(Phần Bonus) 37 Câu Câu Nguyên Hàm Tích Phân.docx

Câu 1 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số  y f x liên tục trên đoạn  a;b Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số  y f x , trục hoành và hai đường thẳng  x a, x b a b[.]

Câu (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số  a; b Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đoạn hai đường thẳng x a, x b  a  b  y f  x  y f  x  liên tục , trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo công thức b A b V f  x  dx B a b V 2 f  x  dx a C V 2 f  x  dx a b D V 2 f  x  dx a Đáp án A Câu (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Họ nguyên hàm hàm số f  x  3x  x3 C B 3 A x  C C 6x  C D x  x  C Đáp án D f  x  dx  3x Ta có   1 dx x  x  C Câu 3: (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Tích phân 16 A 225 B log ln ln  ln ln C dx x  D 15 Đáp án C Ta có d  x  3 dx  ln  x  3   x 3 x 3 Câu 4:  x 1 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Biết dx  a x  x x 1 A P 24 b c với a, b, c số nguyên dương Tính P a  b  c B P 12 Đáp án D I  Ta có dx x  x  1  x 1  x  C P 18 D P 46  x 1  x  x 1   x 1  I  Lại có:   x  x 1  x 1  x  dx   x x  x  1 1  dx x 1  4    32  12   a 32; b 12;c 2 Vậy a  b  c 46 Câu (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Cho (H) hình phẳng giới hạn parabol y  3x , cung tròn có phương trình y   x2 (với x 2 ) trục hồnh Diện tích (H) (phần tơ đậm hình vẽ) 4  A 12 4  B 12 4   C  2 D Đáp án B Phương trinh hoành độ giao điểm là: 0 x 2 3x   x    x 1 3x 4  x 2 Dựa vào hình vẽ ta có: S  3x dx   x dx  x3  I1   I1 Với I1   x dx, Đổi cận  I1   x 1 t   x 2 t  sử dụng CASIO đặt x 2sin t  dx 2 cos tdt      I1   4sin t.2cos tdt 2   cos2t  dt  2t  sin 2t  4  4  3 S 6 Do     Câu (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018): Cho hàm số f  x xác định 1  \  f ' x  , f   1 f  1 2   thỏa mãn 2x  Giá trị biểu thức f   1  f  3 bằng: A  ln15 B  ln15 C  ln15 D ln15 Đáp án C f '  x  dx ln 2x   C Ta có Hàm số gián đoạn điểm Nếu Vậy x x  f  x  ln  2x  1  C f  1 2  C 2 mà f  x  ln  2x  1  x  Tương tự Do f  x  ln   2x   x  f   1  f  3 ln   ln  ln15  Câu 7: (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1 0,  f '  x   dx 7 f  x phân A C B D Đáp án A du f '  x  dx u f  x   , 3x f  x  dx x f  x     Đặt dv 3x dx  v x 1 Suy f  1  x f '  x  dx  1  x 3f '  x  dx 3 x f '  x    14x f '  x  dx  0 x f  x  dx 3 f  x  dx có đạo Tích Mà 1 49x dx 7 suy  f '  x   1 dx  7x f '  x  dx  49x dx 0   f '  x   7x  dx 0 0 0 7 f  1 0  f  x     x   f '  x   7x 0  f  x   x  C 4 Vậy mà lim Câu (ĐỀ THI THỬ 2018)Giới hạn x x   5x  a x  4x  b f  x  dx  (phân số tối giản) Giá trị a  b là: B A D C  Đáp án A Ta có     x  4x   x  3 x x x  4x  x   5x  lim lim  x x  x 4x  x   5x   x    x  1 x   x  1 x   5x  lim     Suy a 9; b 8  a  b 1 Câu 9: A (ĐỀ THI THỬ 2018) Tìm nguyên hàm hàm số f  x  dx  cos x C x B f  x  dx  sin 3x  sin x  C  12 C D y f  x  cos3 x  sin 3x   3sin x   C  f  x  dx   f  x  dx  cos x.sin x C Đáp án B Ta có