(SKKN mới NHẤT) nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải quyết một số bài toán về hàm số bằng cách sử dụng các yếu tố của đạo hàm

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN -   SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: " Nâng cao lực, phát triển tư toán học cho học sinh qua việc giải số toán hàm số cách sử dụng yếu tố đạo hàm." LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Vinh, tháng 4/2022 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG PT HERRMANN GMEINER -   SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: " Nâng cao lực, phát triển tư toán học cho học sinh qua việc giải số toán hàm số cách sử dụng yếu tố đạo hàm." LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Giáo viên: Phạm Thị Ngọc Hương Điện thoại: Đơn vị: 0919553836 Trường PT Hermann Gmeiner Vinh, tháng 4/2022 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I Đặt vấn đề PHẦN II Nội dung nghiên cứu .4 I.Cơ sở khoa học đề tài I.1 Cơ sở lý luận đề tài I.2 Cơ sở thực tiễn đề tài .5 II Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm III Các sáng kiến giải pháp để giải vấn đề III.1 Các yếu tố đạo hàm biến thiên hàm số III.2 Các yếu tố đạo hàm cực trị hàm số 20 III.3 Các yếu tố đạo hàm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số .29 III.4 Các yếu tố đạo hàm toán biện luận nghiệm phương trình, bất phương trình .34 III.5 Các yếu tố đạo hàm toán đồ thị hàm số 42 IV Kết thực nghiệm sư phạm 45 PHẦN III Kết luận kiến nghị 47 Tài liệu tham khảo 50 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com PHẦN I MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài: Sự ưu việt phương pháp thi trắc nghiệm chứng minh từ nước có giáo dục tiên tiến giới, ưu điểm như: tính khách quan, tính bao quát tính kinh tế Theo chủ trương Bộ Giáo dục & Đào tạo, kì thi THPT quốc gia mơn tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, thay đổi lớn việc kiểm tra đánh giá mơn tốn Khi thi trắc nghiệm, địi hỏi học sinh phải có hiểu biết thật sâu sắc kiến thức phải biết xếp trình tự tư logic hơn, nhanh để đáp ứng thời gian hoàn thành câu trả lời vòng 1,8 phút nhanh gấp 10 lần so với yêu cầu kiểm tra đánh giá cũ Trong chương trình tốn THPT, "Ứng dụng đạo hàm" giới thiệu SGK Giải tích lớp 12 Đạo hàm công cụ mạnh để giải nhiều toán Giữa hàm số f ( x ) đạo hàm f ' ( x ) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Đạo hàm hàm số việc biểu diễn dạng cơng thức cịn thể thông qua bảng biến thiên, bảng xét dấu hay đồ thị Việc dựa vào yếu tố hàm đạo hàm f ' ( x ) để tìm tính chất hàm số f ( x ) đưa đến cho nhiều điều thú vị toán hay Việc tiếp cận dạng toán người dạy lẫn người học đa phần cịn chưa có tính hệ thống vấn đề khơng phải trình làm học sinh thường gặp khó khăn việc định hướng, đặc biệt mức độ vận dụng, vận dụng cao Xuất phát từ vấn đề đó, việc hệ thống hóa dạng tốn sử dụng yếu tố hàm đạo hàm việc giải số toán liên quan đến hàm số cách chi tiết đồng thời cập nhật số xu hướng dạng toán đề thi Bộ kỳ thi THPT quốc gia kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh giúp người dạy, người học tiếp cận dạng toán cách tự nhiên có hệ thống Từ tơi mạnh dạn đưa đề tài: " Nâng cao lực, phát triển tư toán học cho học sinh qua việc giải số toán hàm số cách sử dụng yếu tố đạo hàm." II Mục đính nghiên cứu: Với quan điểm từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho học sinh toán gốc, toán để qua em làm tốn khó phức tạp hơn, đồng thời rèn luyện cho em lực ứng biến đối mặt với tình Phát triển lực tư tốn học cho học sinh thơng qua việc sử dụng nhiều hướng giải toán ứng dụng đạo hàm Đề tài giúp học sinh nhận thấy mối quan hệ chặt chẽ hàm số f ( x ) đạo hàm f ' ( x ) thơng qua số tốn thường gặp hàm số, đồng thời có nhìn tổng thề có tính hệ thống lớp tốn dạng Từ TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com học sinh định hướng lực tư tiếp cận tốt toán dạng kỳ thi THPT Quốc gia tới III Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ hàm số f ( x ) đạo hàm f ' ( x ) , nhằm mục đích để học sinh hiểu sâu vấn đề khảo sát hàm số như: Sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tương giao đồ thị, Từ góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề hàm số thuộc mơn Tốn trường trung học Phổ thơng IV Phương pháp nghiên cứu: • Trong trình nghiên cứu, đề tài sử dụng phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm • Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan tự đốc rút khái niệm tính chất • Thống kê số liệu để phân loại toán ứng dụng đạo hàm rút hệ thống sơ đồ tư giải tập khó • Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin để biết thực trạng dạy học trường sở để đưa thuật giải logic, ngắn gọn, dễ hiểu dễ nhớ • Trên sở phân tích kỹ nội dung chương trình Bộ giáo dục Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi tiết học, sau nội dung có rút kinh nghiệm kết thu (nhận thức học sinh, hứng thú nghe giảng, kết kiểm tra,…) đến kết luận • Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải cho toán V Những điểm sáng kiến kinh nghiệm: • Về mặt lý luận Đề tài hệ thống kiến thức tảng theo dạng toán hàm đạo hàm vấn đề liên quan Hình thành cách tư giải toán dựa suy luận từ yếu tố hàm đạo hàm • Về mặt thực tiễn Giải tình thực tiễn khảo sát hàm y = f ' ( x ) Xây dựng hệ thống tập nhằm phát triển lực rèn luyện kỹ cho học sinh Đặc biệt, đề tài khai thác, phát triển toán ứng dụng, đưa hướng dự đoán đề thi THPT quốc gia tới TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I Cơ sở khoa học đề tài Cơ sở lý luận 1.1 Khái niệm hàm số Cho hai đại lượng biến thiên x y , x nhận giá trị thuộc tập số D  Khi đó, đại lượng y gọi hàm số đại lượng x nếu: • Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi • Với giá trị x  D ta xác định giá trị tương ứng y  Ta gọi x biến số y hàm số x Tập D gọi tập xác định hàm số 1.2 Cách cho hàm số Một hàm số cho cách sau a) Hàm số cho bảng b) Hàm số cho biểu đồ c) Hàm số cho công thức 1.3 Đồ thị hàm số Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D Đồ thị hàm số y = f ( x ) tập hợp tất điểm M ( x0 ; y0 ) hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn x0  D y0  f ( x0 ) 1.4 Đạo hàm hàm số khoảng Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ( a; b ) có đạo hàm điểm thuộc ( a; b ) Khi ta gọi hàm số f ': x ( a; b ) → f '( x) đạo hàm hàm số y = f ( x ) khoảng ( a; b ) , kí hiệu y ' f ' ( x ) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 1.5 Một số dạng toán thường gặp hàm số chương trình THPT Trong chương trình THPT, khái niệm hàm số kiến thức hàm số trình bày đầy đủ phù hợp với học sinh THPT Sách giáo khoa Giải tích 12, chương trình bày ứng dụng đạo hàm để nghiên cứu vấn đề hàm số, cụ thể: Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số Khái niệm