(Gv Vũ Văn Ngọc) 60 Câu Tích Phân.docx

Câu 1 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Nguyên hàm của hàm số   32f x x là A 4 4 x C B 4 2 x C C 22 x x C  D 4 4 x x C  Đáp án B Áp dụng công thức 1 1 n na ax dx x C n    Ta có 4 3 42 2 4 2 x x d[.]

Câu (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Nguyên hàm hàm số x4  C A x4  C B f  x  2 x3 là: x4  x  C D C x  x  C Đáp án B a n ax dx  n 1 x Áp dụng công thức: n 1 C x4 x dx  x  C  C  Ta có: e  m ln t dt 0 t Câu (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Biết Khi đó, điều sau đúng?  A m 1 B   m   C m   D  m 0 Đáp án D e e e  m ln t 1 m dt    m ln t  d   m ln t     m ln t    0  m   t m1 2m Ta có:   m 0 Câu 3: dx I  x x  kết I a ln  b ln (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Biết 2 Giá trị 2a  ab  b là: A B C D Đáp án B Cách 1: Đặt 3x  t  x  t  dx  dt Đổi cận x 1  t 2, x 5  t 4 tdt  t1   I    dt ln ln  ln 2 ln  ln  a 2, b   t   t  t 1  t 1 t  2a  ab  b 7 a b Cách 2: Ta có: a ln  b ln log e 5 dx I  0.5877  SHIFT  STO  A x 3x 1 Dùng CASIO ta A) (Gán nghiệm cho  log e 3a 5b  A  3a 5b e A  32.5  a 2  2a  ab  b 7  Vậy b  Câu 4: f  (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số    dx 4 x x liên tục  thỏa mãn f  sin x  cos xdx 2 y  f  x A I 8 Tích phân B I 6 I f  x  dx C I 4 bằng: D I 10 Đáp án B t  x  dt  Đặt x dt Khi x 1  t 1; x 9  t 3 Suy f   x  dx 2 x 3 f  t  dt 4  f  t  dt 2 1    t sin x; x    ;   dt cos x  2 Đặt  x 0  t 0; x   t 1 Khi  Suy f  sin x  cos xdx f  t  dt 2 0 3 I f  x  dx f  x  dx  f  x  dx 2  4 Câu 5: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn tiếp tuyến A  1;1 trục Oy S1 Diện tích hình phẳng giới hạn  P  : y x , tiếp S1 A  1;1 S tuyến trục Ox Khi đó, tỉ số S bằng: A B  P  : y x , C D Đáp án D Phương trình tiếp tuyến: Ta có: S x dx  y  f '  1  x  1  2 x  1 1  2 12 1 1 S S1 S  x dx   4 2 S2 Câu (Gv Nguyễn Bá Tuấn) Tìm nguyên hàm hàm số 2x e  C e A 2x dx  e C  2x dx 2e 2x  C e B 2x e D  f  x  e 2x dx  e 2x  C 2x dx  2e2x  C Chọn B e Theo công thức nguyên hàm ax  b 1 dx  eax b  C e 2x dx  e 2x  C  a Suy  Câu (Gv Nguyễn Bá Tuấn) Kết tích phân A I 1  I cos xdx sinx B I   sin I cos xdx C I 0   sin 1 D I  Chọn đáp án A f  x  x  Câu (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Họ nguyên hàm x  x  1 x3 x  ln C x  A x3  ln x  x  1  C B x3 x  ln C C 2 x  x3 x  ln C D x     x  x  x 1  dx x dx   Ta có   bao nhiêu? x3 dx   x  x 1  x 1  x  x  x 1 x3  x3 x3 x 1    dx   ln x  ln x   C   ln C    3 x 1  x x 1  dx Câu (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Biết thiết diện vật thể với mặt phẳng vng góc với x  x 3 trục Ox điểm có hồnh độ 4x  x Khi tam giác có cạnh thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x 0 ; x 3 9  A 9 B 3 C 3  D Đáp án C Cạnh thiết diện a  x  x  diện tích thiết diện Vậy thể tích hình cần tính là: Câu V  S 3 a  4x  x 4   3 4x  x  10   (Gv Nguyễn Bá Tuấn) Biết   n 1     c;a, b, c   cos n x dx  n  N*  a n n  cos x  sin x b A B , a  b  c C D 11 Đáp án A  Xét  n cos x I  n dx cos x  sin n x  n đặt  sin n x x   t  I  n dx cos x  sin n x  cos x sin n x    I  n dx  dx   I  n n n  cos x  sin x cos x  sin x 0 Vậy a c 0; b 4  a  b  c 4 Câu 11 (Gv Nguyễn Bá Tuấn)Kí hiệu y  x   e 2x (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục tung trục hồnh Thể tích V khối tròn xoay thu quay   