84 cau NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN BGD(key loigiai)

NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Câu [2D3-1] (MH2) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x ∫ f ( x ) dx = sin x + C C ∫ f ( x ) dx = 2sin x + C A ∫ f ( x ) dx = − sin x + C D ∫ f ( x ) dx = −2sin x + C B Lời giải Chọn A Cách 1: (Áp dụng công thức ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C với a ≠ ; thay a = b = ) a Ta có: ∫ cos xdx = sin x + C 2π −1 π π  = Cách 2: Thay x = vào f ( x ) = cos x ta f  ÷ = cos ; sau sử dụng Casio tìm đạo 3 3 π hàm nguyên hàm đáp án x = (bỏ C nhập) Phân tích phương án nhiễu: Phương ánB học sinh nhầm sang nguyên hàm sin x : ∫ sin ( ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C a Phương ánC học sinh nhầm giống tính đạo hàm Phương ánD học sinh nhầm đạo hàm cos ( ax + b ) Câu [2D3-1] (MH3) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + A ∫ C ∫ x3 − +C x x3 f ( x ) dx = + + C x f ( x ) dx = B ∫ D ∫ ? x2 x3 − +C x x3 f ( x ) dx = + + C x f ( x ) dx = Lời giải Chọn A x3  2 Ta có ∫  x + ÷dx = − + C x  x  Phân tích phương án nhiễu: Học sinh dễ nhầm phương ánD nhầm dấu Câu [2D3-1] (101) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x A ∫ cos xdx = 3sin x + C C ∫ cos xdx = − sin x +C B ∫ cos xdx = sin 3x +C D ∫ cos xdx = sin x + C Lời giải Chọn B Áp dụng công thức ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C với a ≠ ; thay a = b = để có kết a Phân tích phương án nhiễu: Phương ánA nhầm dấu nhầm sang tính đạo hàm Phương ánC học sinh nhầm sang nguyên hàm sinx : ∫ sin ( ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C a Phương ánD học sinh nhầm hệ số 3x (coi giống ∫ cos xdx = sin x + C ) 5x − dx = − ln ( x − ) + C B ∫ 5x − 2 dx = ln x − + C D ∫ 5x − Lời giải Câu [2D3-1] (102) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = dx A ∫ x − = ln 5x − + C C ∫ x − = 5ln x − + C dx Chọn A Áp dụng công thức dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ( a ≠ ) ta Phân tích phương án nhiễu: Phương ánB sai áp dụng nhầm dx ∫ ax + b = a ln ( ax + b ) + C dx ∫ x − = ln 5x − + C nhầm a với b Phương ánC nhầm hệ số (giống hệ số tính đạo hàm) Phương ánD sai nhầm coi a = Câu [2D3-1] (103) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2sin x A ∫ 2sin xdx = cos x + C B ∫ 2sin xdx = sin x + C C ∫ 2sin xdx = sin x + C D ∫ 2sin xdx = −2 cos x + C Lời giải Chọn D ∫ 2sin xdx = 2∫ sin xdx = −2 cos x + c Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường sai phương ánA sai áp dụng công thức đạo hàm x Câu [2D3-1] (104) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x x A ∫ dx = ln + C B ∫ x dx = 7x + C ln x x +1 C ∫ dx = + C D ∫ x dx = Lời giải x +1 + C x +1 Chọn B Sử dụng công thức nguyên hàm: ∫ a x dx = ax + c ; thay a = ln a Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường sai chon phương ánA nhầm đạo hàm Phương ánC ,D sai nhầm sang nguyên hàm hàm số lũy thừa Câu [2D3-1] (MH1) Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b ) , xung quanh trục Ox b A V = π ∫ f ( x ) dx a b B V = ∫ f ( x ) dx a b C V = π ∫ f ( x ) dx a Lời giải Chọn A Cách 1: Áp dụng công thức SGK Cách 2: Trắc nghiệm Vì tốn tính thể tích nên đáp án phải có π cơng thức ⇒ Loại B,D Vì cơng thức có f ( x ) cơng thức ⇒ LoạiC Phân tích phương án nhiễu: Phương án B sai học sinh lẫn với tính diện tích hình phẳng (qn π ) Phương án C sai học sinh lẫn với tính diện tích hình phẳng thể tích Phương án D sai học sinh lẫn với tính diện tích hình b D V = ∫ f ( x ) dx a Câu [2D3-1] (MH2) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đoạn [ 1; 2] , f ( 1) = f ( ) = Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx A I = D I = C I = B I = −1 Lời giải Chọn A I = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f ( ) − f ( 1) = − = Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường nhầm phương án B, C nhầm cận Câu [2D3-1] (102) Cho 2 −1 −1 f ( x ) dx = ∫ −1 A I = B I = ∫ g ( x ) dx = −1 Tính I = ∫  x + f ( x ) − 3g ( x )  dx C I = 17 D I = 11 Lời giải Chọn C x2 Ta có: I = ∫  x + f ( x ) − 3g ( x )  dx = −1 Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường nhầm đáp án A vì: x2 I = ∫  x + f ( x ) − 3g ( x )  dx = −1 Câu 