Chuyên đề 33 xác định số phức các phép toán số phức đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Chuyên đề 33 XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM  Số phức z  a  bi có phần thực a, phần ảo b y  Số phức liên hợp z  a  bi cần nhớ i  1  Số phức z  a  bi có điểm biểu diễn M (a; b) Số phức liên hợp z  a  bi có điểm biểu diễn N (a; b) Hai điểm M N đối xứng qua trục hoành Ox  z  z; z  z   z  z ; z  z   z  z ; b M (a; b) z  a  bi a O x z  a  bi z z z z  z.z ;    ; z.z  a  b  z  z  Hai số phức thực thực ảo ảo b N (a; b)  Mô đun số phức z là: z  a  b  z.z   z z   z z  z z  z  z  z  z   z  z   z  z   z  z  z  z  Phép cộng hai số phức Cho số phức z1  a  b.i z2  c  d i Khi z1  z2   a  b.i    c  d i    a  c    b  d  i  Phép trừ hai số phức z1  z2   a  b.i    c  d i    a  c    b  d  i  Phép nhân hai số phức z1.z2   a  b.i   c  d i    ac  bd    ad  bc  i k z  k.(a  bi )  ka  kbi  Phép chia hai số phức z1 z1.z2 z1.z2  a  b.i   c  d i   ac  bd    bc  ad  i ac  bd bc  ad       i z2 z2 z2 c2  d c2  d c  d c2  d z2 Dạng tốn Tìm số phức thuộc tính thỏa điều kiện K ? Bước Gọi số phức cần tìm z  x  yi với x, y   Bước Biến đổi điều kiện K (thường liên quan đến mơđun, biểu thức có chứa z, z, z , ) để đưa phương trình hệ phương trình  x, y  Lưu ý Trong trường phức , cho số phức z  x  y.i có phần thực x phần ảo y với x, y   i  1 Khi đó, ta cần nhớ:  Mơnđun số phức z  x  y.i z  OM  x  y  (thực) + (ảo) Số phức liên hợp z  x  y.i z  x  y.i (ngược dấu ảo)  x  x2 Hai số phức z1  x1  y1.i z2  x2  y2 i gọi  (hai số phức  y1  y2 thực  thực ảo  ảo) Dạng Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Câu (Đề Tham Khảo 2017) Hỏi có số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện z  i  z số ảo? A B C D Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn A Giả sử z  a  bi  z2  a2  b2  2abi Vì z  i  z số ảo ta có hệ phương trình  a  b a  b    2 a  (b  1)  25  b  (b  1)  25 a  b  3  2    b  a   a  b a  b      b  (b  1)2  25 b  a  3  Câu (Mã 110 2017) Cho số phức z  a  bi  a, b   thoả mãn z   i  z Tính S  4a  b A S  4 B S  C S  2 Lời giải D S  Chọn A  a   a  b (1) Ta có z   i  z   a     b  1 i  a  b   (2) b   Từ (2) ta có: b  1 Thay vào (1): a   3 a2   a    a a   (a  2) Vậy S  4a  b  4 Câu (Đề Tham Khảo 2018) Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z   i  z 1  i   z  Tính P  a  b A P   B P   C P  Lời giải D P  Chọn D Ta có: z   i  z 1  i    a  bi   i  a  b2 1  i    2  a   a  b  b 1 a  b  a   a  b  1  i0 b   a  b2    Lấy 1 trừ  2 ta được: a  b    b  a  Thế vào 1 ta được: a   a   a  1   a   2a  2a   a  2   a  2 a  2      a   tm   a  4a   2a  2a   a  2a     a  1 tm     Với a   b  ; a    b  a  Vì z   z   4i    P  a b  3  b  Câu (Mã 110 2017) Có số phức z thỏa mãn | z   i | 2  z  1 số ảo? A B C D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Lời giải Chọn D Gọi số phức z  x  yi  x, y   ,  z  12   x  12  y    x  1 yi số ảo nên theo  x  2   y  1  (1) đề ta có hệ phương trình:  2 (2)  x  1  y Từ (2) suy ra: y   ( x  1) 2  Với y  x  , thay vào (1) , ta được:  x     x     x   x  Suy ra: z  i  Với y  ( x 1) , thay vào (1) , ta được:  x  2 2    x    x  x    x  1          Suy ra: z  1    i ; z  1    i Vậy có số phức thỏa mãn Câu (Mã 104 2018) Có số phức z thỏa mãn z  z   i   2i    i  z ? B A C Lời giải D Chọn B Ta có z  z   i   2i    i  z   z   i  