Cd36 (câu 49)tổng hợp pp toạ độ trong không gian (mặt phẳng) vd vdc hdg

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 36: TỔNG HỢP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – VD VDC – MẶT PHẲNG  P  , đường thẳng Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng 11 13 y z 1 x z  3  : y  2  đường thẳng 2 Biết  ' hình chiếu x  ' :  P  M  1;1;0  điểm nằm  P  Vectơ  lên mặt phẳng vectơ pháp tuyến   u1  1;1;1 u2  1; 2;1 A B  P  u3  1;1;3 C Lời giải D  u4  4;1;1  11 x  y       13   x 1  y  z         y 0   z 1  1  x  y   y z  Xét hệ phương trình  Vậy    '  A  1;0;1  A  1;0;1   P   P    ,  '   P  Ta có:  ' hình chiếu  lên     u1  u ; u '   1;  4;3  P vectơ phương   u  AM  0;1;  1  P Ta có vectơ phương      n  u1 ; u2   1;1;1  P vectơ pháp tuyến Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x y z   2m  đường x y z   d  Biết tồn mặt phẳng thẳng :   có phương trình x  by  cz  d 0 chứa đồng thời hai đường thẳng d1 d Giá trị 2 biểu thức T b  c  d bằng: A 232 B 368 C 454 Lời giải D 184 Page 345 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT  x 2  2mt1  d1 :  y 3t1  z 3  3t  Phương trình tham số hai đường thẳng là:  x 3  2t2  d :  y 3t2  z 1  2t  Dễ dàng nhận thấy, hai đường thẳng d1 d không song song không trùng Để tồn mặt phẳng chứa đồng thời hai đường thẳng hai đường thẳng phải cắt điểm, hệ phương trình giao điểm phải có nghiệm 2mt1 1  2t2  1   2mt1 3  2t2    t1 t  2 3t1 3t2 3  3t 1  2t   3t1  2t2 2  3 Ta có: Từ phương trình     suy t1 t2 2 thay vào phương trình   , ta được:  2t2 2mt1 1  2t  m   2t1   x 2  t1   x 3  2t2 d1 :  y 3t1   z 3  3t d :  y 3t2   z 1  2t   Khi đó, hai đường thẳng cho là:  5   ud1  ;3;   u 2  d2  2;3;   Suy ra: Một vecto pháp tuyến mặt phẳng   3  n   2  ud1 ud2  2  3;  1;   6;  2;3  2  Mặt phẳng   qua điểm A  2;0;3 tuyến Phương trình mặt phẳng     nhận là:  n    6;  2;3 làm vecto pháp là:  x     y     z   0  x  y  3z  21 0 2 Vậy b  ; c 3; d  21  T b  c  d 454 A 2; 4;1 B   1;1;3 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm  , mặt phẳng  P  : x  y  z  0 vng góc với đúng?  P Một mặt phẳng  Q qua hai điểm A , B có dạng: ax  by  cz  11 0 Khẳng định sau Page 346 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT A a  b c Ta có: A( 2; 4;1) B a  b  c 5 uuu r , a   b; c  C Lời giải B ( - 1;1;3)  AB = ( - 3; - 3; 2) r n = ( 1; - 3; 2) D b  2019 ( P) là: Véc tơ pháp tuyến ( Q ) qua AB vng góc với ( P) nên ( Q ) nhận véc tơ Do mặt phẳng uuu r r éAB, nù= ( 0; - 8; - 12) ê ú ( Q ) ë û làm véc tơ pháp tuyến nên phương trình là: ( y - 4) + 3( z - 1) =  y + 3z - 11 = Suy a = , b = , c = Þ a + b + c = Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng mặt phẳng với  P Gọi H       P : x  y  z  0  : x y2 z   2 Viết phương trình mặt phẳng  Q đối xứng qua  A x  y  z  0 B x  y  z  0 C 3x  y  z  0 D x  y  z 0 Lời giải   qua A  1;  2;3 nhận u  3;  2;1 