LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có y x 2 a 1 Giả sử M a; tọa độ tiếp điểm a Phương trình tiếp tuyến M y Mà tiếp tuyến qua A 2; 1 nên a 2 a 2 2 x a a a 1 a a 1 a a 2 a a a Do khơng có giá trị a thỏa mãn Chọn D Câu 2: Ta có y 3 2a Giả sử M a; tọa độ tiếp điểm x 1 a Phương trình tiếp tuyến M y Mà tiếp tuyến qua M 1; nên 3 a 1 3 a 1 2 x a 1 a 2a a 2a 2a 2 2 2a 2a a a Do khơng có giá trị a thỏa mãn Chọn A Câu 3: Ta có y Hệ số góc x 2 a 2 2 a 1 Giả sử M a; tọa độ tiếp điểm a2 a M 1; 3 S 2 Chọn D a M 3; Câu 4: Ta có y x x x 1 3 x 1 y 4 Do phương trình tiếp tuyến y 3 x 1 3 x Chọn A Câu 5: Ta có y x Giả sử M a; a 2a a 1 M 1;5 m 3 2 Ta có k y a 3a a 1 Chọn B a M 1;3 m 1 Câu 6: Ta có f x x x f x 2 x 1; f x 0 x 17 1 Hệ số góc f Chọn D 2 11 x 1 y cực tiểu 3; Câu 7: Ta có y x x 3; y 0 x 3 y Hệ số góc cực tiểu y 3 0 song song trục hoành Chọn B Câu 8: Ta có y 3 x 2 Tại x 3 y 4 Hệ số góc y 3 Phương trình tiếp tuyến y x 3 x 13 Chọn D Câu 9: Ta có y 1 x 1 Giao điểm với trục tung 0; Hệ số góc y Phương trình tiếp tuyến y x Chọn A Câu 10: Ta có y 3 x Giả sử M a; a 3a tọa độ tiếp điểm a 2 M 2; y 9 x 14 2 Hệ số góc k y a 3a 9 a 4 Chọn C a M 2;0 y 9 x 18 Câu 11: Ta có y 1 x Giao điểm với trục tung 0; Hệ số góc y 2 Phương trình tiếp tuyến y 2 x Chọn A Câu 12: y 3 x x Hệ số góc y 3 9 tiếp tuyến y 9 x 26 Chọn B Câu 13: y x x x x 2 y Phương trình tiếp tuyến y x x Chọn A 3 x 0 y Câu 14: y x x; y 0 x 1 y 1 Do tung độ tiếp điểm Chọn A Câu 15: Hệ số góc tiếp tuyến điểm x x0 k y x0 3x0 x0 m 2 1 Ta có 3x x0 3 x0 k m Do kmin m 3 3 4 Theo ra, ta có 3kmin m m m 1 Chọn B 3 3 x0 Câu 16: Gọi M x0 ; y x0 nên phương trình tiếp tuyến C M x0 x0 y y0 y x0 x x0 y x0 x x0 x0 x0 2x Tiếp tuyến d cắt TCĐ: x 2 A 2; IA 0; x0 x0 Tiếp tuyến d cắt TCN: y 2 B x0 2; IB x0 4;0 Suy IA.IB x0 4 mà IA2 IB AB 8 IA IB 2 x0 2 k Chọn D Do x0 2 x0 1 d f 1 0 Câu 17: Thay x 0 vào giả thiết, ta f 1 f 1 f 1 Đạo hàm vế giả thiết, ta có f x f x 1 f x f x (*) Thay x 0 vào (*), ta f 1 f 1 1 f 1 f 1 (I) TH1 Với f 1 0 thay vào (I), ta có 1 (vơ lý) TH2 Với f 1 thay vào (I), ta có f 1 1 f 1 f 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y (vơ lý) 1 x 1 y x Chọn A 7 Câu 18: Tiếp tuyến song song với trục Ox k y x0 0 x 0 y m Giải phương trình y 4 x x 0 x 1 y m Phương trình tiếp tuyến điểm 0; m là: y m Phương trình tiếp tuyến điểm 1; m 3 là: y m m 0 Để có tiếp tuyến song song với trục Ox m 0 m 2 m 3 Vậy S 2;3 T 5 Chọn B Câu 19: Phương trình hồnh độ giao điểm là: x 3x mx m x3 3x m x 1 0 x 1 x x 1 m x 1 0 x 1 y x 1 x x m 0 g x 2 x x m 0 1 m Để d cắt C điểm phân biệt g x 0 có nghiệm khác (*) g 1 m 0 x1 x2 Gọi A x1 ; mx1 m 3 B x2 ; mx2 m 3 theo Vi-ét ta có: x x 1 m 2 Để tiếp tuyến A B C vng góc với y x1 y x2 x12 x1 x22 x2 x1 x2 x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 36 1 m 1 m 1 36 2 36 m 2m 1 m 1 3 m m 0 m t / m * 4 36 Suy tổng phần tử S Chọn A x 2 Câu 20: Phương trình tiếp tuyến C điểm M x0 ; là: x0 y f x0 x x0 x0 