z  z   z   i 1 Lây mơđun hai vế 1 ta có:  z  6 2  z  25 z   z   Bình phương rút gọn ta được:   z  12 z  11 z  z     z  1 z  11 z   z   z 1 z    z  11 z   z z  1  10, 9667  0, 62  0,587 Do z  , nên ta có z  , z  10,9667 , z  0, 62 Thay vào 1 ta có số phức thỏa mãn đề Câu (Mã 103 2018) Có số phức thỏa mãn z  z   i   2i    i  z ? A B C Lời giải D Chọn D Đặt z  a  0, a   , ta có z  z   i   2i    i  z  a  z   i   2i    i  z   a   i  z  6a   2i   a   i  z  6a   a   i   a   i  z  a   a   i Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2   a    1 a  36a   a    a  14a  13a  a     a    a  1  a3  13a       a  12a   Xét hàm số f  a   a3  13a  a   , có bảng biến thiên Đường thẳng y  4 cắt đồ thị hàm số f  a  hai điểm nên phương trình a  12 a   có hai nghiệm khác (do f 1  ) Mỗi giá trị a cho ta số phức z Vậy có số phức thỏa mãn điều kiện Câu (Mã 102 2018) Có số phức z thỏa mãn z  z   i   2i    i  z ? B A C Lời giải D Chọn B z  z   i   2i    i  z   z   i  z  z   z   i (*)   z  4 2  z  z   z   (1) m z 0 Đặt 1    m    ta có  m2  9m2   m    m  8m3  m  m   m   m  6,91638 m      m  1  m3  m       m  0.80344  m  7m     m  0.71982 Từ (*) ta suy ứng với z  m có số phức z   L 3m   m   i thỏa mãn đề m4i Vậy có số phức z thỏa mãn yêu cầu toán Câu (Mã 105 2017) Cho số phức z thỏa mãn z   z  2i  z   2i Tính z A z  17 B z  17 C z  10 D z  10 Lời giải Chọn C Đặt z  x  yi ; x , y    x  2  y  25   x    y  25    Theo ta có  x  y  2  x  2  y  2 4 x          Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022  y   y  3 Vậy z  10    x  x  Câu (Mã105 2017) Có số phức z thỏa mãn z  3i  13 A C Vô số Lời giải B z số ảo? z2 D Chọn B Gọi số phức z  a  bi ,  a , b    Ta có z  3i  13  a  bi  3i  13  a   b    13  a  b  6b    a  b   6b  1  a   bi  z 2  1  1  1 2 z2 z2 a   bi a   b   a  2  b  a  2 2  2a   b2  2b a  2  b2 i a2  b2  2a  a  2  b2  2b a  2  b2 i a  b2  2a     z a  b  2a    a  2 Do số ảo nên z2 b   a    b2  2 Thay  1 vào   ta có  6b  2a   a  3b  thay vào  1 ta có  b  0( L)  3b    b   6b   10b  6b    1 b a  5 2 Vậy có số phức cần tìm Câu 10 (THPT Lê Q Đơn Đà Nẵng 2019) Có số phức z thỏa mãn điều kiện z.z  z  z  2? A B C Lời giải D Đặt z  x  yi ( x ; y   ; i  1 )  x  y  x  yi    x  yi  Theo ta có:   2 x y 4 x2  y     x   y   x  2    x  y   y0 Vậy có số phức thỏa yêu cầu toán z  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 11 (Chuyên Bắc Giang 2019) Có số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  z  i  , biết z có mơđun A 5? B D C Lời giải Chọn B Gọi z  a  bi  a, b  , i  1 Ta có  2  z i  z i    a  b  a  b    z    a b    16 a a  2  36a  16b  144       a  b  b  b     Vậy có số phức thỏa mãn  Câu 12    6 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1  z2  z1  z2  Giá trị 2z1  z2 A B C D Lời giải Giả sử z1  a  bi , ( a , b   ); z2  c  di , ( c , d  ) Theo giả thiết ta có: a  b  a  b   z1      c  d   c  d   z2   2   2 2  a  2c    b  2d   16  z1  z2  a  b   c  d    ac  bd   16 1  2  3 Thay 1 ,   vào  3 ta ac  bd  1   Ta có 2z1  z2   2a  c    2b  d    a  b    c  d    ac  bd   5 Thay 1 ,   ,   vào   ta có z1  z2  Câu 13 Cho số phức z có phần thực số nguyên z thỏa mãn z  z  7  3i  z Môđun số phức w   z  z A w  445 B w  425 C w  37 D w  457 Lời giải Đặt z  a  bi  a  , b    Khi đó: z  z  7  3i  z  a  b  2a  2bi  7  3i  a  bi Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022  