001_01_13_Gt12_Bai 5_Dths_Tự Luận_Hdg_Chi Tiết.docx

VnTeach Com; BÀI 5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số; Bước 2 Tính đạo hàm ( )y f x  ; Bước 3 Tìm nghiệm[.]

I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ C H Ư Ơ N BÀI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT = = = I A SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bước Tìm tập xác định hàm số;   Bước Tính đạo hàm y  f ( x) ;  Bước Tìm nghiệm phương trình f ( x) 0 ; Bước Tính giới hạn lim y; lim y x   x   tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có); Bước Lập bảng biến thiên; Bước Kết luận tính biến thiên cực trị (nếu có); Bước Tìm điểm đặc biệt đồ thị (giao với trục Ox , Oy , điểm đối xứng, …); Bước Vẽ đồ thị B CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP y ax  bx  cx  d HÀM SỐ BẬC BA TRƯỜNG HỢP  a 0  a0 a0 y y / Phương trình y 0 có nghiệm phân biệt O x O x y y / Phương trình y = có nghiệm kép 1 O x O x y y / Phương trình y 0 vơ nghiệm O x 1 O x MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TỐN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x  3x  Lời giải: Tập xác định: D  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:  x 0 y 0   y 3 x  x Xét  x 2    ;   ;   , y  nên hàm số đồng biến  ;  , y  nên hàm số nghịch biến Trên khoảng Trên khoảng + Cực trị : y y   2 y y    Hàm số đạt cực đại x 0 ; cd Hàm số đạt cực tiểu x 2 ; ct + Các giới hạn vô cực     lim y  lim x     ; lim y  lim x       x   x   x   x   x x  x x    + Bảng biến thiên: x y 0  y Đồ thị Ta có      2  x 1 x  3x  0    x  x  0  đồ thị hàm số qua điểm A  1;  B  0;  Cho x 0  y 2 :Đồ thị hàm số cắt Oy Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm  phương trình y 0 (Điểm uốn) Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số I  1;  làm tâm đối xứng Hoành độ điểm I nghiệm y  x  x2  x  Lời giải: Tập xác định: D  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y  x2  x    x  1 0 x    Xét y 0  x 1    ;   Suy hàm số nghịch biến khoảng + Cực trị : Hàm số khơng có cực trị + Các giới hạn vơ cực   3  3  lim y  lim x        ; lim y  lim x        x   x   x    x    x x x x x  x    + Bảng biến thiên: x   y y    Đồ thị A  1;  Ta có  x  x  3x  0  x 1  đồ thị hàm số qua B  0;1 Cho x 0  y 1  Đồ thị hàm số cắt Oy C  ;  1 Cho x 2  y   Đồ thị hàm số qua Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm  trình y 0 (Điểm uốn) Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số I  1;  làm tâm đối xứng.Hoành độ điểm I nghiệm phương y = x3 +1 Lời giải: Tập xác định: D  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y 3x 0 x   Xét y 0  x 0 Suy hàm số đồng biến khoảng + Cực trị : Hàm số khơng có cực trị + Các giới hạn vô cực    ;   lim y  lim x ; lim y  lim x   x   x   x   x   + Bảng biến thiên: x  y  0   y  Đồ thị O  0;  Ta có x 0  x 0 Vậy đồ thị hàm số qua ( ) B 1;1 Cho x 1  y 1 :Đồ thị hàm số cắt Oy Cho x   y  :Đồ thị hàm số cắt qua C   1;  1 Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm  phương trình y 0 (Điểm uốn) HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG TRƯỜNG HỢP O  0;  làm tâm đối xứng Hoành độ điểm O nghiệm  a 0  y ax  bx  c a>0 a0 y y / Phương trình y 0 có nghiệm phân biệt 1 O x y O x y / Phương trình y 0 có nghiệm O 1 O x MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TỐN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x  x  Lời giải: Tập xác định: D  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:  x 0 y 0   y 4 x  x 4 x x   x 1 Xét Trên khoảng    ; 0   1;   , y  nên hàm số đồng biến x Trên khoảng + Cực trị :    ;  1  ; 1 , y  nên hàm số nghịch biến y y    Hàm số đạt cực đại x 0 ; cd y y  1  Hàm số đạt cực tiểu x 1; ct + Các giới hạn vô cực   lim y  lim x      x   x   x x   + Bảng biến thiên x  1  y  y + 0    3 4 Đồ thị  4 A  1;  , B   1;  Ta có x  x  0  x 1 Vậy đồ thị hàm số qua C  ;  3 Cho x 0  y  :Đồ thị hàm số cắt Oy Cho x 2  y 5 : Đồ thị hàm số qua D   ; 5 , E  ; 5 y 1 O x 3 4 Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y 4  x2 x4  Lời giải: Tập xác định: D  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y  x   x3 x2   x    2    Xét y 0  x 0    ;  , y  nên hàm số đồng biến  ;   , y  nên hàm số nghịch biến Trên khoảng Trên khoảng + Cực trị : y y    Hàm số đạt cực đại x 0 ; cd Hàm số khơng có cực tiểu + Các