TÝnh ®é s©u BD cña giÕng.[r]
(1)Chuyên đề:
Phơng pháp tam giác đồng dạng trong giải tốn hình học phẳng Cấu trúc chuyên đề
PhÇn I
KiÕn thức
1 §inh lý Talet tam gi¸c.
Nếu đờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ
MN // BC
AM AN AB AC AM AN MB NC
2 Khái niệm tam giác đồng dạng.
Tam giác A’B’C’ gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: + A 'A ; B 'B ; C 'C
' ' ' ' ' ' A B B C A C
AB BC AC
3 Các trờng hợp đồng dạng tam giác:
a) Trêng hỵp thø nhÊt (ccc):
Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác tam giác đồng dạng
b) Trêng hỵp thø 2(cgc):
Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác góc tạo tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng
c) Trêng hỵp thø 3(gg):
Nếu góc tam giác lần lợt góc tam giác hai tam giác đồng dạng
d) Các trờng hợp đồng dạng tam giác vuông
+ Tam giác vuông có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác đồng dạng
+ Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỷ lẹ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng
+ Nếu cạnh huyền cạnh tam giác vuông tỷ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giỏc ú ng dng
Phần III
Các dạng to¸n thĨ
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tỷ số , diện tích
Loại 1: Tính độ dài đoạn thẳng
-+ VÝ dơ minh häa:
Bµi 36 79 SGK (có hình vẽ sẵn)
ABCD lµ h.thang (AB // CD) A 12,5 B GT AB = 12,5cm; CD = 28,5cm
A
C
M N
(2)
DBA = DBC
x KL x = ?
D C Giải ABD BDC có : DAB = DBC (gt)
1
B = D1 ( so le AB // CD) ABD P BDC (g.g)
AB
BD =
BD
DC hay 12,5
x = x 28,5 x2 = 12,5 28,5 x =
√12,5 28,5 18,9(cm)
Bµi 35 – 72 – SBT:
A ABC; AB = 12cm; AC = 15cm 10 GT BC = 18dm; AM = 10cm; AN = 8cm
KL MN = ? M N
B C Giải
Xét ABC ANM ta cã :
AM
AC =
10
15 =
2 AN
AB =
18
12 =
2
Mặt khác, cã A chung
Vậy ABC PANM (c.g.c) Từ ta có : AB
AN =
BC
NM hay 12 18=
18
MN
8 18
12 = 12(cm)
Bµi tËp 3:
a) Tam giác ABC có B = 2C ; AB = 4cm; BC = 5cm Tính độ dài AC?
b) Tính độ dài cạnh ABC có B = 2C biết số đo cạnh số tự nhiên liên tiếp
A Gi¶i
a) Trên tia đối tia BA lấy BD = BC B ACD ABC có A chung; C = D = ACD PABC (g.g)
AC
AB =
AD
AC AC2 = AB AD
D C = = 36 AC = 6(cm)
b) Gọi số đo cạnh BC, AC, AB lần lợt a, b, c Theo c©u (a) ta cã
AC2 = AB AD = AB(AB+BC) b2 = c(c+a) = c2 + ac (1)
Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên có khả là:
AM
AC =
(3)b = c + hc b= c +
* NÕu b = c + th× tõ (1) (c + 1)2 = c2 + ac 2c + = ac
c(a-2) = (lo¹i) v× c= ; a = 3; b = không cạnh tam giác * Nếu b = c + th× tõ (1) (c + 2)2 = c2 + ac 4c + = ac
c(a – 4) =
XÐt c = 1, 2, chØ cã c = 4; a = 5; = tháa m·n toán Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm
Bài tập đề nghị:
+ Bài 1: Cho ABC vng A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đờng trung trực BC cắt BC , BA, CA lần lợt M, E, D Tính độ dài đoạn BC, BE, CD
+ Bµi 2: H×nh thoi BEDF néi tiÕp ABC (E AB; D AC; F AC)
a) TÝnh c¹nh h×nh thoi biÕt AB = 4cm; BC = 6cm Tỉng qu¸t víi BC = a, BC = c b) Chøng minh r»ng BD < ac
a+c víi AB = c; BC = a
c) Tính độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n Cạnh hình thoi d
Lo¹i 2: TÝnh gãc
VÝ dô minh häa:
+ Bài 1: Cho ABH vng H có AB = 20cm; BH = 12cm Trên tia đối HB lấy điểm C cho AC =
