Thông tin tài liệu
Chuyên đề ĐỊNH LÍ TA-LÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Nội dung chuyên đề bao gồm: - Định lí Ta-lét tam giác Ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song Định lí Ta-lét đảo Tính chất đường phân giác tam giác Định lí Ta-lét tính chất đường phân giác tam giác cho ta cặp đoạn thẳng tỉ lệ, nhờ chứng minh nhiều quan hệ độ dài đoạn thằng Các tính chất ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song bổ đề suy từ định lí Ta-lét Định lí Ta-lét đảo cho ta thêm cách để nhận biết hai đường thẳng song song Bài toán thực tế ĐO CHIỀU CAO VỚI CUỐN SỔ TAY VÀ CÂY BÚT CHÌ Với sổ tay hình chữ nhật ABCD có AB= 10 cm phần bút chì nhơ lên AE= cm (h.29) tính chiều cao cây, biết người đo cao 1,7m đứng cách 20 cm Giải Theo định lí Ta-lét, FG / / AE nên FG EA 0,5 GB AB 10 FG GB.0,5 20.0,5 10 m Cây cao : 10 1, 11, m I.ĐỊNH LÍ TA-LÉT Khi có đường thẳng song song với cạnh tam giác, ta có cặp đoạn thẳng tỉ lệ Trên hình B ' C '/ / BC 30 : AB ' AC ' B ' C ' AB AC BC A B' C' A C' B' B a) B C C b) Hình 30 Trong nhiều toán, cần kẻ them đường thẳng song song để tạo thành cặp doạn thẳng tỉ lệ Ví dụ 23 Cho tam giác ABC Lấy điểm M thuộc đoạn BA, điểm N thuộc tia đối tia BC cho AB BC 1 MB BN Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Tìm hướng giải: Xét vị trí đặc biệt M N M trung điểm AB, B trung điểm CN, điều kiện đề AB BC 2 1 thỏa mãn MB BN Khi MN qua đỉnh D hình bình hành ABCD Ta dự đốn D điểm cố định phải tìm Giải (h.31) Vẽ hình bình hành ABCD Trước hết ta thấy A D a AB 1 MB nên AB MB , M nằm A B Gọi N’ giao điểm DM CB Đặt AD BC a, BN ' b M N' b B Do AD / / N ' C nên theo định lí Ta-lét , ta có AM AD a MB BN ' b AM MB a b AM a b MB b MB b AB BC a b a 1 b b Do MB BN ' AB BC 1 Kết hợp với giả thiết MB BN ' suy B ' N BN , N ' N Vậy MN qua đỉnh D hình bình hành ABCD a Hình 31 C Ví dụ 24 Cho tam giác ABC, đường phân giác BD CE, điểm I thuộc đoạn thẳng DE Gọi M, N, H theo thứ tự hình chiếu I AC, AB, BC IM IN 1 a) Gọi EG, DK đường cao tam giác ADE Chứng minh EG DK b) Chứng minh IM IN IH Giải (h.32) Theo định lí Ta-lét với IM / / EG IN / / DK , ta có IM IN DI IE DE 1 EG DK DE DE DE A G a) Đặt IM m, IN n, EG x, DK y Từ câu a) , ta có m n 1 x y K N y E 1 Đặt IH h, BC a, AC c, S ABC S 2 B D n m D I x Ta có S IAC S IAB S IBC S bm cn ah 2S x F h H C Hình 32 bm cn a m n 2S Để chứng minh IM IN (tức m n h ), ta chứng minh Kẻ EF BC EF EG x Ta có S AEC S BEC S bx ax 2S a b a c Tương tự 2S x m n 2S a b m a c n 2S 2S 1 y Suy x y bm cn a m n 2S 3 Từ (2) (3) suy m n h tức IM IN IH Ví dụ 25.Cho tam giác ABC có diện tích S Một đường thằng qua trọng tâm G tam giác cắt cạnh AB AC theo thứ tự M N