làm VTCP Mặt phẳng  P  nhận  n  1;1;  1 làm VTPT  P P €  Ta có u n 3.1  2.1  1.1 0 dễ thấy A khơng thuộc   ,   Q P Q€ P Q Lại có mặt phẳng   đối xứng với   qua  nên       có  n  1;1;  1 VTPT  M  1; 0;0    P   u  3;  2;1  M Chọn mặt phẳng qua nhận làm VTPT có phương trình 3x  y  z  0 H  3t ;   2t ;3  t  H   , H   nên  , mặt khác nên   3t      2t    t  0  t  5  H   ;  1;   , gọi M  điểm đối xứng M qua  , ta có H Suy  M   2;  2;5 M  P M   Q  trung điểm MM  suy , nên  Q n  1;1;  1 Mặt phẳng   qua M  nhận làm VTPT có phương trình 1 x    1 y    1 z   0  x  y  z  0 Page 347 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng mặt phẳng  : x  y  z 1   1  P  : 3x  z  0 Viết phương trình mặt phẳng  Q  đối xứng với  P qua  A 3x  z  11 0 C 3x  z  0 B 3x  z  11 0 D 3x  z 0 Lời giải  u   1; 2;3 P  qua A  2; 4;  1 nhận làm VTCP Mặt phẳng   nhận  n  3;0;1 làm VTPT  P P €  Ta có u.n 0 dễ thấy A khơng thuộc   ,   Q P Q€ P Q Lại có mặt phẳng   đối xứng với   qua  nên       có  n  3;0;1 VTPT M   1; 0;    P  Chọn , gọi H hình chiếu M  M  điểm đối xứng M qua   H  t ;  t ;   t MH   t ;  2t ;   3t    Ta có H   nên suy   MH u 0     t     2t      3t  0  t   15 26 10  H  ; ;   , ta có H trung điểm MM  suy Suy  7  37 52 34  M  ; ;     7  Q n  3;0;1 Mặt phẳng   qua M  nhận làm VTPT có phương trình 37   34   3 x     z   0  3x  z  11 0     Câu 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  x 1  2t   :  y 2  4t  z 3  t  mặt P : x  y  z  0 Q P phẳng   Viết phương trình mặt phẳng   đối xứng với   qua  A x  y  z 0 B x  y  z  13 0 C x  y  z 0 D x  y  z  13 0  u  2; 4;1 Lời giải  P n  1;1;1  nhận làm VTCP Mặt phẳng   nhận làm VTPT  P Ta có u n 2.1  4.1  1.1 7 0   khơng song song với  Page 348 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Gọi A  P    Suy A  2t ;  4t;3  t  A P , A  nên  ta có nên  2t   4t   t  0  t  A   1;  2;  Q P A Q Mặt phẳng   đối xứng với   qua  nên B  1; 0;    P  Chọn  , gọi H hình chiếu B  B điểm đội H  2t ;  4t ;3  t  xứng với B qua  Ta có H   nên  suy  BH   2t;  4t ;3  t    15 BH u 0    2t     4t   1  t  0  t  21 Ta có  16   12 32  H   ; ;  B ;  ;  Suy  7  , ta có H trung điểm BB suy  7  C 0, 0,  1   P  Tương tự, chọn  , gọi I hình chiếu C  C  I  2t ;  4t ;3  t  điểm đối xứng với I qua  Ta có I   nên  suy  CI   2t ;  4t ;  t    CI u 0    2t     4t  1   t  0  t   7  17  I   ; ;  C   ;  ;  Suy  3  , ta có I trung điểm CC  suy  3  Q Mặt phẳng   cần tìm mặt phẳng qua ba điểm A, B, C    18    11  AB  ; ;  AC   ; ;   7 ; 3 3  Ta có   10 2  AB, AC    ;  ;    1;5;  1    3 3 suy  n  1;5;  1 Q Q Do ta chọn  làm VTPT   Khi   có phương trình  x  1   y     z   0  x  y  z  13 0 S Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu   mặt cầu có bán kính nhỏ mặt cầu có phương trình: x  y  z   m   x –  m   z  m  10 0  : hai đường thẳng x y z    1 Viết phương trình tiếp diện mặt cầu song song với hai đường