f  x  dx cos xdx  1 sin 3x   3sin x   C  cos 3x  3cos x  dx    4  Câu 10 (ĐỀ THI THỬ 2018)Biết a I x ln  2x  1 dx  ln  c b , a, b, c số a nguyên dương b phân số tối giản Tính S a  b  c A S 60 Đáp án B B S 17 C S 72 D S 68  u ln  2x  1   dv xdx Đặt  x2   I  ln  2x  1     du  dx   x2   2x   I  ln  2x  1     v  x  4 x2   dx 2x  x   x2      dx  ln  2x  1    4  2x  1    0  x2     x  ln  2x  1   4  a 63 63   I  ln   b 4  S a  b  c 70 c 3  Cách : PP số Đặt  du  2x  dx  u ln  2x  1  4x       I  ln  2x  1   x  dv xdx      2x  1  2x  1 v    x  4  63  I  ln  4 63  ln   Câu 11 (ĐỀ THI THỬ 2018)Parabol 4  2x  dx  a 63  b 4  S a  b  c 70 c 3  y x2 chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính S1 2 thành hai phần có diện tích S1 S2 , S1  S2 Tìm tỉ số S2 3  A 21  3  B 9  3  C 12 Đáp án B  x  y 8  x 2     x  y 2 y   Ta có Ta có parabol đường trịn hình vẽ bên  x2  S1    x   dx 2   2 Khi (bấm máy tính) 9  D 3  4 S1  3   S2     S2 8  S1 6  3 Suy Suy 2  Câu 12 (ĐỀ THI THỬ 2018): Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn 2 đường y x x y quay quanh trục Ox bao nhiêu? 3 A 10 10 C B 10 D 3 Đáp án A Phương trình hồnh độ giao điểm Trong đoạn x   0;1  C1  ,  C2   x y 0  y x   x y  x 1; y 1 LÀ  suy y x ; y  x  x5 x2  VOx   x  x  dx       Thể tích khối trịn xoay cần tính Câu 13 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho hai hàm số f  x    x  3x   e  x F x Tìm a b để A a 1, b   3 10 F  x   x  ax  b  e  x nguyên hàm hàm số B a  1, b  C a  1, b 7 f  x D a 1, b 7 Đáp án B Ta có F '  x    x    a  x  a  b  e  x f  x  nên  a 3 a  b 6 Vậy a  b  Câu 14 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Cho hàm số A I Tính I  f  2x   dx 1 B I 4 C Đáp án B 1 I  f  2x   dx  f   2x  dx  f  2x  1 dx Có 1 liên tục  có f  x  dx 2; f  x  dx 6 f  x 1 I D i 6 f   2x  d   2x     t 1 2x f  2x  1 d  2x  1 2 t 2x  1 1 1 1 f  t  dt  f  t  dt  f  x  dx  f  x  dx   4  23 20 23 20 2  Câu 15 (TỐN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Tính diện tích S hình phẳng (H) giới hạn đường cong y  x  12x y  x A S 343 12 S B 793 C S 397 D S 937 12 Đáp án D Hoành độ giao điểm hai đường cong nghiệm phương trình;  x 4  x  12x  x   x  12x  x 0   x   x 0 3 Ta có S   x  12x  x dx   x  12x  x dx 3 0   x  12x  x  dx    x  12x  x  dx  3 99 160 937   12 Câu 16 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Tìm tất giá trị thực tham số k để k x 1  x  2x  1 dx 4 lim có x  k 1  A  k 2  k 1  B  k   k   C  k   k   D  k 2 Đáp án D k Ta có lim  x Mà k  2x  1  2x  1 dx   2x  1 d  2x  1   21 x 1  4 lim x x   x 1  x  k  2k  1   4 lim x 1 1  x 1 1 x  2 x 1 1 k  2k  1  2  2k  9  x 1  2x  dx  lim       x x Khi Câu 17 (TỐN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho f  x  k 2  k   hàm liên tục đoạn  0;a  a f  x  f  a  x  1 dx ba    f  x   0, x   0;a  1 f  x c thỏa mãn  , b, c hai số nguyên dương b c phân số tối giản Khi b  c có giá trị thuộc khoảng đây? A  11; 22  B  0;9  C  7; 21 D  2017; 2020  Đáp án B Đặt t a  x  dt  dx Đổi cận x 0  t a; x a  