cực trị, dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, cực tiểu Khái niệm GTLN, GTNN hàm số phương pháp tìm GTLN, GTNN Khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang hàm số phương pháp tìm đường tiệm cận Khảo sát hàm số hàm tương giao hai đồ thị Trên sở kiến thức nêu, sách giáo khoa sách tập Giải tích 12 xây dựng hệ thống tập gồm tự luận trắc nghiệm để khắc sâu, củng cố kiến thức cho học sinh, để học sinh làm quen với câu mức độ nhận biết thơng hiểu hàm số kì thi THPT QG Cơ sở thực tiễn Dưới lãnh đạo Ban giám hiệu nhà trường, đội ngũ giáo viên chúng tơi ln trăn trở tìm tịi, đổi phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh Nhà trường không trọng truyền thụ tri thức mà phát triển tư cho học sinh thông qua học, làm hành trang vững cho em bước vào tương lai Trong kì thi THPT QG, tốn hàm số khai thác nhiều, mức độ Đối với câu hỏi mức độ nhận biết thơng hiểu dạng câu hỏi thường tương tự sách giáo khoa nhiều sách tham khảo Tuy nhiên năm gần đây, mức độ vận dụng vận dụng cao nhiều toán hàm số khai thác dạng tương đối lạ so với SGK Trong trình dạy học ơn tập cho học sinh, tơi thấy đa số em chưa định hình cách giải nhiều lúng túng việc xử lí triệt để tốn dạng Chính vậy, tập trung nghiên cứu tài liệu toán liên quan đến yếu tố hàm đạo hàm chủ đề hàm số, đồng thời cố gắng xếp, phân chia dạng cách có hệ thống để khắc phục khó khăn đề cập TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com II Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong giải tích, đạo hàm cơng cụ mạnh để giải nhiều toán, mơn học có nhiều vấn đề khó đại đa số học sinh, đặc biệt học sinh trung bình yếu Khi giải tốn ứng dụng đạo hàm, tiến hành theo bước khơng tâm lý học sinh thường nản bỏ qua Theo số liệu thống kê trước dạy đề tài hai lớp trực tiếp áp dụng năm học 2021-2022 kết sau: Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải trước thực đề tài 12A1 45 18 123 47 16 2021-2022 Đứng trước thực trạng nghĩ nên hướng cho em tới cách giải khác sở kiến thức sách giáo khoa Song song với việc cung cấp tri thức trọng rèn luyện kỹ giải toán, nâng cao lực, phát triển tư cho học sinh để sở học sinh không học tốt phần mà làm tảng cho phần kiến thức khác III Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề III.1 Các yếu tố hàm đạo hàm biến thiên hàm số III.1.1 Cho bảng xét dấu công thức hàm đạo hàm Phương pháp giải Nếu cho bảng xét dấu đạo hàm ta dựa vào để suy trực tiếp biến thiên hàm y = f ( x ) dựa vào để lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp đạo hàm g ' ( x ) , từ kết luận tính đơn điệu hàm số y = g ( x ) = f ( u ( x ) ) + v ( x ) Nếu cho công thức hàm số f ' ( x ) , ta thực theo ba bước sau: Bước Tìm giá trị x mà f  ( x ) = giá trị làm cho f  ( x ) khơng xác định, từ suy giá trị x mà g ' ( x ) = giá trị làm cho g ' ( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp đạo hàm g ' ( x ) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số y = g ( x ) = f ( u ( x ) ) + v ( x ) (chọn đáp án) Lưu ý: Khi xét dấu hàm đạo hàm cần lưu ý cho học sinh đạo hàm đổi dấu qua nghiệm bội lẻ Ví dụ (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm: Hàm số đồng biến khoảng đây? A ( 3; ) B ( 2; ) C (1;3) D ( −; −1) Lời giải Dựa vào bảng xét dấu f ' ( x ) , ta thấy hàm số y = f ( x ) đồng biến (1;3) ( 4; + ) Suy hàm số y = f ( x ) đồng biến (1;3) Chọn C Lưu