10 [2D3-1] (104) Cho A I = −1 −1 2 −1 −1 + ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 2 + ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = −1 −1 π π 0 17 + 2.2 − ( −1) = 2 + 2.2 − = 2 ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx B I = + π C I = D I = + π Lời giải Chọn A π I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ sin xdx = − cos x = 0 0 Phân tích phương án nhiễu: π π π 2 Học sinh thường nhầm đáp ánC = − 2sin x = 3I = ∫ f ( x ) dx + ∫ sin xdx 0 π π π Câu 11 [2D3-2] (MH1) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − A ∫ f ( x ) dx = ( x − 1) x − + C B ∫ f ( x ) dx = ( x − 1) x − + C 3 1 2x −1 + C 2x −1 + C C ∫ f ( x ) dx = − D ∫ f ( x ) dx = Lời giải Chọn B 2 f x d x = x − 1d x = x − d x = x − Cách 1: ∫ ( ) ) ( ) = ( x − 1) x − + C ∫ ∫( 3 Cách 2: Sử dụng MTCT, ta biết Phân tích phương án nhiễu: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇒ F ′ ( x ) = f ( x ) 1 n +1 dx = ( ax − 1) + C a n +1 x Câu 12 [2D3-2] (103) Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e + x thỏa mãn F ( ) = Tìm F ( x) Học sinh thường nhầm đáp ánA thiếu x A F ( x ) = e + x + công thức a ∫ ( ax − 1) n x x B F ( x ) = 2e + x − C F ( x ) = e + x + 2 Lời giải x D F ( x ) = e + x + Chọn D F ( x ) = ∫ ( e x + x ) dx = e x + x + C 3 1 ⇔ e0 + C = ⇔ C = Vậy F ( x ) = e x + x + 2 2 Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường nhầm đáp ánC e0 = F ( 0) = π  Câu 13 [2D3-2] (104) Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = sin x + cos x thoả mãn F  ÷ = 2 A F ( x ) = cos x − sin x + B F ( x ) = − cos x + sin x + C F ( x ) = − cos x + sin x − D F ( x ) = − cos x + sin x + Lời giải Chọn D π  F ( x ) = ∫ ( sin x + cos x ) dx = − cos x + sin x + C ; Do F  ÷ = ⇒ C = 2 Phân tích phương án nhiễu: π  π  π  Học sinh thường nhầm đáp án A F  ÷ = − cos  ÷+ sin  ÷+ C = ⇒ −1 + + C = ⇒ C = 2 2 2 Học sinh thường nhầm đáp án B, C nhầm công thức nguyên hàm sinx cosx f ( x) Câu 14 [2D3-2] (104) Cho F ( x ) = nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số 2x x f ′ ( x ) ln x   ln x + ÷+ C x 2x   ln x  f ′ ( x ) ln xdx = −  + ÷+ C x   x ln x + +C x2 x2 ln x f ′ ( x ) ln xdx = + + C x 2x A ∫ f ′ ( x ) ln xdx = −  B ∫ f ′ ( x ) ln xdx = C ∫ D ∫ Lời giải Chọn A Vì F ( x ) = f ( x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có nguyên hàm hàm số 2x x  ′ f ( x ) ⇒ f ( x ) = −1 ⇒ f ′ ( x ) =  2÷= x2 x3 x  2x  2 Xét f ′ ( x ) ln x = ln x ; I = ∫ ln xdx x x  du = dx u = ln x   − ln x    ln x x + 2.∫ dx = −  + ÷+ C Đặt  ; I = uv − ∫ vdu = dx ⇒  2x  2x 2x  x dv = x  v = −1  2x Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường nhầm đáp án D nhầm dấu tính nguyên hàm e Câu 15 [2D3-2] (MH1) Tính tích phân I = ∫ x ln xdx : A I = B I = e −2 2 C I = e2 + D I = e2 − Lời giải Chọn C  du = dx  u = lnx   x ⇒ Cách 1: I = ∫ x ln xdx Đặt  dv = xdx v = x  e e e e e x2 x2 e2 e2 x e2 e2 e2 + ⇒ I = ln x − ∫ × dx = − ∫ xdx = − = − + = x 2 2 4 4 1 1 Cách 2: Máy tính Quy trình bấm máy: Máy hiện: Kiểm tra kết ta có C thỏa mãn (lần lượt trừ đáp án) Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường nhầm đáp án D nhầm dấu thay cận: e e e e x2 x2 e2 e2 x e2 e2 e2 + ⇒ I = ln x − ∫ × dx = − ∫ xdx = − = − + = x 2 2 4 4 1 1 Câu 16 [2D3-2] (MH1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x đồ thị hàm số y = x − x2 37 81 A B I = C D 13 12 12 Lời giải Chọn A x =  3 Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm: x − x = x − x ⇔ x + x − x = ⇔  x =  x = −2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x đồ thị hàm số y = x − x là: S= ∫ −2 x − x − ( x − x ) dx = 0 3 ∫ ( x + x − x ) dx − ∫ ( x + x − x ) dx −2  x x3   x x3   16   1  37 =  + − x ÷ −  + − x ÷ = −  − − ÷−  + − 1÷ =     12   −2  0 Cách 2: Máy tính x =  Phương trình hồnh độ giao điểm: x − x = x − x ⇔ x + x − x = ⇔  x =  x = −2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x đồ thị hàm số y = x − x là: S= ∫ −2 x − x − ( x − x ) dx Quy trình bấm: Máy hiện: đối chiếu với phương án Chọn A Chú ý: kết lặp lại (3) nên kết mẫu phải có chia nên loại B,D Phân tích phương án nhiễu: Học sinh áp dụng sai công thức tính diện tích hình phẳng nên bỏ qua đáp án x Câu 17 [2D3-2] (MH1) Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ( x − 1) e , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox : B V = ( − 2e ) π A V = − 2e C V = e − Lời giải D V = ( e − ) π Chọn D x Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm ( x − 1) e = ⇔ x = Thể tích khối trịn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox là: du = ( x − 1) u = ( x − 1)  V = π ∫  ( x − 1) e  dx = 4π ∫ ( x − 1) e dx Đặt  ⇒ e2 x 2x 0 dv = e dx v =  1 x 2x 1 2x e2 x e2 x e ⇒ V = 4π ( x − 1) − 4π ∫ ( x − 1) dx = 4π ( x − 1) − 4π ∫ ( x − 1) e x dx 2 0 u = x − ⇒ du = dx  Gọi V1 = ∫ ( x − 1) e dx Đặt  e2 x 2x d v = e d x ⇒ v =   2x 1 e2 x e2 x ⇒ V1 = 4π ( x − 1) − 4π ∫ dx = 2π − π e x = 2π − π e + π = 3π − π e 2 e2 x V = 4π ( x − 1) − V1 = −2π − ( 3π − π e ) = π ( e2 − ) Cách 2: Sử dụng MTCT x Phương trình hồnh độ giao điểm ( x − 1) e = ⇔ x = Thể tích khối trịn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox là: 1 V = π ∫  ( x − 1) e  dx = 4π ∫ ( x − 1) e x dx x 2 Máy hiện: Kiểm tra kết ta đáp ánD Phân tích phương án nhiễu: - Học sinh dễ nhầm chọn phương ánC áp dụng cơng thức tính thể tích qn π - Nếu 1 0 x x Chọn A hoặcB học sinh nhớ sai công thức V = ∫ ( x − 1) e dx Và V = π ∫ ( x − 1) e dx Câu 18 [2D3-2] (MH3) Gọi S diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = −1 , x = (như hình vẽ bên dưới) Đặt a = ∫ −1 sau đúng? f ( x ) dx , b = ∫ f ( x ) dx , mệnh đề y −1 O A S = b − a B S = b + a 2x C S = −b + a Lời giải D S = −b − a Chọn A Ta có: S= ∫ f ( x ) dx = b = −1 ∫ −1 2 −1 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −a + b Phân tích phương án nhiễu: - Học sinh dễ nhìn đồ thị mà nhầm tưởng S = b + a nên Chọn B - Còn Chọn C hoặcD thi nhầm dấu 2 Câu 19 [2D3-2] (MH3) Tính tích phân I = ∫ x x − 1dx cách đặt u = x − , mệnh đề đúng? A I = ∫ u du B I = ∫ u du C I = ∫ u du Lời giải Chọn C PP 1: Đặt u = x − ⇒ du = xdx Đổi cận: x = ⇒ u = ; x = ⇒ u = Do đó: I = ∫ x x − 1dx = ∫ u du PP 2: D I = u du ∫1 2 Dùng MTBT tính I = ∫ x x − 1dx gán cho biếnA Tiếp tục dùng MTBT để tính, ta thấy ∫ u du − A = ( ≈ 1,94.10−12 ) nên nhận Chọn C Phân tích phương án nhiễu: - Học sinh Chọn B hoặcD không đổi cận tính sai đạo hàm Chọn A tính sai đạo hàm dẫn đến đổi cận sai dx 1+ e = a + b ln Câu 20 [2D3-2] (MH3) Cho ∫ x , với a , b số hữu tỉ Tính S = a + b3 e + A S = B S = −2 C S = D S = Lời giải Chọn C Cách Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = e 1 e e e dx e x dx dt 1  = ∫0 e x + ∫0 e x ( e x + 1) = ∫1 t ( t + 1) = ∫1  t − t + ÷ dt = ( ln t − ln t + ) = ( − ln ( + e ) ) − (− ln 2) = + ln a = 1+ e = − ln ⇒ ⇒ S = a3 + b3 = b = − 1+ e  1 e x + 1) − e x d ( e x + 1) ( dx 1+ e x =∫ d x = d x − d x = x − ln e + 1 − ln Cách ∫ x x x ∫ ∫ 0 e +1 e +1 e +1 0 Suy a = b = −1 Vậy S = a + b3 = Phân tích phương án nhiễu: - Khi tính sai tích phân hs không chọn kết Câu 21 [2D3-2] (MH3) Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ( ≤ x ≤ 3) thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x 3x − 124π 124 A V = 32 + 15 B V = C V = 3 Lời giải Chọn C Diện tích thiết diện S ( x ) = x 3x − ( ) D V = 32 + 15 π 3 1 Suy thể tích vật thể tạo thành V = ∫ S ( x ) dx = ∫ 3x 3x − 2dx = 124 Phân tích phương án nhiễu: - Áp dụng công thức sai dẫn đến kết quảB.A vàD Câu 22 [2D3-2] (101) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + cos x , trục hoành đường π thẳng x = , x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V = π − B V = ( π − 1) π C V = ( π + 1) π D V = π + Lời giải Chọn C Ta có phương trình + cos x = vô nghiệm nên: π V =π∫ ( ) π 2 + cos x dx = π ∫ ( + cos x ) dx = π ( x + sin x ) π = π ( π + 1) Phân tích phương án nhiễu: - Áp dụng sai cơng thức tính thể tích, thiếu π dẫn đến Chọn D hoặcA - Khi tính tích phân nhầm dấu dẫn đến Chọn B ∫ Câu 23 [2D3-2] (101) Cho A I = f ( x ) dx = 12 Tính I = ∫ f ( x ) dx B I = 36 C I = Lời giải D I = Chọn D Đặt t = 3x ; dt = 3dx Ta có x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 6 1 I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 12 = 30 30 Phân tích phương án nhiễu: - Học sinh dễ nhầmB sau đặt t = x thay vào sai Câu 24 [2D3-2] (102) Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = B I = A I = e e C I = ln x Tính F ( e ) − F ( 1) x D I = Lời giải