t 0 Lúc a a a a f  x  dx dx  dt dx dx I      1 f  x  a 1 f  a  t  1 f  a  x  1 1 f  x  0 f  x a Suy a f  x  dx a dx 2I I  I    1dx a 1 f  x   1 f  x   0 I  a  b 1; c 2  b  c 3 Do Cách 2: Chọn f  x  1 hàm thỏa giả thiết Dễ dàng tính I  a  b 1; c 2  b  c 3 Câu 18 (Toán Học Tuổi Trẻ): Tìm nguyên hàm hàm số: f  x   x ln x 32 f x dx     x  3ln x    C A 32 f x dx  x  3ln x    C   B 32 f  x  dx  x  3ln x  1  C C 32 f  x  dx  x  3ln x    C D Đáp án D 2  x ln xdx  x x ln x  x x dx  x  x x ln x  x x  C  x x  3ln x    C 9 Câu 19: (Tốn Học Tuổi Trẻ) Tìm cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol  P  : y x đường thẳng d : y 2 x quay xung quanh trục Ox A B C 2   x  x  dx 2  4x dx  x dx  4x dx   x dx D   2x  x  dx Đáp án D 2 V   4 x dx  0 Thể tích khối trịn xoay là:  x dx    (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn Câu 20: f  tan x  cos x, x    A Tính B I f  x  dx  C  D Đáp án A   f  tan x  cos x  f  tan x     tan x    f  x  Câu 21: 1 x  1  f  x  dx  2  (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y e x  , cắt trục tọa độ phần đường thẳng y 2  x với x 1 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành   5e  3 e2  V  2e A B e V   e C e2  V  2e D V 6e Đáp án B x Ta có e 2  x  x 1 x (do hàm số f  x  e  x  đồng biến  f  1 0) Suy V  e dx     x  dx    5e  3 6e (Toán Học Tuổi Trẻ) Xét hàm số y  f  x  liên tục miền Câu 22: D  a; b  2 x có đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng x a, x b Người ta chứng minh độ dài đường cong S b    f  x   a dx Theo kết trên, độ dài đường cong S phần đồ thị hàm số f  x  ln x bị giới hạn đường thẳng x 1, x  m m  ln 1 m n với m, n   giá trị m  mn  n2 bao nhiêu? A B C D Đáp án B L   1 dx x2 Đặt u   x ta có: u2 u  1  L   du  u  ln  u 1 u 1   2 2  2  ln 1 2 Do m 2, n 3  m  mn  n 7 Câu 23: 2x (Toán Học Tuổi Trẻ)Nguyên hàm hàm số f ( x) x.e 1  F ( x)  e x  x    C 2  A C 1  F ( x ) 2e x  x    C 2  B F ( x)  e2 x  x    C D F ( x ) 2e x  x    C Đáp án A I xe 2x dx  du dx u  x     e2 x 2x  dv e dx v   Đặt I xe x dx  xe2 x x 1   e dx  e x  x    C 2 2  (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho hàm số f ( x) liên tục  thỏa mãn Câu 24:  f (tan x)dx 4  x2 1 x f ( x) A B Đáp án A  Ta có Đặt dx 2 I1  f (tan x )dx 4 t tan x  dt  dx cos x Tính tích phân C I f ( x) dx D  dt (1  tan x)dx (1  t )dx  dt 1 t2 dx f ( x)  I1  dt  dx 4 t  x  0 x f ( x) I  f (t ) x2 1 dx 1 f ( x) f ( x )dx   dx f ( x )dx  2 x  0 f ( x)dx 6  Câu 25 (Toán Học Tuổi Trẻ)Biết ln x x b dx   a ln c (với a số thực, b, c b số nguyên dương c phân số tối giản) Tính giá trị 2a  3b  c A B -6 C D Đáp án A ln x I  dx x Có Đặt u ln x     dv  dx x  dx   du  x  v   x ln x ln x  I  dx    dx x 1x x  ln 1    ln 2 x1 2  1  2a  3b  c 2     3.1  4  2 Câu 26: thị hàm số (Tốn Học Tuổi Trẻ) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ (H ) : y  x x  trục tọa độ Khi giá trị S A S ln  (đvtt) S 2 ln 1 (đvtt) D S ln 1 B S 2 ln  (đvtt) (đvtt) C Đáp án B Đồ thị hàm số cắt Ox (1;0) Oy (0;  1) 1 x   S  dx     