b      a  2 a  b  3a    b   i    (a  )   b3      a   Do a   nên a   z   3i  w   21i  w  457 Câu 14 Cho số phức z  a  bi  a, b    thoả mãn z  i  z  2i  1  i  Tính giá trị biểu thức T  ab A T  C T  B T  D T  1 Lời giải z  i  z  2i  1  i   a  bi  i  a  bi  2i  1  i   a   bi    a   b   i  1  2 2 Từ 1   , ta có a   bi  a   b   i   a    b  a   b    b  2a   a    b  a  Kết hợp với 1 , ta được:   b  b  2a  Vậy T  a  b  Câu 15 Có số phức z thỏa mãn z  2i z  A C Lời giải B D Chọn A z  z  2i z   z  2iz z   z  z  2iz      z  2iz  2 Gọi z  x  yi  z  x  yi với x, y  thay vào   có:  x   x2  y2  y    x  y  y     y  y  2 x  y  y  2x  y  1 i      x   y  1 2 x  y  1    y  1      x   2 x  y     x  z   y   z  2i      x     z   i     y  1  z   i    x    y  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy phương trình có nghiệm Câu 16 Có số phức z thỏa z   2i  z   4i A C Lời giải B Vô số z  2i số ảo z i D Đặt z  x  yi ( x, y   ) Theo ta có x    y  2 i  x     y  i 2 2   x  1   y     x  3   y    y  x  Số phức w  z  2i x   y   i x   y   y  1  x  y  3 i   x  1  y  i z i x   y  1 12  x   y   y  1   x    w số ảo  x   y  1   y  x 5  y  23   12 23 Vậy z    i Vậy có số phức z thỏa mãn 7 Câu 17 Có số phức z thỏa mãn z  (2  i )  10 z.z  25 B A C Lời giải D Gọi số phức cần tìm z  a  bi  a, b    Ta có: z.z  z  a  b  25 Lại có: (1) z  (2  i )  10  a   (b  1)i  10  ( a  2)  (b  1)  10  ( a  2)  (b  1)  10  a  b  4a  2b   10 (2) Thay (1) vào (2) ta được: 25  4a  2b   10  b  2a  10 Nên a  b  25  a  (2a  10)  25 a  b   5a  40a  75     a  b  Vậy Vậy có số phức z thoả mãn z  z   4i Câu 18 (THPT Chuyên  Đại Học  1? z 1  z  z i  z  z i A 2019 Vinh 2019) Có C Lời giải B số phức z D Chọn D Gọi z  a  bi ;  a, b     z  a  bi 2 Ta có: z   a  bi    a  1  b , z  z i  a  bi  a  bi i    2b   i 2019  i , z  z i 2019  i  a  bi  a  bi   2ai Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ i2b i, thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 2 Suy phương trình cho tương đương với:  a  1  b  b i  2ai   a    b   b  2 2  a   a  1  b  a  2a  b   b  b          b      b   a  b  a  b  b  2a   a  b  a   b  1 Vậy có số phức z thỏa mãn Câu 19 Có số phức z thỏa mãn z  z  z  z  z z số ảo A C Lời giải B D Gọi số phức z  a  bi , a , b   Ta có z  z  z  z  z  a  b  2a  2bi  a  b2  a  b 1 Lại có z   a  bi   a  b  2abi số ảo, suy a  b   a  b Trường hợp 1: a  b thay vào 1 ta được: a 0 a  a  b   2a  a      a  2  a  b  2  a  Trường hợp 2: a  b thay vào 1 ta được: a 0 a  b   2a  a      a  2 b  2  a  Vậy có số phức thỏa mãn tốn z  , z   2i , z  2  2i Câu 20 Có số phức z thỏa mãn z  2i z  A C Lời giải B D Chọn A z  z  2i z   z  2iz z   z  z  2iz      z  2iz  2 Gọi z  x  yi  z  x  yi với x, y  thay vào   có:  x   x2  y2  y    x  y  y     y  y  2 x  y  y  2x  y  1 i      x   y  1   y  1 2 x  y  1       x   2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x  y     x  z   y   z  2i     x     z   i     y  1  z   i  x      y  1 Vậy phương trình có nghiệm Câu 21  a, b    thỏa mãn  a, b    thỏa mãn (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho số phức z  a  bi   z   z   z   z  i số thực Tính a  b A 2 B C Lời giải D Ta có z  a  bi  a, b    +) z   z   a   bi  a   bi   a  3  b2   a  1  b2   a  3  b   a  1  b  4a    a    +)  z   z  i   a  bi   a  bi  i    a    bi   a   b  1 i   a  a    b  