Chọn C e e e ln x ln x dx = ∫ ln x d ( ln x ) = = PP 1: Tính ∫ x 2 1 PP 2: Bấm MTCT: Phân tích phương án nhiễu: - Khi hiểu sai nguyên hàm dẫn đến tích sai tích phân học sinh dễ chọn nhầm đáp án Câu 25 [2D3-2] (101) Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I ( 2;9 ) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) y I O 123 t B s = 21,58 (km) C s = 15,50 (km) Lời giải A s = 23, 25 (km) D s = 13,83 (km) Chọn B Parapol ( C ) qua điểm ( 0; ) có đỉnh I ( 2;9 ) Gọi phương trình parapol ( C ) có dạng   a=−  c = c = 4    v = at + bt + c thì:  4a + 2b + c = ⇔ 4a + 2b + c = ⇔ b = ⇒ ( C ) : v = − t + 5t +  b  4a + b = c =  −  =2  2a  ⇒ phần parapol có phương trình t = − t + 5t + , ≤ t ≤ 31  v =  31  Ta có A 1; ÷∈ ( C ) ⇒ phần lại đồ thị đoạn thẳng có phương trình   4 1 ≤ t ≤ Vậy quãng đường s mà vật di chuyển 31   s = ∫  − t + 5t + ÷dt + ∫ dt ≈ 21,58 (km) 4  0 Phân tích phương án nhiễu: - Phân tích đề sai dẫn đến kết sai Câu 26 [2D3-2] (102) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + sin x , trục hoành đường thẳng x = , x = π Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V = ( π + 1) B V = 2π ( π + 1) C V = 2π D V = 2π Lời giải Chọn B Ta có phương trình + sin x = vô nghiệm nên: π V =π∫ ( ) π + sin x dx = π ∫ ( + sin x ) dx = π ( x − cos x ) π = 2π ( π + 1) Phân tích phương án nhiễu: - Áp dụng sai cơng thức tính thể tích(thiếu π ) nên dễ Chọn A - Khi nhầm cos = dẫn đến Chọn C tính sai tích phân Chọn D 1   − Câu 27 [2D3-2] (103) Cho ∫  ÷dx = a ln + b ln với a , b số nguyên Mệnh đề x +1 x +  0 đúng? A x3 + C B x3 + x+C C 6x + C D x + x + C Lời giải Chọn D x3 + x + C = x3 + x + C dx Câu 47 [2D3-1] (MH18) Tích phân ∫ x+3 Ta có A ∫ ( 3x + 1) dx = 16 225 B log C ln Lời giải D 15 Chọn C Ta có: dx ∫ x + = ln x + = ln + − ln + = ln Câu 48 [2D3-3] (MH18) Cho ( H ) hình phẳng giới hạn parabol y = 3x , cung tròn có phương trình y = − x (với ≤ x ≤ ) trục hoành (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( H ) y 2 x O A 4π + 12 B Chọn B 4π − 4π + − Lời giải C D − 2π y O x Phương trình hồnh độ giao điểm parabol y = x cung tròn y = − x (với ≤ x ≤ )  x2 =  4 ⇔ x = (vì ≤ x ≤ ) − x = 3x ⇔ − x = x ⇔  x =−  Cách 1: Diện tích ( H ) S = ∫ 3x dx + ∫ 2 − x dx = x + I = + I với I = ∫ − x dx 3  π π Đặt: x = 2sin t , t ∈  − ;  ⇒ dx = 2cos t.dt  2 π π Đổi cận: x = ⇒ t = , x = ⇒ t = π π π I = ∫ − 4sin t 2cos t.dt = ∫ 4cos t.dt = ∫ ( + cos 2t ) dt = ( x + sin 2t ) π π π π π = 2π − 3 2π 4π − +I = + − = 3 Cách 2: Diện tích ( H ) diện tích phần tư hình trịn bán kính trừ diện tích hình phẳng giới hạn cung tròn, parabol trục Oy Vậy S = Tức S = π − ∫ ) ( − x − 3x dx Câu 49 [2D3-3] (MH18) Biết I = ∫ Tính P = a + b + c A P = 24 dx = a − b − c với a , b , c số nguyên dương x + x x +1 ( x + 1) C P = 18 Lời giải B P = 12 D P = 46 Chọn D Ta có: x + − x ≠ , ∀x ∈ [ 1;2] nên: 2 I =∫ ( x + 1) dx dx =∫ x + x x + 1 x ( x + 1) x + + x =∫ x ( x + 1) ( ( ) x)( ( x + − x dx x +1 + x +1 − x ) =∫ ( ) ) x + − x dx x ( x + 1)   = ∫ − d x = x − x + = − − = 32 − 12 − ÷ x x +1  1  a = 32  Mà I = a − b − c nên b = 12 Suy ra: P = a + b + c = 32 + 12 + = 46 c =  ( ) 1  Câu 50 [2D3-3] (MH18) Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ \   thỏa mãn f ′ ( x ) = , f ( ) = 2x −1 2 f ( 1) = Giá trị biểu thức f ( −1) + f ( 3) A + ln15 B + ln15 C + ln15 D ln15 Lời giải Chọn C 1  dx = ln x − + C , với x ∈ ¡ \   Ta có: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ 2x −1 2 1  + Xét  −∞; ÷ Ta có f ( ) = , suy C = 2  1  Do đó, f ( x ) = ln x − + , với x ∈  −∞; ÷ Suy f ( −1) = + ln 2  1  + Xét  ; +∞ ÷ Ta có f ( 1) = , suy C = 2  1  Do đó, f ( x ) = ln x − + , với  ; +∞ ÷ Suy f ( 3) = + ln 2  Vậy f ( −1) + f ( 3) = + ln + ln = + ln15 Câu 51 [2D3-4] (MH18) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , 1 ∫  f ′ ( x )  dx = ∫ x f ( x ) dx = 0 A 1 Tích phân ∫ f ( x ) dx Lời giải B C D Chọn A du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )  ⇒ Cách 1: Tính: ∫ x f ( x ) dx Đặt  x3 d v = x d x v =     x3 f ( x ) − ∫ x f ′ ( x ) dx Ta có: ∫ x f ( x ) dx = 30 0 1 = f ( 1) − f ( ) − 1 Ta có 1 1 ⇒ − ∫ x f ′ ( x ) dx = ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 30 Mà ∫ x f ( x ) dx = 1 x f ′ ( x ) dx = − ∫ x f ′ ( x ) dx ∫ 30 30 ∫  f ′ ( x )  dx = (1) 1 1 x7 x d x = = ⇒ ∫ 49 x dx = 49 = (2) ∫0 7 1 0 3 ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 ⇒ ∫14 x f ′ ( x ) dx = −14 (3) 1 0 Cộng hai vế (1) (2) (3) suy ∫  f ′ ( x )  dx + ∫ 49 x dx + ∫ 14 x f ′ ( x ) dx = + − 14 = { } ⇒ ∫  f ′ ( x )  + 14 x f ′ ( x ) + 49 x dx = ⇒ ∫  f ′ ( x ) + x  dx = 2 1 3 Do  f ′ ( x ) + x  ≥ ⇒ ∫  f ′ ( x ) + x  dx ≥ Mà ∫  f ′ ( x ) + x  dx = ⇒ f ′ ( x ) = −7 x 2 0 7 7x + C Mà f ( 1) = ⇒ − + C = ⇒ C = 4 4 7x Do f ( x ) = − + 4 f ( x) = − Vậy ∫  x4   x5  f ( x ) dx = ∫  − + ÷dx =  − + x÷ = 4  20  0 1 Cách 2: Tương tự ta có: ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 1 1  1  1  2 =  ∫ x f ′ ( x ) dx ÷ ≤ ( x ) dx ữì f ( x ) dx ữ = ì ×∫  f ′ ( x )  dx = ∫  f ′ ( x )  dx 0 0  0  0  Dấu xảy f ′ ( x ) = ax , với a ∈ ¡ 1 ax = −1 ⇒ a = −7 Ta có ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 ⇒ ∫ x ax dx = −1 ⇒ 0 3 Suy f ′ ( x ) = −7 x3 ⇒ f ( x ) = − 7 x4 + C , mà f ( 1) = nên C = 4 ( − x4 ) ∀x ∈ ¡  x4   x5  f ( x ) dx = ∫  − + ÷dx =  − + x÷ = 4 20 0    Do f ( x ) = Vậy ∫ Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] b  b  b  Khi đó, ta có  ∫ f ( x ) g ( x ) dx ÷ ≤ f ( x ) dx ữì g ( x ) dx ÷ a  a  a  Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h ( x ) liên tục không âm đoạn [ a; b ] ∫ h ( x ) dx ≥ a Xét tam thức bậc hai λ f ( x ) + g ( x )  = λ f Lấy tích phân hai vế đoạn [ a; b ] ta λ b 2 ( x ) + 2λ f ( x ) g ( x ) + g ( x ) ≥ , với λ ∈ ¡ b b ∫ f ( x ) dx + 2λ ∫ f ( x ) g ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ≥ , với λ ∈ ¡ a a ( *) a Coi ( *) tam thức bậc hai theo biến λ nên ta có ∆′ ≤ b  b  b  ⇔  ∫ f ( x ) dx ÷ −  ∫ f ( x ) dx ÷ ∫ g ( x ) dx ÷≤ a  a  a  b  b  b  ⇔  ∫ f ( x ) dx ÷ ≤  ∫ f ( x ) dx ÷ ∫ g ( x ) dx ÷ (đpcm) a  a  a  Câu 52 [2D3-1] (MĐ101) Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + x + C B x + + C C x + x + C D x + x +C D x + x +C Lời giải Chọn D x + x +C 4 Câu 53 [2D3-1] (MĐ102) Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x Ta có ∫( x + x ) dx = A x + x + C B x + + C C x + x + C Lời giải Chọn D x + x +C Câu 54 [2D3-1] (MĐ103) Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + x + C B x + x + C C x + x + C D x + x + C Lời giải Chọn B Theo công thức nguyên hàm Câu 55 [2D3-1] (MĐ104) Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x A x + x + C B x + x + C C x + x + C D x + x + C Lời giải Chọn B 3 Ta có F ( x ) = ∫ ( x + x ) dx = x + x + C Câu 56 [2D3-1] (MĐ101) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = Mệnh đề đúng? Ta có ∫( x + x ) dx = A S = π ∫ e dx 2x 2 B S = ∫ e dx C S = π ∫ e dx x 2x D S = ∫ e dx x 0 Lời giải Chọn B Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = tính theo cơng thức 2 S = ∫ e dx = ∫ e x dx x 0 Câu 57 [2D3-1] (MĐ102) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = , x = , x = Mệnh đề đúng? A S = ∫ dx x 2 B S = π ∫ dx C S = ∫ dx 2x x D S = π ∫ dx 2x 0 Lời giải Chọn A 2 0 S = ∫ x dx = ∫ x dx (do x > 0, ∀x ∈ [ 0; 2] ) Câu 58 [2D3-1] (MĐ103) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x + , y = , x = , x = Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng? A V = π ∫ ( x + 3) dx 2 B V = ∫ ( x + 3) dx C V = π ∫ ( x + 3) dx 2 2 0 2 D V = ∫ ( x + 3) dx Lời giải Chọn C Ta tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox b V = π ∫  f ( x )  dx = π ∫ ( x + 3) dx a 2 Câu 59 [2D3-1] (MĐ104) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x + , y = , x = , x = Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? 2 A V = ∫ ( x + ) dx 2 B V = ∫ ( x + ) dx C V = π ∫ ( x + ) dx 1 2 D V = π ∫ ( x + ) dx Lời giải Chọn C Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) giới hạn đường y = x + , y = , 2 x = , x = xung quanh trục Ox V = π ∫ ( x + ) dx 2 x −1 Câu 60 [2D3-2] (MĐ101) ∫ e dx 1 A ( e − e ) B e −e C e5 − e D (e +e ) Lời giải Chọn A x−1 x −1 Ta có: ∫ e dx = e = ( e − e ) 3 1 x +1 Câu 61 [2D3-2] (MĐ102) ∫ e dx A ( e − e) B e − e ( e + e) Lời giải C D e3 − e C ln D Chọn A x +1 ∫ e dx = 1 x +1 1 x+1 e d x + ( )= e = ( e4 − e ) ∫ 30 3 Câu 62 [2D3-2] (MĐ103) dx ∫ 3x − A ln B ln ln Lời giải Chọn D Ta có: dx 2 1 1 ∫ 3x − =  ln 3x − ÷ = ( ln − ln1) = ln = ln Câu 63 [2D3-2] (MĐ104) dx ∫ 2x + A ln B ln ln 35 Lời giải C D ln Chọn B 2 dx 1 ∫1 x + = ln ( x + 3) = ln Câu 64 [2D3-3] (MĐ101) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 11 t + t ( m s ) , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt thời gian quy luật v ( t ) = 180 18 đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a ( m s ) ( a số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 22 ( m s ) B 15 ( m s ) C 10 ( m s ) Lời giải D ( m s ) Chọn B +) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 15 giây, B 10 giây +) Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB ( t ) = ∫ adt = at + C , lại có vB ( ) = nên vB ( t ) = at +) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do 15 10  11  ∫0  180 t + 18 t ÷ dt = ∫0 atdt ⇔ 75 = 50a ⇔ a = Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB ( 10 ) = 10 = 15 ( m s ) O Câu 65 [2D3-3] (MĐ102) Một chất điểm A xuất phát từ , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 59 t + t ( m/s ) , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc a bắt thời gian quy luật v ( t ) = 150 75 đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a ( m/s ) ( a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 20 ( m/s ) B 16 ( m/s ) C 13 ( m/s ) D 15 ( m/s ) Lời giải Chọn B 15  59  t + t ÷dt = 96 ( m ) Quãng đường chất điểm A từ đầu đến B đuổi kịp S = ∫  150 75  0 Vận tốc chất điểm B vB ( t ) = ∫ adt = at + C Tại thời điểm t = vật B trạng thái nghỉ nên vB ( 3) = ⇔ C = −3a Lại có quãng đường chất điểm B đến gặp A 15  at  S = ∫ ( at − 3a ) dt =  − 3at ÷ = 72a ( m )  3 Vậy 72a = 96 ⇔ a = ( m/s ) Tại thời điểm đuổi kịp A vận tốc B vB ( 15 ) = 16 ( m/s ) Câu 66 [2D3-2] (MĐ103) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 13 t + t ( m/s ) , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt thời gian quy luật v ( t ) = 100 30 đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc a ( m/s ) ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25( m/s ) B 15( m/s ) C ( m/s ) D 42( m/s ) Lời giải Chọn A Khi B đuổi kịp A tức A chuyển động 25 giây kể từ thời điểm bắt đầu xuất phát A chuyển động quãng đường  25 13  375 S =∫ t + t ÷= (m) 30   100 15 Vì B chuyển động với gia tốc a ( m/s ) nên vận tốc B v ( t ) = at + C Tại thời điểm bắt đầu xuất phát t = 10; v = ⇒ c = −10a Vận tốc chất điểm B thời điểm t v ( t ) = at − 10a (m/s) Quãng đường chất điểm B 15 ( s ) kể từ bắt đầu xuất phát 25 225 a 10 Vì sau chuyển động 15 giây chất điểm B đuổi kịp chất điểm A , ta có: 225a 375 = ( m) ⇒ a = 2 50 ⇒ v( t) = t − 3 50 = 25 ( m/s ) Vậy vận tốc B đuổi kịp A ứng với t = 25( s) ⇒ v ( 25 ) = 25 − 3 Câu 67 [2D3-3] (MĐ104) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 58 t + t ( m s ) , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt thời gian quy luật v ( t ) = 120 45 đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a ( m s ) ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 21 ( m s ) B 36 ( m s ) C 30 ( m s ) D 25 ( m s ) Lời giải Chọn C +) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 18 giây, B 15 giây +) Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB ( t ) = ∫ adt = at + C , lại có vB ( ) = nên vB ( t ) = at +) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do 18 15  58  225 t + t d t = ∫0  120 45 ÷ ∫0 atdt ⇔ 225 = a ⇔ a = S= ∫ ( at − 10a ) dt = Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB ( 15 ) = 2.15 = 30 ( m/s ) 55 Câu 68 [2D3-2] (MĐ101) Cho ∫x 16 đúng? A a − b = −c dx = a ln + b ln + c ln11 với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề x+9 B a + b = c C a + b = 3c Lời giải D a − b = −3c Chọn A Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = dx Đổi cận: x = 16 ⇒ t = ; x = 55 ⇒ t = 8 8 55 2tdt dt  dt dt  dx = = = − ∫ ÷ Khi ∫ ∫ ∫ ∫ t −9 3 t −3 t +3 ( t − 9) t 16 x x + 1 ln x − − ln x + ) = ln + ln − ln11 ( 3 3 1 Vậy a = , b = , c = − Mệnh đề a − b = −c 3 21 dx = a ln + b ln + c ln , với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề Câu 69 [2D3-2] (MĐ102) Cho ∫ x x+4 = sau đúng? A a + b = −2c B a + b = c C a − b = −c Lời giải D a − b = −2c Chọn A Đặt t = x + ⇒ 2tdt = dx Với x = ⇒ t = ; x = 21 ⇒ t = 21 5 dx dt 1 1 = = ( ln t − − ln t + ) = ln + ln − ln Ta có ∫ ∫ t −4 2 2 x x+4 Câu 70 [2D3-2] (MĐ103) Cho x = với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a − b = −c B a + b = c C a + b = −c D a − b = c Lời giải Chọn D e e e e 1 + x ln x d x = d x + x ln x d x = e − + ln xd ( x ) ) Ta có ∫ ( ∫ ∫ ∫ 21 1 e   e e 1 1 1 x2 = e − +  x ln x − ∫ x d ( ln x )  = e − +  e − ∫ xdx  = e − +  e − 1 2 2 2   = e2 + e − 4 Suy a = ; b = 1; c = − ⇒ a − b = c 4 e  e2  = e − + e − +   1  2 e Câu 71 [2D3-2] (MĐ104) Cho ∫ ( + x ln x ) dx = a.e + b.e + c với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a + b = −c B a − b = −c C a − b = c Lời giải D a + b = c Chọn C e ∫ ( + x ln x ) dx = x + ∫ e 1 e e x ln xdx = 2e − + ∫ x ln xdx dx  u = ln x ⇒ du = x Đặt  dv = xdx ⇒ v = x  e e e e e2 x ln x x e2 x2 e2 ∫1 x ln xdx = − ∫1 dx = − = + ⇒ ∫1 ( + x ln x ) dx = + 2e − 1 e Vậy a − b = c g ( x ) = dx + ex + ( a , b , c , d , e ∈ ¡ ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −3 ; −1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích y Câu 72 [2D3-3] (MĐ101) Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx − −3 −1 O x A B C D Lời giải Chọn C Diện tích hình phẳng cần tìm −1 −3 −1 S = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx + ∫  g ( x ) − f ( x )  dx −1 3 3   = ∫  ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x −  dx − ∫  ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x −  dx 2 2 −3  −1  3 Trong phương trình ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = ( *) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) Phương trình ( *) có nghiệm −3 ; −1 ; nên 3     −27 a + ( b − d ) − ( c − e ) − = −27 a + ( b − d ) − ( c − e ) = a =    3    ⇔ − a + ( b − d ) − ( c − e ) = ⇔ ( b − d ) = −a + ( b − d ) − ( c − e ) − = 2    3    a + ( b − d ) + ( c − e ) − = a + ( b − d ) + ( c − e ) = ( c − e ) = −    −1 3 3 1 3 1 3 Vậy S = ∫  x + x − x −  dx − ∫  x + x − x −  dx = − ( −2 ) = 2 2 2 2 −3  −1  2 Câu 73 [2D3-3] (MĐ102) Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx − g ( x ) = dx + ex + ( a , b , c , d , e ∈ ¡ ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −2 ; −1 ; (tham khảo hình vẽ) y −2 −1 O x Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 37 13 A B C 2 Lời giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị f ( x ) g ( x ) ax + bx + cx − = dx + x + ⇔ a + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = ( *) D 37 12 Do đồ thị hai hàm số cắt ba điểm suy phương trình ( *) có ba nghiệm x = −2 ; x = −1 ; x = Ta ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = k ( x + ) ( x + 1) ( x − 1) Khi −4 = −2k ⇒ k = 37 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm ∫ ( x + ) ( x + 1) ( x − 1) dx = −2 (a , b , c, d , e ∈ ¡ ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −3 ; −1 ; (tham khảo hình vẽ) y 2 Câu 74 [2D3-4] (MĐ103) Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx − g ( x ) = dx + ex = x −3 −1 O Hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số cho 125 253 253 125 A B C D 12 12 48 48 Lời giải Chọn C Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) ax + bx + cx − = dx + ex + ⇔ ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = ( 1) 2 3 Đặt m = b − d , n = c − e , phương trình ( 1) có dạng ⇔ ax + mx + nx − = ( ) Đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −3 ; −1 ; nên phương trình ( ) có ba nghiệm x = −3 ; x = −1 ; x = Do đó, ta có hệ phương trình    −27 a + 9m − 3n = a =     ⇔ m = −a + m − n = 2     8a + 4m + 2n = n = −   Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số −2 y = f ( x) y = g ( x) 1 3 3 1 1 253 S = ∫  x + x − x − ÷dx − ∫  x + x − x − ÷dx = 4 2 4 2 48 −3  −2  Cách 2: Từ giả thiết ta có: f ( x ) − g ( x ) = k ( x + 3) ( x + 1) ( x − ) ⇒ f ( ) − g ( ) = k ( + 3) ( + 1) ( − ) ⇒ k = Vậy f ( x ) − g ( x ) = −2 ( x + 3) ( x + 1) ( x − ) 1 ∫−3 ( x + 3) ( x + 1) ( x − ) dx + −∫2 ( x + 3) ( x + 1) ( x − ) dx Bấm máy đáp ánC 3 2 Câu 75 [2D3-4] (MĐ104) Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + g ( x ) = dx + ex − ( a , b , c , d , 4 e ∈ ¡ ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ −2 ; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích Khi đó: S = y −2 A 125 48 253 24 B O 125 24 Lời giải C x D 