ý: Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) tập D đồng biến (nghịch biến) tập K  D Ví dụ (Chuyên KHTN - 2021) Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm sau: Có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn −10  m  10 hàm số y = f ( x + x + m) đồng biến khoảng (0;1) ? A B C D Lời giải Xét y = g ( x) = f ( x + x + m) Ta có: y ' = g '( x) = 2( x + 1) f '( x + x + m) Vì x +  0x  (0;1) nên để hàm số y = f ( x + x + m) đồng biến khoảng (0;1) f '( x + x + m)  0x  (0;1) , hàm số x + x + m đồng biến (0;1) nên Đặt t = x2 + x + m , x  (0;1) nên t  (m; m + 3)  m +  −2  m  −5 Dựa vào bảng xét dấu f '( x) ta có:  m    m =  m +  TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mà −10  m  10 nên m = {−9; −8; −7; −6; −5;0} Vậy có tất giá trị nguyên tham số m thỏa mãn đề Chọn C Ví dụ (Mã đề 101 – Đề thức 2019) Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu f ' ( x ) sau: Hàm số y = f ( x − x ) nghịch biến khoảng đây? A B C D Lời giải  −3  − x  −1 3  x   3 − x  x  Ta có y = −2 f  ( − x )   f  ( − x )    Vì hàm số nghịch biến khoảng ( −;1) nên nghịch biến ( −2;1) Chọn B Ví dụ (THPT Thanh Chương 1- Nghệ An - 2021) Cho hàm số y = f ( x) liên tục R có bảng xét dấu đạo hàm sau: Hàm số y = f ( x − 1) − x3 + 15 x − 18 x + đồng biến khoảng A ( 3; + ) B 1;    C  ;3    D  2;    Lời giải  Ta đặt: y = g ( x) = f ( x − 1) − x3 + 15 x − 18 x +  g ( x) = f  ( x − 1) − 12 x + 30 x − 18 =  f  ( x − 1) − x + x − 3 x =  2 x − = x = 2 x − = 2 Từ đó, ta có bảng xét dấu sau: Có f  ( x − 1) =     2 x − = x=2   x = 2 x − =  TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 10 Ví dụ Cho f ( x ) hàm số bậc ba Hàm số f  ( x ) có đồ thị sau: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f ( e x + 1) − x − m = có hai nghiệm thực phân biệt A m  f ( ) B m  f ( ) − C m  f (1) − ln D m  f (1) + ln Lời giải Ta có: f ( e x + 1) − x − m =  f ( e x + 1) − x = m (1) x x Đặt t = e +  t  = e  0, x  Ta có bảng biến thiên: Với t = e x +  x = ln ( t − 1) Ta có: (1)  f ( t ) − ln ( t − 1) = m ( ) Khi đó, phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt phương trình ( ) có hai nghiệm thực phân biệt lớn Xét hàm số g ( t ) = f ( t ) − ln ( t − 1) , t  ta có: g (t ) = f  (t ) − 1 , g  (t ) =  f  (t ) = t −1 t −1 Dựa vào đồ thị hàm số y = f  ( x ) y= x −1 ta có: f  (t ) =  t = t −1 Ta có bảng biến thiên hàm số g ( t ) : TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 39 Số nghiệm phương trình ( ) số giao điểm đồ thị hàm số g ( t ) đường thẳng y = m Dựa vào bảng biến thiên, phương trình ( ) có hai nghiệm thực phân biệt lớn  m  g ( )  m  f ( ) − ln1  m  f ( ) Chọn A Ví dụ (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp hai R có đồ thị y = f '( x) đường cong hình vẽ bên Đặt g ( x) = f ( f '( x) − 1) Gọi phần tử tập S A S tập nghiệm phương trình B C 10 g '( x) = Số D Lời giải Ta có: g ( x) = f ( f '( x) − 1)  g '( x) = f "( x) f '( f '( x) − 1)  f ''( x) =  f ''( x) =  f '( x) =   f '( x) − = −1   f '( x) = Phương trình g '( x) =   f '( f '( x ) − 1) =   f '( x) − =  f '( x) = x =  f "(1) =   −2    −2  Ta có đồ thị y = f '( x) có cực trị  x =   f "  =  f ''( x) = có 3      x = x0  (1;2)  f ''( x0 ) = x =  −2 nghiệm  x = với x = nghiệm bội chẵn  x = x  TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 40 Tại phương trình bội chẵn x = f '( x) = ta thấy có nghiệm bội lẻ Tại phương trình f '( x) = ta thấy có