ea  b  hình (H) xung quanh trục Ox có dạng A B 56 c ;  a, b, c   C  Khi a  b  c D  24 Đáp án C Thể tích V khối trịn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox là: 2 V   x   e x dx  I Đặt  x   u   4x e dx dv du 2  x   dx   4x v  e  2 1  I  e x  x   |   x  e x dx    x  e4 x 20 Đặt du dx 2   4x   I   e x    |  e4 x dx    4x 2 4  v  e  x   u   4x e dx dv  I    e8  e8  41    a  b  c     16 16  32 b Câu 12 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Giá trị 2 A b  a 2 B b  a b a tính là: C b  a D b  a b 2 2 xdx x b  a Ta có: a a Câu 13: biết I 2 xdx x x f  x  4 cos x sin cos 2 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Nguyên hàm hàm số F   1: A cos3 x  3  4 cos B  cos x sin x  3 C  cos x  D Đáp án khác x x x sin cos dx 2 cos x sin xdx  cos x  C F   1  C  2 3 Mà Câu 14: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số 1 f  x  dx 1 f  x  dx 2 f  x  dx Giá trị f  x liên tục  Biết là: A B 16 C  D  Ta có: 3 f  x  dx 2  f  x  dx  f  x  dx f  x  dx  f  x  dx  Vậy Câu 15: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y log x, y 0, x 4 Đường thẳng x 2 chia hình phẳng thành hai hình có diện tích S1  S1  S2 Tỉ lệ diện tích S2 là: B A C D Đáp án khác Đáp án A Xét phương trình: log x 0  x 1 Ta có: 2 2 S log x  dx log xdx  x log x   xd  log x   x log x   1 x x ln dx x    S  x log x   2  ln  ln  Tương tự: 4 x   S1 log x  dx  x log x   6  ln  ln  S 2  2 S2 x Câu 16: dt f  x    x  1 t t (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số Tập giá trị hàm số là: A  1;  B  0;  C  ln 2;1 D  0;ln  Đáp án D Ta có: x x x dt t x 2x  1   f ( x )    ln  ln ln ln    dt ln  t  t  t t 1  t 1 x 1 x 1 x 1   Vì x 1  2 1      ln  f ( x)  x 1 x 1 Câu 17 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Nguyên hàm hàm số f  x  dx e x A f  x  dx e x C  e x  C  e  x  C f  x  e x  e  x f  x  dx  e x B  e  x  C f  x  dx  e x D  e  x  C là: x e dx e Đáp án C Áp dụng x  C , e ax b dx  e x  C a I  dx x 1 Câu 18 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tích phân với tích phân sau đây? 3  1     dx  x  x    A  1     dx  x  x    B 3      dx  x  x    C D  1   x   x 1  dx Đáp án B dx  x  Sử dụng CASIO tính phương án ta thấy Câu 19 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Nguyên hàm hàm số a ln x   b ln x   C A 1  1  dx     dx  x  x  x    2 y 3x  x  3x  có dạng Giá trị a  2b là: B 4 D C Đáp án B Ta có: 3x  dx   dx 2ln x   ln x   C  3x  x x  a 2; b 1  a  2b 4 x Câu 20 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox biết hình 2    e5  2e   3 A  H H giới hạn đường y ln x, y  x, x 1, x e là:  e6 5    2e   3 B  C  e4 2    2e2   3 D    e5  2e   Đáp án B Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng e2 e2 (H) quay quanh trục Ox là: e2   e6 x3  5 2 2 2  ln x  x dx    ln x  x dx    x ln x  x ln x  x     e          1 3   1 (đvtt) Câu 21 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Hàm số sau có nguyên hàm đạo hàm hàm số y sin x ? A y sin x B y cos x C y  4sin x f  x  dx  sin x  Đáp án C Ta ý  Câu 22 "  f  x   sin x   4sin x f  x  2 x  x  1 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Một nguyên hàm hàm số thỏa mãn x ' D y 4 cos x F  0  là:  1 x   x  1 x  10 A  1 B x x  x  1   5 C  D Đáp án khác Đáp án B 2 x  x Ta có: 4 1 dx  x 1 d  x 1 2 x   1  C F     C 1 Mà a Câu 23: (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Với giá trị a A a  B a 1 I  x  x  1 dx  4? C a 2 D a  a Đáp án A Ta có: Câu 24 I  x  x  x  a  a  a  Có I   a  (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  sin x, y  x, x 0, x  là:   B  A C   D  Đáp án A     x  sin x   x dx sin xdx  12  x  sin22 x  2  0 Diện tích hình phẳng là: Câu 25 (Gv Nguyễn xdx  x 1  x 1 a ln  b ln  c ln  a, b, c    Bá Giá trị abc là: Tuấn (đvdt) 2018)Biết B A D C Đáp án C Ta có: 2 xdx        dx  ln  x  1  ln  x  1   ln  ln  ln  x  1  x  1  x  x   2  1  1  a  1; b  ; c   abc  2 1 f  x  cos  x  3 Câu 26 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Nguyên hàm hàm số 1 sin  x  A   1 sin  x  3 1  1   C 3sin  x   3 B  1   C  3sin  x   3 C    C   2  là: D    C  1   cos  x   dx 3sin  x    C Câu 27 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Họ nguyên hàm hàm số x   5ln A C x   5ln    x    C B  x    C D  x   5ln 2 x   5ln dx x   là: I     x    C  x    C Đặt t  x   t 2 x   dt dx tdt    I     dt t  5ln t   C  x   5ln t 5  t 5   Câu 28 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Biết cos x   2x    C 3  sin x dx   ln a  ln b  2 Khi a  b bằng: A 16 B 13 C 25 D 17  x   t 4; x 0  t 3 Đặt t 3  sin x  dt 2 cos xdx Đổi cận: dt I    ln t 23 t   ln  ln 3  a  b 25 2 Câu 29 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho x dx I  x a  b ln  e  1  x  1  Khi (a+b) bằng: A B D  C Đáp án A a Công thức: a f ( x) I  x dx f ( x)dx m 1 a f (-x)=f (x) ( hàm chẵn) 1 x 1 I  dx (1  )dx ( x  ln | |)   ln x 1 x 1 x 1 2 0 => x => a+b =0 Câu 30 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018): Biết thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị y x  x, y  x quanh trục Ox k thể tích mặt cầu có bán 2 kính Khi k bằng: A B C D Đáp án D  x 0 x  x  x    x 1 Xét phương trình: + Thể tích khối trịn xoay là: 1  x3   V  x   x  x  dx   x  x  dx    x4    0 0 2 (đvtt) + Vậy thể tích mặt cầu là:   kV   13  k 4  k 4 3 Câu 31 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Giá trị tích phân I  x3  x  2017  x   dx 2018 A 3.2017 2018 B 3.2018 2018 C 2018 2017 D 3.2017 Đáp án B t x  x  dt 3  x   dx  I t 2017 Đặt dt 72018  3.2018 Câu 32 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho tích phân  3x  x  ln  x  1  dx b ln a  c với a, b, c số hữu tỉ, a + b + c A B 2 C D  Đáp án B 1 I  3x  x  ln  x  1  dx  3x  x  dx   ln  x  1  dx I1  I 0 Dùng casio ta có I1 0 u ln  x  1  I2  x ln  x  1   dv dx I Giải đặt  2x 2 x  dx 3 I2  ln   b  ; a 3; c   a  b  c  2 f  x  Câu 33 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số x  x Tìm nguyên hàm    t    ;  \  0 g  t  cos t f  sin t   2 hàm số , với A F  t   tan t  C B F  t   cot t  C C F  t  tan t  C Đáp án B      x sin t  t    ;     2  Đặt dx cos tdt  Ta có x dx cos tdt dt    cot t  C sin t cos t sin t 1 x D F  t  cot t  C Câu 34 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn A  1;1 tiếp tuyến  P  : y x , S  P  : y x , trục Oy Diện tích hình phẳng giới hạn S1 A  1;1 S tiếp tuyến trục Ox Khi S A C B D Đáp án B Tiếp tuyến x 1 có PT y 2 x  0 2 S x dx  x  x  1 dx   1   24 24 12 1 1    12 S 1   : 4 S 12 S1 S  Câu 35  (Gv    sin x  1cos x ln     cos x  A  Nguyễn Bá Tuấn 2018) Biết giá trị tích phân  dx a ln  b   ; a, b số hữu tỉ Khi a  b B 13 C D  Đáp án C    2    sin x  1cos x  1cos x ln  dx  ln   cos x  dx dx ln   sin x     cos