b  1   a  2b   i  z  2  z  i  số thực  a  2b   Thay a  tìm b  2 Vậy a  b  Câu 22 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho số phức z  a  bi z   3i  z i  Tính S  2a  3b A S  6 B S  C S  5 Lời giải  D S   Ta có z   3i  z i    a  1  b   a  b i  a  1 a      2 b   a  b    b  b  *  b  3  b  3 *   b   1  b   b  3 b    a  1  Vậy   S  2a  3b  6 b    z1  z2  z3   Câu 23 Cho ba số phức z1 ; z2 ; z3 thỏa mãn  2 Tính  z1  z2  z3   2 A  z1  z2  z2  z3  z3  z1 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022  a  b i  a  b i a  b i i  a  b i a  b i  i 2019  (ta có i 2019  i 2016 3   i  504 i3   i )   a  1  b  b i  2a i   a  2a  b  b i  2a i   a  a  b    b  a  a  2a  b    a  b  a   a  2a  a    a  b2  a  a  0, b    b  a  1,  b  1    Suy có ba số phức thỏa mãn phương trình z1  0, z2   i, z3   i Câu 37 (Thpt Hàm Rồng 2019) Cho số phức z  a  bi ,  a, b    thỏa mãn z   i  z 1  i   z  Tính P  a  b B P  1 A P  C P  5 D P  Lời giải Chọn D Từ giả thiết z   i  z 1  i    a  bi   i  a  b2 1  i   a   a  b  (1)  a   a2  b2  b   a  b2 i    b   a  b  (2)     Lấy 1    ta a  b    b  a  Thay vào phương trình 1 ta a  2 a  2 a   a   a  1   2a  2a   a    2   2a  2a    a   a  2a   a  2  a  1     a  1   a  a   + Với a  1  b   z  1  z  (loại) + Với a   b   z   4i  z  (thỏa mãn) Vậy P  a  b  Câu 38 (Sở GD Kon Tum - 2019) Có số phức z thỏa mãn z   3i  z   i   z 2 z z 5? A B C D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn C Đặt z  a  bi ( a, b  R ) Ta có 2 z   3i  z   i   a     b  3   a  1   b  1 6a  11 (1); z  z  z   a  b  4a  (2)  31  371 a   6a  11  4a   100a  124a  199    50 Thế (1) vào (2) ta có: a  64  31  371 a  50  Suy có hai số phức z thỏa yêu cầu toán   6a  8b  11   b  Câu 39 (Chuyên Bắc  Giang 2019) Cho số phức  z  a  bi  a, b  , a   thỏa mãn  z.z  12 z  z  z  13  10i Tính S  a  b A S  17 B S  C S  Lời giải D S  17 Chọn C   Từ giả thiết z z  12 z  z  z  13  10i  a  b  12 a  b   a  bi  a  bi   13  10i  a  b  12 a  b  13 (1)  a  b  12 a  b  2bi  13  10i   (2)  2b  10   Từ (2) suy b  5 thay vào (1) ta a  25  12 a  25  13  t  1  loaïi Đặt t  a  25  ta có phương trình t  12t  13     t  13  thỏa mãn  Với t  13  a  25  13  a  144  a  12 (vì a  ) Vậy S  a  b  12   Câu 40 (SGD Điện Biên - 2019) Cho số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: z Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Module số phức z   4i  z   z  i  33 z 2i A B C 25 D Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi  x, y    2   z   4i    x  3   y     Theo giả thiết:  2 2  z   z  i  33  x    y  x   y  1  33  x  32   y  2   x  32  15  x       y  15  x  x  y   33 5 x  50 x  125   x     z   5i y   y  15  x Vậy z   i   4i  32  42  Câu 41 (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Cho số phức  z   i  z  i   3i  A z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  Tính P  a  b B C 3 Lời giải D 1 Chọn B z  a  bi  z  a  bi ; z  a  b2 Theo ta có: z   a  b  (*)  z   i  z  i   3i    a    b  1 i   a   b  1 i   3i   a  a  1   b  1   b  1 i   3i b  a  a  1   b  1  b   a  0; b      a    a  a    a  1  a  1; b    b  1  3  TH a  ; b  loại không thỏa mãn (*) TH a  1 ; b  thỏa mãn nên P  a  b  Câu 42 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho số phức z1 , z thỏa mãn z1  , z1  z2  z1  iz2  Biết z2  z1 , tính z2 A B C D 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn B Ta có: z1  z2   z1  z2 z1 Ta lại có: z1  iz2    i Từ (1), (2) suy ra:  1 i   1 z2  (1) z1 z z2  (2) Ta gọi  x  yi ; x , y   z1 z1 z2   1  x   y  z1 z2   1  y   x  z1 1  x 2  y   y   y  1 Ta có hệ phương trình  hay   2 x  1  y   x   x  z Vậy:   i  z2  z1 (loại) z1 z2   i  z2  z1  (nhận) z1  5 Câu 43 Tính tổng phần thực tất số phức z  thỏa mãn  z   i   z  z   A B  C  D Lời giải Chọn A Đặt z  a  bi  a, b     5 Theo giả thiết  z   i   z  z  a  bi  i  5i  z   a  bi  z   z   a  b    a  b2  a  b     a  b  a  b2  i    2  a  b  a  b     a  b  a  b   2    2b    2b  14b  49   25  2b   2b  14b  49  5  2b   a  b    2b    2  4b  28b  98  49  2b  14b  49   25  a  b   b   b  4    a  2b  14b  49  25  2b  14b  49    loai   Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Vậy có số phức thỏa mãn điều kiện z   4i có phần thực Vậy tổng phần thực tất số phức z Dạng Một số tốn liên quan đến số phức có lũy thừa bậc cao, chứa tham số Câu 44 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho số phức z  1  i  A 21009 B 22019 2019 C 2 2019 Lời giải Phần thực z D 21009 Cách 1: Phương pháp lượng giác       i    cos  i sin  Xét số phức z1   i   4    Ta có số phức z  z12019  1  i   3 3  i sin  cos 4  2019  2019  2019   cos  2019 2019   i sin  4  2019  2    i   21009  21009 i    2    Phần thực z 21009 Cách 2: Ta có z  1  i  2019  (1  i)2020 (4)505 1   (4)505 (  i)  21009  21009 i 1 i (1  i) 2 Phần thực z 21009 Câu 45 (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Số phức z  1  i   1  i    1  i  2018 có phần ảo A 21009  B  21009 C 21009  D   21009  1 Lời giải z  1  i   1  i    1  i  2018 2018 1  i     i 21009 i   1  i    i 1  i    1  i   21009  i   21009    21009  1 i  z có phần ảo 21009  Câu 46 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi T tổng phần thực, phần ảo số phức w  i  2i  3i   2018i 2018 Tính giá trị T A T  B T  1 C T  D T  2 Lời giải w  i 1  2i  3i   2018i 2017  Xét f ( x)  x  x  x3   x 2018  x f '( x)   x  x   2018 x 2017  w  i 1  2i  3i   2018i 2017  x 2018  x 2019  x  x 1 x 1  2019 x 2018  1 ( x  1)   x 2019  x  ( x  1)  2019i  i f (i )  i 2018  1 (i  1)   i 2019  i  (i  1) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2020(i  1)  2i  1010  1009i 2i T  1010  1009  1 i  z  z  z3  Câu 47 Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn hệ  Tính giá trị biểu thức  z1  z2  z3  S  z12019  z22019  z32019 B S  22019 A S  1 C S  Lời giải D S  22019 Chọn C Đặt 1 : z1  z2  z3  ,   : z1  z2  z3  Gọi A , B , C điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 Từ 1  OA  OB  OC   Đường tròn  C  tâm O , bán kính R  ngoại tiếp ABC Gọi G , H trọng tâm, trực tâm ABC   z z z Vì G điểm biểu diễn số phức mà OH  3.OG nên từ    H 1;0  Dễ thấy H   C  nên ABC vuông Giả sử ABC vuông C  C 1;0   z3   z1  z2   z1   z  z12019   z22019  z12019  z22019  Vậy S  Câu 48 Tính S  i  2i  3i   2019i 2019 A S  1010  1010i B S  1010  1010i C S  2019i Lời giải Chọn A D S  1010  1010i S  i  2i  3i   2019i 2019  i   3i    2016  2017i  2018  2019i      2016    2    2018   i  5i   2017i    3i  7i   2019i       2016    2    2018   i  5i   2017i    3i  7i   2019i    2016  2016    2018  2018    1   1   4       2017  2017    2019  2019    1 i   1 i   4      1010  1010i Câu 49 Cho số phức z thỏa mãn z  z   Tính giá trị biểu thức 2 1      P   z     z      z 2019  