thẳng A y  z  0 B y  z  0  S ,  x 2t  1 :  y 1  t  z t  , biết tiếp diện 1  Page 349 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT C y  z  0 Phương trình D y  z  0 y  z 0 Lời giải 2 x  y  z   m   x –  m   z  m  10 0 x  y  z  2ax – 2by  2cz  d 0 với có dạng: a   m   , b 0, c m  3, d m  10 Điều kiện để phương trình cho phương trình mặt cầu: a  b  c  d  2 2   m     m  3   m  10    m  2m    m   R  m  2m    m  1   Khi bán kính mặt cầu Do R  m 1 Nên phương trình mặt cầu Mặt cầu  S  1  2 x  y  z  x  z  11 0 I   3;0;   , bán kính R   A 0;1;0  u  2;  1;1 véctơ phương qua   B 1; 0;0  v  1;  1;1 véctơ phương qua  có tâm Đường thẳng  S  Đường thẳng   P P   Mặt phẳng   cần tìm song song với hai đường thẳng nên   có   n  u, v   0;  1;  1 vectơ pháp tuyến P Phương trình mặt phẳng   có dạng: y  z  D 0 A   P   D  B   P   D 0 ; P S Mặt khác mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu   nên ta có:  D 2  4 0 2D   2 d  I ,  P   R  1  D  2   D 2  0 (loai) P    : y  z  0 Câu 8: Trong  d1  : không gian x y z   1  với  d1   d2  , với hệ tọa  x t  d  :  y 3  z   t  độ Oxyz , cho đường thẳng Có mặt phẳng song song đồng thời cắt mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  0 giao tuyến đường trịn có chu vi  A B C theo D Vô số Lời giải d d + Đường thẳng     có véctơ phương   u1  1;  1;  1 ; u2  1;0;1 Page 350 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT P d d P + Gọi mặt phẳng   song song với     ,   nhận véctơ     n  u1 , u2    1;  2; 1 véctơ pháp tuyến Suy  P  :  x  y  z  m 0 + Mặt cầu  S có tâm I  1; 2;0  , bán kính R  + Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến, ta có + Ta có Khi R r   d  I , ( P )    d  I , ( P )   d  I , ( P)    P1  :  x  Mặt khác 2 r   r   m 2  1  m 6    2  m 8 y  z  0  P2  :  x  y  z  0    M   P1   N   P1   d1   P1    d   P2   M   P2  N   P2  M  2;1;   d1 ; N  0;3;    d     Lấy Ta có ; Vậy khơng có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán Câu 9: Trong không  x t  d :  y 3  z   t  gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x y z   1 1 , Có mặt phẳng song song với d1 , d tiếp xúc với 2 mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z  0? A Vô số B C D Lời giải Nhận thấy d1 , d hai đường thẳng chéo nhau, có VTCP   u1 (1;  1;  1) , u2 (1; 0;1) Gọi ( P) mặt phẳng song song với d1 , d , VTPT ( P )     n  u1 , u2  ( 1;  2;1) Khi phương trình mp ( P) có dạng:  x  y  z  D 0 Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1;1), bk R  Mp ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) d ( I , ( P)) R   1  D  D 8    D  6    D  Page 351 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Với D 8 , mp ( P ) :  x  y  z  0 mp ( P ) song song với d1 chứa d : không thỏa mãn Với D  , mp ( P) :  x  y  z  0 mp ( P ) song song với d1 , d : thỏa mãn Vậy có mp ( P ) thỏa mãn Câu 10: Trong không gian với hệ ( P) : x  y  