x  0         sin x    cos x  ln   sin x  dx  ln   cos x  dx cos x ln   sin x  dx  ln   dx   cos x  0 0   2 2 cos x ln   sin x  dx  ln   sin x  d   s inx  ln udu u ln u |  du 2 ln  0 1  a  b 9 Câu 36 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tìm nguyên hàm hàm số f (x) cos5x f (x)dx  sin5x  C A B f (x)dx 5sin5x  C D f (x)dx  5sin5x  C f (x)dx 5 sin5x  C C 1 f (x)dx 5 cos5xd  5x  5 sin 5x  C Câu 37  1;1 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số g(x) có đạo hàm đoạn  Có g   1 3 g  1 1 Tính A  I  g x dx 1 B C D  I  g x  dx g  x   g  1  g   1  1 π a 16  x   2sin  dx   4 15 Câu 38 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Giá trị a để  A a 1 B a 2 C a 5 D a 4 A π 16 CALC  x    A  , X 1  A 5   2sin  dx   4 15  Dùng casio nhập kết = Vậy a = Câu 39 π  y f  x    hàm chẵn  (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho π π  f  x  dx f  x   f  x   sin x  cos x  2  Tính A  B C Đáp án B π    f  x   f  x   sin x  cos x x  , x  2  2 ta có Từ cho D   π π   ;   π π π π π π f    f    sin  cos sin       f   π   f  π  π  sin   π   cos   π  sin   π              2  2  2  2 π  y f  x    hàm chẵn  Chú ý  π  f   2  π π π π f    f     2  2 π  π  π f    sin  sin     f  x  s inx  2  2 π Vậy  π π   ;  nên π f  x  dx sinxdx 1 0 Câu 40 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Gọi (H) (K) hình phẳng giới hạn x y2  E  :  1 x k  k   16 đường Để tỉ số thể tích khối trịn xoay tạo quay VH  (H) (K) quanh Ox VK 27 k A k  B k  C k  D k  Đáp án C  E : x y2  1  y  16  x 16 Đường thằng x k chia elip thành hai phần (H) (K) k 1 VH    16  x  dx    48 x  x3  |k    48k  k  128  4 4 1 VK    16  x  dx    48 x  x  |k4    128  48k  k  4 k VH 48k  k  128 48k  k  128      k  48k  88 0 VK 128  48k  k 27 256 32  k  với k nguyên âm ln Câu 41 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Biết   x  2e x a  dx  ln  b ln  c ln 1  Trong a, b, c số nguyên Khi S = a + b + c A B C D Đáp án A ln ln    x  x dx  xdx   2e    ln ln x ln dx  |0   x de x x  x 2e  0  2e  1 e   1  de x  ln 2  ln e x  ln  2e x  1 |ln0  ln 2  ln  ln  x  x  2  2e  1   e  a  b  c 2  ln 2  ln   x Câu 42 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y e sin x đường thẳng x = 0, x = π, trục hồnh Một đường x = k cắt diện tích tạo thành phần 2S  2S2  1  2S1  1 S ;S có diện tích cho  k bằng: π A π B π C π D Đáp án B k Ta có   S1 e x sin xdx; S e x sin xdx S S1  S e x sin xdx k  2S1  2S2  1  2S1  1  S2 2 S12  3S1   S12  2S1   S 0 k  k x  x   e sin xdx   e sin xdx 1  ex sin xdx 0 0 0  Tính tốn trực tiếp qua đáp án ta thấy PT với k  Câu 43 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Họ nguyên hàm hàm số A x  C Đáp án D  3x  1 dx x  x  C x3  x C B C 6x  C f  x  3x 1 D x  x  C Câu 44 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số y f  x  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x a, x b  a  b  y f  x  liên tục đoạn  a; b  Gọi D , trục hoành hai đường thẳng Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức b A V  f  x  dx a b B V 2  f  x  dx a b C V 2  f  x  dx a b D V 2  f  x  dx a Đáp án A Ta có cơng thức tính thể tích khối tròn xoay quay đồ thị hàm số giới hạn đường thẳng x a, x b  a  b  a B log C dx  (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Tích phân x  16 A 225 ln Đáp án B dx x  ln  x  3 ln  ln ln Câu 46 