2019  z  z  z    A P  4038 B P  2019 C P  673 Lời giải D P  6073 Chọn A Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022  z 3n   Ta có z  z     z  1  z  z  1   z    z 3n 1  z  z 3n   z  2019  2019  1   2019  Mà P    z k  k     z k  k      z k  k z  z z  k 1  k 1  k 1     2.2019  Ta có z  z   z  z  z   z 4034  z 4036  z 4038  , 1 z2  z4  z6 z2  z 1     0 z2 z4 z6 z6 z6 Tương tự 1 1 1  10  12   4034  4036  4038  z z z z z z Vậy P  4038 Câu 50 (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Khai triển biểu thức  x  x  1 2018 viết thành a0  a1 x  a2 x   a4036 x 4036 Tổng S  a0  a2  a4  a6   a4034  a4036 A 21009 B 21009 C D 1 Lời giải x  x  1 2018  a0  a1 x  a2 x   a4036 x 4036 Thay x  i với i  1 ta được: 1009  1  a0  a1i  a2i  a3i   a4034i 4034  a4035i 4035  a4036i 4036 Đối chiếu phần thực hai vế ta được: 1  a0  a2  a4  a6   a4034  a4036 Nhận xét: Ngồi cách ta thay 2018 , để tính trực tiếp S Câu 51 Gọi S tập hợp số phức z thỏa mãn điều kiện z  z Số phần tử S A B D C Lời giải Chọn C Gọi z  a  bi ,  a, b    z  a  b z   a  bi    a  b  2abi    a  b   4a 2b  4ab  a  b  i Ta có z  z   a  b   4a 2b  4ab  a  b  i  a  b 4ab  a  b   0, 1  Suy  2 2 2  a  b   4a b  a  b ,   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a   Xét 1  b   a  b Với a  từ    b  b  b  0, b  1, b  1 ta z  0; z  i; z  i Với b  từ    a  a  a  0, a  1, a  1 ta z  0; z  1; z  1 Với a  b từ    4a  2a  a  a  , b  z  ta z  Vậy S  0;1;  1; i;  i Câu 52 (Mã 104 2017) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số phức z thỏa mãn z.z  z   i  m Tìm số phần tử S A B D C Lời giải Chọn A  x  y  (1)  Gọi z  x  yi , ( x, y   ) , ta có hệ  2  x    y  1  m (m  0)   Ta thấy m   z   i không thỏa mãn z.z  suy m  Xét hệ tọa độ Oxy tập hợp điểm thỏa mãn 1 đường trịn (C1 ) có O(0; 0), R1  , tập hợp điểm thỏa mãn  2 đường tròn (C2 ) tâm I   3; 1 , R2  m , ta thấy OI   R1 suy I nằm ngồi (C1 ) Để có số phức z hệ có nghiệm tương đương với (C1 ), (C2 ) tiếp xúc tiếp xúc trong, điều xảy OI  R1  R2  m    m  R2  R1  OI  m    Câu 53 (THPT Ngơ Quyền - Quảng Ninh - 2018) Tìm tất giá trị thực tham số m để số phức m  2i z có phần thực dương m  2i  m  2 A m  B  C 2  m  D m  2 m  Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Lời giải m  2i  m  2i  m  2i  m  4m    i m  2i m 4 m 4 m 4 m  Vì z có phần thực dương  m      m  2 z Câu 54 (Kon Tum - 2019) Cho hai số phức z   4i z '    m   mi  m    thỏa mãn z '  iz Tổng tất giá trị m A 1 B 46 C D 2 lời giải: Chọn D Ta có z '  2  m  m iz  42  32  ta có phương trình   m   m  25  2m  4m  21   m1  m2    2 Câu 55 Biết z  m  3m   (m  2)i , với m   , số thực Giá trị biểu thức P   z  z  z    z 2019 A B 2020 C 2019 Lời giải D Chọn B Ta có z  m  3m   (m  2)i số thực m    m  Với m   z  , thay vào biểu thức P , ta được: P    12  13    12019  2020 Câu 56 (Chuyên Quang Trung 2018) Cho số phức z thoả mãn - 1 i số thực z   m với m   z Gọi m0 giá trị m để có số phức thoả mãn tốn Khi đó:  1 A m0   0;   2 1  B m0   ;1 2  3  C m0   ;  2  Lời giải  3 D m0  1;   2 Giả sử z  a  bi,  a, b    Đặt: w  1 i 1 i ab ab    a  b   a  b  i    i  z a  bi a  b a  b a  b2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 w số thực nên: a  b 1 Mặt khác: a   bi  m   a    b2  m2   Thay 1 vào   được:  a    a  m  2a  4a   m   3 Để có số phức thoả mãn tốn PT  3 phải có nghiệm a  3       m2   m2   