Chứng minh S AMN S a) Giải S AMN S b) a) (h.33) Gọi D giao điểm AG BC Qua G kẻ IK / / BC Do BD DC nên GI GK Theo bổ đề hai tam giác có góc ( ví dụ 14) ta có S AIK AI AK 2 S AB AC 3 A A N G I M I K G K M N B D a) C B b) C D Hình 33 Xét ba trường hợp: - Trường hợp GM GN M trùng I N trùng K Khi S AMN S AIK S 1 S S KGN nên S AMN S AIK S - Trường hợp GM GN IGM S S KGN nên - Trường hợp GM GN IGM A S AMN S AIK S 3 1 , , 3 Từ S AMN S suy G S ABE S b Gọi E giao điểm BG AC Ta có: Ta chứng minh SGEN SGBM M Hình 34 SGEN GN GE S GM GB GBM mà nên 4 N C B SGEN GE GN Ta có SGBM GB DM ( bổ đề câu a) I E F Qua C kẻ đường thẳng song song với AB , cắt MN I Gọi F giao điểm CG AB GN GI GC 2 Ta có GM GM GF Từ 4 5 5 SGEN 1 S GBM suy SGEN SGBM S AMN S ABE S Vậy Lưu ý: Cách giải nêu cách giải túy hình học Một cách giải khác có sử dụng nhiều bién đổi đại số sau: AB AC 3 Trước hết ta chứng minh AM AN Thật vậy, kẻ BB / / CC / / MN AG cắt BC D trung điểm BC , ta có DB DC A E F G N M B' B Hình 35 D C' AB AC AB AC AB AC AD DB AD DC AD 3 AM AN AG AG AG AG AD AB AC m, n m n 3 1 AN Đặt AM S AB AC S S Theo bổ đề hai tam giác có góc S AM AN m.n Đặt AMN m n S 32 mn S S 4 a S Xảy đẳng thức m n MN / / BC 2 C S mn m m 3m m b S 3 Gọi E , F theo thứ tự trung điểm AC , AB M , N thuộc cạnh AB AB AB AB, AC AB AM AF m 2 AB AM AF m 1 m 0 3m m 2 m Do nên Từ 3 4 S 2 S S suy S , tức 4 Xảy đẳng thức m 1 m 2 , tức M trùng B (khi N trung điểm AC ) M trung điểm AB (khi N trùng C ) II BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Khi ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song, chúng tạo hai đường thẳng song song cặp đoạn thẳng tỉ lệ Trên hình 36 : BC / / BC BD DC AD BD DC ( AD ) A D' C' B' A B' C' D' B a) D B C b) C D Hình 36 AD AB Ví dụ 26.Cho tam giác ABC có diện tích S , điểm D thuộc cạnh AB cho , điểm E thuộc cạnh BE BC A BC cho N Gọi O giao điểm AE CD , F M giao điểm BO AC Tính diện tích tam giác DEF F D Giải (h.37) O Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD BF theo thứ tự M N B C E Hình 37 Do MN / / BC nên AF AN AN AM EB AD 1 FC CB AM CB EC DB 3 Theo bổ đề hai tam giác có góc ( Ví dụ 14) ta có: S ADF AD AF 1 S BDE BD BE 2 , S AB AC 12 S BA BC 15 SCEF CE CF 3 S CB CA 20 S DEF 1 S Suy 1 S DEF S 12 15 20 Vậy AF CE BD AF 1 Lưu ý: Để tính FC , ta dùng định lí Xê-va FC EB DA Ở lời giải trên, định lý Xê-va chứng minh vào AF Để tính FC (cũng để chứng minh định lí Xê-va), ngồi cách cịn dùng phương pháp diện tích sau: AF S BFA AF SOFA FC S FC SOFC suy BFC Từ AF S BFA SOFA S AOB AD S AOC BE S AOB , FC S BFC SOFC S BOC Tương tự DB S BOC BC S AOC AF S AOB S AOB S AOC BE AD 1 FC S S S EC DB 3 BOC AOC BOC Suy Ví dụ 27 Cho tam giác