Luận văn thạc sĩ về bổ đề van de corput và tích phân dao động

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN HOÀNG THU HANG VE BO ĐE CORPUT VÀ TÍCH PHÂN DAO Đ®NG Chun ngành: Tốn Giai tích Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS NGUYEN MINH TUAN HÀ N®I−2016 LèI CAM ƠN Trưóc trình bày n®i dung cna khóa lu¾n, em xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói PGS.TS Nguyen Minh Tuan ngưịi t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành khóa lu¾n Em xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Toán - Cơ - Tin HQc, Đai hQc Khoa HQ c Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i day bao em t¾n tình suot q trình HQc t¾p tai khoa Nhân d%p em xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên em, cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình HQc t¾p thnc hiắn luắn tot nghiắp H Nđi, thỏng 08 năm 2016 HQc viên Hoàng Thu Hang Mnc lnc Lài nói đau Bien đoi Fourier 1.1 Bien đői Fourier không gian L1(R) 1.1.1 1.1.2 Đ%nh nghĩa ví du Tính chat ban cna bien đői Fourier 1.2 Bien đői Fourier không gian L1(Rn) 14 1.3 Bien đői Fourier không gian Schwartz 18 1.4 Bien đői Fourier không gian L2(Rn) 20 Bo đe Van der Corput 22 2.1 M®t so ưóc lưong thơ cho tích phân dao đ®ng 22 2.2 Ưóc lưong t¾p múc dưói 28 2.3 Bő đe Van de Corput 33 Ket lu¼n 42 Tài li¼u tham khao 43 LèI NÓI ĐAU Lý thuyet dao đ®ng tích phân nguon goc quan TRQNG cna hàm đieu hịa giai tích Phan giói thi¾u cna bien đői Fourier nguon goc có le ví du tot nhat cna dao đng tớch phõn, dan en viắc xem xét kĩ ve dao đ®ng tích phân tőng qt Cơng trình đưoc thnc hi¾n chn yeu boi Fourier, Airy, Stokes, Lipschitz Riemann vào the ky 19 đưoc thnc hi¾n đe hieu đưoc hành vi cna Bien đői Fourier Các đoi tưong đưoc làm rõ vào đau the ki 20 J.G van der Corput chúng minh bő đe női tieng cna Ơng quan tâm đen úng dung lý thuyet so, đ¾c bi¾t nhung tốn ve ràng bu®c hàm so mũ Gan đây, TRQNG tâm đưoc thay đői đe tốn tu có dang cna tớch phõn dao đng Viắc su dung bien i Fourier tích phân đieu hịa tn nhiên phő bien Bo cuc lu¾n văn gom phan mo đau, hai chương, phan ket lu¾n danh muc tài li¾u tham khao Chương m®t Bien đői Fourier, đưa đ%nh nghĩa, tính chat ban Bien đői Fourier không gian L1 , L2 không gian Schwartz, ví du hình anh minh HQA Chương hai đe c¾p tói đ%nh lý t¾p múc dưói tù đưa đen bő đe Van de Corput Nđi dung chớnh cna luắn l chi tiet húa Chương lu¾n án cna tác gia K M Rogers [3] Hà N®i, tháng năm 2016 Hồng Thu Hang Chương Bien đoi Fourier Trong chương này, lu¾n văn trình bày khái ni¾m, ví du tính chat ban cna phép bien đői Fourier Tham khao tài li¾u [1], [2] [4] 1.1 1.1.1 Bien đoi Fourier không gian L1(R) Đ%nh nghĩa ví dn Đ%nh nghĩa 1.1.1 Bien đői Fourier cna f (x) đưoc ký hi¾u boi F{f (x)} = F (k), k ∈ R, đưoc xác đ%nh boi tích phân ∫∞ e−ik √ F{f (x)} = F (k) f (x)dx, 2π −∞ x (1.1) = thưòng đưoc GQI bien đői Fourier phúc Đieu ki¾n đn cho f (x) có bien đői F đưoc GQI toán tu bien đői Fourier hay bien đői Fourier Nó Fourier f (x) kha tích tuy¾t đoi trờn (, ) Do f (x) l hđi tu tuyắt đoi nên tích phân (1.1) h®i tu Hơn nua, cịn h®i tu đeu theo k Vì v¾y, đoi vói hàm kha tích tuy¾t đoi ta mói có đ%nh nghĩa ve bien đői Fourier Han che rat manh đoi vói nhieu úng dung v¾t lý Nhieu hàm đơn mũ gianvàvàxnphő có hàm hàm lưong sin ax, cos ax, hàm H(x)bien khơng bien hang, đői Fourier m¾c giác dù chúng thưịng xun xuat hi¾n úng dung Tích phân (1.1) khơng h®i tu f (x) m®t nhung dang Đây han che cna lý thuyet bien đői Fourier Đ%nh nghĩa 1.1.2 Bien đői Fourier ngưoc ký hi¾u boi F−1{F (k)} = f (x) đưoc xác đ%nh F−1 ∫∞ eik √ {F (k)} = f (x) 2π −∞ x F (k)dk, (1.2) = F −1 đưoc GQI tốn tu bien đői Fourier ngưoc dung, x thưịng đưoc bieu dien m®t bien không gian k = ( 2π ) m®t Ta thay ca F F −1 tốn tu tích phân tuyen tính Trong tốn úng đưoc thay the bang bien thòi gian t k đưoc thay the boi tan so w = 2πν, bien bưóc sóng, λ bưóc sóng Tuy nhiên, ky thu¾t đi¾n, x ν tan so chu kỳ moi giây Hàm F (w) = F{f (t)} λđưoc GQI phő cna hàmđưoc tín hi¾u thịitheo giancách f (t) đői Fourier đ%nhtheo nghĩa sauTrong lý lu¾n ky thu¾t đi¾n, bien ∫ F{f (t)} = F (ν) = ∞ −∞ bien đői ngưoc cna f (t)e−2πνitdt, (1.3) F−1 {F (ν)} = f (t) = ∫ ∞ F (ν)e2πiνtdν = ∞ ∫ F (w)eiwtdw, (1.4) −∞ w = 2πν đưoc GQI tan so 2π −∞ góc Sau se xét m®t so ví du ve bien đői Fourier Ví dn 1.1.1 Tìm bien đői Fourier cna exp(−ax2) Ta chúng minh k2 (1.5) Bang đ%nh nghĩa ta có ∫ ∞ e−ikx−ax dx √ Σ 2π −∞ ik Σ + F (k) = ex −a(x ∫ k ) 2a − d = √1 p − x ∞ ∞ π exp(− ∫ ∞ e−ay dy, 2π k2 − ∞ ∫∞ e−ay dy, ∫∞ suy Đ¾t I = −∞ 2 e−a(x +y )dxdy ∫ −∞ I = ∞ =√ −∞ Đ¾t: x = r cos θ, y = r sin θ Khi Σ ∫ 2π ∫ ∞ 2 2 ∫ 2π ∫ ∞ re−a( co θ+ sin θ)rdr d I2 = rdrΣ dθ 0 −ar θ e = ∫ 2π = − e− ∞Σ dθ 02π r =∫ dθ 2a 2π π = θ = 2a a Suy I = √ aπ Khi Neu a = F (k) = √ ex p( /4a) −k π Σ = √ exp a 2a k2 − 4a F{e−x2 /2 } = e−k2 /2 (1.6) Đieu nàyđői chiFourier rangcna F{f Đođưoc th% cna hàm f (x) = exp(−ax2 ) bien nó(x)} úng = vóif a(k) =1 minh HQA bang Hình 2.1 ... L2(Rn) 20 Bo đe Van der Corput 22 2.1 M®t so ưóc lưong thơ cho tích phân dao đ®ng 22 2.2 Ưóc lưong t¾p múc dưói 28 2.3 Bő đe Van de Corput ... thuyet dao đ®ng tích phân nguon goc quan TRQNG cna hàm đieu hịa giai tích Phan giói thi¾u cna bien đői Fourier nguon goc có le ví du tot nhat cna dao đng tớch phõn, dan en viắc xem xét kĩ ve dao. .. đưoc thnc hi¾n đe hieu đưoc hành vi cna Bien đői Fourier Các đoi tưong đưoc làm rõ vào đau the ki 20 J.G van der Corput chúng minh bő đe női tieng cna Ơng quan tâm đen úng dung lý thuyet so, đ¾c