giới hạn vô cực  1 lim y  lim x     x   x   2x 8x4  + Bảng biến thiên: x  y y      0      Đồ thị y -2 O x -1 C   ; 0 , D  ; 0 Cho x 2  y 0 :Đồ thị hàm qua Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng HÀM SỐ NHẤT BIẾN y ax  b cx  d D ad  bc   c 0 , ad  bc 0  D ad  bc  MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TỐN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ x +1 Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số x - Lời giải: D  \ 1 Tập xác định: Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2 y   x  1 Ta thấy y không xác định x 1; y âm với x 1  1;      ; 1 Vậy hàm số nghịch biến khoảng + Cực trị : Hàm số khơng có cực trị + Tiệm cận x 1 lim y lim 1 x   x Vậy đường thẳng y 1 tiệm cận ngang x 1 x 1 ; lim y lim   x x  x x  x  1 x  1 Vậy đường thẳng x 1 tiệm cận ngang + Bảng biến thiên:  x  lim y lim y – –  y 1  Đồ thị Đồ thị cắt trục tung điểm A  ;  1 cắt trục hoành điểm B   1;  y -2 Lưu ý : Giao điểm I  ;1 x hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x 1 2x  Lời giải (Hình vẽ) 1  D  \   2 Tập xác định: 3 y'  0  x  1 Ta có với lim y  lim y  x   x   x 1 y Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang lim  y , lim  y    1 x    2  1 x    2 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Bảng biến thiên hàm số có dạng: x −∞ +∞ − y' y Đồ thị hàm số có dạng: x − +∞ −∞ 2 C MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ   Cho hàm số y  f x có đồ thị  C  với số a  ta có:   Hàm số y  f x  a có đồ thị  C  tịnh tiến  C  theo phương Oy lên a đơn vị   Hàm số y  f x  a có đồ thị  C  tịnh tiến  C  theo phương Oy xuống a đơn vị   Hàm số y  f x  a có đồ thị  C  tịnh tiến  C  theo phương Ox qua trái a đơn vị   Hàm số y  f x  a có đồ thị  C  tịnh tiến  C  theo phương Ox qua phải a đơn vị   Hàm số y  f x có đồ thị  C  đối xứng  C  qua trục Ox   Hàm số y  f  x có đồ thị ( C ¢) đối xứng  C  qua trục Oy Từ đồ thị  C  : y  f  x suy đồ thị  C : y  f  x   f  x  x 0 y  f x   f   x  x  Ta có     y f x * Cách vẽ  C hàm chẵn nên đồ thị từ  C nhận Oy làm trục đối xứng C : + Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy đồ thị + Bỏ phần đồ thị bên trái Oy Ví dụ: Từ đồ thị  C  : y  f  x  x  C  : y  f  x  C  , lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua Oy  3x y suy đồ thị  C : y  x  x  x  3x x 0 y  x  x   x  3x  x  3x x    Ta có:  C : Cách vẽ đồ thị  + Bỏ phần đồ thị bên phải Oy C O -1  x -2  C  : y x C bên trái Oy , giữ nguyên + Lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua Oy y -1 O x -2  C : y  x 3x  3x Từ đồ thị Ta có:  C  : y  f  x  C : y  f  x  suy đồ thị  f  x  f  x  0 y  f  x    f  x  f  x   * Cách vẽ  C từ C : y  f  x + Giữ nguyên phần đồ thị phía Ox đồ thị (C): + Bỏ phần đồ thị phía Ox (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox  C  : y  f  x  x  3x suy đồ thị  C : y  x  C : Cách vẽ đồ thị  C  Ox, giữ nguyên  C  phía Ox + Bỏ phần đồ thị Ví dụ: Từ đồ thị  3x + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox y y 2 O -1  C  : y x3  3x x  C : y  x -2  3x O -1   yf x Chú ý: Với dạng: x ta lần y   y f x lượt biến đổi đồ thị Ví dụ: Từ đồ thị y  f  x  C  : y  f  x  x  x suy đồ thị yx  3x Biến đổi C để đồ thị  C : y  x Biến đổi Từ đồ thị -1 3 3x  C : y  x  x ta đồ thị  C  : y u  x  v  x   C : y  x suy đồ thị O 3x  C : y  u  x  v  x C  : y  x 3x u  x  v  x   f  x  u  x  0 y  u  x  v  x     u  x  v  x   f  x  u  x   Ta có:  C từ  C  : * Cách vẽ + Giữ nguyên phần đồ thị miền + Bỏ phần đồ thị miền u x  u  x  0 của đồ thị  C  : y  f  x  C  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox x Ví dụ: a) Từ đồ thị  C  : y  f  x  2x  C : y  x   2x đồ thị  3x   x suy  b) Từ đồ thị  C  : y  f  x   x x suy đồ  C : y  x x thị Ta có: Ta có:  f  x  x 1 y  x  x  x     f  x  x  Đồ thị (C’): + Giữ nguyên (C) với x 1   + Bỏ (C) với x  Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox (C') y  x x   1;    x y  x  x  x  x    ;1  x  Đồ thị (C’): C + Bỏ phần đồ thị nguyên C với x  , giữ với x  + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox O y x O (C) Nhận xét: Trong trình thực phép suy đồ thị nên lấy đối xứng điểm đặc biệt (C): giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT… x Nhận xét: Đối với hàm phân thức nên lấy đối xứng đường tiệm cận để thực phép suy đồ thị cách tương đối xác