ABC có diện tích S Một đường thẳng song song với BC cắt AB AC theo thứ tự D E Tính diện tích lớn tam giác BDE Giải A Cách (h.38) Đặt BD x, AD y, AB a ta có x y a S BDE BD x S BAE BA a 1 S BAE AE AD y S AC AB a 2 y a E D x S BDE xy x y a2 2 2 với S a 4a 4a Nhân B Hình 38 C Max S BDE S x y D, E trung điểm AB, AC Cách (h.39) Kẻ DG / / AC , cắt BE I Kẻ BB, EE vng góc với DG S DBE DI BB EE h DI 2 ( h độ dài đường cao kẻ từ B ABC ) 1 DI DG DI AC AE.DG AE.EC Do DG / / AC nên AE AC AE EC 1 Từ 2 AC AC DI 4 suy S BDE 2 AC.h S Max S BDE S AE EC E trung điểm AC , D trung điểm AB III ĐỊNH LÍ TA-LÉT ĐẢO Định lí Ta-lét đảo cho ta cách chứng minh hai đường thẳng song song AB AC BC / / BC Trên hình 40: AB AC Ví dụ 28 Cho tam giác ABC , điểm I thuộc đường trung tuyến AM Gọi D giao điểm BI với AC , E giao điểm CI với AB Chứng minh DE song song với BC Giải(h.41) Kẻ IK / / AB, IH / / AC , theo định lí Ta - lét ta có EI BK DI CH EC BC DB BC 1 BK AI CH BK CH Ta lại có BM AM CM mà BM CM nên Từ 1 2 2 EI DI DE / / BC suy EC DB ( định lí Ta - lét đảo) Ví dụ 29 Cho tam giác ABC , đường phân giác AD , đường trung tuyến AM Đường thẳng qua D song song với AB cắt AM I , BI cắt AC E Chứng minh AB AE Giải (h.42) Gọi O giao điểm AD BE Do MC MB ID / / AB nên MD MD ID OD OM / / AC MC MB AB OA ( định lí Ta - lét đảo) Tam giác BEC có MB MC , MO / / CE , nên OB OE Tam giác ABE có đường phân giác AO đường trung tuyến, nên tam giác cân Vậy AB AE Ví dụ 30 Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh BC Đường thẳng qua D song song với AC cắt AB E Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC F Gọi I giao điểm DE BF , K S S1 , S BDI S2 Chứng minh rằng: giao điểm DF CE Đặt CDK a IK song song với BC ; b S1 S2 S DEF Giải(h.43) a Do DE / / AC DF / / AB nên FI AE FK IK / / BC IB EB KD (định lí Ta - lét đảo) S S DIC b Do IK / / BC nên S S DIF Suy S1 S DIF Do ID / / FC nên DIC 1 S S BEF Do DF / / BE nên BED Cùng trừ Từ 1 S BEI S2 S EIF 2 suy 2 S1 S S DIF S EIF S DEF IV TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC Đường phân giác tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn Với ABC ta có: AD đường phân giác DB AB DC AC Ví dụ 31 Cho tam giác ABC , đường phân giác AD Gọi E điểm đối xứng với A qua C Đường thẳng qua B song song với AC cắt ED K Chứng minh DAK 90 Giải (h.44) Theo tính chất đường phân giác định lí Ta - lét ta có AB DB BK BK AB BK AC DC CE AC Tia phân giác góc ABK cắt DK I BIA BIK (c.g.c) IA IK 1 AIB KIB Ta có AIB bù IAD ( BI / / AD ); KIB bù I1 I1 D1 ( BI / / AD ) nên Từ ID IA IAD D 1 2 2 suy IK IA ID DAK 90 Ví dụ 32 Tam giác ABC có AB 21 cm, AC 28 cm, BC 35 cm, đường phân giác AD, BE , CF Tính diện tích tam