84 cau NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN BGD(key loigiai)

NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Câu [2D3-1] (MH2) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos x f  x  dx  sin x  C � f  x  dx  2sin x  C C � A f  x  dx   sin x  C � f  x  dx  2sin x  C D � B Lời giải Chọn A cos  ax  b  dx  Cách 1: (Áp dụng công thức � sin  ax  b   C với a �0 ; thay a  b  ) a cos xdx  sin x  C Ta có: � 2 1  � �  Cách 2: Thay x  vào f  x   cos x ta f � � cos ; sau sử dụng Casio tìm đạo 3 �3 �  hàm nguyên hàm đáp án x  (bỏ C nhập) Phân tích phương án nhiễu: sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C Phương ánB học sinh nhầm sang nguyên hàm sin x : � a Phương ánC học sinh nhầm giống tính đạo hàm Phương ánD học sinh nhầm đạo hàm cos  ax  b  Câu [2D3-1] (MH3) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  x3  C x x3 C � f  x  dx    C x A f  x  dx  � ? x2 x3  C x x3 D � f  x  dx    C x Lời giải B f  x  dx  � Chọn A x3 �2 � dx    C Ta có � �x  � x � x � Phân tích phương án nhiễu: Học sinh dễ nhầm phương ánD nhầm dấu Câu [2D3-1] (101) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos 3x cos xdx  3sin x  C A � cos xdx   C � sin x C cos xdx  B � sin 3x C cos xdx  sin x  C D � Lời giải Chọn B cos  ax  b  dx  Áp dụng công thức � sin  ax  b   C với a �0 ; thay a  b  để có kết a Phân tích phương án nhiễu: Phương ánA nhầm dấu nhầm sang tính đạo hàm sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C Phương ánC học sinh nhầm sang nguyên hàm sinx : � a cos xdx  sin x  C ) Phương ánD học sinh nhầm hệ số 3x (coi giống � 5x  dx   ln  x    C B � 5x  2 dx  ln x   C D � 5x  Lời giải Câu [2D3-1] (102) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   dx A  ln x   C � 5x  C  5ln x   C � 5x  dx Chọn A Áp dụng công thức dx  ln ax  b  C  a �0  � ax  b a ta Phân tích phương án nhiễu: Phương ánB sai áp dụng nhầm dx  ln  ax  b   C � ax  b a dx  ln x   C � 5x  nhầm a với b Phương ánC nhầm hệ số (giống hệ số tính đạo hàm) Phương ánD sai nhầm coi a  Câu [2D3-1] (103) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   2sin x 2sin xdx  cos x  C A � 2sin xdx  sin x  C B � 2sin xdx  sin x  C C � 2sin xdx  2 cos x  C D � Lời giải Chọn D 2sin xdx  � sin xdx  2 cos x  c � Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường sai phương ánA sai áp dụng cơng thức đạo hàm x Câu [2D3-1] (104) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x dx  x ln  C A � B � x dx  7x  C ln 7 x dx  x 1  C C � D � x dx  Lời giải x 1  C x 1 Chọn B Sử dụng công thức nguyên hàm: � a x dx  ax  c ; thay a  ln a Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường sai chon phương ánA nhầm đạo hàm Phương ánC ,D sai nhầm sang nguyên hàm hàm số lũy thừa Câu [2D3-1] (MH1) Viết công thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  , xung quanh trục Ox b f  x  dx A V   � a b f  x  dx B V  � a b f  x  dx C V   � a Lời giải Chọn A Cách 1: Áp dụng công thức SGK Cách 2: Trắc nghiệm Vì tốn tính thể tích nên đáp án phải có  cơng thức � Loại B,D Vì cơng thức có f  x  cơng thức � LoạiC Phân tích phương án nhiễu: Phương án B sai học sinh lẫn với tính diện tích hình phẳng (quên  ) Phương án C sai học sinh lẫn với tính diện tích hình phẳng thể tích Phương án D sai học sinh lẫn với tính diện tích hình b f  x  dx D V  � a Câu [2D3-1] (MH2) Cho hàm số f  x  có đạo hàm đoạn  1; 2 , f  1  f    Tính I � f�  x  dx A I  D I  C I  B I  1 Lời giải Chọn A I � f�  x  dx  f  x   f    f  1    Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường nhầm phương án B, C nhầm cận Câu [2D3-1] (102) Cho 2 1 1 �f  x  dx  1 A I  B I  g  x  dx  1 Tính I  � � x  f  x   3g  x  � � �dx � C I  17 D I  11 Lời giải Chọn C x2  � x  f x  g x � d x     Ta có: I  � � � 1 Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường nhầm đáp án A vì: x2 I� � x  f x  g x � d x      � � 1 Câu 10 [2D3-1] (104) Cho A I  1 1 2 1 1  2� f  x  dx  � g  x  dx  2  2� f  x  dx  � g  x  dx  1 1   0 17  2.2   1  2  2.2   2 f  x  dx  Tính I  � � dx �f  x   2sin x � � � B I    C I  D I    Lời giải Chọn A  I� � f  x  dx  � sin xdx   cos x  �f  x   2sin x � �dx  � 0 0 Phân tích phương án nhiễu:    2 f  x  dx  � sin xdx Học sinh thường nhầm đáp ánC   2sin x  3I  � 0    Câu 11 [2D3-2] (MH1) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  f  x  dx   x  1 x   C f  x  dx   x  1 x   C A � B � 3 1 f  x  dx   2x 1  C f  x  dx  2x 1  C C � D � Lời giải Chọn B 2 f x d x  x  1d x  x  d x  x  Cách 1: �        x  1 x   C � � 3 Cách 2: Sử dụng MTCT, ta biết Phân tích phương án nhiễu: f  x  dx  F  x   C � F �  x  f  x � 1 n 1 dx   ax  1  C a n 1 x Câu 12 [2D3-2] (103) Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e  x thỏa mãn F    Tìm F  x Học sinh thường nhầm đáp ánA thiếu x A F  x   e  x  công thức a  ax  1 � n x x B F  x   2e  x  C F  x   e  x  2 Lời giải x D F  x   e  x  Chọn D F  x  �  e x  2x  dx  e x  x  C 3 1 � e0  C  � C  Vậy F  x   e x  x  2 2 Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường nhầm đáp ánC e0  F  0  � � Câu 13 [2D3-2] (104) Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   sin x  cos x thoả mãn F � � �2 � A F  x   cos x  sin x  B F  x    cos x  sin x  C F  x    cos x  sin x  D F  x    cos x  sin x  Lời giải Chọn D � F  x  �  sin x  cos x  dx   cos x  sin x  C ; Do F � � � � C  �2 � Phân tích phương án nhiễu: � � � � � � Học sinh thường nhầm đáp án A F � �  cos � � sin � � C  � 1   C  � C  �2 � �2 � �2 � Học sinh thường nhầm đáp án B, C nhầm công thức nguyên hàm sinx cosx f  x Câu 14 [2D3-2] (104) Cho F  x   nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số 2x x f�  x  ln x � � C 2x2 � ln x � f�  x  ln xdx   � C � �  � C x � �x A �ln x f�  x  ln xdx   � � �x Chọn A Vì F  x    ln x  C x2 x2 ln x f� D �  x  ln xdx    C x 2x Lời giải B f�  x  ln xdx  � f  x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có nguyên hàm hàm số 2x x � f  x 1 �1 � � f  x  � f �  x  � � x x x �2 x � 2  x  ln x  ln x ; I  �3 ln xdx Xét f � x x � u  ln x du  dx � � �  ln x � � �ln x x vdu   2.� dx   �  � C Đặt � ; I  uv  � dx � � 1 2x � dv  2x 2x �x � � v x � � 2x Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường nhầm đáp án D nhầm dấu tính nguyên hàm e x ln xdx : Câu 15 [2D3-2] (MH1) Tính tích phân I  � A I  B I  e 2 2 C I  e2  D I  e2  Lời giải Chọn C � du  dx � u  lnx � � x x ln xdx Đặt � �� Cách 1: I  � dv  xdx � x � v � e e e e e x2 x2 e2 e2 x e2 e2 e2  � I  ln x  �� dx   � xdx       x 2 2 4 4 1 1 Cách 2: Máy tính Quy trình bấm máy: Máy hiện: Kiểm tra kết ta có C thỏa mãn (lần lượt trừ đáp án) Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường nhầm đáp án D nhầm dấu thay cận: e e e e x2 x2 e2 e2 x e2 e2 e2  � I  ln x  �� dx   � xdx       x 2 2 4 4 1 1 Câu 16 [2D3-2] (MH1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3  x đồ thị hàm số y  x  x2 37 81 A B I  C D 13 12 12 Lời giải Chọn A x0 � � 3 x 1 Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm: x  x  x  x � x  x  x  � � � x  2 � Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x đồ thị hàm số y  x  x là: S �x  x   x  x  dx  2 0  x3  x  x  dx  �  x3  x  x  dx � 2 �x x � �x x � 16 � � �1 � 37  �   x �  �   x �   �   � �   1� �4 � �4 � 12 �4 �2 �4 �0 Cách 2: Máy tính x0 � � x 1 Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x  x  x � x  x  x  � � � x  2 � 3 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x đồ thị hàm số y  x  x là: S �x  x   x  x  dx 2 Quy trình bấm: Máy hiện: đối chiếu với phương án Chọn A Chú ý: kết lặp lại (3) nên kết mẫu phải có chia nên loại B,D Phân tích phương án nhiễu: Học sinh áp dụng sai cơng thức tính diện tích hình phẳng nên bỏ qua đáp án x Câu 17 [2D3-2] (MH1) Kí hiệu  