m   1;  (Vì m mơ-đun)  2 Trình bày lại   Giả sử z  a  bi, z  nên a  b  * 1 i 1 i ab a b   2  a  b   a  b  i    i z a  bi a  b a  b a  b2 w số thực nên: a  b 1 Kết hợp * suy a  b  Đặt: w  Mặt khác: a   bi  m   a    b2  m2   (Vì m mơ-đun nên m  ) Thay 1 vào   được:  a    a  m  g  a   2a  4a   m   3 Để có số phức thoả mãn tốn PT  3 phải có nghiệm a  Có khả sau : KN1 : PT  3 có nghiệm kép a    m    m ĐK:   g    4  m  KN2: PT  3 có hai nghiệm phân biệt có nghiệm a  m2       m  ĐK:   g    4  m   3 Từ suy m0   1;   2 Câu 57 (Chuyên Quang Trung - 2018) Gọi S tập hợp số thực m cho với m  S có z số phức thỏa mãn z  m  số ảo Tính tổng phần tử tập S z4 A 10 B C 16 D Lời giải Cách 1: x  iy  x   iy  x  x    y  4iy  z x  iy    Gọi z  x  iy với x, y   ta có 2 z  x   iy  x  4  y  x  4  y2 số ảo x  x    y    x    y  Mà z  m    x  m   y  36 Ta hệ phương trình  36  m x    x  m   y  36   2m  x  36  m  2m       2 2  x    y   y    36  m    y    x        2m   2 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 2  36  m  36  m 36  m  2    Ycbt     2  2  2m  2m   2m   m  10 m  2 m  6 Vậy tổng 10     Cách 2:  x  m 2  y  36 Để có số phức thỏa mãn ycbt hpt  có nghiệm 2  x    y  2 Nghĩa hai đường tròn  C1  :  x  m   y  36  C2  :  x    y  tiếp xúc Xét  C1  có tâm I1  2;0  bán kính R1  ,  C2  có tâm I  m;0  bán kính R2  m2   I1 I  R1  R2 Cần có:    m  6; 6;10; 2  m    I1 I  R1  R2 Vậy tổng 10     Câu 58 Gọi S tập tất giá trị thực m để tồn số phức z thỏa mãn z  z  z  z      z z   z  z  m số ảo Tổng phần tử S A B Lời giải C D Chọn C *) z  x  yi , x , y    z  z  z  z   x  yi   x  y      *) z z   z  z  m  x  y  yi  m số ảo  x2  y  m  m    x  y  Để tồn số phức z hệ phương trình  (*) có nghiệm phân biệt  x  y  m Hệ (*) có nghiệm đường trịn tâm O bán kính m phải cắt đường thẳng x  y  điểm phân biệt Các đường thẳng x  y  đôi cắt tạo thành hình vng đồ thị Để đường tròn  C  : x2  y  m cắt đường thẳng x  y  điểm đường trịn đường trịn nội tiếp ngoại tiếp hình vng với bán kính tương ứng r  bán kính  m R  Hay  Suy tổng giá trị m cần tìm  m  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   Câu 59 (Đề Tham Khảo 2021) Có số phức z thỏa mãn z   z  2i  z  số ảo? A C Lời giải B D Chọn C Đặt z  x  yi  x , y   Theo đề ta có: +) z   x  y   x  y  1   +)  z  2i  z   z z  z  zi  4i  z   x  yi    x  yi  i  4i   2  x  yi  xi  y  4i    x  y    x  y   i   Vì  z  2i  z  số ảo nên  x  y   y  x  Thay y  x  vào 1 , ta được:  1 x  2 x   x  1   x  x      1 x   Vậy có hai số phức thỏa để z   1   1   i z   i 2 2 Câu 60 (Chuyên Vinh - 2021) Có số phức z thỏa mãn A B C Lời giải z2  z2 ? z  2i D Chọn B Gọi z  a  bi; a, b  ; a  0; b  z2 z2  z2   z.z  z  z.z  z  2i  z  2i z  2i z   z  z  z  2i   z      z  z  2i   z  * Ta có *  z  zi  z   a  b2   a  bi  i  a  bi  Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022  a  b  a  2b   2a  b  i  a  b  a  2b  b  2a   2  2a  b  a  b  a  2b  a  2  a  4a  a  4a   5a  3a    a    - Với a   b   z  6 - Với a    b   z    i 5 5 Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu toán Câu 61 (Liên trường Nghệ An - 2021) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  i   z  2i Khi mô đun số phức w  z  2z 1 z2 A B 10 Gọi z  a  bi với a , b   +) 1  i  z  i   z  2i C D  1  i   a   b  1 i    a  bi   2i  a   b  1 i    b  1  2a  2bi  2i    a  b   2a    b   a  2b   i    3a  