Hh9 hk1–tuan 3 tiết 4 một số hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông

1/ PHIẾU SỐ – HH9 – TIẾT 4: MỘT SỐ HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG DẠNG 1: CHỨNG MINH HỆ THỨC Bài 1: Cho tam giác ABC có AB  AC , kẻ trung tuyến AM đường cao AH Chứng minh hệ thức: BC AB  AC 2 AM  a) 2 2 b) AB  AC 2 BC.MH Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A , AH đường cao HE , HF đường cao tam giác AHB, AHC Chứng minh a) AB HB  AC HC AB BE  CF b) AC Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A , AH đường cao HE , HF đường cao tam giác AHB, AHC Chứng minh 2 2 a) BC 3 AH  BE  CF b) BE  CF  BC A , AH đường cao HE , HF đường cao Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tam giác AHB, AHC Chứng minh 1 1     2 2 HF BH CH AH a) HE b) AH BE.CF BC Bài 5: Cho tam giác ABC cân  A A  900  , kẻ BM  CA Chứng minh NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ AM  AB  2   1 MC  AC  Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết BH a, HC b Chứng minh ab  a b DẠNG 2: TÍNH TOÁN     A A  900 ABC Bài 1: Cho tam giác cân , gọi I giao điểm đường phân giác Biết IA 2 5cm , IB 3cm Tính độ dài AB A A  900 ABC Bài 2: Cho tam giác cân , đường cao AD , trực tâm H , biết AH 14cm , BH HC 30cm Tính độ dài AD Bài 3: Cho tam giác ABC có BC 40cm , đường phân giác AD 45cm , đường cao AH 36cm , Tính độ dài BD, DC Bài 4: Cho tam giác ABC vuông B có AB 3; BC 4 , ta dựng tam giác ACD vuông cân D cho D khác phía với B đường thẳng AC Tính độ dài AD, BD Bài 5: Gọi H giao điểm đường chéo hình vng ABCD có cạnh AB 1 , M trung điểm cạnh AB Đường trung trực đoạn MH cắt đường trung trực đoạn CH O Tính độ dài OH BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Qua đỉnh A hình vng ABCD có cạnh a , vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M 1   2 AI a cắt đường thẳng DC I Chứng minh AM Bài 2: Cho hình vng ABCD có cạnh 10cm Tính cạnh tam giác AEF có E thuộc cạnh CD F thuộc cạnh BC Bài 3: Chứng minh tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với AB  CD BC  AD NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ Bài 4: Tứ giác ABCD có góc đỉnh B, D vng AB  AD Trên cạnh BC ta lấy điểm M cạnh CD lấy điểm N cho AM  BN Gọi H giao điểm hai đường thẳng AM , BN K giao điểm AN , DM Chứng minh AH AM  AK AN Bài 5: Cho xOy 90 số a  Ta xét hai điểm A, B nằm Ox, Oy thỏa mãn điều 1  a OB kiện OA Chứng minh khoảng cách từ O đến đường thẳng AB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A, B HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: CHỨNG MINH HỆ THỨC Bài 1: Cho tam giác ABC có AB  AC , kẻ trung tuyến AM đường cao AH Chứng minh hệ thức: AB  AC 2 AM  c) BC 2 2 d) AB  AC 2 BC.MH Hướng dẫn 2 a) Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vng AHB ta có: AB  AH  HB (*) Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông AHM ta có: AH  AM  MH (**) Và HB MB  MH (***) Từ (*), (**) (***) ta có: AB  AH  HB  AM  MH    MB  MH   AM  MH  MB  MH  2MB.MH  AM  MB  MB.MH A AC  AM  MC  MC.MH Tương tự ta có:  1 2  2 Lấy (1) cộng (2) ta AB  AC 2 AM  MB  MC  MB MC  C H NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ M B 1/ 2 BC  BC   BC  2 AM     AM         b) Lấy (1) trừ (2) ta AB  AC 4 MB.MH 2.BC MH Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A , AH đường cao HE , HF đường cao tam giác AHB, AHC Chứng minh c) AB HB  AC HC AB BE  CF d) AC A F Hướng dẫn a) Trong tam giác ABC ta có: E AB BH BC AC CH CB B AB BH BC HB   CH CB HC Vậy: AC b) Trong tam giác AHB ta có: BE.BA BH Trong tam giác AHC ta có: CF CA CH H AB HB AB HB BE.BA AB BE       AC HC AC HC CF CA AC CF Ta có Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A , AH đường cao HE , HF đường cao tam giác AHB, AHC Chứng minh c) d) BC 3 AH  BE  CF BE  CF  BC Hướng dẫn a) Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vng HBE ta có: BE BH  HE 2 2 Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông HFC ta có: CF CH  HF NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ C 1/ Dễ dạng chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật  AH EF Vì tam giác ABC vuông A nên HB.HC  AH Xét VP 3 AH  BE  CF 3 AH   BH  HE    CH  HF  3 AH   HF  HE    CH  BH  