giác DEF Giải(h.45) DB DC DB DC 35 AD đường phân giác nên AB AC AB AC 21 28 DB DB 15 21 (cm) DC 20 cm Tương tự ta tính EA 21 35 28 35 , EC , FA , FB 2 3 Theo bổ đề hai tam giác có góc ( Ví dụ 14), gọi S diện tích tam giác ABC ta có: 28 21 35 35 15 20 S AEF S S 5 BDF CDE S 21.28 S 21.35 21 S 28.35 14 S DEF 1 S Suy 1 5 21 14 21 ABC ccó AB AC 212 282 352 BC A 900 1 S DEF 21.14 70 S AB AC 21.28 21.14 2 21 (cm2) (cm2) BÀI TẬP Định lí Ta - lét 48 Trên tia gốc O có điểm A tia đối có điểm B, C Chứng minh 1 OA2 OB.OC OA AB AC AE AB 49 Cho hình bình hành ABCD có diện tích S , điểm E thuộc cạnh AB cho , điểm F trung điểm BC Gọi M , N theo thứ tự giao điểm DE , DF với AC Tính diện tích tam giác DMN 50 Cho tam giác ABC Điểm D chuyển động cạnh AB , điểm E chuyển động cạnh AC cho AD CE AB CA Gọi I trung điểm DE Chứng minh I chuyển động đường trung bình tam giác ABC BA BC 1 51 Cho tam giác ABC Lấy điểm E thuộc tia BA , điểm F thuộc tia BC cho BE BF Chứng minh điểm E F thay đổi vị trí đường thẳng EF qua điểm cố định 52 Cho tứ giác ABCD có E , F trung điểm AC , BD Gọi giao điểm EF với AD, BC theo AG CH thứ tự G, H Chứng minh GD HB BI BD 53 Cho hình thang , điểm I thuộc tia đối tia BD cho Gọi M , N theo AH BK AB , CD H , IN cắt BC K Tính tỉ số HD KC thứ tự trung điểm IM cắt AD ABCD AB / /CD ABCD AB / /CD 54 Cho hình thang có AB 5 cm, CD 9 cm Gọi I giao điểm AD BC Điểm E thuộc tia đối tia BA Tính độ dài BE , biết diện tích tam giác IBE diện tích hình thang ABCD 55 Cho hình bình hành ABCD có diện tích S Các điểm E , F , G, H theo thứ tự thuộc cạnh AE BF CG DH AB, BC , CD, DA cho AB BC CD DA Các đoạn thẳng AF , CH , BG , DE cắt tạo thành tứ giác Tính diện tích tứ giác 56 Cho hình chữ nhật ABCD có AD 50 cm, AB 75 cm Điểm E cạnh AB cho AE 45 cm, điểm F cạnh CB cho CF 30 cm Tìm vị trí điểm I đoạn thẳng EF cho gọi H K hình chiếu I AD CD hình chữ nhật DHIK có diện tích lớn 57 Cho tam giác nhọn ABC Tìm vị trí điểm M cạnh BC cho tích khoảng cách từ M đến AB AC có giá trị lớn Ba đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song 58 Cho tam giác ABC vng A có B 3 , điểm D thuộc tia đối tia BC cho BAD Gọi I trung điểm AD Chứng minh rẳng AIC BID 59 Cho tứ giác ABCD , điểm I thuộc tia đối tia CA Lấy điểm E thuộc cạnh AB , gọi G giao điểm IE BC Đường thẳng qua E song song với BD cắt AD F , đường thẳng qua G song song với BD cắt CD H a Chứng minh ba điểm F , H , I thẳng hàng b Tứ giác ABCD có điều kiện EH FG cắt đường chéo AC Định lí Ta - lét đảo 60 Cho tam giác ABC có M trung điểm AB , E thuộc cạnh BC cho BE 2 EC BEM CEA Chứng minh ACB 90 61 Cho ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng nằm phía đường thẳng d AB không