Dạng toán 11 tính nguyên hàm bằng cách sử dụng tính chất nguyên hàm

GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA DẠNG TỐN 11: TÍNH NGUN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM KIẾN THỨC CẦN NHỚ: (phần kiến thức BÀI TẬP MẪU BÀI TẬP PHÁT TRIỂN) Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f  x F  x f  x xác định k Hàm số gọi nguyên hàm hàm số k F '  x   f  x  x  k Tính chất nguyên hàm  f '  x dx  f  x   C  kf  x dx k f  x dx với k 0  [ f  x  g ( x)]dx f  x dx g ( x)dx Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp    Nguyên hàm 0dx C   1  ax  b   1.dx x  C x Nguyên hàm mở rộng  1 x dx   C,  1 (  1)    x x e dx e  C ; ax a dx  ln a  C (0  a 1)    sin xdx  cos x  C   cos2 x   sin x dx tan x  C dx  cot x  C C 1  ax  b   e  ax b dx  1 C a ax  b dx  eax b  C , (a 0) a x cos xdx sin x  C  ax  b  dx  a  1 ax  bdx  a ln ax  b  C  x dx ln x  C    cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C (a 0) sin(ax  b)dx  dx  tan  ax  b   C a cos  ax  b      cos(ax  b)  C a sin2  ax  b  dx  cot  ax  xb   C a Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Họ tất nguyên hàm hàm số A sin x  x  C f  x  cos x  x C sin x  x  C B  sin x  3x  C là: D  sin x  C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn sử dụng tính chất để tính nguyên hàm hàm số HƯỚNG GIẢI: B1: Họ tất nguyên hàm hàm số B2:Tính: f  x  cos x  x là:  cos x  x dx  cos x  x dx Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A Ta có :  cos x  x dx= cos xdx  6 xdx cos xdx  6xdx sin x  3x C Bài tập tương tự phát triển: Câu 11.1: Họ tất nguyên hàm hàm số A  cos x  x  x f  x  sin x  x  là: x2  cos x   x C 2 B  cos x  x  x  C C cos x  x  x  C D Lời giải Chọn B Ta có  sin x  x  1dx= sin xdx-2 xdx dx sin xdx-2xdx dx  cos x  x Câu 11.2:Họ tất nguyên hàm hàm số x A e  C f  x  e x  x B e  x  x C là: x C e  x  C x D  e  x  C Lời giải Chọn C Ta có  e x  1dx= e x dx+ dx e x  x  C x3  x  f  x  x Câu 11.3:Họ tất nguyên hàm hàm số là: A x  x  5ln x  C C x3  x  5ln x B x  x  5ln x  C D x  x  5ln x  C Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Lời giải Chọn D 3x3  x  5  dx  x  x   dx 3x 2dx  2xdx  5 dx  x  x  5ln x  C  x x x  Ta có Câu 11.4: Họ nguyên hàm hàm số f  x   2x x2 là: 2x ln x  C ln B 2 x A ln x  ln  C C  2x  C x ln  x.ln  C D x Lời giải Chọn C  x 2x  dx    C    x  x ln Câu 11.5:Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) x  sin x A C f ( x)dx  x cos x  C f ( x)dx  x cos x  C B f ( x)dx  x sin x  C f ( x)dx  x sin x  C D Lời giải Chọn C x cos x   C  x  sin x dx  x dx  sin x dx   6 f  x  dx  Câu 11.6: Tìm nguyên hàm hàm số x f ( x)dx 2 tan  C A x f ( x)dx  tan  C C f ( x) 1  tan x x f ( x)dx tan  C B x f ( x)dx  tan  C D Lời giải Chọn A Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA x d  x x f ( x)dx  dx 2   2 tan  C f ( x) 1  tan   x x 2 cos x cos cos 2 nên 2  3cos x   dx x Câu 11.7: Tính A  3sin x  3x C ln B  3sin x  3x 3x C 3sin x  C ln ln C D 3sin x  3x C ln Lời giải Chọn D Ta có: x x  3cos x   dx  3cos xdx  3 dx 3sin x  f  x dx e Câu 11.8: Nếu  x  sin x  C x f  x bằng: x A e  cos x 3x C ln x B e  cos x C e  cos x e x  cos x D Lời giải Chọn C  f  x   f  x dx   e x  sin x  C   e x  cos x Ta có Câu 11.9:Tìm nguyên hàm A F  x   x  sin x  dx F  x   x  cos x  20 biết F   19 B F  x   x  cos x  20 C F  x   x  cos x  20 F  x   x  cos x  20 D Lời giải Chọn C x2 F  x   x  sin x  dx   cos x  C Ta có: Mà Câu 11.10: F   19    C 19  C 20 Cho hàm số f  x thỏa mãn  F ( x)  x2  cos x  20 f  x  3  5cos x f   5 Mệnh đề đúng? Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA A f  x  3 x  5sin x  B f  x  3 x  5sin x  C f  x  3 x  5sin x  D f  x  3 x  5sin x  Lời giải Chọn C f  x  f '( x )dx   5cos x  dx 3x  5sin x  C Ta có Lại có: Câu 11.11: A C f   5  3.0  5sin  C 5  C 5 Tìm nguyên hàm F  x hàm số F ( x )  1 cos x  cos x  F ( x)  1 13 cos x  cos x  2 Vậy f  x  3 x  5sin x  f  x  sin x cos x , biết F  0  1 F ( x)  cos x  cos x  4 B D F ( x )  1 cos x  cos x  Lời giải Chọn D Ta có 1  sin x  sin x dx  sin xd4x  sin xd2x  F  x  f ( x)dx sin x cos xdx   1 cos x  cos x  C 1 F        C   C 1  C 1 8 Vậy Câu 11.12: F ( x)  1 cos x  cos x  Tìm nguyên hàm hàm số e   3e  dx  e  A 3x  5x 3x  5x C e   3e  dx e D e   3e  dx 3e 3x 3x  5x  5x 3x 3x   2x e C  3e  x  C 3x  e x  C 3x e   3e  dx  e  B f  x  e3 x   3e  x   6e  x  C Lời giải Chọn A Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Ta có: f  x  dx e   3e  dx e 3x Câu 11.13: Cho F  x  5x 3x dx  3e  x dx  3x 3 e d 3x  e  x d   x   e3 x  e  x  C  3 2 nguyên hàm hàm số f  x  e x  x  x  Hàm số F  x có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn C Ta có:  F ( x) f ( x)dx  F'  x   f  x   F '  x  e x x3  x   x 0 F '  x  0  e x  x3  x  0    x 1 Vậy: Ta thấy phương trình Vậy hàm số Câu 11.14: F  x Cho hàm số f  x  F '  x  0 F ' x có nghiệm phân biệt nên đổi dấu qua nghiệm có điểm cực trị f  x  3  2x 1  ;   F  x  ; x  xác định  nguyên hàm hàm số 2x 1 x  thỏa mãn F (2) 3 Tìm F  x  ? A F ( x)  x  ln  x  3  B F ( x) x  ln  x  3  C F ( x)  x  ln  x  3  D F ( x ) x  ln  x  3  C Lời giải Chọn C Ta có d  2x-3 x 1   F ( x) f  x  dx  dx    x  ln x   C  dx dx   2x  2x   2x    x  ln  x  3  C F   3  C 1  F ( x)  x  ln  x  3  Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA \ 1 Cho hàm số f ( x) xác định Câu 11.15: f   2020 Tính S  f  3  f   1 A ln  4039 thỏa mãn f  x   x  f   2019 ; B 4039 C  D Lời giải Chọn C d  x-1 ln  x  1  C1 , x  f ( x ) f  x  dx  dx  ln x   C  x x ln   x   C2 , x  Ta có f   2019  C2 2019 f   2020  C1 2020 Khi đó: x2  x  I  dx x Tính nguyên hàm Câu 11.16: A S  f  3  f   1 ln  C1  ln  C2 C1  C2 2019  2020  C I  x  x  ln x   C I x  x  ln x  B D I x  x  ln x   C I  x  x  ln  x  3  C Lời giải Chọn A Ta có: d  x  3 x2  x    I  dx  x    x  x  ln x   C dx 2xdx  dx  2 x x  3 x  2x  I  dx x  3x  Tính nguyên hàm Câu 11.17: A C ln x   ln x   C ln  x  1  ln  x    C B D ln x   ln x  ln x   ln x   C Lời giải Chọn A Ta có: Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA d  x  1 d  x  2 2x  2x    I  dx  dx    dx  x  3x  x x  x  1  x    x x 2 ln x   ln x   C x2  a   f  x  F  x  x  2x  x nguyên hàm x2 Cho biết Câu 11.18: I sin axdx Tính ? x I   sin x  C A x I   sin x  C 2 B x I   sin x  C C x I   sin x D Lời giải Chọn A Ta có: x    a x2  a2  x  2ax  a 2 2 dx  dx   x   2a  dx x dx  a x dx  2a dx  x x   x3  a  2ax  C x x2  a   f  x  F  x  x  2x  x nguyên hàm x2 Do nên a 1 Chú ý: Với ta làm theo cách khác sau đây: x2  a   f  x  F  x  x  2x  x nguyên hàm x2 Do nên 2 '   x  a a2 1 2 F '  x   f ( x)   x  x     x    x  a   a 1 x x2 x2 x2 3 sin Khi đó: Câu 11.19:  C  cos x 1 x axdx sin xdx  dx  dx  cos xd2x   sin x  C 2 4 Cho hàm số y  f  x  ax  bx  cx  d ,  a , b, c  , a 0  có đồ thị  C Biết đồ thị f ' x tiếp xúc với đường thẳng y 4 điểm có hồnh độ âm, đồ thị hàm số cho hình vẽ sau: Trang GV: LÊ QUANG XE Tính A 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA I xf  x  dx I x5  x3  x  C B x5 I   x3  x2 C I x4 x2   2x  C x5 I   3x  x  C D Lời giải Chọn A Giả sử f '  x  a1 x  b1 x  c1 Từ đồ thị hàm số f ' x a1  b1  c1 0  a1  b1  c1 0  c  1 a1 3  b1 0 c   f '  x  3x  1 ta thấy f ' x qua điểm  f  x  f '  x  dx  3x  3dx x  3x  C Giả sử  C A   1;0  , B  1;  , C  0;  3 nên: tiếp xúc với đường thẳng y 4 điểm có hồnh độ x0 âm nên x0 nghiệm hệ  f ( x) 4   f '( x )   '   phương trình  x  x  C 4  3 x  0 Phương trình x  0  x 1  f  x  x3  3x  Do x0 âm nên x0   C 2 Vậy: Câu 11.20: I xf  x  dx x  x  3x   dx  x  3x  x  dx  Cho hàm số y  f  x thỏa mãn f ( x) f  x  x  x biết x5  x3  x  C f   2 Tính f  2 ? Trang GV: LÊ QUANG XE A f  2  50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 315 15 f  2  B 332 15 C f  2  324 15 D f  2  323 15 Lời giải Chọn B Ta có  f ( x) f ( x)  dx  x  x  dx  f  x  d  f  x   x dx  x dx 4  f ( x) x5 x   C Mà f   2  C 2  f (2) 2( Câu 11.21: A 32 332   2)  15 Cho hàm số Tính f  1 ? f  1  y  f  x 2 f    , f  x  0 f ( x) 2 x  f  x   thỏa mãn biết B f  1  2 C f  1  D f  1  Lời giải Chọn B Ta có f '  x f ( x) 2 x  f  x    2 x f  x  f '  x f  x  dx 2 xdx  f  x  d  f  x   2xdx   f  x  x 2  * ta được: Thay x 2 vào f  x    C  * 1 4  C  C  f  2 2  f  1  2 x 1 Trang 10