dx x  x    0  x  ln ( x  1)  2 ln  Câu 27 (Toán Học Tuổi Trẻ): Với số nguyên dương n ta kí hiệu n I n = ò x ( 1- x ) dx Tính A lim xđ+Ơ I n+1 In B C D Đáp án A Với số nguyên dương n ta kí hiệu I n+1 = ị x ( 1- x 2 n+1 ) n Với tích phân ị x x ( 1- x ) dx = I n - ìï u = x3 ïï ïí n+1 Þ ïï v =1- x ) ( ( n +1) ïïỵ dx n J = ị x x ( 1- x ) dx ta đặt: ìï u ¢= x ïíï ïï v ¢= x ( 1- x ) n ïỵ ỉ- x3 1 3x n+1 n+1 ữ ỗ ị J =ỗ 1- x ) ữ +ũ 1- x ) dx ( ( ữ ỗ ữ0 ( n +1) è2n +1 ø Þ J= Þ 3 I n+1 Þ I n+1 = I n I n+1 ( n +1) ( n +1) I n+1 2n + = In 2n + n I n = ò x ( 1- x ) dx Khi ú lim xđ+Ơ I n+1 =1 In ò cos x cos xdx = a + b Câu 28: (Tốn Học Tuổi Trẻ)Cho tích phân - p , a a,b số hữu tỷ Tính e + log b A -2 C B -3 D Đáp án A Đặt t = sin x , tính a = 0, b =- a nên e + log b =- Câu 29 (Tốn Học Tuổi Trẻ)Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( P ) : y = x - x + tiếp tuyến với ( P) A( 1; 2) , B ( 4;5) A 4 B 9 C D Đáp án A ỉ d1 : y =- x + 4, d : y = x - 11, d1 Ç d = M ỗ ;1ữ ữ ỗ ữ ỗ C) ( è ø Tiếp tuyến với A,B Diện tích cần tính ùdx + é( x - x + 5) - ( - x - 11) ùdx = S = òé ò ëê ê( x - x + 5) - ( - x + 4) û ú ú ë û (đvdt) Câu 30 (Toán Học Tuổi Trẻ)Tìm giá trị dương k để lim  3k  1 x  x   x A k 12 Đáp án C 9 f   với f  x  ln  x   B k 2 C k 5 D k 9 x f  x    5  2 x 5  2x , f    x 5 Do lim  3k  1 x  x x   9 f    3k  9  k 5 x  2x  3 d x   b ln  a, b    x2 a Câu 31 (Toán Học Tuổi Trẻ)Biết ab k d x  lim  giá trị k để x   A k  Tìm  1 x  2017 x  2018 B k 0 C k  D k   Đáp án B x3  2x  3    b ln  d x  x   d x   3ln a x2 x2 0 1 2 Suy ra: ab   k   3.3   k   k 0 Câu 32 (Toán Học Tuổi Trẻ)Giả sử a, b, c số nguyên thỏa mãn x  4x  1 d x   au  bu  c  du  21 2x  , u  2x  Tính giá trị S a  b  c A S 3 B S 0 C S 1 D S 2 Đáp án D Đặt u  2x   x  u2   udu d x, 2x  4x   u  2u  x  4x  1 d x   au  bu  c  du  21 2x  Ta , với a 1, b 2, c   a  b  c 2 Câu 33 (Tốn Học Tuổi Trẻ): Cho hình phẳng y (H) giới hạn đường cong ln x x , trục hồnh đường thẳng x e Khối trịn xoay tạo thành quay (H) quanh trục hồnh tích bao nhiêu? A V  B V  C V  D V  Đáp án B Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số ln x 0  x y ln x x trục hoành là: số x   x 1  ln x 0   ln x  V     d x  ln xd  ln x   x 1 e e Câu 34 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho hàm số f  x  xác định  \  1 thỏa mãn f  x   , f   2017, f   2018 x Tính S  f  3  f   1 A S 1 B S ln C S ln 4035 D S 4 Đáp án A x    ;1 f  x  f  x  d x ln   x   C1 x   1;   f  x  f  x  d x ln   x   C2  f   2017    f   2018 C1 2017 ; S  f  3  f   1 1  C2 2018 Câu 35 (Tốn Học Tuổi Trẻ)Biết ln có hai số a, b để F  x  ax  b  4a  b 0  x4 nguyên hàm hàm số f  x  thỏa mãn f  x   F  x   1 f  x  A a 1, b 4 Khẳng định đầy đủ nhất? B a 1, b  C a 1, b   \  4 D a  , b   Đáp án C f  x  F  x   4a  b  x  4  4a  b   x    f  x    4a-b   x   3  2   4a  b   x  4  Ta có f  x   F  x   1 f  x    4a  b   x  4    4a  b    a  1 x  b    x  4  4a  b   a  1 x  b  Biểu thức (*) (do x  4, 4a  b 0 ) (*) với x  nên có a 1, b   Do 4a  b 0 nên a 1, b  \  4