   I 2 + Dựng đường trung bình IJ // BC CBG   I  ;   25 0 Khi do:  2   phương trình IJ: x  y  IJ / / d1       IA 3IG  3IG  IA 0  13  25 x   x  y      13    J  ;  + J IJ  d1 nên tọa độ J định bởi:  6   x  y  0  y    xC 2 xJ  xG 3  xB 2 xI  xC 0 Suy ra:    yC 2 y J  yG   yB 2 yI  yC  Vậy B (0;  4), C (3;  1) Suy phương trình BC : x  y  0 Cách (Như cách 2) Trang 4  + Gọi G trọng tâm ABC G  ;   (theo cách 1) 3  Gọi D điểm đối xứng A qua G tứ giác G BD C hình bình hành Từ ta có:   xD 2 xG  x A   13   D ;  + 3 3  y 2 y  y  13 D G A A    13  d1 D  ;     phương trình BD : +  3 G  BD / / d  x  y  20 0 B C d B  BD  d1  tọa độ C định bởi: I  x  y  20 0  x 0   B  0;    5 x  y  0  y  D   13  D  ;     phương trình CD : x  y  17  +  3 CD / / d  5 x  y  17 0  x 3 C CD  d  tọa độ C định bởi:    C  3;    x  y  0  y  Suy phương trình BC : x  y  0 Cách (Như cách sử dụng kĩ thuật “mượn đường để đi”) Ta có: + B  d1  xB  yB  0 (1)   xB  y B  ; Gọi N trung điểm AB N     N  d  xB 5(3  yB )    0  xB  yB  20 0 (2) 2 Giải  1   tìm B (0;  4) + C  d  xC  yC  0 (3) A N B d1 M C d2   xC  yC  ; Gọi M trung điểm AC M  M  d1   5(1  xC ) 2(3  yC )    0  xC  yB  17 0 (4) 2 Giải  3   tìm C (3;  1) Suy phương trình BC : x  y  0 Bài (tương tự Đề ĐH khối D – 2012)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình AB : x  y  0 , phương trình AC : x  y  0 điểm M (2;  5) thuộc đường thẳng BD Tìm tọa độ đỉnh A, B, C , D Giải: Cách (Sử dụng cơng thức góc đường thẳng) D C Ta có: M I A Trang 10 B