3 AH  EF   BH  HC   HB.HC 2 AH  BC  AH BC b) Trong tam giác ABC ta có: BH BC BA Trong tam giác AHB ta có: BH BH BH BH BE.BA BH  BE   BE    BA BA BH BC BC  1 Trong tam giác AHC ta có: CH CH CH CH CF CA CH  CF   CF    CA CA CH BC BC  2 Từ (1) (2) suy BH CH BC BE  CF  3 3  BC BC BC BC A F E B C H Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A , AH đường cao HE , HF đường cao tam giác AHB, AHC Chứng minh c) 1 1     2 2 HE HF BH CH AH d) AH BE.CF BC Hướng dẫn NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ 1  2 HB HA2 a) Trong tam giác vng ABH ta có: HE 1   2 HC HA2 Trong tam giác vng ACH ta có: HF 1 1     2 2 HF BH CH AH Cộng vế với vế ta HE b) Trong tam giác vuông ABC ta có: AH BC  AB AC AH HB.HC  AH HB HC AH HB HC  BE.BA   CF CA  BE.CF  BA.CA  BE.CF BC AH  AH BE.CF BC Bài 5: Cho tam giác ABC cân  A A  900  , kẻ BM  CA Chứng minh AM  AB  2   1 MC  AC  Hướng dẫn Lấy điểm E đối xứng với C qua A Ta có AC  AB  AE  BCE vuông B BC BC BC CM CE  MC   CE AC Ta có AM  AC  MC  AC  Mà  1 BC 2 AC  BC  AC AC  2 AM  AC  BC   BC  AC  BC  AB   2   :   1 MC  AC BC  AC    AC  Chia (2) cho (1) ta NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ A , đường cao AH Biết BH a, HC b Chứng minh Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ab  a b Hướng dẫn Trong tam giác ABC ta có AH HB.HC  AH  a.b Vì AM đường trung tuyến nên Trong tam giác vng AMH có AM  BC a  b  2 AH  AM  ab  a b DẠNG 2: TÍNH TỐN Bài 1: Cho tam giác ABC cân  A A  900  , gọi I giao điểm đường phân giác Biết IA 2 5cm , IB 3cm Tính độ dài AB Hướng dẫn Dựng đường vng góc với AB A cắt BI K Ta có: mà  B  900 ; I  B  900 K I I đối đỉnh) 2 (  B    B ( phân giác) K I Nên tam giác AIK cân A  AI  AK Kẻ AH  BK Đặt IH HK x Xét tam giác vng ABK ta có:   AK KH KB  AI KH  KI  IB   x  x  3  x 2, Vậy KB  x   8cm Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABK   AB  AK BK  AB BK  AK 82  44  AB 2 11 NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/   A A  900 ABC Bài 2: Cho tam giác cân , đường cao AD , trực tâm H , biết AH 14cm , BH HC 30cm Tính độ dài AD Hướng dẫn Gọi E điểm đối xứng với H qua BC Ta có BHCE hình thoi Ta có  C  B 1 (slt)  C  C (hình thoi)   A C (góc có cạnh tương ứng vng góc) Vậy   A B 1 Ta có  H  900  A  E  900  ABE B 1 1 vuông B  BE ED.EA 302 x  x  14   x 18  AD 32cm DE  x Đặt Ta có Bài 3: Cho tam giác ABC có BC 40cm , đường phân giác AD 45cm , đường cao AH 36cm , Tính độ dài BD, DC Hướng dẫn Đặt BD x; DC  y  x  y  40  Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ADH AH  HD  AD  HD2  AD  AH 452  362 729  HD 27 Vẽ tia phân giác góc ngồi A cắt BC E Ta có AE  AD nên AD DH DE NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ DE  Suy AD 452  75 DH 27 Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có DB EB x 75  x    DC EC y 75  y  1 Mặt khác ta có DB  DC BC  x  y 40 Thay y 40  x vào (1) giải ta x 15 Vậy DB 15; DC 25 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông B có AB 3; BC 4 , ta dựng tam giác ACD vng cân D cho D khác phía với B đường thẳng AC Tính độ dài AD, BD Hướng dẫn Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC AB  BC  AC  AC 32  25  AC 5 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ADC AD  DC  AC  AD  AC  AD  AC  2 E trung điểm AC , H chân đường cao tam giác kẻ từ B Kéo dài tia BH lấy điểm K cho HK ED Gọi  HK / / ED, HK ED  có góc vng nên hình chữ Ta có HEDK hình bình hành nhật DE  Ta có AC  2 NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ BH AC BA.BC  BH  BA.BC 3.4 12   AC 5 12 49 BK BH  HK    10 Vậy 2    12  HE  BE  BH        10 2   Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông BKD 2  49    BD BK  KD  BD BK  HE       BD   10   10  Bài 5: Gọi 2 2 H giao điểm đường chéo hình vng ABCD có cạnh AB 1 , M trung điểm cạnh AB Đường trung trực đoạn MH cắt đường trung trực đoạn CH O Tính độ dài OH Hướng dẫn Gọi I , K trung điểm MH , CH E giao điểm OI , BH Ta có  450  K  450 H 1 Vậy tam giác OEK vuông cân E  OK EK  BC 2 2 NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ KH  HC AC   4 Áp dụng định lý Pitago tam giác OKH ta có 2  2  2 1 5 OH OK  KH          OH  8     2 NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/