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  1 e , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình  H  xung quanh trục Ox : B V    2e   A V   2e C V  e  Lời giải D V   e    Chọn D x Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm  x  1 e  � x  Thể tích khối trịn xoay thu quay hình  H  xung quanh trục Ox là: � du   x  1 � u   x  1 � � � V �  x  1 e �  x  1 e dx Đặt � x � � e2 x � �dx  4 � v dv  e dx 0 � � � 1 x 2x 1 2x e2 x e2 x e � V  4  x  1  4 �  x  1 dx  4  x  1  4 �  x  1 e xdx 2 0 u  x  � du  d x � �  x  1 e dx Đặt � x Gọi V1  � e2 x d v  e d x � v  � � 2x 1 e2 x e2 x � V1  4  x  1  4 � dx  2   e x  2   e    3   e 2 e2 x V  4  x  1  V1  2   3   e     e   Cách 2: Sử dụng MTCT x Phương trình hồnh độ giao điểm  x  1 e  � x  Thể tích khối trịn xoay thu quay hình  H  xung quanh trục Ox là: 1 � V �  x  1 e �  x  1 e x dx � �dx  4 � x 2 Máy hiện: Kiểm tra kết ta đáp ánD Phân tích phương án nhiễu: - Học sinh dễ nhầm chọn phương ánC áp dụng cơng thức tính thể tích qn  - Nếu 1 0  x  1 e x dx Và V   �  x  1 e x dx Chọn A hoặcB học sinh nhớ sai công thức V  � Câu 18 [2D3-2] (MH3) Gọi S diện tích hình phẳng  H  giới hạn đường y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  1 , x  (như hình vẽ bên dưới) Đặt a  sau đúng? 1 f  x  dx , mệnh đề �f  x  dx , b  � y 1 O A S  b  a B S  b  a 2x C S  b  a Lời giải D S  b  a Chọn A Ta có: S �f  x  dx  b  1 2 1 1 f  x  dx  a  b �f  x  dx  �f  x  dx   �f  x  dx  � Phân tích phương án nhiễu: - Học sinh dễ nhìn đồ thị mà nhầm tưởng S  b  a nên Chọn B - Còn Chọn C hoặcD thi nhầm dấu 2 x x  1dx cách đặt u  x  , mệnh đề Câu 19 [2D3-2] (MH3) Tính tích phân I  � đúng? A I  �u du B I  �u du C I  �u du Lời giải Chọn C PP 1: Đặt u  x  � du  xdx Đổi cận: x  � u  ; x  � u  x x  1dx  �u du Do đó: I  � PP 2: D I  u du 2� 2 x x  1dx gán cho biếnA Dùng MTBT tính I  � Tiếp tục dùng MTBT để tính, ta thấy �u du  A   �1,94.10  12 nên nhận Chọn C Phân tích phương án nhiễu: - Học sinh Chọn B hoặcD khơng đổi cận tính sai đạo hàm Chọn A tính sai đạo hàm dẫn đến đổi cận sai dx 1 e  a  b ln Câu 20 [2D3-2] (MH3) Cho �x , với a , b số hữu tỉ Tính S  a  b3 e  A S  B S  2 C S  D S  Lời giải Chọn C Cách Đặt t  e x � dt  e x dx Đổi cận: x  � t  1; x  � t  e 1 e e e dx e x dx dt 1 � �  � � dt   ln t  ln t      ln   e    ( ln 2) � � x � � x x e  e  e  1 t  t  1 �t t  �   ln a 1 � 1 e   ln �� � S  a  b3  b   1 e � 1 e x  1  e x d  e x  1  dx 1 e � x dx  � dx  � x dx  x  ln e x  1  ln Cách �x e 1 e 1 e 1 0 Suy a  b  1 Vậy S  a  b3  Phân tích phương án nhiễu: - Khi tính sai tích phân hs khơng chọn kết Câu 21 [2D3-2] (MH3) Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  x  , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x  �x �3 thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x 3x  124 124 A V  32  15 B V  C V  3 Lời giải Chọn C Diện tích thiết diện S  x   3x 3x    D V  32  15  3 1 S  x  dx  � 3x 3x  2dx  Suy thể tích vật thể tạo thành V  � 124 Phân tích phương án nhiễu: - Áp dụng công thức sai dẫn đến kết quảB.A vàD Câu 22 [2D3-2] (101) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   cos x , trục hoành đường  thẳng x  , x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V    B V     1  C V     1  D V    Lời giải Chọn C Ta có phương trình  cos x  vô nghiệm nên:     2 V   �  cos x dx   �   cos x  dx    x  sin x        1 Phân tích phương án nhiễu: - Áp dụng sai cơng thức tính thể tích, thiếu  dẫn đến Chọn D hoặcA - Khi tính tích phân nhầm dấu dẫn đến Chọn B 0 f  x  dx  12 Tính I  � f  x  dx � Câu 23 [2D3-2] (101) Cho A I  B I  36 C I  Lời giải D I  Chọn D Đặt t  3x ; dt  3dx Ta có x  � t  ; x  � t  6 1 I � f  t  dt  � f  x  dx  12  30 30 Phân tích phương án nhiễu: - Học sinh dễ nhầmB sau đặt t  x thay vào sai Câu 24 [2D3-2] (102) Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   B I  A I  