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Cho  H hình phẳng giới 2 hạn parabol y  3x , cung tròn có phương trình y   x (với x 2 ) trục hồnh tích  H (phần tơ đậm hình vẽ) Diện 4  A 12 4  B 4   C  2 D quanh trục hoành, b V  f  x  dx Câu 45 y f  x  D 15 Đáp án Cách Khi miền giới hạn có đường đường ta phải tách thành miền cho y f  x  miền giới hạn đồ thị y g  x  hai đường x a, x b 2 Ta có S  3x dx   1  x dx  x    x dx Sau dùng casio ta tìm đáp án xấp xỉ kết tính Nếu bạn muốn làm theo cách tự luận để tính  4 x dx ta đặt x sin t x   y2 ; x  Cách Phần diện tích giới hạn đường cần tìm S    y2  y dy dùng máy tính cầm tay để kết luận Câu 47 y ; y 0; y  3 nên diện tích (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Biết   x 1 dx  a x  x x 1 b c với a, b, c số nguyên dương Tính P a  b  c A P 24 C P 18 B P 12 D P 46 Đáp án D   x 1 2 dx dx x 1  x   x  x x  1 x  x  1 x   x x  x  1  x       x      dx 2 x 1  x dx dx   x  x x   dx  x  x 1 x 1   a 32  4    32  12   b 12 c 2  Câu 48  0;1 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Cho hàm số thỏa mãn f  1 0, A 0  f  x   dx 7 C B 1 f  x có đạo hàm liên tục đoạn x f  x  dx 3 Tích phân f  x  dx 0 D Đáp án A Có 1 0 x f  x  dx x f  x   1 3  2x f  x   x f  x   dx  x f  x  dx  0  f  x    14x 3f  x   49x 6dx 0   Có  f  x   7x  dx 0 f  x   7x hay  0;1 Lại có f  1 0  f  x   7x  4 nên f  x  dx  Câu 49 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn ) Biết f  x  dx 3,f  x  dx 2 1 B  A Khi f  x  dx D  C Chọn đáp án B Cách 1: 3 f  x  dx  f  x  dx f  x  dx  f  x  dx 2   1 2 Cách 2: f  x  dx 3  F    F  1 3, f  x  dx 2  F  3  F  1 2 1 Vậy f  x  dx F  3  F   F  3  F  1  F    F  1 2   Câu 50 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn ) Nguyên hàm hàm số số f  x  2x  sin a với a tham x  cos a  C A Ta có  2x x C C 4 B 4x  sin a  C   sin a dx  x  x.sin a  C D x4  x sin a  C Câu 51 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn )Cho I f  2x  3 dx 4 Khi giá trị f  x  dx A B C D 11 Đặt t 2x   dt 2dx x 0  t 3; x 1  t 5  I f  t  dt 4  f  t  dt 8 2 3 Chọn đáp án C Câu 52 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn )Cho hàm số hình phẳng giới hạn bới A y x  5x   C1  ; y x  k  C2   C1  ,  C2  Để diện tích  H  B , gọi H 32 giá trị k C D Đáp án B 2 Xét PT x  5x  x  k  x  6x   k 0 3  x1 3   S  +) k=1  x  x   dx 6,9 3 +) k=2  x1 1; x2 5  S   x  x   dx 10, 666  Câu 53 32 2e tan x y  cos 2x ( Gv Nguyễn Bá Tuấn ) Nguyên hàm hàm tan x A e  C cos x B e  C C Đáp án A 2e tan x e tan x tan x tan x dx  1  cos x cos xdx e d  tanx  e  C ln tan x  C sin x D e  C Câu 54 ( Gv Nguyễn Bá Tuấn ) Cho x  3x  x  I  dx a  ln b  1 2  x  2x   Khi 4a  b A B C D Đáp án C 1 x  3x  x  x  2x  I  dx  d  x  2x   2  2  x  2x    x  2x  3 I t 1 66 dt  ln t    |   ln  1 2 t2 2 t 3 a  , b 2  4a  b 1  5 Vậy y Câu 55 A (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Một nguyên hàm hàm số ln  x  1 B ln  x  1 C ln  x  2x  2x   x 1 D ln  x  2x  Đáp án A 2x   x 1 Ta có Câu 56 2 dx  dx 2 ln  x  1 ln  x  1 x 1 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018) Tìm nguyên hàm hàm số e x 1 f  x    C B A f  x  e 2x C e2 x f  x    C C f  x  e2 x f  x  e D  x 1 C Đáp án C e2 x e2 x e2 x dx   C  C 2 2 Câu 57 (Gv Nguyễn Bá Tuấn 2018)Diện tích hình phẳng giới hạn đường y x  1, y 0, x 1 A C B Đáp án B Xét x  0  x   S  x  dx 2 1 D