253 48 Chọn D Ta có: f ( x ) − g ( x ) = ⇒S= 1 ( x + ) ( x − 1) ( x − 3) = ( x3 − x − x + ) 4 −2 ∫  f ( x ) − g ( x )  dx + ∫  g ( x ) − f ( x )  dx Câu 76 [2D3-3] (MĐ101) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − Giá trị f ( 1) 35 A − 36 B − C − 2 f ′ ( x ) = x  f ( x )  với x ∈ ¡ 19 36 D − 15 Lời giải Chọn B  ′ Ta có f ′ ( x ) = x  f ( x )  ⇔ = 2x ⇔  = − x2 + C  = −2 x ⇔ f ( x)  f ( x )   f ( x)  Từ f ( ) = − suy C = − 2 f ( 1) = =−  1 Do −12 +  − ÷  2 Câu 77 [2D3-3] (MĐ102) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − f ′ ( x ) = x  f ( x )  với x ∈ ¡ Giá f trị ( ) 11 2 A − B − C − D − Lời giải Chọn B Từ hệ thức đề cho: f ′ ( x ) = x  f ( x )  (1), suy f ′ ( x ) ≥ với x ∈ [ 1; 2] Do f ( x ) hàm khơng f ( x ) ≠0 f ′( x) giảm đoạn [ 1; 2] , ta có f ( x ) ≤ f ( ) < với x ∈ [ 1; 2] f ′( x) = x, ∀x ∈ [ 1; 2] Chia vế hệ thức (1) cho  f ( x )  ⇒  f ( x )  Lấy tích phân vế đoạn [ 1; 2] hệ thức vừa tìm được, ta được: f ′( x) 2 −1 1 ∫1  f ( x )  dx = ∫1 xdx ⇒ ∫1  f ( x )  df ( x ) = ⇒ f ( x ) = ⇒ f ( 1) − f ( ) =     Do f ( ) = − nên suy f ( 1) = − 3 Chú ý: tự kiểm tra phép biến đổi tích phân có nghĩa Câu 78 [2D3-3] (MĐ103) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − f ′ ( x ) = x  f ( x )  với x ∈ R 25 Giá trị f ( 1) 41 391 A − B − C − D − 10 400 40 400 Lời giải Chọn A 2 f ′( x) f ′( x) 3 ⇒ = x ⇒ d x = x d x f ′ ( x ) = x  f ( x )  ⇔− = x4 2 ∫ ∫  f ( x )  f ( x) 1   f ( x )  1 ⇔− + = 15 ⇔ 25 + = 15 ⇔ f ( 1) = − f ( ) f ( 1) f ( 1) 10 Câu 79 [2D3-3] (MĐ104) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − trị f ( 1) A − 35 B − 79 20 f ′ ( x ) = x  f ( x )  với x ∈ ¡ Giá C − Lời giải D − 71 20 Chọn C f ′( x) 1  ′ = − x4 + C = x3 ⇔   = − x3 ⇒ Ta có f ′ ( x ) = x  f ( x )  ⇔ f ( x) f ( x)  f ( x)  Mà f ( ) = − nên C = −1 −4 Khi f ( x ) = x +4 Vậy f ( 1) = − Câu 80 [2D3.2-1] (MH2019) Cho ∫ f ( x ) dx = A −3 ∫ g ( x ) dx = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx C −8 Lời giải B 12 D Chọn C Ta có 1 0 ∫ g ( x ) dx = ⇔ 2∫ g ( x ) dx = 10 ⇔ ∫ g ( x ) dx = 10 1 0 Xét ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = − 10 = −8 x Câu 81 [2D3.1-1] (MH2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e + x x x e + x +C A e x + x + C B e + x + C C x +1 Lời giải D e x + + C Chọn B x +C Câu 82 [2D3.3-2] (MH2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? y Ta có ∫( e x + x ) dx = e x + y = x2 − 2x −1 −1 O x y = − x2 + 2 A ∫ ( x − x − ) dx −1 B ∫ ( −2 x + ) dx −1 C ∫ ( x − ) dx D −1 ∫ ( −2 x −1 + x + ) dx Lời giải Chọn D Ta thấy: ∀x ∈ [ −1; 2] : − x + ≥ x − x − nên S = ∫ ( − x + 3) − ( x − x − 1)  dx = −1 ∫ ( −2 x −1 + x + ) dx Câu 83 [2D3.1-2] (MH2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) A x ln x + x Chọn D Cách Ta có B x ln x + x C x ln x + 3x + C Lời giải D x ln x + x + C ∫ f ( x ) dx = ∫ x ( + ln x ) dx = ∫ xdx + ∫ x ln xdx + Tính ∫ xdx = x + C1 + Tính ∫ x ln xdx  u = ln x du = dx ⇒ x Đặt  dv = xdx v = x  2 Suy ∫ x ln xdx = x ln x − ∫ xdx = x ln x − x + C2 Do I = x ln x + x + C Cách Ta có ( x ln x + x ) ′ = ( x ) ′ ln x + x ( ln x ) ′ + ( x ) ′ = x.ln x + x + x x = x ( + ln x ) Do x ln x + x nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) Hay x ln x + x + C họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) Câu 84 [2D3.2-2] (MH2019) Cho xdx ∫ ( x + 2) = a + b ln + c ln với a , b , c số hữu tỷ Giá trị 3a + b + c A −2 Chọn B B −1 C Lời giải D ∫ ( x + 2) ( x + ) − dx = dx − 2dx ∫0 x + ∫0 ( x + 2) ( x + 2) xdx =∫ = ln ( x + ) ( x + 2) − −1 −1 = ln − ln + − = − − ln + ln 3 Vậy a = − ; b = −1; c = ⇒ 3a + b + c = −1 ... 24, 75 4  0 Phân tích phương án nhiễu: - Tính sai tích phân dẫn đến chọn kết sai x 2x Câu 40 [2D3-3] (102) Cho F ( x ) = ( x − 1) e nguyên hàm hàm số f ( x ) e Tìm nguyên hàm 2x hàm số f ′ (... x ) + C Phân tích phương án nhiễu: 2x - Tính sai nguyên hàm ∫ f ′ ( x ) e dx dẫn đến Chọn A hoặcB hoặcD f ( x) Câu 41 [2D3-3] (103) Cho F ( x ) = − nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số 3x... dụng công thức nguyên hàm: ∫ a x dx = ax + c ; thay a = ln a Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường sai chon phương ánA nhầm đạo hàm Phương ánC ,D sai nhầm sang nguyên hàm hàm số lũy thừa