e e C I  ln x Tính F  e   F  1 x D I  Lời giải Chọn C e e e ln x ln x ln x d  ln x    PP 1: Tính � dx  � x 2 1 PP 2: Bấm MTCT: Phân tích phương án nhiễu: - Khi hiểu sai nguyên hàm dẫn đến tích sai tích phân học sinh dễ chọn nhầm đáp án Câu 25 [2D3-2] (101) Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I  2;9  trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) y I O 123 t B s  21,58 (km) C s  15,50 (km) Lời giải A s  23, 25 (km) D s  13,83 (km) Chọn B Parapol  C  qua điểm  0;  có đỉnh I  2;9  Gọi phương trình parapol  C  có dạng � � a � � c4 c4 � � � � 4a  2b  c  � �4a  2b  c  � � b  �  C  : v   t  5t  v  at  bt  c thì: � � b �4a  b  � c4 � � �  2 � 2a � � phần parapol có phương trình t   t  5t  , �t �1 � 31 v � � 31 � 1; � � C  � phần lại đồ thị đoạn thẳng có phương trình � Ta có A � � 4� � �t �3 � Vậy quãng đường s mà vật di chuyển 31 �5 � s�  t  5t  � dt  � dt �21,58 (km) � � 0� Phân tích phương án nhiễu: - Phân tích đề sai dẫn đến kết sai Câu 26 [2D3-2] (102) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   sin x , trục hoành đường thẳng x  , x   Khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V     1 B V  2    1 C V  2 D V  2 Lời giải Chọn B Ta có phương trình  sin x  vô nghiệm nên:     V   �  sin x dx   �   sin x  dx    x  cos x  0   2    1 Phân tích phương án nhiễu: - Áp dụng sai cơng thức tính thể tích(thiếu  ) nên dễ Chọn A - Khi nhầm cos  dẫn đến Chọn C tính sai tích phân Chọn D 1 � �1  dx  a ln  b ln với a , b số nguyên Mệnh đề Câu 27 [2D3-2] (103) Cho � � � x 1 x  � 0� đúng? A x3  C B x3  xC C 6x  C D x  x  C Lời giải Chọn D x3  x  C  x3  x  C dx Câu 47 [2D3-1] (MH18) Tích phân � x3 Ta có A  3x  1 dx  � 16 225 B log C ln Lời giải D 15 Chọn C Ta có: dx  ln x  � x3  ln   ln   ln Câu 48 [2D3-3] (MH18) Cho  H  hình phẳng giới hạn parabol y  3x , cung trịn có phương trình y   x (với �x �2 ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích  H  y 2 x O A 4  12 B Chọn B 4  4   Lời giải C D  2 y O x Phương trình hoành độ giao điểm parabol y  3x cung tròn y   x (với �x �2 ) � x2  � 4 � x  (vì �x �2 )  x  3x �  x  3x � �2 x  � Cách 1: Diện tích  H  2 S  �3x dx  �4  x dx  x  I   I với I  �4  x dx 3 1 2 �  �  ; � dx  2cos t.dt Đặt: x  2sin t , t �� �2 2� �   Đổi cận: x  � t  , x  � t     I  �4  4sin t 2cos t.dt  � 4cos t.dt  �   cos 2t  dt   x  sin 2t        2  3 2 4  I     3 Cách 2: Diện tích  H  diện tích phần tư hình trịn bán kính trừ diện tích hình phẳng giới hạn cung tròn, parabol trục Oy Vậy S    2 Tức S    �  x  x dx dx  a  b  c với a , b , c số nguyên dương Câu 49 [2D3-3] (MH18) Biết I  � x  x x 1  x  1 Tính P  a  b  c A P  24 C P  18 Lời giải B P  12 D P  46 Chọn D Ta có: x   x �0 , x � 1;2  nên: I �  x  1 dx dx � x  x x  1 x  x  1 x   x � x  x  1    x   x   x dx x 1  x 1  x  � �1 � dx  x  x  �  � x 1 � 1� x    �   x   x dx x  x  1     32  12  �a  32 � b  12 Suy ra: P  a  b  c  32  12   46 Mà I  a  b  c nên � � c2 � �1 � Câu 50 [2D3-3] (MH18) Cho hàm số f  x  xác định �\ � �thỏa mãn f � , f     x  2x 1 �2 f  1  Giá trị biểu thức f  1  f  3 A  ln15 B  ln15 C  ln15 Lời giải Chọn C �1 � f� Ta có: f  x   �  x  dx  � dx  ln x   C , với x ��\ � � 2x 1 �2 � 1� �; � Ta có f    , suy C  + Xét � � 2� � 1� �; � Suy f  1   ln Do đó, f  x   ln x   , với x �� � 2� D ln15 �1 � + Xét � ; �� Ta có f  1  , suy C  �2 � �1 � Do đó, f  x   ln x   , với � ; �� Suy f  3   ln �2 � Vậy f  1  f  3   ln  ln   ln15 Câu 51 [2D3-4] (MH18) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1  , 1 �  x � �f � �dx  � x f  x  dx  � A 1 Tích phân f  x  dx � Lời giải B C D Chọn A � du  f �  x  dx � u  f  x � � x f  x  dx Đặt � � � x3 Cách 1: Tính: � d v  x d x v � � � x3 f  x  x f  x  dx   � x f � Ta có: �  x  dx 3 0 1  f  1  f    1 Ta có 1 � � x f � x3 f �  x  dx  � �  x  dx  1 30 x f  x  dx  Mà � 1 3 x f � x f �  x  dx   �  x  dx � 30 30 �  x � �f � �dx  (1) � x7 x d x  � 1 1 49 x dx  49  (2)  �� 7 1 0 x3 f � 14 x f �  x  dx  1 � �  x  dx  14 (3) � 1 0 49 x 6dx  � 14 x f � �  x �  x  dx    14  Cộng hai vế (1) (2) (3) suy � �f � �dx  �   � �� �  x �  x   49 x dx  � �  x   x3 � �f � � 14 x f � �f � �dx  2 1 � � ��  x   x3 �  x   x3 �  x   7 x3 Do �  x   x3 � �f � �dx  � f � �f � �dx �0 Mà � �f � � �0 2 0 7 7x  C Mà f  1  �   C  � C  4 4 7x Do f  x     4 f  x   1 � x � � x5 � f  x  dx  �   � dx  �   x� Vậy � � 4 � � 20 �0 0� Cách 2: Tương tự ta có: x f �  x  dx  1 � Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: �1 � �1 ��1 � 1 2  �� x f� �� � � � f� dx  � � f� dx  x  dx ��7 ��  x �  x �  x �  x  dx �� �f � �dx � � � � � � � �0 � �0 ��0 �  x   ax3 , với a �� Dấu xảy f � 1 ax x f � x ax dx  1 � Ta có �  x  dx  1 � � 0 3  1 � a  7 Suy f �  x   7 x � f  x    7 x4  C , mà f  1  nên C  4   x  x �� 1 � x � � x �1 f x d x    � dx  �   x�  Vậy �  � � 4 20 �0 � � � 0 Do f  x   Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f  x  g  x  liên tục đoạn  a; b  �b � �b ��b � Khi đó, ta có �� f  x  g  x  dx ���� f  x  dx �� �� g  x  dx � �a � �a ��a � Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b h  x  dx �0 Nếu hàm số h  x  liên tục không âm đoạn  a; b  � a  f  x  g  x � Xét tam thức bậc hai � � �  f Lấy tích phân hai vế đoạn  a; b  ta  b 2  x   2 f  x  g  x   g  x  �0 , với  �� b b f  x  dx  2 � f  x  g  x  dx  � g  x  dx �0 , với  �� � a a  * a �0 Coi  * tam thức bậc hai theo biến  nên ta có � �b � �b � �b � � �� f  x  dx � �� f  x  dx � g  x  dx ��0 �� �a � �a � �a � �b � �b � �b � ۣ �� f  x  dx � �� f  x  dx � g  x  dx �(đpcm) �� �a � �a � �a � Câu 52 [2D3-1] (MĐ101) Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x   C C x  x  C D x  x C D x  x C Lời giải Chọn D x  x C 4 Câu 53 [2D3-1] (MĐ102) Nguyên hàm hàm số f  x   x  x Ta có x �  x  dx  A x  x  C B x3   C C x  x  C Lời giải Chọn D x  x C Câu 54 [2D3-1] (MĐ103) Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x3  x  C B x  x  C C x  x  C D x  x  C Lời giải Chọn B Theo công thức nguyên hàm Câu 55 [2D3-1] (MĐ104) Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x  x  C C x  x  C D x  x  C Lời giải Chọn B Ta có F  x   �  x3  x  dx  14 x  13 x3  C Câu 56 [2D3-1] (MĐ101) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e x , y  , x  , x  Mệnh đề đúng? Ta có x �  x  dx  e dx A S   � 2x 2 e dx C S   � e dx B S  � x e x dx D S  � x 0 Lời giải Chọn B Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e x , y  , x  , x  tính theo cơng thức 2 S� e dx  � e x dx x 0 Câu 57 [2D3-1] (MĐ102) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y  , x  , x  Mệnh đề đúng? 2 dx A S  � x 2 dx B S   � 2 x dx D S   � dx C S  � 2x 2x 0 Lời giải Chọn A 2 0 S � x dx  � x dx (do x  0, x � 0; 2 ) Câu 58 [2D3-1] (MĐ103) Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  , y  , x  , x  Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng?  x  3 dx A V   � 2  x  3 dx B V  �  x  3 dx C V   � 2 2 0  x2  3 dx D V  � Lời giải Chọn C Ta tích khối trịn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox b V � �  x  3 dx �f  x  � �dx   � a 2 Câu 59 [2D3-1] (MĐ104) Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  , y  , x  , x  Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? 