x 2 1 x x0 x0 x0 1 x0 Do tiếp tuyến qua điểm A m;1 nên x0 a x0 x0 1 x0 1 2 x0 1 x02 x0 m x02 x0 m 0 * Để có tiếp tuyến qua A (*) có nghiệm kép (*) có nghiệm phân biệt có 3 2m 0 nghiệm x0 1 3 2m 2.1 m 0 m 2 m 1 13 3 Vậy S ;1 Tổng bình phương trình tập hợp S Chọn A 4 2 Câu 21: C : y x 1 1 y Ta có: y 2x 2x 2x 1 1 Gọi A a; , B b; a b, ab 0 hai điểm thuộc đồ thị C 2a 2b Gọi d1 , d hai tiếp tuyến C A B song song với Theo giả thiết ta có: y a y b 1 b a b a b a b 0 a a b 2a 2b 1 Suy B a; 2a Phương trình tiếp tuyến A là: d1 : y Khi d d1 ; d Mặt khác 1 x 1 x a 2 2a 2a 2a a a 1 1 a 2 2a a 2a d B; d1 1 1 1 a2 4 4a 4a 4a 1 2 a 2 a 1 d 2 d max 2 Chọn C 2 4a 4a 3 Câu 22: Gọi A a; a 3a 1 , B b; b 3b 1 với a b 2 2 Tiếp tuyến A, B song song với y a y b 3a 3b a b b a b a b 0 a a b Khi đó: B a; a 3a 1 AB 4a 2a 6a 2 a 4a 24a 40a 32 t 4t 24t 40t 32 0 t 4 a 2 Do a b a 2, b 2 S 3 5.2 16 Chọn A f x x x Câu 23: Ta có: f x e f x e e x C e f x f x f x x 1 ex f e C C f x f x Mặt khác f 0 e x 1 e x 1 2 f ln Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x0 ln là: Ta có: f ln y 2 x ln y x ln x y ln 0 Chọn A a4 5 M Câu 24: Gọi a; 3a , y 2 x x 2 Phương trình tiếp tuyến M là: y 2a 6a x a a4 3a d 2 Phương trình hồnh độ giao điểm d C là: 2a 6a x a a4 x4 3a x 2a 6a x a a x a x 0 2 2 x a 2a3 6a a x a x x a 0 1 1 x a 2a 6a a ax a x x3 3x 3a 0 2 2 x a 3a ax a x x 3x 3a 0 x a x a x 2ax 3a x a 0 x a x x a M a; yM 2ax 3a 3 0 2 g x x 2ax 3a 0 Để d cắt C điểm phân biệt khác M phương trình g x 0 phải có nghiệm phân biệt khác a 3a a g a 6a 0 2a a Kết hợp a ¢ a 0; 1 Vậy có giá trị a Chọn B Câu 25: C cắt trục tung điểm có tung độ nên f 2 Đồ thị hàm số y f x có tiệm cận đứng x b 2 b 2d d d b c d c d c a a c2 2 c Ta có: y f x ax b f x ad bc ac 2c c 2 cx d cx d cx c c x 1 x 1 Lại có: f f a a c c ax b cx 2c x 3 , C Ox A 2;0 Vậy y cx d cx c x , y x 1 Ta có: y 1 Phương trình tiếp tuyến A là: y x hay x y 0 Chọn A 3 2 Câu 26: Gọi A a; a a C nên phương trình tiếp tuyến d C A y y A y x A x x A y a 7a x a a a Phương trình hồnh độ giao điểm C d 7 x x a a x a a a 4 x 14 x 4a 28a x a a 14a 0 x a x x a 2ax 3a 14 0 2 x 2ax 3a 14 0 1 Ta tìm điều kiện để (1) có nghiệm phân biệt khác a a 3 Theo ra, hệ số góc tiếp tuyến k 6 a a 6 a 2; 1;3 Vậy có tất hai giá trị a cần tìm Chọn B 14 a C nên phương trình tiếp tuyến d C A Câu 27: Gọi A a; a 28 14 4 y y A y x A x x A y a a x a a4 a 3 3 Phương trình hồnh độ giao điểm C d 14 28 14 x x a a x a a4 a 3 3 3 x 14 x 4a 28a x a a 14a 0 x a x x a 2ax 3a 14 0 2 x 2ax 3a 14 0 1 Ta tìm điều kiện để (1) có nghiệm phân biệt khác a Theo ra, hệ số góc tiếp tuyến k 8 a 28 a a 8 a 2; 1;3 3 Vậy có tất hai giá trị a cần tìm Chọn A Câu 28: Gọi tiếp tuyến d qua A có phương trình y 15 27 27 15 k x y kx k 16 16 2 x x k Vì C d tiếp xúc 27 15 x x kx k 16 2 x 2; x 1 27 15 Suy x x x x x Vậy S Chọn C 2 16 x x0 Câu 29: Gọi M x0 ; y x0 nên phương trình tiếp tuyến C M x0 x0 1 y x0 x0 y x0 x x0 y x x0 x0 x0 x0 1 2 Tiếp tuyến d