nghiệm mà đường thẳng thị y = f ( x) x = −1, x = nghiệm y=3 cắt đồ hai điểm x = x1  (−; −1) x = x2  (2; +) Vậy từ ta thấy phương trình g '( x) = tổng cộng có tất 10 nghiệm Chọn C III.4.2 Sử dụng yếu tố hàm y = f  ( x ) để biện luận nghiệm bất phương trình Ví dụ (Đề minh họa thi tốt nghiệp THPT Bộ GD&ĐT – 2020) Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f  ( x ) có bảng biến thiên sau Bất phương trình f ( x )  e x + m với x  ( −1;1) A m  f (1) − e B m  f ( −1) − e C m  f ( −1) − e D m  f (1) − e Lời giải Ta có: f ( x)  e x + m , x  ( −1;1)  f ( x) − e x  m , x  ( −1;1) x x Xét hàm số g ( x) = f ( x) − e , ta có: g ( x) = f ( x) − e Dựa vào bảng biến thiên f ' ( x ) ta thấy x  ( −1;1) f ( x)  , −e x  nên : g ( x) = f ( x) − e x  , x  ( −1;1) Hàm số g ( x ) nghịch biến ( −1;1) liên tục  −1,1 Suy ra: max ( f ( x ) − e x ) = g ( −1) = f (−1) − −1,1 e Do đó: m  f (−1) − e Chọn C Ví dụ (Thi thử lần - THPT chuyên Sơn La - Sơn La –2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị y = f  ( x ) có bảng biến thiên sau: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 41 Bất phương trình f ( x )  e x + m với x  ( −1;1) A m  f ( ) − B m  f ( −1) − e C m  f ( ) − D m  f ( −1) − e Lời giải Ta có: f ( x )  e x + m, x  ( −1;1)  f ( x ) − e x  m, x  ( −1;1) 2 Xét hàm số g ( x) = f ( x) − e x Hàm số g ( x ) liên tục ( −1;1)  f ' ( x )  Ta có: g ( x) = f ( x) − xe x Ta thấy x  ( −1;0 )   x 2 xe   f ' ( x )  2  g ( x) = f ( x) − xe x  x  ( 0;1)    g ( x) = f ( x) − xe x  , x 2 xe  g ( x) =  f ( x) = xe x  x = Ta có bảng biến thiên : Điều kiện để bất phương trình f ( x )  e x + m với x  ( −1;1) ( ) m  max f ( x ) − e x ( −1;1 )  m  g ( 0)  m  f ( 0) − Chọn C Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy hai tốn gần tương tự cho kết lại trái ngược, dẫn đến rối loạn lập luận em học sinh Câu hỏi lớn đặt là: Khi dùng dấu “  ”? dùng “  ” ? Trả lời câu hỏi giúp học sinh tháo gỡ khó khăn, vướng mắc TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 42 loạt toán này, toán phát triển, biến tướng Đối với lớp toán kiểu ta dùng phương pháp hàm số với lưu ý rằng: Xét bất phương trình f ( x )  m với x  ( a, b ) • Trường hợp f ( x ) đơn điệu ( f  ( x ) không đổi dấu ) ( a, b ) hàm f ( x ) liên tục  a, b  u cầu tốn trở thành max f ( x )  m  a ,b  (bản chất f ( x ) đạt giá trị lớn điểm x0  ( a, b ) ) • Trường hợp f ( x ) đạt giá trị lớn điểm x0  ( a, b ) u cầu tốn trở thành max f ( x )  m  a ,b  +) f ( x, m )  0, x  K  g ( x )  h ( m ) , x  K  Min g ( x )  h ( m ) K +) f ( x, m )  0, x  K  g ( x )  h ( m ) , x  K  Max g ( x )  h ( m ) K +) f ( x, m )  có nghiệm K  f ( x, m )   g ( x )  h ( m ) , x  K  Max g ( x )  h ( m ) K +) f ( x, m )  có nghiệm K  f ( x, m )   g ( x)  h ( m ) , x  K  Min g ( x )  h ( m ) K Ví dụ (Đề thi tốt nghiệp THPT QG – Mã đề 101 – 2020) Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f  ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f ( x )  x + m ( m tham số thực) có nghiệm với x  ( 0; ) A m  f ( ) − B m  f ( ) C m  f ( ) − D m  f ( ) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 43 Lời giải Ta có f ( x )  x + m, x  ( 0;2 )  m  f ( x ) − x, x  ( 0;2 )(*) Dựa vào đồ thị y = f  ( x ) ta có x  ( 0; ) f  ( x )  Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x khoảng ( 0;2 ) Ta có: g  ( x ) = f  ( x ) −  0, x  ( 0; ) Suy hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0;2 ) Do (*)  m  g ( ) = f ( ) Nhận xét: So với đề minh họa tốn đề thi thật khác cách cho giả thiết từ bảng biến thiên sang cho đồ thị hàm y = f  ( x ) Nhưng mặt chất tốn, phương pháp làm khơng thay đổi Học sinh dựa vào đồ thị để nhận xét tính đơn điệu hàm số g ( x ) = f ( x ) − x khoảng ( 0;2 ) từ đưa kết luận tốn Tuy nhiên, tốn khó khăn giả thiết toán cho đồ thị y = f  ( x ) trình làm lại cần tới tính đơn điệu hàm số y = f (u ( x )) , y = f (u ( x )) + g ( x ) III.5 Các yếu tố hàm đạo hàm toán đồ thị hàm số III.5.1 Các yếu tố hàm đạo hàm tương giao đồ thị hàm số Giả sử hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C1 ) hàm số y = g ( x ) có đồ thị ( C2 ) Ta có: • Số giao điểm ( C1 ) ( C2 ) , số nghiệm phương trình f ( x ) = g ( x ) • Giả sử phương trình có nghiệm x1 , x2 , giao điểm ( C1 ) ( C2 ) M1 ( x1 ; f ( x1 ) ) , M ( x2 ; f ( x2 ) ) , Ví dụ (Đề thi Liên trường Nghệ An – Lần – 2022) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Biết f ( c )  , hỏi đồ thị hàm số y f (x ) cắt trục hoành nhiều điểm? A B C D TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 44 Lời giải Từ đồ thị hàm số y = f  ( x ) , ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau: Do f ( c )  , suy y = f ( x ) cắt trục hoành nhiều điểm Chọn A Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số y = f  ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Phương trình f ( x ) = m, ( m  A nghiệm ) có nghiệm thực B nghiệm C nghiệm D nghiệm Lời giải Từ đồ thị hàm số y = f  ( x ) , ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau: Suy phương trình f ( x ) = m, ( m  ) có nhiều nghiệm thực Chọn B III.5.2 Các yếu tố hàm đạo hàm nhận diện đồ thị hàm số Một hàm số y = f ( x ) nhận dạng thông qua công thức đồ thị xây dựng lại từ yếu tố hàm đạo hàm y = f  ( x ) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 45 Lưu ý: Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng ( a; b ) đạt cực đại cực tiểu x0 f ' ( x0 ) = Khi hình chiếu điểm cực trị M ( x0 , f ( x0 ) ) trục hoành trùng với giao điểm đồ thị hàm số y = f  ( x ) với trục hồnh Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d ( a, b, c, d  ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho hàm số hàm số đây? 3 2 A y = − x + x + x + B y = x − x − C y = − x + x − x − D y = − x + x − x + Lời giải Ta có f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c Từ hình vẽ, suy đồ thị hàm số y = f  ( x ) parabol có bề lõm quay xuống cắt trục tung điểm có tung độ âm, đỉnh parabol nằm góc phần tư thứ 3a     a0 c0   c0 Do  − 4b    Từ loại đáp án A B b  a    4b − 12ac b − 3ac  0 − 12a  ✓ Với đáp án C ta thấy b − 3ac =  , suy loại C ✓ Thay điều kiện vào đáp án D, ta thấy thỏa mãn Chọn D Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục , cho đồ thị hàm số y = f ' ( x ) parabol có dạng hình bên TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 46 Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) có đồ thị bốn đáp án sau? Lời giải Từ đồ thị y = f ' ( x ) suy hàm y = f ( x ) có xCD = −1; xCT = Chọn B Ví dụ (Tốn học tuổi trẻ) Một đồ thị hàm số đồ thị số y = g ( x ) liên tục , g ' ( ) = , g '' ( x )  0, x  ( −1; ) Hỏi đồ thị nào? Lời giải Từ giả thiết g ' ( ) = , g '' ( x )  0, x  ( −1; ) suy g ' ( ) = , g '' ( )  0, nên hàm số y = g ( x ) đạt cực đại điểm x = , đồ thị cho hình đồ thị hình A đồ thị hàm y = g ( x ) Chọn