song song với d Dựng điểm E F thuộc d cho AE song song với BF ECF 900 Tính chất đường phân giác tam giác S , BC AB 62 Cho tam giác ABC cân A có diện tích Các đường phân giác BD CE cắt I Tính diện tích tứ giác AEID 63 Cho tam giác ABC vng A có B 60 , đường cao AH , diện tích S Đường phân giác góc B cắt AH AC theo thứ tự I D Gọi E giao điểm CI AB Tính: AE ; a EB b Diện tích tam giác DEH 64 Cho tam giác ABC vuông A , đường trung tuyến AM , đường cao AH Đường vng góc với AM A đường vng góc với CM C cắt K Gọi I giao điểm BK AH Chứng minh AI IH 65 Cho tam giác ABC cân A , đường phân giác BD Điểm E thuộc tia đối tia CA cho CE CB Lấy điểm I thuộc cạnh AB Gọi G giao điểm IC BD , H giao điểm IE BC Chứng minh GH song song với AC 66 Cho tam giác ABC , AB c, AC b, BC a , đường phân giác AA, BB, CC Gọi a khoảng cách từ A đến AB , b khoảng cách từ B đến BC , c khoảng cách từ C đến CA Gọi , hb , hc chiều cao a b c h a , b , c tương ứng với cạnh Chứng minh a hb hc LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ Chuyên đề ĐỊNH LÍ TA-LÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC Bài 48 ( Hình 207) A O B Hình 207 C 1 OA OA 1 OA AB AC AB AC OA OA 1 AB AC OA AC OA OA OC AB AC AB AC OA OC OA OC OA2 OB.OC AB OA AC OC OB OA Bài 49 ( Hình 208) AM AE 1 AM AC MC CD CN CF 1 CN AC NA AD MN 1 1 12 Suy AC A B M N D 5 SDMN SADC S 12 24 F C Hình 208 Bài 50 ( Hình 209) A Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB, kẻ EH // BC BH CE AD HB AD Ta có AB AC AB E D M I E H B Hình 209 C MD MH Từ MI // HE // BC MI qua trung điểm đoạn thẳng AC 51.(h.210)Bằng cách đặc biệt hóa, ta E dự đốn EF qua đỉnh D hình bình hành ABCD BA 1 Do BE nên E thuộc tia đối A D tia AB B Gọi F’ giao điểm ED BC, Hình 210 BA BC 1 chứng minh BE BF để C F suy F’ trùng F 52.(h.211)Qua D B, vẽ đường thẳng song song với AC, cắt GH theo thứ tự I K AG AE EC Ta có GD ID ID , CH EC HB BK mà DI BK (dễ B A I F G H E D K C Hình 211 AG CH chứng minh) nên GD HB I 53.(h.212)Đường thẳng qua B song song G với AD cắt IH G AH BG IB Ta có HD HD ID Gọi E giao điểm AB IN Ta có A M E B K H BK BE BE IB KC NC DN ID D Hình 212 N C 54.(h.213)Kẻ IH ⊥ CD, cắt AB K Ta có AB // CD IK IB AB IH IC CD IK IH ; KH IH 9 I Ta có S IBE S ABCD AB CD BE.IK KH 2 56 BE IH 14 IH BE 11, 9 (cm) K A E B D H C Hình 213 55.(h 214) Kí hiệu tứ giác phải tìm diện tích MNIK hình 214 Dễ chứng minh DE // BG; AF // CH nên E A MNIK hình bình hành H Đặt MN = a Từ định lý Ta-lét ta có B M I N BM = 2MN = 2a, ∆IDM = ∆MBF (g.c.g) 4a NG ID 3 Suy Do BG 2a a F O ID BM 2a D C G Hình 214 4a 13a 3 3 1 S MNIK S BEDG S S MN BG 13 13 13 13 Do nên M 56.