3 AH TÝnh BAC.
A
ABH; H = 900 ; AB = 20cm
20 GT BH = 12cm; AC =
3 AH
KL BAC = ? B 12 H C Gi¶i:
Ta cã AB
BH=
20 12=
5 3=
AC AH
AB
AC=
BH AH
XÐt ABH vµ CAH cã : AHB = CHA
= 900 AB
AC=
BH
AH (chøng minh trªn)
ABH PCAH (CH c¹nh gv) CAH = ABH L¹i cã BAH + ABH = 900 nªn BAH + CAH = 900
Do : BAC = 900
Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 600 Một đờng thẳng qua C cắt
tia đối tia BA, DA tơng ứng M, N Gọi K giao điểm BN DM Tính BKD? M
(4)B GT BN DM t¹i K KL TÝnh BKD = ? K C
A D
Giải: N
Do BC // AN (vì N AD) nªn ta cã : MB
AB =
MC
NC (1)
Do CD // AM (vì M AB) nên ta có : MC
NC =
AD
DN (2)
Tõ (1) vµ (2) MB
AB =
AD DN
ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) A = 600 nên AB = BD = DA
Tõ MB
AB =
AD
DN (cm trªn) MB
BD =
BD DN
Mặt khác : MBD = DBN = 1200
XÐt 2MBD vµ BDN cã : MB
BD =
BD
DN ;
MBD = DBN MBD P BDN (c.g.c)
M 1 = B1
MBD vµ KBD cã M1 = B1; BDM chung BKD = MBD = 1200
VËy BKD= 1200
Bài tập đề nghị:
ABC cã AB: AC : CB = 2: 3: vµ chu vi b»ng 54cm; DEF cã DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm
a) Chøng minh AEF PABC
b) BiÕt A = 1050; D = 450 Tính góc lại
Loại 3: Tính tỷ số đoạn thẳng, tỷ số chu vi, tỷ số diện tích
VÝ dơ minh häa:
+ Bµi 1: Cho ABC, D điểm cạnh AC cho BDCABC BiÕt AD = 7cm; DC = 9cm TÝnh tû sè BD
BA
B ABC; D AC : BDCABC; GT AD = 7cm; DC = 9cm
KL TÝnh BD
BA
C B A
Giải:
CAB CDB có C chung ; ABC = BDC (gt) CAB PCDB (g.g) CBCD=CA
CB ta có :
CB2 = CA.CD
Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = + = 16 (cm) Do CB2 = 9.16 = 144 CB = 12(cm)
Mặt khác lại có : DB
BA=
3
(5)A
A’ ABC vµ A’B’C’: AB =6 ; GT AC = 9; A’C’ = 6; B’C’ =
KL a) ABC PA’B’C’
B 12 C B’ 12 C’ b) TÝnh tØ sè chu vi cña A’B’C’ ABC
Giải:
a) ABC PABC (c.c.c) Vì A ' B '
AB =
A ' C '
AC =
B' C '
BC =
2
b) A’B’C’ PA+B+C+ (c©u a) A ' B '
AB =
A ' C '
AC =
B' C '
BC =
A ' B '+A ' C '+B ' C ' AB+AC+BC
= 4+6+8
6+9+12= 18 27
VËy ChuviΔA ' B' C '
ChuviΔABC =
18 27
+ Bµi 3: Cho hình vuông ABCD, gọi E F theo thứ tự trung điểm Ab, BC, CE cắt DF ë M TÝnh tû sè SCMB
SABCD
?
D C Hình vuông ABCD; AE = EB ; M GT BF = CF; CE DF t¹i M
F KL TÝnh SCMB
SABCD
? A E B Giải:
Xét DCF CBE có DC = BC (gt); C = B = 900; BE = CF
DCF = CBE (c.g.c) D1 = C
Mµ C +
C2 = 1v C 1 + D
1 = 1v CMD vuông M CMD PFCD (vì D =
C2 ; C = M ) DC
FD =
CM FC SCMD
SFCD
= CD
2
FD2 SCMD = CD2
FD2 SFCD
Mµ SFCD =
2 CF.CD =
2
1
2 BC.CD =
4 CD2
VËy SCMD = CD
2
FD2
1
4 CD2 =
4
CD4
FD2 (*)
áp dụng định lý pitago vào tam giác vng DFC, ta có: DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + (
2 BC)2 = CD2 +
4 CD2 =
4 CD2
Thay DF2 =
4 CD2 ta cã :
SCMD =
5 CD2 =
5 SABCD
SCMB
SABCD
=
5
Bài tập đề nghị:
Cho ABC, D lµ trung điểm BC, M trung điểm AD
a) BM cắt AC P, P’ điểm đối xứng củ P qua M Chứng minh PA = P’D Tính tỷ số PA
PC vµ AP AC
b) Chøng minh AB c¾t Q, chøng minh r»ng PQ // BC TÝnh tû sè PQ
BC vµ
PM MB
6
(6)c) Chøng minh r»ng diƯn tÝch tam gi¸c BAM, BMD, CAM, CMD b»ng TÝnh tû sè diÖn tích MAP ABC
Loại 4: Tính chu vi hình + Bài 1(bài 33 72 SBT)
ABC; O n»m ABC;
GT P, Q, R trung điểm OA, OB, OC KL a) PQR PABC
b) TÝnh chu vi PQR BiÕt chu vi ABC 543cm
Gi¶i:
a) PQ, QR RP lần lợt đờng trung bình OAB , ACB OCA Do ta có :
PQ =
2 AB; QR =
2 BC ; RP =
2 CA
Từ ta có : PQ
AB=
QR
BC=
RP
CA=
1
2 A PQR PABC (c.c.c) với tỷ số đồng dạng K = 12 P b) Gọi P chu vi PQR ta có : O
P’ lµ chu vi cđa PQR ta cã : Q R
P ' P =K=
1
2 P’ =
2 P =
2 543 = 271,5(cm) B
C
VËy chu vi cña PQR = 271,5(cm)
+ Bài 2: Cho ABC, D điểm cạnh AB, E điểm cạnh AC cho DE // BC
Xác định vị trí điểm D cho chu vi ABE =
5 chu vi ABC
Tính chu vi tam giác đó, biết tổng chu vi = 63cm
A ABC; DE//BC; C.viADE=
5 C.vi ABC
GT C.vi ADE + C.viADE = 63cm D E KL TÝnh C.vi ABC vµ C.vi ADE
B C
Gi¶i:
Do DE // BC nên ADE PABC theo tỷ số đồng dạng K = AD
AB =
2
5 Ta cã
ChuviΔADE'
ChuviΔABC =
2
5
ChuviΔABC
5 =
ChuviΔADE
2 =
ChuviΔABC+ChuviΔADE
%+2 =
63
7 =
Do đó: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm) Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm)
(7)+ Bài 1: A’B’C’ PABC theo tỷ số đồng dạng K = 52
Tính chu vi tam giác, biết hiệu chu vi tamgiasc 51dm
+ Bài 2: Tính chu vi ABC vng A biết đờng cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành tam giác có chu vi 18cm 24cm
Lo¹i 5: TÝnh diƯn tÝch hình + Bài 1(Bài 10 63 SGK):
A ABC; đờng cao AH, d// BC, d cắt AB, AC, AH GT theo thứ tự B’, C’, H’ B’ H’ C’ KL a) AH'
AH =
B' C ' BC
b) BiÕt AH’ =
3 AH; SABC = 67,5cm2
B H C TÝnh S
A’B’C’ Giải:
a) Vì d // BC AH'
AH =
B ' H '
BH =
H ' C '
HC =
B ' H '+H ' C '
BH+HC =
B ' C '
BC (®pcm)
b) Tõ AH'
AH =
B' C '
BC (
AH'
AH )2 =
AH'.B ' C '
AH BC =
2SΔAB' C '
2SΔABC
= SΔAB'C '
SΔABC
Mµ AH’ =
3 AH
AH'
AH =
1
3 ( AH'
AH )2 = (
1
3 )2 =
VËy SΔAB'C '
SΔABC
=
9 vµ SABC = 67,5cm2
Nªn ta cã : SΔAB'C '
SΔABC
=
9
SΔAB'C '
67,5 =
1 SAB’C’ = 67,5
9 = 7,5(cm2)
+ Bµi 2(bµi 50 – 75 – SBT)
ABC(A = 900); AH BC
GT BM = CM; BH = 4cm; CH = 9cm KL TÝnh SAMH
Gi¶i: A XÐt vuông HBA vuông HAC có :
BAH + HAC = 1v (1)
HCA + HAC = 1v (2)
Tõ (1) vµ (2) BAH = HCA
VËy HBA P HAC (g.g) B H M C
HB
HA=
HA
HC HA2 = HB.HC = 4.9 = 36 HA = 6cm
L¹i cã BC = BH + HC = 4cm + 9cm = 13cm SABM =
2 SABC =
6 13
2 = 19,5(cm2)
SAHM = SBAH = 19,5 -
2 4.6 = 7,5(cm2)
VËy SAMH = 7,5(cm2)
(8)ABC h×nh b×nh hµnh AEDF
GT SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2
KL TÝnh SAEDF Gi¶i:
Xét EBD FDC có B= D1 (đồng vị DF // AB) (1)
E1 = D2 ( so le AB // DF)
D2 = E1 ( so le DE // AC)
Tõ (1) vµ (2) EBD PFDC (g.g) Mµ SEBD : SFDC = : 12 = : = (
2 )2
Do : EB
FD=
ED FC =¿
1
2 FD = 2EB vµ ED =
2 FC A AE = DF = 2BE ( v× AE = DF) F
AF = ED =
2 EC ( v× AF = ED) E
VËy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm2)
SADF =
2 SFDC =
2 12 = 6(cm2) B D C SAEDF = SADE + SADF = + = 12(cm2)
Bài tập đề nghị:
+ Bài 1:Cho hình vng ABCD có độ dài = 2cm Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AD, DC Gọi I, H theo thứ tự giao điểm AF với BE, BD
TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c EIHD
+Bài 2: Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm2, diện tích ABC 11cm2 Qua
B kẻ đờng thẳng // với AC cắt AD M, cắt CD N Tính diện tích MND
+ Bài 3: Cho ABC có B C nhọn, BC = a, đờng cao AH = h Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M AB; N AC; PQ BC
a) TÝnh diƯn tÝch h×nh chữ nhật hình vuông b) Tính chu vi hình chữ nhật a = h
c) Hình chữ nhật MNPQ có vị trí diện tích có giá trị lớn Dạng II:
Chứng minh hệ thức, đẳng thức nhờ tam giác đồng dạng
I Các ví dụ định hớng giải:
1 VÝ dơ 1: Bµi 29(SGK – T79) – (H8 – TËp 2)
Cho hình thang ABCD(AB // CD) Gọi O giao điểm 2đờng chéo AC BD a) Chứng minh rằng: OA OD = OB OC
b) Đờng thẳng qua O vuông góc với AB CD theo thứ tự H K CMR: OA
OK =
AB CD
* Tìm hiểu toán : Cho gì?
Chng minh gì? * Xác định dạng tốn:
? §Ĩ chứng minh hệ thức ta cần chứng minh điều g×? TL: OA
OC =
OB OD
? Để có đoạn thẳng ta vận dụng kiến thức TL: Chứng minh tam giác đồng dạng
a) OA OD = OB.OC Sơ đồ :
+ A1 =
C1 (SLT l AB // CD)
B H
O A
(9)P
+ AOB = COD ( Đối đỉnh)
OAB POCD (g.g)
OA
OC =
OB
OD
OA.OD = OC.OC b) OH
OK =
AB CD
Tû sè OH
OK b»ng tû sè nµo?
TL : OH
OK =
OA OC
? Vậy để chứng minh OH
OK =
AB
CD ta cần chứng minh điều
TL: AB
CD =
OA OC
Sơ đồ :
+H = K = 900
+ A1 =
C1.(SLT; AB // CD) C©u a
OAH POCK(gg) OAB P OCD
OH
OK =
OA
OC
AB CD =
OA OC OH
OK = AB CD
2 VÝ dơ 2:
Cho hai tam gíac vng ABC ABD có đỉnh góc vng C D nằm nửa mặt phẳng bờ AB Gọi P giao điểm cạnh AC BD Đờng thẳng qua P vng góc với AB I
CMR : AB2 = AC AP + BP.PD
O C
A I B Định hớng:
- Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB)
AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB AI + AB IB)
- ViÖc chứng minh toán đa việc chứng minh c¸c hƯ thøc AB.AI = AC.AP
AB.IB = BP.PD
- HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức (P) Sơ đồ : + D = I = 900 + C = I = 900
+ PBI chung + PAI chung D
K C
(10)
ADB PPIB ACB P AIP (gg)
AB PB =
DB IB
AB
AP = AC
AI
AB.AI = PB.DB AB AI = AC AP AB IB + AB AI = BP PD + AC AP
AB (IB + IA) = BP PD + AC AP
AB2 = BP PD + AC AP
3 Ví dụ 3: Trên sở ví dụ đa toán sau:
Cho nhọn ABC, đờng cao BD CE cắt H A CMR: BC2 = BH BD + CH.CE D Định hớng: Trên sở tập E Học sinh đa hớng giải tập H Vẽ hình phụ (kẻ KH BC; K BC)
Sư dơng P chøng minh t¬ng tù vÝ dơ B C
4 Ví dụ 4: Cho ABC, I giao điểm đờng phân giác, đờng thẳng vng góc với CI I cắt AC BC lần lợt M N Chứng minh
a) AM BI = AI IM A
b) BN IA = BI NI M c)
AM BN =
2
AI BI
* Định hớng:
a) ? Để chøng minh hÖ thøc AM BI = AI B N C IM ta cÇn chøng minh ®iỊu g×
AM IM AI BI
b) Để chứng minh đẳng thức ta cần chứng minh điều ( AMI P AIB)
Sơ đồ:
1
A = A2 (gt) I1 = B * CM: I1 = B
v MIC: IMC = 900 - C
AMI PAIB (gg) ABC: A + B +C = 1800(t/c tæng )
A
+
B
+
C
= 900 AM
AI = IM
BI Do đó: IMC = A
+
B
(1)
Mặt khác: IMC= A1 + I1(t/c gãc ngoµi ) AM BI = AI IM hay IMC =
A
(11)Tõ 91) vµ (2) B
= I1 hay B1 = I1
AMI P AIB (A1 = A ; I1 = B1)
AM AI =
IM
BI AM BI = AI IM
b) T¬ng tù ý a
Chøng minh BNI PBIA (gg)
BN BI =
NI
IA BN IA = BI IN
c) (C©u a) (C©u b)
- HS nhËn xÐt
AI IA =
2
AI
BI AMI P AIB BNI P BIA
TÝnh AI2 ; BI2
2
AI
BI AM
AI = IM
BI BI AB =
BN BI
(TÝnh AI2 ; BI2 nhê P) AI2 = AM AB BI2 = BN AB
2
AI BI =
AM BN
2
AI BI =
AM BN II Bài tập đề nghị:
+ Bài 1: Cho hình ABCD (AB // CD), gọi O giao điểm đờng chéo Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy cắt BC I cắt AD J
CMR : a) OI =
1 AB +
1 CD
b)
IJ = AB +
1 CD
+ Bài 2: Cho ABC, phân giác AD (AB < AC) tia đối tia DA lấy điểm I cho ACI = BDA
CMR: a) AD DI = BD DC b) AD2 = AB AC - BD DC
D¹ng 3: Chøng minh quan hƯ song song
I Mơc tiªu chung :
- Học sinh vận dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, trờng hợp đồng dạng tam giác, định lý Ta – lét đảo, để giải toán chứng minh quan hệ song song
(12)- Rèn kỹ t duy, suy luận lô gic, sáng tạo giải tập
II Kiến thức ¸p dông.
- Định nghĩa tam giác đồng dạng
- Các trờng hợp đồng dạng tam giác
- Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song * Ví dụ minh họa:
+ VÝ dơ 1:
Cho h×nh thang ABCD (AB // CD) Gäi M trung điểm CD, E giao điểm MA BD; F giao điểm MB vµ AC
Chøng minh r»ng EF / / AB
A B ABCD (AB // CD) DM = MC E F gt MA DB =
EMB AC =
F KL EF // ABD M C
Định h ớng giải:
- S dng trng hợp đồng dạng tam giác - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng
- Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song (định lý Ta lét đảo)
Sơ đồ phân tích:
AB // CD (gt) AB // CD (gt)
AB // DM AB // MC
MED P AEB GT MFC PBFA
ME
EA = MD
AB ; MD = MC
MF
FB = MC
AB
ME EA =
MF FB
EF // AB (Định lý Ta lét đảo) + Ví dụ 2:
Cho ABC có góc nhọn, kẻ BE, CF hai đờng cao Kẻ EM, FN hai đờng cao AEF
Chøng minh MN // BC
Sơ đồ phân tích
AMF P AFC (g.g); AFN PABE A
M N
AM AF =
AE AC
AF
AB = AN
AE F E
AM AF
AF
AB = AE AC
AE
(13) AM
AB = AN
AC
MN // BC (định lý Ta – lét o)
+ Ví dụ 3: Cho ABC, điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tû sè : 2, c¸c điểm I, K theo thứ tự chia đoạn th¼ng ED, FE theo tØ sè : Chøng minh r»ng IK // BC
Gäi M lµ trung ®iĨm cđa AF
Gäi N lµ giao ®iĨm cđa DM vµ EF A
XÐt ADM vµ ABC cã : D M N
AD AB =
AM AC =
1
3 Gãc A chung
ADM PABC (c.gc) B E C
ADM = ABC mà góc vị trí đồng vị nên DM // BC MN // EC mà MF = FC nên EF = FN
Ta cã :
EK EN =
EK EF
EF EN =
2 3
1 2 =
1 3 (1) mµ
EI ED =
1
3 (gt) (2) Tõ 91) vµ (2)
EK EN =
EI
ED Suy IK // DN (định lý Ta – lét đảo)
VËy IK // BC
* Bài tập đề nghị:
Cho tứ giác ABCD, đờng thẳng qua A song song với BC cắt BD Đờng thẳng qua B song song với AD cắt AC G Chứng mi9nh EG // DC
Dạng : Chứng minh tam giác đồng dạng
I Các ví dụ định h ớng giải:
+ VÝ dô:
Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm Trên AB lấy điểm D cho AD = 3,2cm, AC lấy điểm E cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB F a) CMR : ABC PAED
b) FBD PFEC c) Tính ED ; FB? Bài toán cho gì?
Dạng toán gì?
chng minh ng dạng có phơng pháp nào? Bài sử dụng trờng hợp đồng dạng thứ mấy?
Sơ đồ chứng minh: a) GT
A chung
AB AE =
AC AD = 2
I K
F
B F
D
A E
3,6
C
(14)
ABC PAED (c.g.c) ABC P AED (c©u a) b)
C = D 1 ; D1 = D2
C = D2
F chung
FBD P FEC (g.g)
c) Từ câu a, b hớng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED FB
+ VÝ dơ 2: Cho ABC cân A; BC = 2a; M trung điểm BC Lấy điểm D E AB; AC cho DME = B
a) CMR : BDM PCME b) MDE PDBM c) BD CE không đổi
? Để chứng minh BDM PCME ta cần chứng minh điều ? Từ gt nghĩ đến 2 P theo trờng hợp (g.g) ? Gt cho yếu tố góc (B = C )
? Cần chứng minh thêm yếu tố (D 1 = M 2) a) Hớng dẫn sơ đồ
gt gãc ngoµi DBM
B = M 1; DMC = M 1 + M 2; DMC = D1 + B1 ABC c©n
B = C ; D1 = M ❑
BDM P CME (gg) C©u a gt b)
DM
ME = BD
BM ; CM = BM
❑
DM
ME = BD BM
1
B = M 1(gt) ;
DM ME BD BM
DME PDBM (c.g.c) c) Tõ c©u a : BDM PCME (gg)
BD BM
CM CE BD CE = Cm BM
Mµ CM = BM =
BC
= a
A
E
C M
B D
1
(15) BD CE = a
(không đổi) L
u ý: Gắn tích BD CB độ dài không đổi Bài cho BC = 2a khụng i
Nên phải hớng cho học sinh tính tÝch BD CE theo a + VÝ dô 3: Cho ABC có trung điểm
của BC, CA, AB theo thứ tự D, E, F Trên cạnh BC lấy điểm M N cho BM = MN = NC Gọi P giao điểm AM BE; Q giao điểm CF AN
CMR: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng b) ABC PDQP
* H ớng dẫn
a) Giáo viên hớng dẫn học sinh chứng minh điểm thẳng hàng có nhiều phơng pháp Bài chọn phơng pháp nào?
- Lu ý cho học sinh cho trung điểm nghĩ tới đờng trung bình Từ nghĩ đến chọn phơng pháp: CM cho đờng thẳng PD FP // AC PD đờng trung bình BEC PD // AC
FP đờng trng bình ABE FP // AC Tơng tự cho điểm D, Q, E
b) PD =
2 EC = 2.
AC
=
AC AC
PD =
4 AC
AB
QD =
4QD QD
AC AB
DP QD ; BAC EDP
ABC PDQP (c.g.c)
Dạng chứng minh tam giác đồng dạng. II Bài tập đề nghị
+ Bài 1: Cho ABC, AD phân giác A; AB < AC Trên tia đối DA lấy điểm I cho ACI BDA Chứng minh rằng.
a) ADB P ACI; ADB PCDI b) AD2 = AB AC - BD DC
+ Bài 2: Cho ABC; H, G, O lần lợt trực tâm, trọng tâm, giao điểm đờng trung trực Gọi E, D theo thứ tự trung điểm AB AC
Chøng minh : a) OED P HCB b) GOD P GBH
c) Ba ®iĨm O, G, H thẳng hàng GH = 2OG
+ Bi 3: Cho ABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm Gọi M trung điểm BC Qua M kẻ đờng vng góc với BC cắt AC, AB lần lợt D, E
a) CMR : ABC P MDC b) Tính cạnh MDC c) Tính độ dài BE, EC
+ Bµi 4: Cho ABC; O trung điểm cạnh BC
A
Q F
B
M D N C
P
E
F, P, D thẳng hàng
BAC DEC (Đơn vị EF // AB)
(16)D E
A B
F
C Gãc xoy = 600; c¹nh ox c¾t AB ë M; oy c¾t AC ë N.
a) Chøng minh: OBM PNCO b) Chøng minh : OBM PNOM
c) Chøng minh : MO vµ NO phân giác BMN CNM d) Chứng minh : BM CN = OB2
D¹ng 5: Chøng minh đoạn thẳng nhau, góc Ví dụ 1: Bµi 20 T 68 – SGK
Cho hình thang ABCD (AB// CD) Hai đờng chéo AC BD cắt O Đờng thẳng a qua O song song với đáy hình thang cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự E F
Chứng minh : OE = Oì
Định híng
H:Bài cho đờng thẳng EF // AB (và CD) TL: Các tam giác đồng dạng đoạn thẳng tỷ lệ
H: EO đoạn hình vẽ thờng lập đợc tỷ số?
TL:
EO DC .
H: Vậy OF đoạn nào? (gợi ý) TL:
OF DC
S giải
OE = OF OE
DC = OF DC
OE DC =
AO AC ;
OF DC =
BO BD;
AO AC =
BO BD AEC BOF AOB
P P P
ADC BDC COD
EF // DC AB // CD
gt
H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng (OE = OF) ta đa chứng minh điều gì?
TL :
EO DC =
OF DC (1)
H: OE; DC cạnh tam giác nào? (AEO; ADC, tam giác đồng dng cha? Vỡ dao?
H: Đặt câu hỏi tơng tù cho OF , DC H: lËp tû sè b»ng
EO DC =
OF DC
TL:
EO DC =
AO AC ;
OF DC =
BO BD
H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì? TL:
AO AC =
BO BD
(17)D M
A B
Q C P
N
O E
x
y D
I C A
B TL: AOB; COD
H: Hãy chứng minh điều Ví dụ 2: Bào 10 – T67 – SGK:
Cho hình thang ABCD (AB // CD) đờng thẳng song song với đáy Ab cắt cạnh bên đờng chéo AD, BD, AC BC theo thứ tự điểm M, N, P, Q
CMR: MN = PQ
Định hớng giải: Đây tập mở rộng so víi vÝ dơ
Từ hệ định lý Talet cho ta tam giác đồng dạng ta chứng minh đợc:
MN AB =
DM DA PQ
AB = CQ CB DM
DA = CQ
CB(kÐo dµi AD cắt BC E
chứng minh
MN DA =
CQ
CB MN = PQ
VÝ dô 3: Bµi 32 – T77 – SGK
Trên cạnh góc xoy (xoy 1800), đặt đoạn thẳng OA = 5cm, OB =
16cm Trên cạnh thứ góc đó, đặt đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm a) Chứng minh hai tam giác OCB OAD đồng dạng
b) Gọi giao điểm cạnh AB BC I, CMR: Hai tam giác IAB IBC có góc đôi
O
10
OC OA =
OB
OD OBC P ODA
Gãc O chung
c) IAB ICD ta dễ nhìn thấy khơng Do để chứng minh chúng có góc đơi ta chứng minh đồng dạng
Vì OBC P ODA nên OBC = ODA (1) Mặt khác ta có AIB CID (đối đỉnh) BAI PDCI (g.g)
BAI DCI
VÝ dơ 4: Bµi 36 – T72 – SGK
H×nh thang ABCD (AB // CD) cã AB = 4cm, CD = 16cm vµ BD = 8cm Chøng minh : Ta chØ xÐt chøng minh BAD DBC
Xét BAD DBC có AB // CD :
(18)L B
K E
C P
A
M O N D
A B
C
8 AB
BD
16 BD
DC
AB BD
BD DC ( cïng b»ng 2)
BAD PDBC (c.g.c) BAD DBC
VÝ dơ 4: Bµi 60 – T77 – SBT
Tam giác ABC có hai trung tuyến AK CL cắt O Từ điểm P cạnh AC, vẽ đờng thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( E thuộc BC, F thuộc AB) trung tuyến Ak, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự M, N
Chứng minh đoạn thẳng FM, MN, NE Định hớng giải:
T gi thit cho song song ta suy tỷ lệ thức tam giác đồng dạng Ta có :
FM FE =
FQ FP (1) FQ
LO = FP
CL (cïng AF AL )
FQ FP =
1 LO
CL (2) ( ta cã trung tuyÕn
1 LO CL )
Tõ (1) vµ (2) suy :
FM FE =
1
3 FM = 3 FE T¬ng tù ta cịng cã EN =
1
3EF suy MN = 3 EF Vậy FM = MN = NE
Tóm lại: Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng giải tốn Khi ứng dụng để chứng minh đoạn thẳng nhau, góc phơng pháp thờng dùng :
* Đa đoạn thẳng cần quy tử tỷ số có mẫu * Chứng minh đoạn thẳng độ dài
* Đa góc cần chứng minh góc tơng ứng tam giác đồng dạng
* Chứng minh tỷ số sau chứng minh tử suy đoạn thẳng mẫu
Dạng : toán ứng dụng thực tế
I Mơc tiªu chung:
- Học sinh biết vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng để xác định đợc chiều cao, khoảng cách mà không cần đo trực tiếp
- Rèn kỹ nhận biết hình (đọc hình) kỹ vẽ hình, kỹ t óc tởng tợng
III C¸c kiÕn thøc ¸p dơng:
(19)* VÝ dô minh häa: M + VÝ dô 1:
Để đo khoảng cách điểm A M, M khơng tới đợc, ngời ta tiến hành đo tính khoảng cách (nh hình vẽ)
AB BM; BH AM BiÕt Ah = 15m; AB = 35m B H
Giải : Xét AMB ABH cã ;
ABM = AHB = 900 (gt) ; A chung A AMB PABH (gg)
AM
AB = AB
AH AM =
2 352
5
AB
= 81,7(m) VËy khoảng cách điểm A M gần 81,7 mÐt
+ Ví dụ 2: A Một đèn đặt cao vị trí A,
hình chiếu vng góc mặt đất H Ngời ta đặt cọc dài 1,6m,
thẳng đứng vị trí B C thẳng hàng với H B’ C’ Khi bóng cọc dài 0,4m 0,6m I
Biết BC = 1,4m Hãy tính độ cao AH
Gi¶i D b B H C c E
Gi¶i d
Gọi BD, CE bóng cọc B’ ; C’ tơng ứng đỉnh cao Đặt BB’ = CC’ = a ; BD = b ; CE = c ; BC = d ; Ah = x Gọi I giao điểm AH B’C’
' ' AI B C AH DE
x a d a b d c
(x – a) (b + d + c) = x.d x =
ab ad ac b c
= a(1+ d
b c )
Thay số ta đợc AH = 1,6 (1 + 1,
0, 0,6 ) = 3,84(m)
Vậy độ cao AH 3,84 mét A
Bài tập đề nghị: B C Một giếng nớc có đờng kính DE = 0,8m (nh hình vẽ)
Để xác định độ sâu BD giếng, ngời ta đặt gậy vị trí AC, A chạm miệng giếng, AC nhìn thẳng tới vị trí E góc đáy giếng