A IV Kết thực nghiệm sư phạm IV.1 Mục đích thực nghiệm: Kiểm tra tính khả thi hiệu đề tài IV.2 Nội dung thực nghiệm: ✓ Triển khai đề tài: Đưa phương pháp giúp học sinh biết vận dụng yếu tổ đạo hàm để giải toán hàm số ✓ Đối tượng áp dụng: Học sinh hai lớp 12A1, 12A3 năm học 2021-2022 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 47 ✓ Thời gian thực hiện: buổi dạy ôn tập chuyên đề THPT quốc gia trường (2 buổi đầu không áp dụng đề tài, buổi sau áp dụng đề tài) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 48 IV.3 Kết thực nghiệm: IV.3.1 Phân tích mặt định lượng: Trong năm học 2021 - 2022 tơi phân cơng giảng dạy mơn tốn lớp 12A1, 12A3 Cả lớp chất lượng mơn tốn mức gần tương đương Tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm tiến hành kiểm tra để kiểm chứng hiệu đề tài này, kết thu thống kê bảng sau: Thực Kết nghiệm Lần kiểm tra đối chứng TN Số TN 92 ĐC 92 Hợp TN ĐC (%) bình (%) Khá (%) Giỏi (%) 28 44 22 15 41 34 10 25 43 28 14 40 35 11 26.5 43.5 25 14.5 40.5 34.5 10.5 92 Tổng Trung 92 ĐC Yếu, 92 92 (Thống kê xếp loại trình độ học sinh qua lần kiểm tra.) Qua bảng cho thấy, tỉ lệ % điểm khá, giỏi nhóm TN ln có tỉ lệ cao nhóm ĐC, đặc biệt tỉ lệ % điểm giỏi IV.3.2 Phân tích mặt định tính: Qua q trình ứng dụng phương pháp hướng dẫn học sinh tự học giảng dạy kiểm tra đánh giá đối tượng thực nghiệm đối chứng, thấy: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 49 - Ở lớp ĐC: Học sinh phát biểu, hứng thú tiết học Trả lời câu hỏi gợi ý giáo viên lan man, lúng túng Khả tư duy, khái quát, hệ thống kiến thức học sinh chưa cao - Ở lớp TN: Học sinh hào hứng với phương pháp tiếp cận này, thể qua trình hoạt động nhận thức cách tích cực, sơi Trong học HS trả lời nhanh, ngắn gọn súc tích câu hỏi gợi ý mà giáo viên sử dụng Điều chứng tỏ chất lượng dạy nâng cao Như vậy, qua việc phân tích kết mặt định lượng định tính kết thu thực nghiệm thể tính hiệu phương pháp, giúp học sinh tiếp cận số ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện cách nhanh nhất, thuận lợi việc làm thi trắc nghiệm kỳ thi THPT Quốc gia V Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh dự thi học sinh giỏi, phụ đạo học sinh yếu kém, tích lũy số kinh nghiệm việc sử dụng yếu tố đạo hàm để giải số toán thường gặp hàm số, đặc biệt áp dụng cụ thể việc giảng dạy vấn đề lớp khối 12 Đây thực tài liệu hữu ích kiểm chứng thực tế cho kết tốt TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 50 PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ I Kết luận chung: Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau đây: Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải khái niệm kĩ năng; hình thành kĩ học giải tập toán cho học sinh Thống kê số dạng tốn điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề thực giúp nâng cao lực, phát triển tư toán học cho học sinh qua việc giải số toán hàm số cách sử dụng yếu tố đạo hàm Nêu phương pháp giải, ví dụ dạng tốn phần hàm số, phù hợp với kì thi THPT quốc gia Việc có định hướng, kiến thức giúp học sinh tự tin hơn, thích nghi nhanh với phương án thi trắc nghiệm mà GD&ĐT đề Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực Thiết kế hình thức dạy học số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực nhằm rèn luyện kĩ năng, nâng cao lực phát triển tư cho học sinh Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất Như khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành giả thuyết khoa học chấp nhận Trong q trình giảng dạy mơn Tốn trường, từ việc áp dụng hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải tốn cho học sinh qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy thân, với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn tồn diện Tốn học nói chung Đặc biệt tơi nhận thấy đối tượng học sinh khá, giỏi hứng thú với việc làm mà giáo viên áp dụng chuyên đề TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 51 II Kiến nghị: Thơng qua số ví dụ phần thấy vai trị phương pháp việc sử dụng yếu tố hàm đạo hàm để giải số toán hàm số Tuy nhiên, sử dụng phương pháp giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh số vốn kiến thức định kỹ nhận dạng tập Phương pháp phương pháp khác áp dụng cho tất loại toán hàm số chưa phương pháp tối ưu, học sinh cần vào đặc điểm toán, khai thác giả thiết cho nhận dạng tập để lựa chọn phương pháp giải cho thích hợp, từ có cách nhìn linh hoạt, uyển chuyển có nhuần nhuyễn kỹ Là giáo viên cần xác định cho phải tạo cho học sinh niềm hứng thú say mê q trình học tập; ln cải tiến phương pháp dạy học, phát triển tư duy, vận dụng kiến thức phục vụ tốt cho dạy Bài tốn hàm số đa dạng khó Trong viết tơi đưa số ví dụ sử dụng yếu tố đạo hàm để giải toán hàm số hay gặp đề thi THPT quốc gia nên chưa thể đầy đủ, chưa bao quát hết, với mong muốn giúp cho học sinh có định hướng tốt gặp dạng tốn này, tơi mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp để viết hoàn thiện Đề tài kinh nghiệm nhỏ, kết nghiên cứu cá nhân, thông qua số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi hạn chế, khiếm khuyết Vậy, mong Hội đồng xét duyệt góp ý để kinh nghiệm giảng dạy ngày phong phú hữu hiệu Tôi xin trân trọng cảm ơn ! Vinh, ngày 10 tháng năm 2022 Tác giả TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 - Cơ – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – NXB Giáo dục Sách tập Giải tích lớp 12 - Cơ 12 – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – NXB Giáo dục Tài liệu bồi dưỡng giáo viên mơn tốn lớp 12 – NXB Giáo dục Tài liệu bồi dưỡng giáo viên mơn tốn lớp 12 – NXB Giáo dục Dạy học theo chuẩn kiến thức kĩ mơn tốn lớp 12 – Bùi Văn Nghĩa (Chủ biên) – NXB Đại học sư phạm Hà Nội Phân tích tư giải câu điểm 8, 9, 10 tốn kì thi THPT Quốc gia Vương Thanh Bình - NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Bộ đề trắc nghiệm mơn tốn lớp 12 - TS Lê Xuân Sơn (Chủ biên) - NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 12; đề thi thử THPT Quốc gia trường THPT nước, Sở GD & ĐT; Các đề thi thử nghiệm, thức Bộ GD & ĐT năm 2017; 2018; 2019; 2020; 2021;2022 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 53 ... người học tiếp cận dạng toán cách tự nhiên có hệ thống Từ tơi mạnh dạn đưa đề tài: " Nâng cao lực, phát triển tư toán học cho học sinh qua việc giải số toán hàm số cách sử dụng yếu tố đạo hàm. "... SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: " Nâng cao lực, phát triển tư toán học cho học sinh qua việc giải số toán hàm số cách sử dụng yếu tố đạo hàm. " LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Giáo viên: Phạm Thị Ngọc Hương... III.1 Các yếu tố đạo hàm biến thiên hàm số III.2 Các yếu tố đạo hàm cực trị hàm số 20 III.3 Các yếu tố đạo hàm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số .29 III.4 Các yếu tố đạo hàm tốn biện