cắt Ox A x0 ;0 OA x0 x02 x02 OB Tiếp tuyến d cắt Oy B 0; x 1 x0 1 Do S OAB x0 y0 x04 1 OA.OB 2 x0 1 x0 1 y0 1 Vậy a b c d Chọn D Câu 30: Phương trình tiếp tuyến d C qua M y m k x y kx m 3 x x k C m x x Vì tiếp xúc với d nên suy x x 3x kx m Yêu cầu toán m g x x x có nghiệm thuộc 1;3 2 Xét hàm số g x x x 1;3 , có g x x x 0; x 1;3 (d) Suy g x hàm số nghịch biến 1;3 g 3 m g 1 62 m Vậy có tất 62 61 giá trị nguyên m cần tìm Chọn C Câu 31: Phương trình hồnh độ giao điểm C d 2x 2 x m x x 2 x 0 x m x 2m 0 43 2 x x x m 144444444444f24444444444 x Để C cắt d điểm phân biệt f x 0 có nghiệm phân biệt khác f 0 m 2m 3 m 4m 60 0; m 6 m x1 x2 Khi đó, gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm x x 2m 2 Theo ra, ta có y x1 y x2 Từ (1), (2) suy x1 x2 (1) x x2 x1 x2 4 (2) 6 m 4 m Chọn B x0 Câu 32: Gọi M x0 ; y x0 nên phương trình tiếp tuyến C M x0 x0 y x0 x 1 y x0 x x0 y x x0 x0 x0 x0 x 4 x0 Tiếp tuyến d cắt TCĐ: x 2 A 2; y1 x0 x0 Tiếp tuyến d cắt TCN: y 1 B x0 2; x2 2 x0 Theo ra, ta có x2 y1 x0 x0 m x0 Chọn C x0 x0 m 1 Câu 33: Phương trình tiếp tuyến C M k xk ; yk y yk y xk x xk y y xk x xk yk 3xk2 2009 x xk xk3 2009 xk (d) Phương trình hồnh độ giao điểm C d x 2009 x 32k 2009 x xk xk3 2009 xk x xk x xk x xk x xk 0 Do xk 1 xk suy xn cấp số nhân với x1 1; q xn n (d) Vậy 2009 xn yn 22013 0 xn3 2013 0 3n 22013 0 n 672 Chọn C Câu 34: Phương trình tiếp tuyến C M k xk ; yk y yk y xk x xk y y xk x xk yk 3xk2 3 x xk xk3 3xk (d) Phương trình hồnh độ giao điểm C d x 3x 3xk2 3 x xk xk3 3xk x xk Do xk 1 xk suy xn cấp số nhân với x1 1; q xn Vậy yn 3xn 221 0 xn3 221 0 3n x xk 0 x xk x x k n 221 0 n 8 Chọn B r Câu 35: Từ giả thiết ta suy đường thẳng MN có vectơ phương u 1;3 Gọi A x0 ; y0 45 x0 3 y0 13 ta có: f x0 3 x0 x0 3 x0 y0 2 x0 y0 Ta phương trình tiếp tuyến tương ứng y 3 x 117 11 , y 3 x , y 3 x 8 Kiểm tra điều kiện cắt điểm Ta xét phương trình 7 x x 3x m g x x x 3x m * 8 x 3 Khi g x 0 x x 0 x Ta bảng biến thiên sau: 2 x x 2 g x + 1 + 14 11 Dựa vào BBT suy m , m 1 phương trình (*) có ba nghiệm g x 117 Vậy có hai điểm A thỏa mãn yêu cầu toán Chọn B Câu 36: Đường thẳng y ax b tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x phương trình x x ax b x a x b có nghiệm kép a b 0 (1) Tương tự đường thẳng y ax b tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x 10 phương trình x x 10 ax b x a x 10 b 0 có nghiệm kép a 3 b 10 0 (2) 16a 48 0 a 10a 4b 0 Từ (1) (2) a 6a 4b 49 0 a 6a 4b 49 0 a 3 b 10 Vậy M 2a b Chọn B Câu 37: Viết lại: d : y x 1, y x 4mx m 1 1 Ta có: y x1 1, y x2 nên x1 ; x2 nghiệm phương trình: y x 4 x 2 x 4mx 8m 0 x 4m x 0 x x 4m 0 x 4m (1) Để tồn điểm A, B thỏa mãn yêu cầu tốn phương trình (1) có nghiệm phân biệt không âm 4m 0 m 2 Khi ta có: m m 1 x A xB 2 4m 2 4m 2 m 1 1 Kết hợp điều kiện suy S ;1 u v Chọn A 2 Câu 38: Gọi K a; a 1 thuộc C a 1 Phương trình tiếp tuyến K là: y 1 a 1 Tiếp tuyến qua điểm A 1; x a 1 a 1 a 1 1 a a a 1 4 a 1 a 1 a a 1 a 2a 5a 0 x1 x2 a1a2 1 Chọn A a 2