z  0 , đường thẳng trục tọa  x 4  3t  d :  y   3t  z 5t  độ Oxyz , cho mặt phẳng điểm A(2;  1; 2) Tọa độ điểm B thuộc  P  cho AB song song với d B(a, b, c) Khi a  b  c A B 10 C D  30 Lời giải   AB  :   u( AB ) qua A(2;  1; 2)   AB ud   3;  3;5   x 2  3t    AB  :  y   3t  B (2  3t ;   3t ;  5t )  z 2  5t  Thay điểm B vào ( P ) ta được:  3t   3t   10t  0  10  10t 0  t   B (5; 2;  3) Vậy a  b  c 10 Câu 11: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  P  : x  y  z  0 có tâm I mặt phẳng Thể tích khối nón có đỉnh I đáy đường tròn giao tuyến mặt  S  :  x  1   y  1   z  1 25  S  mặt phẳng  P  cầu A 12  B 48  C 24  Lời giải D 36  Page 352 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT  C Gọi đường tròn giao tuyến mặt cầu H bán kính r Mặt cầu Ta có:  S mặt phẳng  P  có tâm  S  có tâm I  1;1;1 IH d  I ,  P   bán kính R 5  2.1  2.1   4 12  22  22 2 2 Ta có: r  R  IH   3 1 V   r h   32.4 12 3 Ta có: Câu 12: Trong không gian  P  : x  y  z  0,  Q  : x  góc với  P  Q  x  z  0  x  z  0  A với hệ y  z  0 tọa độ hai mặt Viết phương trình mặt phẳng  R phẳng vng R cho khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng    x  z  0  B  x  z  0  x  y  0  C  x  y  0 Lời giải Hai mặt phẳng Oxyz , cho  P , Q  x  y  0  D  x  y  0   n1  1;1;1 , n2  1;  1;1 có vectơpháp tuyến là: R P Q Vì mặt phẳng   vng góc với hai mặt phẳng     nên mặt R phẳng   có vectơ pháp tuyến     n  n1 , n2   2; 0;   Hay mặt phẳng trình mặt phẳng Mặt khác, ta có:  R  có vectơ pháp tuyến  R  n 1;0;  1 Suy phương có dạng: x  z  D 0  D 2   D 2    D  Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu toán là: d  O,  R      R1  : x  D z  0,  R2  : x  z  0 Page 353 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) song song cách mặt phẳng ` (Q) : x  y  z  0 khoảng ( P ) không qua gốc tọa độ O Phương trình mặt phẳng ( P ) Câu 13: A x  y  z  0 C x  y  z 0 B x  y  z  0 D x  y  z  0 Lời giải Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x  y  z  0 nên phương trình mp ( P) :x  y 2z  d 0 A  3, 0,    Q  Mặt phẳng ( P ) cách mặt phẳng ` (Q) : x  y  z  0 khoảng  d  A,  P   1   d  1  d  3   12  22  22  d 0 3d Vì ( P ) khơng qua gốc tọa độ O nên d 0  d  Vậy pt mặt phẳng Câu 14:  P : x  y  z  0 A  1;1;  B   1;3;  Trong không gian Oxyz , cho hai điểm Gọi  x  1 mặt cầu có phương trình: thuộc mặt cầu  S 2  S   y  3   z   25 Tập hợp điểm M cách hai điểm A B đường trịn có bán kính A B C 10 D Lời giải    mặt Vì điểm M cách hai điểm A B nên M thuộc mặt phẳng phẳng trung trực đoạn AB E  0; 2;3 Gọi E trung điểm AB E  0; 2;3 Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua có vectơ pháp tuyến  AB   2; 2;   nên có phương trình:  2.x   y     z  3 0  x  y  z  0  S  nên M thuộc đường tròn giao tuyến mặt Mà M thuộc mặt cầu phẳng   Mặt cầu Ta có: mặt cầu  S có tâm d  I;     S I  1;  3;  1   1 1 1  bán kính R 5 3 Page 354 Sưu tầm biên soạn