2 A V  �  x   dx B V  �  x   dx C V   �  x   dx 1 2 D V   �  x   dx Lời giải Chọn C Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H  giới hạn đường y  x  , y  , x  , x  xung quanh trục Ox V   �  x   dx 2 e3 x 1dx Câu 60 [2D3-2] (MĐ101) � 1 A  e  e  B e e C e5  e2 D e e  Lời giải Chọn A 2 1 e3 x 1dx  e3 x1   e5  e  Ta có: � 3 1 e3 x 1dx Câu 61 [2D3-2] (MĐ102) � A  e  e B e  e  e  e Lời giải C D e3  e C ln D Chọn A e3 x 1dx  � 1 x 1 1 x1 e d x    e   e4  e  � 30 3 Câu 62 [2D3-2] (MĐ103) dx � 3x  A ln B ln ln Lời giải Chọn D Ta có: dx �2 �1 1  � ln 3x  �   ln  ln1  ln  ln � x  �3 3 �1 Câu 63 [2D3-2] (MĐ104) dx � 2x  A ln B ln ln 35 Lời giải C D ln Chọn B 2 dx 1  ln  x  3  ln � 2x  2 1 Câu 64 [2D3-3] (MĐ101) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 11 t  t  m s  , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt thời gian quy luật v  t   180 18 đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m s  ( a số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 22  m s  B 15  m s  C 10  m s  Lời giải D  m s  Chọn B +) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 15 giây, B 10 giây adt  at  C , lại có vB    nên vB  t   at +) Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB  t   � +) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do 15 10 �1 11 � dt  � atdt � 75  50a � a  � t  t� � 180 18 � 0� Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB  10   10  15  m s  O Câu 65 [2D3-3] (MĐ102) Một chất điểm A xuất phát từ , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 59 t  t  m/s  , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc a bắt thời gian quy luật v  t   150 75 đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m/s  ( a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 20  m/s  B 16  m/s  C 13  m/s  D 15  m/s  Lời giải Chọn B 15 �1 59 � dt  96  m  Quãng đường chất điểm A từ đầu đến B đuổi kịp S  � � t  t� 150 75 � 0� adt  at  C Vận tốc chất điểm B vB  t   � Tại thời điểm t  vật B trạng thái nghỉ nên vB  3  � C  3a Lại có quãng đường chất điểm B đến gặp A 15 15 �at � S2  �  at  3a  dt  �  3at �  72a  m  �2 �3 m/s   Tại thời điểm đuổi kịp A vận tốc B vB  15   16  m/s  Câu 66 [2D3-2] (MĐ103) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 13 t  t  m/s  , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt thời gian quy luật v  t   100 30 đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc a  m/s  ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25 m/s  B 15 m/s  C  m/s  D 42 m/s  Lời giải Chọn A Khi B đuổi kịp A tức A chuyển động 25 giây kể từ thời điểm bắt đầu xuất phát A chuyển động quãng đường �25 13 � 375 S  �� t  t � (m) 30 � �0 100 Vậy 72a  96 � a  Vì B chuyển động với gia tốc a  m/s  nên vận tốc B v  t   at  C Tại thời điểm bắt đầu xuất phát t  10; v  � c  10a Vận tốc chất điểm B thời điểm t v  t   at  10a (m/s) Quãng đường chất điểm B 15  s  kể từ bắt đầu xuất phát 25 225 a 10 Vì sau chuyển động 15 giây chất điểm B đuổi kịp chất điểm A , ta có: 225a 375   m � a  2 50 � v t  t  3 50  25  m/s  Vậy vận tốc B đuổi kịp A ứng với t  25( s) � v  25   25  3 Câu 67 [2D3-3] (MĐ104) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 58 t  t  m s  , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt thời gian quy luật v  t   120 45 đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m s  ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 21  m s  B 36  m s  C 30  m s  D 25  m s  Lời giải Chọn C +) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 18 giây, B 15 giây adt  at  C , lại có vB    nên vB  t   at +) Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB  t   � +) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do 18 15 �1 58 � 225 t  t d t  atdt � 225  a � a 2 � � � � 120 45 � 0� S  at  10a  dt  � Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB  15   2.15  30  m/s  55 Câu 68 [2D3-2] (MĐ101) Cho dx  a ln  b ln  c ln11 với � x x 9 a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề 16 đúng? A a  b  c B a  b  c C a  b  3c Lời giải D a  b  3c Chọn A Đặt t  x  � t  x  � 2tdt  dx Đổi cận: x  16 � t  ; x  55 � t  8 8 55 2tdt dt � dt dt � dx     �� � Khi � � � � t  �5 t  t  �  t  9 t 16 x x  1 ln x   ln x   = ln  ln  ln11  3 3 1 Vậy a  , b  , c   Mệnh đề a  b  c 3 21 dx  a ln  b ln  c ln , với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề Câu 69 [2D3-2] (MĐ102) Cho � x x4  sau đúng? A a  b  2c B a  b  c C a  b  c Lời giải D a  b  2c Chọn A Đặt t  x  � 2tdt  dx Với x  � t  ; x  21 � t  21 5 dx dt 1 1    ln t   ln t    ln  ln  ln Ta có � � t 4 2 2 x x4 Câu 70 [2D3-2] (MĐ103) Cho x  với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a  b  c B a  b  c C a  b  c D a  b  c Lời giải Chọn D e e e e 1  x ln x d x  d x  x ln x d x  e   ln xd  x    Ta có � � � � 21 1 e � � e e �2 �2 �2 x  e 1 � x ln x  � x d  ln x  � e   � e � xdx � e   � e  1 2� 2� 2� � �  e2  e  4 Suy a  ; b  1; c   � a  b  c 4 e� �2 e2 �  e   e   � � 1� 2� � 2� e Câu 71 [2D3-2] (MĐ104) Cho   x ln x  dx  a.e �  b.e  c với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a  b  c B a  b  c C a  b  c Lời giải D a  b  c Chọn C e e e x ln xdx   x ln x  dx  x  �x ln xdx  2e   � � e 1 1 dx � u  ln x � du  � � x Đặt � x2 � dv  xdx � v  � e e e e e2 x ln x x e2 x2 e2   x ln x  dx   2e  x ln xdx   �dx     �� � 4 12 4 1 e Vậy a  b  c g  x   dx  ex  ( a , b , c , d , e ��) Biết đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ 3 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích y Câu 72 [2D3-3] (MĐ101) Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  3 1 O x A B C D Lời giải Chọn C Diện tích hình phẳng cần tìm 1 3 1 S� � � g  x  f  x � dx �f  x   g  x  � �dx  � � � 1 3� 3� �3 �3 � ax   b  d  x   c  e  x  �dx  � ax   b  d  x   c  e  x  �dx � � � 1 � 2� 3 � 3 Trong phương trình ax   b  d  x   c  e  x    * phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  Phương trình  * có nghiệm 3 ; 1 ; nên 3 � � � 27 a   b  d    c  e    27 a   b  d    c  e   a � � � 2 � � � 3 � � � a   b  d    c  e    �� a   b  d    c  e   �� bd  � 2 � � � 3 � � � a   b  d    c  e   a   b  d    c  e   c  e   � � � 2 � � � 1 1 3 3� 3 3� � � x  x  x  d x  x  x  x  dx    2   Vậy S  � � � � � � 2 2 2 2 � � � � 3 1 2 Câu 73 [2D3-3] (MĐ102) Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  g  x   dx  ex  ( a , b , c , d , e ��) Biết đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ 2 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) y 2 1 O x Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 37 13 A B C 2 Lời giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị f  x  g  x  ax  bx  cx   dx  3x  � a3   b  d  x   c  e  x    * D 37 12 Do đồ thị hai hàm số cắt ba điểm suy phương trình  * có ba nghiệm x  2 ; x  1 ; x  Ta ax   b  d  x   c  e  x   k  x    x  1  x  1 Khi 4  2k � k  37  x    x  1  x  1 dx  Vậy diện tích hình phẳng cần tìm � 2 (a , b , c, d , e ��) Biết đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hoành độ 3 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) y 2 Câu 74 [2D3-4] (MĐ103) Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  g  x   dx  ex  x 3 1 O Hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số cho 125 253 253 125 A B C D 12 12 48 48 Lời giải Chọn C Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  ax  bx  cx   dx  ex  � ax3   b  d  x   c  e  x    1 2 3 Đặt m  b  d , n  c  e , phương trình  1 có dạng � ax  mx  nx     Đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ 3 ; 1 ; nên phương trình   có ba nghiệm x  3 ; x  1 ; x  Do đó, ta có hệ phương trình � � a �27 a  9m  3n  � � � � � �� m �a  m  n  � � � � 8a  m  n  n � � � � Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số 2 y  f  x y  g  x 3� 3� �1 �1 253 S� dx  � dx  � x  x  x � � x  x  x � 4 � 2 �4 2� 48 3 � Cách 2: Từ giả thiết ta có: f  x   g  x   k  x  3  x  1  x   � f    g    k   3   1    � k  Vậy f  x   g  x   2  x  3  x  1  x   1  x  3  x  1  x   dx  � x  3  x  1  x   dx Bấm máy đáp ánC � 4 3 2 3 2 Câu 75 [2D3-4] (MĐ104) Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  g  x   dx  ex  ( a , b , c , d , 4 e ��) Biết đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ 2 ; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích Khi đó: S  y 2 A 125 48 253 24 B O 125 24 Lời giải C x D 253 48 Chọn D Ta có: f  x   g  x   �S  1  x    x  1  x  3   x3  x  5x   4 2 � � g  x  f  x � �f  x   g  x  � �dx  � � �dx � Câu 76 [2D3-3] (MĐ101) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     Giá trị f  1 35 A  36 B  C  2 f  x � f � với x ��  x  2x � � � 19 36 D  15 Lời giải Chọn B � �1 � Ta có f �  2x � �   x2  C  x  2x � � 2 x � �f  x  � �� f  x � �f  x  � �f  x  � � Từ f     suy C   2 f  1   � 1� Do 12  �  � � 2� f  x � Câu 77 [2D3-3] (MĐ102) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f � với x �� Giá  x  x � � � trị f  1 11 2 A  B  C  D  Lời giải Chọn B  x  �0 với x � 1; 2 Do f  x  hàm không Từ hệ thức đề cho: f �  x  x � �f  x  � � (1), suy f � f  x  �0 f�  x giảm đoạn  1; 2 , ta có f  x  �f    với x � 1; 2 f�  x   x, x �1;   Chia vế hệ thức (1) cho � �f  x  � �� � f x �   � � Lấy tích phân vế đoạn  1; 2 hệ thức vừa tìm được, ta được: f�  x 2 1 1 dx  � xdx � � df  x   �  �   2 � f  x f  1 f   � 1 � �f  x  � � �f  x  � � Do f     nên suy f  1   3 Chú ý: tự kiểm tra phép biến đổi tích phân có nghĩa f  x � Câu 78 [2D3-3] (MĐ103) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f � với x �R  x   x3 � � � 25 Giá trị f  1 41 391 A  B  C  D  10 400 40 400 Lời giải Chọn A f�  x   x3 � f �  x  dx  x3dx 2 � f� �  x4 2  x   4x � � � �f  x  � � �f  x  � f  x 1 � � � �f  x  � � 1 �   15 � 25   15 � f  1   f   f  1 f  1 10 Câu 79 [2D3-3] (MĐ104) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     trị f  1 A  35 B  79 20 f  x � f � với x �� Giá  x   x3 � � � C  Lời giải D  71 20 Chọn C Ta có f �  x   x3 � �f  x  � �� f�  x   x3 � �� �   x  C �� �  x f  x f  x f x   � � nên C  1 4 Khi f  x   x 4 Vậy f  1   Mà f     f  x  dx  Câu 80 [2D3.2-1] (MH2019) Cho � A 3 g  x  dx  � � �f  x   g  x  � �dx � C 8 Lời giải B 12 D Chọn C Ta có 1 0 g  x  dx  � � g  x  dx  10 � � g  x  dx  10 � 1 0 f  x  dx  � g  x  dx   10  8 � Xét � �f  x   g  x  � �dx  � x Câu 81 [2D3.1-1] (MH2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   e  x x x e  x C A e x  x  C B e  x  C C x 1 Lời giải D e x   C Chọn B x C Câu 82 [2D3.3-2] (MH2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? y Ta có  e  x  dx  e � x x  y  x2  2x 1 1 O x y   x2  A �  x  x   dx 1  2 x   dx B � 1  x   dx C � D 1  2 x � 1  x   dx Lời giải Chọn D Ta thấy: x � 1; 2 :  x  �x  x  nên 2 1 1 � S�   x  3   x  x  1 �  2 x  x   dx � �dx  � Câu 83 [2D3.1-2] (MH2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x   ln x  A x ln x  x Chọn D Cách Ta có B x ln x  x C x ln x  3x  C Lời giải D x ln x  x  C f  x  dx  � x   ln x  dx  � xdx  � x ln xdx � xdx  x  C1 + Tính � x ln xdx + Tính � � du  dx u  ln x � � �� x Đặt � dv  xdx � � v  2x2 � x ln xdx  x ln x  � xdx  x ln x  x  C2 Suy � Do I  x ln x  x  C Cách Ta có  x ln x  x  �  x  � ln x  x  ln x  �   x2  �  x.ln x  x  x x  x   ln x  Do x ln x  x nguyên hàm hàm số f  x   x   ln x  Hay x ln x  x  C họ nguyên hàm hàm số f  x   x   ln x  Câu 84 [2D3.2-2] (MH2019) Cho xdx �  x  2  a  b ln  c ln với a , b , c số hữu tỷ Giá trị 3a  b  c A 2 Chọn B B 1 C Lời giải D xdx �  x  2  x    dx  dx  2dx � 2 � x2 �  x  2 0  x  2  ln  x    x  2  1 1  ln  ln      ln  ln 3 Vậy a   ; b  1; c  � 3a  b  c  1 ... 4 � 0� Phân tích phương án nhiễu: - Tính sai tích phân dẫn đến chọn kết sai x 2x Câu 40 [2D3-3] (102) Cho F  x    x  1 e nguyên hàm hàm số f  x  e Tìm nguyên hàm  x  e2 x hàm số f...  � Suy � Phân tích phương án nhiễu: f�  x  e2 x dx dẫn đến - Tính sai nguyên hàm � Chọn A hoặcB hoặcD f  x Câu 41 [2D3-3] (103) Cho F  x    nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số 3x... dụng công thức nguyên hàm: � a x dx  ax  c ; thay a  ln a Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường sai chon phương ánA nhầm đạo hàm Phương ánC ,D sai nhầm sang nguyên hàm hàm số lũy thừa