b  1   a  3b  3 i  3a  b  1 a     z  i a  3b  b  i  2i  1  3i +) w    1  3i  w   1  32  10 i2 1 Cách : Ta có 1  i  z  i   z  2i    i  z  3i   z  i Thay z  i suy w  i  2i  1  3i   1  3i  w  i2 1  1  32  10 Câu 62 (Cụm Ninh Bình - 2021) Có số phức z thỏa z   3i  z   i thực? A B C Lời giải z  2i số zi D Gọi z  a  bi; a, b   Ta có: z   3i  z   i 2 Suy a  bi   3i  a  bi   i   a  3   b  3   a  5   b  1  4a  8b   a  2b  * Lại có: z  2i a  bi  2i  a   b   i   a   b  1 i  a  a  2b  3 i   b   b  1    2 a  bi  i zi a   b  1 a   b  1 a  a  2b   i   b   b  1 a   b  1 Vì  a   b   b  1 a   b  1  a  2b   a   b  1 a  2b   z  2i  suy số thực nên phần ảo 2 zi a   b  1 i  a  2b  3  **  2  a   b  1  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  a  2b     a  1  2  Kết hợp  * ; ** , ta có  a   b  1     a  2b  b   Nên có số phức z  1  i thoả mãn đề Câu 63 (Sở Thái Nguyên - 2021) Có số phức z thỏa mãn z   i  z   i    i A B C D Lời giải Chọn A Ta có z   i  z   i    i    i  z  1  i  z   i z 1  i  z   z  5  1  z    z    1  z  i  z 2   8z z 2   10 z  32 z  26 z     z   z  z  z    z  (phương trình z  z  z   vô nghiệm z  ) 1 i   i ta z 1 i 1 i 1 1  z  z 1 i   i z 1 i 2 Có số phức z thỏa mãn Với z  thay vào biểu thức   i  z  Câu 64 (Sở Thanh Hóa - 2021) Có tất số phức z thỏa mãn z  3i   iz z  ảo? A B số z D C Lời giải Chọn D Gọi z  x  yi  x, y    2 Theo ra: z  3i   iz  x   y  3 i   y  xi  x   y  3  1  y   x  4y   y  Do đó: z  x  2i  x  2i  9 9x 18   Ta có: z   x  2i   x  2i   x 2 i z x  2i x 4 x 4  x 4 x 0 9x Do z  số ảo nên x    x3  x  x    z x 4 x   Vậy có ba số phức thỏa mãn: z  2i ; z   2i ; z    2i Câu 65 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2021) Có số phức z thỏa mãn 1  2i  z số ảo z  z 1  i   1  i  ? A B C Lời giải D Chọn D Đặt z  a  bi , với a , b   Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Ta có 1  2i  z  1  2i  a  bi   a  bi  2ai  2b  a  2b   b  2a  i số ảo a  2b  (1) Ta lại có: z  z 1  i   1  i   z  z    z   i 2  z  2   z  2 Suy z  2  z  z 8 z2 4  z  z 8     z 2  z  2   a   z   a  b  (2) Giải hệ (1), (2) ta  ;  b   Vậy có số phức z   4 a    b   5 5  i z    i 5 5 Câu 66 (THPT Triệu Sơn - Thanh Hóa - 2021) Có số phức z thỏa mãn z   3i   z  2i  số ảo? B A C Lời giải D Chọn B Đặt z  a  bi , a , b   2 2 Khi  z  2i    a   b   i   a   b    2a  b   i số ảo nên a   b    2 Lại có z   3i    a  1   b  3 i    a  1   b  3  18 a  b  a   b      Ta có hệ phương trình    a  b  2 a   b   18 2       a  1   b  3  18 a  b  a  b  a  b  a  Trường hợp     2 2 b   a  1   b  3  18  b  3   b  3  18 2b  Trường hợp a  b  a  b  a  b     2 2  a  1   b  3  18  b  1   b  3  18 2b  4b    a  3  5, b     a  3  5, b   Vậy có số phức thỏa mãn toán Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 ... THPTQG 2022 Vậy có số phức thỏa mãn điều kiện z   4i có phần thực Vậy tổng phần thực tất số phức z Dạng Một số toán liên quan đến số phức có lũy thừa bậc cao, chứa tham số Câu 44 (Chuyên Lương... 0.71982 Từ (*) ta suy ứng với z  m có số phức z   L 3m   m   i thỏa mãn đề m4i Vậy có số phức z thỏa mãn yêu cầu toán Câu (Mã 105 2017) Cho số phức z thỏa mãn z   z  2i  z   2i...   z    i 5 5 Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu toán Câu 61 (Liên trường Nghệ An - 2021) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  i   z  2i Khi mơ đun số phức w  z  2z 1 z2 A