(h.215)Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EF với DA, DC A Trước hết, tìm vị trí I MN để H E B I F S DHIK lớn nhất, ta I trung điểm D K C Hình 215 N MN (giải tương tự Bài tập 30b) Tính AM, CN dễ thấy EM = FN, suy trung điểm I MN trung điểm EF 57.(h.216)Kẻ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC, A CK ⊥ AB, BH ⊥ AC Đặt MD = x, BH = m, CK = n H MD ME MB MC 1 Ta có CK BH BC BC K D x ME 1 n n B ME x n x 1 m n n M Hình 216 m ME (n x) n m m MD.ME ( x nx) n n max(MD.ME ) E C n n m n mn x 2 n 4 mn n x M trung điểm BC 58.(h.217)Qua B kẻ đường thẳng song song A với AD, cắt CI CA E F F Do AI = ID nên EF = EB = EA Hãy chứng minh ^ D= ^ DAE (¿ α ) I DAE D 2 để suy ADBE hình thang cân, B EE D AB ^ AIC=B ID từ chứng minh AIC BID ^ F C N Hình 217 O K G 59.(h.218)a) Gọi M, O, N theo thứ tự giao điểm GH, BD, EF M D H Hình 218 C I I' với AC Đặt MG = a, MH = b, NE = c, NF = d a OB c Ta có b OD d c b d d (1) Gọi I’ giao điểm FH tia CI Ta có IM a I ' M b IM I ' M , IN c I ' N d Do (1) nên IN I ' N I’ trùng I a MK b b) Điều kiện để EH cắt FG K thuộc AC b KN c (2) a b2 a b OB OD Nhân (1) với (2) cd cd A BE BM ( 2) 60.(h.219) Gọi I trung điểm MA EC MI I K M ME //IC (định lý Ta – lét đảo) Gọi K giao điểm IC AE AK = KE ^ ^ ^ IC // ME C1 E1 E2 C 1= E1= E KE KC (2) B E Hình 219 ACB=90 ° Từ (1) (2) suy ACB 90 ^ A 61 (h.220) C B Dựng giao điểm I AB d Dựng đường thẳng qua A song song với BC, cắt IC K A Dựng đường trịn có đường kính KC, cắt d E E O K I C D Dựng đường vng góc với EC C, cắt d F F E I B d Hình M 220 Hình 221 C 62 (h.221) Gọi M giao điểm IA BC AE AI ; Dùng tính chất đường phân giác, ta tính AB AM nên S AEI Do 9 S ABM S 20 40 S AEID S 20 63.(h.222) a) Do B 60 ^B=60 ° nên BC = 2AB = 4HB AD AB Do BD tia phân giác góc B nên DC BC Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt CE BD theo thứ tự M N AE AM AM AN HC AD 3 AN BC HB DC 2 Ta có EB BC b) Theo bổ đề hai tam giác có góc (Ví dụ 14) ta có: S ADE AE AD 1 S BEH BE BH 1 ; S AB AC 5 S BA BC 10 S DEH SCDH CD CH 1 S CA CB Suy S 1 1 10 S DEH S Vậy K 64.(h.223) A ^ ^ A2 ^ A2 phụ ABM ^ BAM ABM mà A phụ BAM , A 2, BAM= ^ ABM nên A1 A2 A1= ^ BAM ABM ^ A suy AB đường phân giác AI BI IH AIK AK BK KC B H M Hình 223 C Hãy chứng minh AK = KC để suy AI = IH A 65.(h.224) Kẻ IK // AC Theo định lí Ta-lét tính chất đường phân giác ta có D I KH IK BI IG HC CE BC GC GH // IK // AC G C B K H Hình 224 66.(h.225) E Xét ABA ' có a ' c 2 S ABA ' BA '.ha a ' BA ' c (1) A Theo tính chất đường phân giác BA ' c BA c A 'C b BA A ' C c b BA a c b c (2) a' a Từ (1) (2) suy b c b h c a' B a' b' c' a b c h h h b c c a a b a b c Do a b c Bạn đọc tự chứng minh bất đẳng thức b c c a a b A' Hình 225 C
Ngày đăng: 26/10/2023, 11:12
Xem thêm:
