DẠNG TOÁN 30: CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Khái niệm số phức Số phức (dạng đại số): z = a + bi Trong a, b Ỵ ¡ ; a phần thực, b phần ảo Hai số phức bẳng ïì a = c z1 = z2 Û ïí ïïỵ b = d z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ ) z = c + di ( c; d Ỵ ¡ ) Cho hai số phức Khi Phép cộng số phức Cho hai số phức Khi z1 = a + bi ( a; b Ỵ ¡ ) z2 = c + di ( c; d Ỵ ¡ ) z1 + z2 = ( a + c) +( b + d ) i z1 - z2 = ( a - c ) +( b - d ) i ; Số phức liên hợp Số phức liên hợp z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ ) z = a - bi Mô đun số phức Với z = a + bi ( a, b Ỵ ¡ ) ta có z = a + b2 BÀI TẬP MẪU Cho hai số phức z1 i z2 1 i Phần ảo số phức z1 z2 A B 2i C D 2i Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm phần ảo số phức HƯỚNG GIẢI: B1: z2 1 i z2 B2: Tính z1 z2 a bi B3: Phần ảo số phức z1 z2 a bi b Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn C Ta có: z2 1 i z2 1 i Do z1 z2 i i 2i Vậy phần ảo số phức z1 z2 Trang1 Bài tập tương tự phát triển: Câu 30.1:Cho hai số phức z1 2 4i z2 1 3i Phần ảo số phức z1 iz2 A B 3i C 5i D Lời giải Chọn D Ta có: z2 1 3i z2 1 3i iz2 i 3i 3i i i Suy z1 iz2 2 4i i 3i Vậy phần ảo số phức z1 i z2 Câu 30.2:Cho hai số phức z1 1 8i z2 5 6i Phần ảo số phức liên hợp z z2 iz1 A B 5i C D 5i Lời giải Chọn C Ta có: z1 1 8i z1 1 8i iz1 i 8i 8i i i Suy z z2 iz1 5 6i i 13 5i z 13 5i Vậy phần ảo số phức liên hợp z z2 i z1 Câu 30.3: Cho hai số phức z1 2 3i z2 6i Phần ảo số phức z iz1 z2 A 4i B C 8i D Lời giải Chọn D Ta có: z1 2 3i iz1 i 3i 3i 2i 2i z2 6i z 6i z iz1 z2 2i 6i 8i Vậy phần ảo số phức z iz1 z2 Câu 30.4: Cho hai số phức z1 = + 2i z2 = - 3i Phần ảo số phức liên hợp z = z1 - z2 A 12 B 12 C D Lời giải Chọn B z = z1 - z2 = 3( + 2i ) - ( - 3i ) = ( + 6i ) +( - + 6i ) =- +12i Ta có Số phức liên hợp số phức z = z1 - z2 z =- +12i =- 1- 12i Vậy phần ảo số phức liên hợpcủa số phức z = z1 - z2 12 Trang2 Câu 30.5: Cho hai số phức z1 = - 2i z2 = - 4i Số phức liên hợpcủa số phức w = z1 + z2 + z1 z2 A 54 26i B 54 30i C 54 26i D 54 26i Lời giải Chọn D Ta có z1 = - 2i Þ z1 = + 2i ; z2 = - 4i Þ z = + 4i Suy ra: w = z1 + z2 + z1 z2 = + 2i + - 4i + ( - 2i ) ( + 4i ) = - 2i + ( 23 +14i ) = 54 + 26i Vậy số phức liên hợpcủa số phức w = z1 + z2 + z1 z2 w = 54 + 26i = 54 - 26i Câu 30.6: Cho số phức z = - 3i Phần thực số phức A 22 B 22 w = + z +( z ) C 33 D 33 Lời giải Chọn A Ta có z = - 3i Þ z = + 3i Þ ( z ) = ( + 3i ) = 25 + 30i + 9i = 16 + 30i w = + z +( z ) = + + 3i +16 + 30i = 22 + 33i Suy Vậy phần thực số phức Câu 30.7: Cho hai số phức A w = + z +( z ) z1 = - 3i +( 1- i ) B 22 z2 = + i Phần thực số phức w = z1 z2 C 18 D - 74 Lời giải Chọn C Ta có z1 = - 3i +( 1- 3i + 3i - i ) = - 3i +( 1- 3i - + i ) = - 5i Suy z1.z2 = ( + 5i ) ( + i ) = + 37i Þ z1.z2 = - 37i Do w = ( - 37i ) = 18 - 74i Vậy phần thực số phức w = z1 z2 18 ( + 2i ) z = ( + i ) Tổng bình phương phần thực phần ảo số Câu 30.8: Cho số phức z thỏa mãn phức w = z + iz bằng: A B C D Lời giải ChọnD 5( 1+ i ) 10i ( 1- 2i ) 10i = = = + 2i ( + 2i ) z = 5( + i ) Û z = + 2i + 2i Ta có Suy w = z + iz = ( - 2i ) + i ( + 2i ) = + 2i Trang3 2 Vậy số phức w có phần thực , phần ảo Suy + = ( + 2i ) = + 8i ( + i) z + 1+i Câu 30.9: Cho số phức z thỏa mãn Kí hiệu a, b phần thực 2 phần ảo số phức w = z +1 + i Tính P = a + b A 13 B C 25 D Lời giải Chọn C Ta có ( + i) z + ( + 2i ) ( + 2i ) = + 8i Û ( + i ) z = + 8i 1+i 1+i Û ( + i ) z = + 7i Û z = + i ( + 7i ) ( - i ) = = + 2i +i ( + i) ( - i) ïì a = w = z +1 + i = + 3i ị ùớ ắắ đ P = 16 + = 25 ïïỵ b = Suy Câu 30.10: Cho số phức z thỏa mãn z + 2.z = - 3i Tìm phần ảo b số phức z A b = C b = 3i B b =- D b = Lời giải ChọnA z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ ) Đặt , suy z = a - bi ïì 3a = a + bi + ( a - bi ) = - 3i Û 3a - bi = - 3i Û ïí Û ïỵï - b =- Theo giả thiết, ta có ïìï a = í ïỵï b = Vậy phần ảo b số phức z Câu 30.11: Cho số phức A S =- z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ ) thỏa mãn B S = iz = ( z - 1- i ) C S = Tính S = ab D S =- Lời giải ChọnA z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ ) Đặt , suy z = a - bi Ta có iz = ( z - 1- i ) Û i ( a + bi ) = ( a - bi - 1- i ) Û - b + = 2a - +( - 2b - 2) i ìï - b = 2a - ìïï 2a + b = Û ïí Û í Û ïỵï a =- 2b - ïïỵ a + 2b =- ỡùù a = ắắ đ S = ab =- í ïỵï b =- z.z = 10 ( z + z ) Câu 30.12: Có số phức z thỏa mãn z có phần ảo ba lần phần thực? A B C D Lời giải ChọnC Trang4 Đặt z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ ) , suy z = a - bi z.z = 10 ( z + z ) ắắ đ ( a + bi ) ( a - bi ) = 10 é Û a + b = 20a ( a + bi ) +( a - bi ) ù ë û Từ Hơn nữa, số phức z có phần ảo ba lần phần thực nên b = 3a ìï a + b = 20a ïí Û ïïỵ b = 3a ( ) ( ) Từ , ta có ïíïì a = ïïỵ b = ïìï a = í ïïỵ b = ( 1) ( 2) Vậy có số phức cần tìm là: z = + 6i z = Câu 30.13: Cho số phức A P= z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ ) thỏa ( + i ) z + z = + 2i Tính B P = C P =- P = a + b D P =- Lời giải ChọnC z = a + bi ( a; b Î ¡ ) Đặt , suy z = a - bi Từ ® ( + i ) ( a + bi ) + ( a - bi ) = + 2i ( + i ) z + z = + 2i ¾¾ ìï ïï a = ïìï a - b = 2 ¾¾ Û ( a - b) i +( 3a - b) = + 2i Û í Û ùớ đ P = a + b =- ùùợ 3a - b = ïï ïï b =2 ïỵ Câu 30.14: Cho số phức z thỏa mãn z + - i = ( - + 5i ) z B P = A P = 144 Tính P = 3i ( z - 1) D P = C P = 12 Lờigiải ChọnC z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ ) Đặt , suy z = a - bi Theo giả thiết, ta có z + - i = ( - + 5i ) z Û ( a - bi ) + - i = ( - + 5i ) ( a + bi ) Û 5a + - ( 5b +1) i =- 2a - 5b +( 5a - 2b) i ïì 5a + =- 2a - 5b Û ïí Û ïỵï 5b +1 = 2b - 5a ïìï 7a + 5b + = Û í ïỵï 5a + 3b +1 = 2 Do 3i ( z - 1) =- 12i ïìï a = í ùợù b =- ị z = 1- 2i Vậy P = 3i ( z - 1) = - 12i = 12 a, b thỏa mãn z i z i 0 z Tính P a b Câu 30.15: Cho số phức z a bi A P B P C P 3 D P 7 Lời giải Trang5 Chọn D Đặt z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ ) Ta có: z = a + b2 , suy z i z i 0 a b 1 i z i z 2 a z a a b b z b a b Từ 1 2 1 suy a b 0 b a 1 Thay vào 1 ta a z 1 a 3 a a a 1 a 2a 0 Suy b 4 z 5 z 1 Do z 3 4i có (thỏa điều kiện ) Vậy P a b 3 7 Câu 30.16: Tìm mơđun số phức z biết z z 2 A B z i z z i C z 4 D z 1 Lời giải Chọn B Ta có Suy z i z z i z 3iz 4 z z i 4i 3i z z z i 3i z 2 z 4 z 4 z z i 10 z 2 2 10 z z z z 32 z 4 z 2 z2 z z Câu 30.17: Có số phức z thỏa mãn điều kiện ? A B C D Lời giải ChọnD a, b , suy z a bi, z a b2 Đặt z a bi Ta có z z z a bi a b2 a bi 2abi b b a bi b 0 a 2ab b 2 b b a 2b a 0 b 0 a 0 z 0 Trang6 b z a 2 a b 2 b z Vậy có số phức thỏa ycbt 1 i 2 1 i 2 3i z số thực z 5i 1 Câu 30.18: Số phức z a bi ( với a , b số nguyên) thỏa mãn Khi a b A B C D Lời giải ChọnB z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ ) Đặt 3i z 3i a bi a 3b b 3a i Ta có: 3i z số thực nên b 3a 0 b 3a 1 Vì z 5i 1 a b i 1 a b 1 ta có: a 3a vào Vậy a b 2 8 Thế 1 a 2 b 6 a (loaïi) 1 10a 34a 28 0 z z z i 0 Câu 30.19: Cho số phức z a bi ( a , b số thực ) thỏa mãn Tính giá trị biểu thức T a b A T 4 B T 3 2 C T 3 2 D T 4 Lời giải ChọnC a, b , suy z a b2 Đặt z a bi z z z i 0 a bi a bi a bi i 0 Ta có a a b 2a b a b i 2bi i 0 a a b 2a b a b i 2bi i 0 a a b 2a 0 a a b 2a b a b 2b i 0 2 b a b 2b 0 a 0 b b 2b 0 2 2 a a b 0 b a b2 2b 0 a 0 2b b b 2b b 2b b b b b 0 b 2b b b b 1 b 2 Suy T a b 3 2 Trang7 z 3i 3 z 2i Câu 30.20: Có số phức z thỏa mãn số ảo? A B C D Lời giải Chọn C 2 x, y Khi z 3i 3 x 1 y 3 18 1 Đặt z x yi z 2i 2 x y i x y x y i Theo giả thiết ta có z 2i x y 2 x y 0 x y số ảo nên ( 1) ta phương trình y 0 y 0 x 2 z1 2 Với x y thay vào éy = + y2 - y - = Û ê ê x y ( 1) ta phương trình ê ëy = 1- Với thay vào z2 i z i Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu toán Trang8